解三角形压轴综合小题--2024年高考数学二轮复习含答案.pdf

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1、1解三角形压轴综合小题 目录题型01 边角互化求角题型02 判断三角型形状题型03 三角形几解判断题型04 正余弦应用：求面积题型05 正余弦应用：求长度题型06正余弦应用：比值型求值题型07 最值型：角与对边互化面积型题型08 最值型：周长边长范围题型09 最值型：比值范围题型10 最值型：余弦定理齐次式题型11 最值型：正切题型12 三角形角平分线型题型13 三角形中线型题型14 三角形重心型题型15 三角形外接圆高考练场题型01 边角互化求角【解题攻略】【解题攻略】在解三角形中，选择用正弦定理或余弦定理，可以从两方面思考：(1)从题目给出的条件，边角关系来选择；(2)从式子结构来选择边角

2、互化的方法(1)边化角：利用正弦定理asinA=bsinB=csinC=2r(r为ABC外接圆半径)得a=2rsinA，b=2rsinB，c=2rsinC；(2)角化边：利用正弦定理：sinA=a2r，sinB=b2r，sinC=c2r利用余弦定理：cosA=b2+c2-a22bc辅助角公式辅助角公式asin+bcos=a2+b2aa2+b2sin+ba2+b2cos；aa2+b22+ba2+b22=1解三角形压轴综合小题-2024年高考数学二轮复习2(1)正弦形式a2+b2sin(+)：sincoscossin=sin()其中：cos=aa2+b2,sin=ba2+b2.(2)余弦形式a2+

3、b2cos(-)：coscossinsin=cos()其中：sin=aa2+b2,cos=ba2+b2.1 1(2022 下黑龙江哈尔滨高三校联考)在 ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若a-bc-b=sinCsinA+sinB，则A=()A.6B.3C.23D.3或232 2(2021下内蒙古赤峰高三校考阶段练习)在锐角ABC中，角A，B，C所对应的边分别为 a，b，c，若b=2asinB，则角A等于()A.30B.45C.60D.30或150【变式训练】【变式训练】1(2023上河南焦作高三石家庄市第九中学校考)在ABC中，A,B,C的对边分别为a，b，c，若bcos

4、A+B=c-2acosB，则B=()A.6B.3C.2D.232(2023湖南校联考模拟预测)在ABC中，BC=3，sinB+sinC=103sinA，且ABC的面积为12sinA，则A=()A.6B.4C.3D.233(2023上黑龙江佳木斯高三佳木斯一中校考阶段练习)在ABC中，a,b,c分别为角A,B,C的对边，已知b=3,cosBcosC=32a-c，则cosB等于()A.12B.32C.-12D.-32题型02 判断三角型形状【解题攻略】【解题攻略】判断三角形形状时，可利用正余弦实现边角转化，统一成边或角的形式，还要注意三角形自身的特点sinA=sinBA=BABC为等腰三角形sin

5、A=cosBA+B=2或A-B=2ABC直角三角形或钝角三角形3sin2A=sin2BA=B或A+B=2ABC为等腰三角形或钝角三角形cos2A=cos2BA=BABC为等腰三角形a2+b2=c2cosC=0ABC为直角三角形a2+b2-c20cosC0或a2+c2-b20cosB0ABC为钝角三角形或b2+c2-a20cosA0cosC0且a2+c2-b20cosB0ABC为锐角三角形且b2+c2-a20cosA01 1在ABC中，a,b,c是三角形的三条边，若方程x2-2xsinC+sin2A+sin2B=0有两个相等的实数根，则ABC是()A.锐角三角形；B.直角三角形；C.钝角三角形；

6、D.以上都有可能2 2在ABC中，已知sin(A-B)cosB+cos(A-B)sinB1，则ABC是()A.直角三角形；B.锐角三角形；C.钝角三角形；D.等边三角形【变式训练】【变式训练】1在ABC中，1+cosA=b+cc，则三角形的形状为()A.直角三角形B.等腰三角形或直角三角形C.正三角形D.等腰三角形2记ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若 a+b+cb+c-a=2bc，那么ABC是()A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.无法确定3在ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，若c2-a2-b22ab0，则ABC一定是()A.锐角三角形B.直角三角形C.钝

7、角三角形D.等边三角形题型03 三角形几解判断【解题攻略】【解题攻略】判断三角形解的个数有2种：画图法：以已知角的对边为半径画弧，通过与邻边的交点个数判断解的个数。若无交点，则无解；若有一个交点，则有一个解；若有两个交点，则有两个解；若交点重合，虽然有两个交点，但只能算作一个解。4公式法：运用正弦定理进行求解。a=bsinA，=0，则一个解；absinA，0，则两个解；absinA，0，则无解。1 1在ABC中，a=20,b=10,B=32，则此三角形的解的情况是()A.有两解B.有一解C.有无数个解D.无解2 2在 ABC 中，a，b，c 分别为三个内角 A，B，C 的对边，若 a=2,b=

8、1,B=29，则此三角形解的情况是()A.无解B.有一解C.有两解D.有无数解【变式训练】【变式训练】1在ABC中，a=80，b=100，A=45，则此三角形解的情况是()A.一解B.两解C.一解或两解D.无解2在ABC中，已知b=4 5，c=3 5，C=30，则此三角形的解的情况是()A.有一解B.有两解C.无解D.有解但解的个数不确定3在ABC中，已知a=18，b=20，A=150，这个三角形解的情况是A.一解B.两解C.无解D.不确定题型04 正余弦应用：求面积【解题攻略】【解题攻略】三角形面积：SABC=12absin C=12bcsin A=12acsin B=abc4RSABC=1

9、2(a+b+c)r(r是切圆的半径)1 1记ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若asinB=bsinC，则ABC的面积为()A.a2sin2C2B.b2sin2A2C.c2sin2B2D.3 a2+b2+c2122 2已知 ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,a=2 17,b=5 2,cosA=45，则 ABC 的面积为()A.36 2B.18 3C.27D.36【变式训练】【变式训练】1(2022春河南许昌高三统考期末)如图，在平面四边形ABCD中，CD=2，ADC=45，ACD5=105，B=60，AB+BC=4，则三角形ABC的面积为()A.3B.32C.

10、7 34D.7 322(2023春辽宁沈阳高三沈阳二中校考)我国南宋著名数学家秦九韶提出了由三角形三边求三角形面积的“三斜求积”公式.设ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，面积为S，“三斜求积”公式表示为S=14a2c2-a2+c2-b222 .在ABC中，若a2sinC=6sinA，a+c2=16+b2，则用“三斜求积”公式求得ABC的面积为.3(2019陕西宝鸡统考二模)已知三角形的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若a=2，b2-c2=6，则角A最大时，三角形ABC的面积等于题型05 正余弦应用：求长度【解题攻略】【解题攻略】.解三角形问题，多为边和角的求值问题，这

11、就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的，其基本步骤是：第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向；第二步：定工具，根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的转换；第三步：求结果.1 1(2023下江西萍乡高三统考)已知a，b，c分别为ABC三个内角A，B，C的对边，若b=4+2 2-c，cosB=34，tanC=-7，则a=2 2(2023下江苏盐城高三校联考)ABC中，A=23，D在BC上，ADAC，AD=2，则1AC+2AB=【变式训练】【变式训练】1(2023下广西钦州高三统考)在ABC中，角A、B、C

12、所对的边分别为a、b、c，且bcosC+ccosB=1，则a=.若cosB2=24，c=2，则b=.2(2022下高三校考单元测试)在ABC中，A、B、C所对的边分别为a、b、c，又a=2.c=6.C=3，则b=.3(2023上山东日照高三统考开学考试)在ABC中，AB=2，D为AB中点，CD=2，BAC=62BCD，则边AC的长为.题型06正余弦应用：比值型求值【解题攻略】【解题攻略】最值范围：分式比值型化边为角型1.通过正余弦定理，把边转化为角。2.利用特殊角，消角，以分母角度为住元，消去分子角度，转化为分母角度的单变量函数形式3.对单变量(单角)求最值。1 1(2022 上四川成都高三成

13、都七中校考阶段练习)在 RtABC 中，斜边为 AB，点 D 在边 BC 上，若tanBAD=24，sinADCsinB=13，则AB2+AD2ABAD=.2 2(2023 下福建泉州高三校联考阶段练习)记 ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c，cosA=45，若ABC的面积为3，则当ABC的周长取到最小值时，ab=【变式训练】【变式训练】1(2022上江苏南通高三统考)在ABC中(角A为最大内角，a，b，c为A、B、C所对的边)和A1B1C1中，若sinA=cosA1，sinB=cosB1，sinC=cosC1，则4 5SABCa2-b2-c2=.2(2020四川成都高三双流

14、中学校考阶段练习)在ABC中，2sin2A2=3sinA，tanB=3tanC，则ACAB=.3已知ABC中，设角A、B、C所对的边分别为a、b、c，ABC的面积为S，若3sin2B+2sin2C=sinA sinA+2sinBsinC，则Sb2的值为()A.14B.12C.1D.2题型07 最值型：角与对边互化面积型【解题攻略】【解题攻略】注意正弦定理在进行边角转换时等式必须是齐次，关于边a,b,c的齐次式或关于角的正弦sinA,sinB,sinC的齐次式，齐次分式也可以用正弦定理进行边角转换求范围问题，通常是把量表示为三角形某个角的三角函数形式，利用此角的范围求得结论1 1(2023全国高

15、三专题练习)在 ABC 中，角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c，已知 B=60，b=4，则ABC面积的最大值为()7A.3 3B.4 3C.5 3D.62 2(2022 秋黑龙江高三哈尔滨三中校考)在 ABC 中，角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c，若 asinA+C2=bsinA，b=1，则ABC面积的最大值为()A.32B.34C.36D.12【变式训练】【变式训练】1(2023秋辽宁铁岭高三校考开学考试)在ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c，若c2=(a-b)2+ab，且c=3，则ABC面积的最大值为.2(2023秋广东珠海高三校考开学考试)已知a，b，c分别为

16、ABC的三个内角A，B，C的对边，a=4，且 4+bsinA-sinB=c-bsinC，则ABC面积的最大值为.3(2023秋四川成都高三四川省成都市新都一中校联考开学考试)在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若A=3，a=2，则ABC面积的最大值为题型08 最值型：周长、边长范围【解题攻略】【解题攻略】解三角形中最值或范围问题，通常涉及与边长，周长有关的范围问题，与面积有关的范围问题，或与角度有关的范围问题，常用处理思路：余弦定理结合基本不等式构造不等关系求出答案；采用正弦定理边化角，利用三角函数的范围求出最值或范围，如果三角形为锐角三角形，或其他的限制，通常采用这种方法；巧妙利

17、用三角换元，实现边化角，进而转化为正弦或余弦函数求出最值1 1(2021上河南濮阳高三濮阳市油田第二高级中学校考阶段练习)锐角ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c，且满足(a-b)(sinA+sinB)=(c-b)sinC，若a=3，则b+c的取值范围是()A.(3,4B.(3,2 3C.(3,3 3D.(3,62 2(2023上四川南充高三四川省南充高级中学校考阶段练习)设锐角ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，若A=3,a=3，则b2+c2+bc的取值范围为()A.(1，9B.(3，9C.(5，9D.(7，9【变式训练】【变式训练】1(2023下高三单元测试)在ABC

18、中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若sin(A+C)cosBb+cosCc=sinAsinC，B=3，则a+c的取值范围是()A.32,3 B.32,3C.32,3 D.32,32(2021河北唐山统考三模)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，角A的内角平分线交BC8于点D，若a=1，1b+1c=2，则AD的取值范围是3(2023上四川宜宾高三四川省宜宾市第四中学校校考阶段练习)ABC中，若b=3,B=600，则ABC周长最大值为题型9 最值型：比值范围1 1(2022上广西桂林高三校考阶段练习)在ABC中，角A,B,C所对应的边分别为a,b,c，设ABC的面积为S，则Sa2+

19、4bc的最大值为()A.216B.312C.316D.2182 2(2023上江苏无锡高三江苏省南菁高级中学校考阶段练习)在锐角ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，S为ABC的面积，且a2=2S+(b-c)2，则2sin2B+sin2CsinBsinC的取值范围为()A.4315,5915B.2 2,4315C.2 2,5915D.2 2,+【变式训练】【变式训练】1(2023上贵州黔东南高三统考)在锐角ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，且ABC的面积S=bc 1-cosA，则a2bc的取值范围为()A.45,+B.45,1615C.45,3235D.3235,16152

20、(2022全国高三专题练习)已知ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若A=2B，则cb+2ba的取值范围为3(2022下重庆高三重庆市彭水第一中学校校考)在锐角ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a2=b2+bc，则ab的取值范围是题型10 最值型：余弦定理齐次式1 1(2022全国高三课时练习)锐角ABC中，角A，B，C所对的边分别为 a，b，c，若a2+b2=5c2，则cosC的取值范围是()A.12，63B.12，1C.45，63 D.45，12 2(2020全国高三课时练习)锐角ABC中，角A，B，C所对的边分别为 a，b，c，若a2+b2=4c2，则cosC的取

21、值范围为()A.12,3 35 B.34,3 35 C.12,155 D.34,155【变式训练】【变式训练】91(2022四川成都二模(理)已知ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c.若c=1,4a2cos2B+4b2sin2A=3b2-3，则tanA的最大值为()A.74B.73C.3 77D.4 772(2022全国高三专题练习)已知ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c若4a2cos2B+4b2sin2A=3b2-3c2，则cosA的最小值为()A.23B.73C.74D.343(2020河南校联考二模)在ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且BC边上的高为2

22、4a，则cb+bc的最大值是题型11 最值型：正切【解题攻略】【解题攻略】正切：1.tan=tantan1tantan；2.在三角形中，tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC1 1(2023上辽宁丹东高三校联考阶段练习)在锐角三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足a2+acosB=c2，则tanB-tanA2tanAtanB的取值范围是()A.12,33B.34,12C.0,12D.1,2 332 2(2023 下云南保山高三校考)已知 ABC 的三个内角分别为 A，B，C，若 sin2C=2sin2A-3sin2B，则tanB的最大值为()A.52B.5

23、3C.3 52D.2 53【变式训练】【变式训练】1(2022黑龙江哈尔滨哈尔滨三中校考二模)在锐角ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，ABC的面积为S，若sin(A+C)=2Sb2-a2，则tanA+13tan(B-A)的取值范围为()A.2 33,+B.2 33,43 C.2 33,43D.2 33,43 2(2023上全国高三专题练习)在锐角ABC中，a2-b2=bc，则角B的范围是，5tanB-5tanA+6sinA的取值范围为.3(2023全国高三专题练习)在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a2+4b2=c2，则tanB的最大值为10题型12 三角形角平分线

24、型【解题攻略】【解题攻略】角平分线定理(大题中，需要证明，否则可能会扣过程分)：ABBD=ACCD三角形角平分线的处理方法：SABC=SACD+SABD1 1(2022贵州贵阳高三开学考试(理)已知ABC的内角A,B,C对应的边分别是a,b,c，内角A的角平分线交边BC于D点，且 AD=4若(2b+c)cosA+acosC=0，则ABC面积的最小值是()A.16B.16 3C.64D.64 32 2(2023全国高三专题练习)在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，ABC=120，ABC的平分线交AC于点D，且BD=1，则4a+c 的最小值为()A.8B.9C.10D.7【变式训练】

25、【变式训练】1(2022安徽巢湖市第一中学模拟预测(理)在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，(a+b)(sinA-sinB)=c(sinC+sinB)，若角A的内角平分线AD的长为2，则4b+c的最小值为()A.10B.12C.16D.182(2021全国高三专题练习)已知ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，A=60，b=3c，角A的平分线交BC于点D，且BD=7，则cosADB的值为()A.-217B.217C.2 77D.2173(2022陕西西安三模(理)在ABC中，B=120，AB=2，A的角平分线AD的长为3，则AC=()11A.2B.3C.6D.2 3题

26、型13 三角形中线型【解题攻略】【解题攻略】中线的处理方法1.向量法：AD=12(AB+AC)AM 2=14AB 2+2AB AC+AC 22.双余弦定理法(补角法)：如图设BD=DC，在ABD中，由余弦定理得AB2=AD2+BD2-2ADBDcosADB，在ACD中，由余弦定理得AC2=AD2+DC2-2ADDCcosADC，因为AMB+AMC=，所以cosADB+cosADC=0所以+式即可3.延伸补形法：如图所示，延伸中线，补形为平行四边形4.中线分割的俩三角形面积相等1 1在 ABC 中，内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,b-3asinA=bcos2A,a=1，且 AC 边上

27、的中线 BM=32，则()A.3B.7C.1或2D.2或32 2在ABC中，E，F分别是AC,AB的中点，且3AB=2AC，若BECF0，所以sinA=12，因为A 0,2，所以A为30.故选：A【变式训练】【变式训练】1(2023上河南焦作高三石家庄市第九中学校考)在ABC中，A,B,C的对边分别为a，b，c，若bcos A+B=c-2acosB，则B=()A.6B.3C.2D.23【答案】B【分析】由正弦定理和正弦展开式再结合边化角计算得出.【详解】由题意可得bcos A+B=bcos-C=-bcosC=c-2acosB，所以2acosB=ccosB+bcosC，由正弦定理可得2sinAc

28、osB=sinCcosB+sinBcosC，即2sinAcosB=sin B+C=sinA，因为A为三角形内角，sinA0，3所以可得2cosB=1，即cosB=12，又B 0,，所以B=3故选：B2(2023湖南校联考模拟预测)在ABC中，BC=3，sinB+sinC=103sinA，且ABC的面积为12sinA，则A=()A.6B.4C.3D.23【答案】D【分析】先利用正弦定理角化边可得b+c=10，再由三角形面积公式可得bc=1，最后根据余弦定理求解即可.【详解】设ABC中角A,B,C所对的边分别为a,b,c，因为sinB+sinC=103sinA，所以由正弦定理可得b+c=103a=

29、10，又SABC=12bcsinA=12sinA解得bc=1，所以由余弦定理可得cosA=b2+c2-a22bc=b+c2-2bc-a22bc=10-2-92=-12，因为A 0,，所以A=23，故选：D3(2023上黑龙江佳木斯高三佳木斯一中校考阶段练习)在ABC中，a,b,c分别为角A,B,C的对边，已知b=3,cosBcosC=32a-c，则cosB等于()A.12B.32C.-12D.-32【答案】A【分析】根据题意，利用正弦定理化简得到2sinAcosB-sinCcosB=sinBcosC，再根据两角和的正弦公式，即可求解.【详解】由cosBcosC=32a-c且b=3，可得(2a-

30、c)cosB=bcosC，根据正弦定理得2sinAcosB-sinCcosB=sinBcosC，即2sinAcosB=sinBcosC+sinCcosB=sin(B+C)=sinA，因为A(0,)，可得sinA0，所以cosB=12.故选：A.题型02 判断三角型形状【解题攻略】【解题攻略】判断三角形形状时，可利用正余弦实现边角转化，统一成边或角的形式，还要注意三角形自身的特点sinA=sinBA=BABC为等腰三角形sinA=cosBA+B=2或A-B=2ABC直角三角形或钝角三角形sin2A=sin2BA=B或A+B=2ABC为等腰三角形或钝角三角形4cos2A=cos2BA=BABC为等

31、腰三角形a2+b2=c2cosC=0ABC为直角三角形a2+b2-c20cosC0或a2+c2-b20cosB0ABC为钝角三角形或b2+c2-a20cosA0cosC0且a2+c2-b20cosB0ABC为锐角三角形且b2+c2-a20cosA01 1在ABC中，a,b,c是三角形的三条边，若方程x2-2xsinC+sin2A+sin2B=0有两个相等的实数根，则ABC是()A.锐角三角形；B.直角三角形；C.钝角三角形；D.以上都有可能【答案】B【分析】方程有两个相等的实数根，则有=0，再利用正弦定理边角互化的应用可得c2=a2+b2，从而可得三角形的形状.【详解】由题可知,方程x2-2x

32、sinC+sin2A+sin2B=0有两个相等的实数根，=4sin2C-4 sin2A+sin2B=0，sin2C=sin2A+sin2B，再由正弦定理可得c2=a2+b2，ABC是直角三角形.故选：B.2 2在ABC中，已知sin(A-B)cosB+cos(A-B)sinB1，则ABC是()A.直角三角形；B.锐角三角形；C.钝角三角形；D.等边三角形【答案】A【分析】由两角和的正弦公式化简已知式后确定A角大小，判断三角形形状【详解】解：由已知sin(A-B)cosB+cos(A-B)sinB=sinA1，所以sinA=1，因为A(0,)，所以A=2，即三角形为直角三角形故选：A【变式训练】

33、【变式训练】1在ABC中，1+cosA=b+cc，则三角形的形状为()A.直角三角形B.等腰三角形或直角三角形C.正三角形D.等腰三角形【答案】A【分析】利用余弦定理化简题给条件即可得到c2=b2+a2，进而得到ABC的形状为直角三角形.【详解】ABC中，1+cosA=b+cc，则1+b2+c2-a22bc=b+cc，整理得c2=b2+a2，则C=90，则ABC的形状为直角三角形，故选：A.52记ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若 a+b+cb+c-a=2bc，那么ABC是()A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.无法确定【答案】B【分析】已知等式左边利用平方差公式即完全

34、平方公式化简，整理后利用勾股定理的逆定理判断即可得到结果.【详解】在ABC中，a+b+cb+c-a=b+c2-a2=b2+c2-a2+2bc=2bc，b2+c2-a2=0，即b2+c2=a2，则ABC为直角三角形，故选：B.3在ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，若c2-a2-b22ab0，则ABC一定是()A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等边三角形【答案】C【分析】利用余弦定理求解.【详解】解：因为c2-a2-b22ab0，所以cosC=a2+b2-c22abbsinA，0，则两个解；absinA，20sin30=10，而b=10，这样的三角形无解.故选:D.2 2在

35、 ABC 中，a，b，c 分别为三个内角 A，B，C 的对边，若 a=2,b=1,B=29，则此三角形解的情况是()A.无解B.有一解C.有两解D.有无数解【答案】C【分析】由正弦定理求得sinA的值，并结合大边对大角进行判定角A的解的个数，即得三角形的解的个数.【详解】由正弦定理可得，sinA=asinBb=2sin291=2sin29b，AB，由于B为锐角，角A可以为锐角，也可以为钝角,即三角形的解有2个.故选：C.【变式训练】【变式训练】1在ABC中，a=80，b=100，A=45，则此三角形解的情况是()A.一解B.两解C.一解或两解D.无解【答案】B【分析】由正弦定理得sinB=5

36、2822=sin45=sinA，即得解.【详解】由正弦定理得8022=100sinB,sinB=5 2822=sin45=sinA,所以BA,所以B可以是一个锐角，可以是一个钝角，所以此三角形有两解.故选：B2在ABC中，已知b=4 5，c=3 5，C=30，则此三角形的解的情况是()A.有一解B.有两解C.无解D.有解但解的个数不确定【答案】B【分析】利用余弦定理得到关于a的方程解方程即可做出判断.【详解】在ABC中，b=4 5，c=3 5，C=30，由余弦定理得c2=a2+b2-2abcosC，即45=a2+80-2a4 5cos30，解得a=2 15 5，则此三角形有两个解.故选：B.3

37、在ABC中，已知a=18，b=20，A=150，这个三角形解的情况是A.一解B.两解C.无解D.不确定【答案】C7【分析】根据正弦定理：asinA=bsinB和三角形内角和定理，即可求得答案.【详解】a=18，b=20，A=150根据正弦定理：asinA=bsinB由ba，可得BA故BA=150违背了三角形内角和定理，故此三角形无解.故选：C.题型04 正余弦应用：求面积【解题攻略】【解题攻略】三角形面积：SABC=12absin C=12bcsin A=12acsin B=abc4RSABC=12(a+b+c)r(r是切圆的半径)1 1记ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若asi

38、nB=bsinC，则ABC的面积为()A.a2sin2C2B.b2sin2A2C.c2sin2B2D.3 a2+b2+c212【答案】A【分析】根据题意和正弦定理可得sinA=sinC，进而a=c,A=C，利用诱导公式可得sinB=sin2C，结合三角形的面积公式计算即可求解.【详解】asinB=bsinC，由正弦定理，得sinAsinB=sinBsinC，又0B2)，则cosA=t2(t-2)(t+4)=t2t2+2t-8=1-81t2+21t+1=1-81t-182+982 23，当且仅当t=8，即c=6,b=2 3 时等号成立，当角A最大时，cosA=2 23，sinA=13，SABC=

39、122 3 6 13=2，即角A最大时，三角形ABC的面积等于2故答案为2题型05 正余弦应用：求长度【解题攻略】【解题攻略】.解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的，其基本步骤是：第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向；第二步：定工具，根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的转换；第三步：求结果.1 1(2023下江西萍乡高三统考)已知a，b，c分别为ABC三个内角A，B，C的对边，若b=4+2 2-c，cosB=34，tanC=-7，则a=【答案】2【分析】根据

40、题意，由同角三角函数的平方关系可得sinB,sinC,cosC，然后结合正弦定理可求得ABC的外接圆半径R，即可得到结果.【详解】在ABC中，cosB=34，tanC=-7，所以sinB=1-cos2B=74，sinCcosC=-7，且sin2C+cos2C=1，所以sinC=144,cosC=-24，设ABC的外接圆半径为R，则b=2RsinB=2R74=72R，c=2RsinC=2R144=142R，且b=4+2 2-c，解得R=4 147，因为sinA=sin B+C=sinBcosC+cosBsinC=74-24+34144=148，所以a=2RsinA=24 147148=2.故答案

41、为：2.2 2(2023下江苏盐城高三校联考)ABC中，A=23，D在BC上，ADAC，AD=2，则1AC+2AB=【答案】32【分析】由SABC=SABD+SACD结合三角形面积公式化简可得出1AC+2AB的值.【详解】如下图所示：10在ABC中，A=23，D在BC上，ADAC，AD=2，则BAD=23-2=6，由SABC=SABD+SACD，即12ABACsin23=12ABADsin6+12ACAD，即34ABAC=12AB+AC，等式两边同时除以ABAC可得12AC+1AB=34，所以，1AC+2AB=32.故答案为：32.【变式训练】【变式训练】1(2023下广西钦州高三统考)在AB

42、C中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且bcosC+ccosB=1，则a=.若cosB2=24，c=2，则b=.【答案】12 2【分析】设ABC的外接圆半径为r，由正弦定理结合两角和的正弦公式化简可得出a的值；利用二倍角的余弦公式求出cosB的值，利用余弦定理可求得b的值.【详解】设ABC的外接圆半径为r，则bcosC+ccosB=2r sinBcosC+cosBsinC=2rsin B+C=2rsinA=a=1，由二倍角的余弦公式可得cosB=2cos2B2-1=2242-1=-34，由余弦定理可得b2=a2+c2-2accosB=1+4-212-34=8，故b=2 2.故答案为：1；

43、2 2.2(2022下高三校考单元测试)在ABC中，A、B、C所对的边分别为a、b、c，又a=2.c=6.C=3，则b=.【答案】3+1/1+3【分析】根据正弦定理或者余弦定理求解即可；【详解】方法一：由正弦定理asinA=bsinB=csinC得：sinA=acsinC=2632=22，0Aa，CA，A=4，B=512，sinB=sin512=sin4+6=6+24,b=sinBsinCc=sin512sin36=3+1.故答案为：3+1.方法二；cosC=a2+b2-c22ab=4+b2-622b=12，解得：b2-2b-2=0,解得：b=1+3 或者b=1-3(舍去)，故答案为：3+1.

44、113(2023上山东日照高三统考开学考试)在ABC中，AB=2，D为AB中点，CD=2，BAC=2BCD，则边AC的长为.【答案】-1+172【分析】设AC=x，BC=y，由sinADC=sinBDC、cosADC=-cosBDC，利用正余弦定理、倍角正弦公式得2y2=x y2+1、x2+y2=6求出所设参数，结合三角形性质确定AC的长度.【详解】设AC=x，BC=y，在ADC和BDC中，2sinBAC=xsinADC，1sinBCD=ysinBDC，又sinADC=sinBDC，得sinBACsinBCD=2yx，在BDC中，cosBCD=y2+2-12 2y，由BAC=2BCD，有sin

45、BAC=2sinBCDcosBCD，所以2yx=2y2+2-12 2y，整理得：2y2=x y2+1，又cosADC=-cosBDC，即1+2-x22 2=-1+2-y22 2，整理得：x2+y2=6，联立得，x3-2x2-7x+12=0，即 x-3x2+x-4=0，解得x=3或x=-1172，三角形ADC中的三边关系知：2-1x0，c0，bc+c2b2bcc2b=2，当且仅当bc=c2b，即c=2b时等号成立.又bc+c2b=sinA-cosA=2sin A-42，当且仅当A=34时，等号成立.综上所述：bc+c2b2 且bc+c2b2，故得：bc+c2b=2，此时c=2b且A=34，S=1

46、2bcsin34=24bc，Sb2=24bcb2=24cb=242=12.故选：B题型07 最值型：角与对边互化面积型【解题攻略】【解题攻略】注意正弦定理在进行边角转换时等式必须是齐次，关于边a,b,c的齐次式或关于角的正弦sinA,sinB,sinC的齐次式，齐次分式也可以用正弦定理进行边角转换求范围问题，通常是把量表示为三角形某个角的三角函数形式，利用此角的范围求得结论1 1(2023全国高三专题练习)在 ABC 中，角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c，已知 B=60，b=4，则ABC面积的最大值为()A.3 3B.4 3C.5 3D.6【答案】B【分析】利用余弦定理结合基本不等式

47、可求得ac的最大值，再利用三角形的面积公式可求得ABC面积的最大值.【详解】由余弦定理可得16=b2=a2+c2-2accosB=a2+c2-ac2ac-ac=ac，即ac16，当且仅当a=c=4时，等号成立，故SABC=12acsinB=34ac3416=4 3.因此，ABC面积的最大值为4 3.故选：B.2 2(2022 秋黑龙江高三哈尔滨三中校考)在 ABC 中，角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c，若 asinA+C2=bsinA，b=1，则ABC面积的最大值为()A.32B.34C.36D.12【答案】B【分析】利用正弦定理边化角可化简已知等式求得sinB2，进而得到B=3；利用

48、余弦定理和基本不等式可求得ac1，代入三角形面积公式即可求得结果.【详解】由正弦定理得：sinAsinA+C2=sinBsinA，15sinAsin-B2=sinAcosB2=2sinB2cosB2sinA，A 0,，B2 0,2，sinA0，cosB20，sinB2=12，B2=6，解得：B=3；由余弦定理得：b2=a2+c2-2accosB=a2+c2-ac=1，a2+c22ac(当且仅当a=c时取等号)，12ac-ac=ac，SABCmax=12132=34.故选：B.【变式训练】【变式训练】1(2023秋辽宁铁岭高三校考开学考试)在ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c，若c2

49、=(a-b)2+ab，且c=3，则ABC面积的最大值为.【答案】3 34【分析】由c2=(a-b)2+ab，得到a2+b2-c2=ab，利用余弦定理得到C=3，再利用余弦定理结合基本不等式得到ab3，再利用三角形的面积求解.【详解】解：因为c2=(a-b)2+ab，所以a2+b2-c2=ab，由余弦定理得cosC=a2+b2-c22ab=12，因为C 0,，所以C=3，由余弦定理得c2=a2+b2-2abcosC=a2+b2-abab，则ab3，当且仅当a=b时，等号成立，所以SABC=12absinC12332=3 34，所以ABC面积的最大值为3 34，故答案为：3 342(2023秋广东

50、珠海高三校考开学考试)已知a，b，c分别为ABC的三个内角A，B，C的对边，a=4，且 4+bsinA-sinB=c-bsinC，则ABC面积的最大值为.【答案】4 3【分析】利用正弦定理进行边角互化可得b2+c2-a2=bc，再结合余弦定理可得A=3，利用基本不等式可得bc16，进而可得面积的最大值.【详解】由a=4，得 a+bsinA-sinB=c-bsinC，由正弦定理得 a+ba-b=c-bc，化简得b2+c2-a2=bc，故cosA=b2+c2-a22bc=12，所以A=3.又因为a2=b2+c2-2bccosA，即16=b2+c2-bc2bc-bc=bc，所以bc16，当且仅当b=