贵州省贵阳市第一中学2023-2024学年高三上学期高考适应性月考卷（五）数学试卷含答案.pdf

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1、学科网（北京）股份有限公司数学试卷数学试卷注意事项：注意事项：1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚.2.每小题选出答案后，用每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效在试题卷上作答无效.3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分满分 150 分，考试

2、用时分，考试用时 120 分钟分钟.一、单项选择题（本大题共一、单项选择题（本大题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合1,3,5,7M=，2*|230,Nx xxx=-的左焦点F，且与双曲线的左支交于B，C两点，并满足4CBFB=uuu ruuu r，点A与点B关于原点对称，若AFBF，则双曲线E的离心率e=（）A.52B.53C.102D.103二、多项选择题（本大题共二、多项选择题（本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分

3、分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得 5 分，选对但不全的得分，选对但不全的得 2 分，有选错的得分，有选错的得 0 分）分）9.已知定义在R上的奇函数()f x的图象关于直线2x=对称，当0,2x时，()f x=1121xa-+，则（）A.2a=-B.1a=-C.(48)(25)(27)fff-D.(25)(48)(27)fff-uuuu r uuurC.ABM的面积的最大值为32D.l被圆C截得的弦长最小值为2 311.已知正方体1111ABCDA BC D-的棱长为 1，点E，M分别为线段

4、1AD，1AC的中点，点N满足111(0,1)B NBCll=uuuu ruuuur，点H为棱1AA（包含端点）上的动点，则下列说法正确的是（）A.平面EMN截正方体得到的截面多边形是矩形B.二面角11DABC-的大小为3pC.存在l，使得平面EMN 平面1ABCD.若CH 平面b，则直线CD与平面b所成角的正弦值的取值范围为32,32学科网（北京）股份有限公司12.已知函数eln()elnxxf xxxx=+的图象与直线()yk k=R有三个交点，记三个交点的横坐标分别为1x，2x，3x，且123xxxC.31,2kD.2312123lnlnln111eeexxxxxx+为定值三、填空题（本

5、大题共三、填空题（本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分）分）13.102xx+的二项展开式中，4x项的系数为_.14.“圆锥容球”是指圆锥形容器里放了一个球，且球与圆锥的侧面及底面均相切（即圆锥的内切球）.已知某圆锥形容器的母线与底面所成的角为60，底面半径为 2，则该圆锥内切球的表面积为_.（容器壁的厚度忽略不计）15.九章算术中，将四个面都是直角三角形的四面体称为“鳖臑”，已知“鳖臑”PABC-中，PA 平面ABC，PAAB=，2ABCp=，6ABBC+=，则“鳖臑”PABC-外接球体积的最小值为_.16.已知平面向量ar，br，cr，dr满足：|2ab=rr

6、，abrr，(0,1)ctab t=+rrr，|2cd-=rr，设向量dmanb=+rrr（m，n为实数），则mn+的取值范围为_.四、解答题（共四、解答题（共 70 分分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.（本小题满分 10 分）已知函数231()cossin2(0)22f xxxwww=+-的最小正周期为4p.（1）求w的值，并写出()f x的对称轴方程；（2）在ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足(2)coscosacBbC-=，求函数()f A的取值范围.18.（本小题满分 12 分）已知数列nan为等差数列，5335

7、30aa-=，且28a=.学科网（北京）股份有限公司（1）求na；（2）记nS为数列1na的前n项和，求nS.19.（本小题满分 12 分）某校高三年级嘟嘟老师准备利用高中数学知识对甲、乙、丙三名学生在即将到来的全省适应性考试成绩进行预测，为此，他收集了三位同学近三个月的数学月考、周测成绩（满分 150 分），若考试成绩超过 100 分则称为“破百”.甲：74，85，81，90，103，89，92，97，109，95；乙：95，92，97，99，89，103，105，108，101，113；丙：92，102，97，105，89，94，92，97.假设用频率估计概率，且甲、乙、丙三名同学的考试成

8、绩相互独立.（1）分别估计甲、乙、丙三名同学“破百”的概率；（2）设这甲、乙、丙三名同学在这次决赛上“破百”的人数为X，求X的分布列和数学期望()E X.20.（本小题满分 12 分）如图，在三棱柱111ABCA BC-中，ABAC=，60ABC=，D为BC的中点，平面11BBC C 平面ABC.（1）证明：1/A B平面1AC D；（2）若1112A BCC=，二面角1CADC-的余弦值为2 77，求平面1AC D与平面11ABB A夹角的余弦值.21.（本小题满分 12 分）已知椭圆2222:1(1)xyCabab+=的左焦点为F，上顶点为A，离心率为12，且|2AF=.（1）求椭圆C的标

9、准方程；（2）若过F且斜率为(0)k k 的直线l与椭圆C交于D，E两点，椭圆C的左、右顶点分别为1A，2A，证明：直线1A D与2A E的交点在定直线上.学科网（北京）股份有限公司22.（本小题满分 12 分）已知函数()2sinsin1f xxax=+，0,2xp.（1）若2a=，求函数()()1g xf x=-的值域；（2）是否存在正整数a，使得()sin13cosf xxxx-恒成立？若存在，求出正整数a的取值集合；若不存在，请说明理由.学科网（北京）股份有限公司贵阳第一中学贵阳第一中学 2024 届高考适应性月考卷（五）届高考适应性月考卷（五）数学参考答案数学参考答案一、单项选择题（

10、本大题共一、单项选择题（本大题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）题号12345678答案CDDDBAAC【解析】1.Q*|13,1,2Nxxx=-，所以220qq-=，解得2q=或1-（舍去），11222111122216mnm nmna aaaaa-+-=，故24mn+-=，即6mn+=，41141()6mnmnmn+=+=141434152662nmn mmnmn+=，学科网（北京）股份有限公司当且仅当4nmmn=，即4m=，2n=时，等号成立，故41mn+

11、的最小值等于32，故选 A.8.设双曲线的右焦点为1F，连接AF，1AF，1BF，又因为AFBF，所以四边形1AFBF为矩形，设|BFt=，则|3CFt=，由双曲线的定义可得：12BFat=+，123CFat=+，又因为1CBF为直角三角形，所以22211|BCBFCF+=，即222(4)(2)(23)tatat+=+，解得ta=，所以13BFa=，|BFa=，又因为1BFF为直角三角形，12FFc=，所以22211|BFBFFF+=，即：22294aac+=，所以2252ca=，即102cea=，故选 C.二、多项选择题（本大题共二、多项选择题（本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分

12、，共分，共 20 分分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得 5 分，选对但不全的得分，选对但不全的得 2 分，有选错的得分，有选错的得 0 分）分）题号9101112答案BDABDACDBCD【解析】9.已知函数()f x为R上的奇函数，则(0)0f=，即1(0)01 1af+=+，解得1a=-，B 正确；A 错误；又因为(4)()0f xf x+=，即(8)(4)()f xf xf x+=-+=，从而周期为 8，(25)(1)(1)fff-=-=-，(48)(0)ff=，(27)(1)(1)fff=-=.因为当

13、02x时，21()21xxf x-=+，所以1(1)3f=，从而1(25)(1)3ff-=-=-，(48)0f=，1(27)3f=，所以(25)(48)(27)fff-uuuu r uuur，B 正确；M到AB的最大距离，即到圆心的距离为 1，14 122ABMSD =，故 C 错误；l被C截得的弦的长度的最小时，圆心到直线的距离最大，且此距离为M到圆心的距离为 1，故弦长为222 212 3-=，故 D 正确，故选 ABD.11.由正方体可建立如图所示的空间直角坐标系，则(0,0,0)D，(1,1,0)B，(0,1,0)C，(1,0,0)A，1(0,0,1)D，1(0,1,1)C，1(1,1

14、,1)B，设(1,0,)Hh，其中01h，对于 A：连接1AD，1BC，1BC，则11ADADE=I，由正方体的性质可得点E是侧面11ADD A的中心，点M是正方体的中心，所以连接EM并延长交侧面11BCC B于点P，则点P是侧面11BCC B的中心，且/PE AB.设平面EPN交11AD于点F，交AD于点G，交BC于点I，连接NF，GH，因为平面/ABCD平面1111ABC D，所以/GI NF，GINF=.因为/PE AB，AB 平面ABCD，所以/PE平面ABCD，又GI 平面ABCD，所以/PE GI，所以/AB GI，易知ABIN，所以GIIN，所以平面EMN截正方体得到的截面多边形

15、NFGI是矩形，故 A 正确；对于 B：1(0,1,1)AB=uuur，1(1,0,1)AD=-uuuu r，(1,1,0)AC=-uuur，设平面11AB D的法向量为(,)mx y z=r，则1100m ABm AD=uuurruuuu rr，即00yzxz+=-+=，取1z=，则1x=，1y=-，故(1,1,1)m=-r.设平面1ABC的法向量为(,)na b c=r，则100n ABn AC=uuurruuurr，即00bcab+=-+=，学科网（北京）股份有限公司取1b=，则1a=，1c=-，故(1,1,1)n=-r，故11cos,333m n-=-r r，而二面角11DABC-为锐

16、二面角，故其余弦值为13，不为12，故二面角11DABC-的平面角不是3p，故 B 错误.对于 C：因为点M是正方体的中心，所以1D，M，B三点共线，所以平面1AD M即为平面11ABC D，因为11BCBC，1ABBC，1ABBCB=I，AB，1BC 平面11ABC D，所以1BC 平面11ABC D，又1BC 平面1ABC，所以平面1ABC 平面11ABC D，即平面1ABC 平面1AD M，当1l=时，点N与点1C重合，平面EMN即为平面11ABC D，由此可知平面1ABC 平面11ABC D，即平面1ABC 平面EMN，故C正确；对于 D：设直线CD与平面b所成的角为q.因为CH 平面

17、b，故(1,1,)CHh=-uuur为平面b的法向量，而(0,1,0)DC=uuur，故2211sin|cos,|22DC CHhhq=+uuur uuur，而0,1h，2132,322h+，故 D 正确，故选 ACD.12.由方程eln0elnxxkxxx+-=+，可得eln10eln1xkxxx+-=+.令eln xtx=，则有101tkt+-=+，即2(1)10tk tk+-+=.令函数eln()xg xx=，则21 ln()exg xx-=，令()0g x，解得0ex，令()0g x，所以()g x在(0,e)上单调递增，在(e,)+上单调递减，所以maxelne()(e)1eg xg

18、=，作出图象如图所示，学科网（北京）股份有限公司要使关于x的方程eln0elnxxkxxx+-=+有三个不相等的实数解1x，2x，3x，且123xxx，结合图象可得关于t的方程2(1)10tk tk+-+=一定有两个实根1t，2t，且10t，201t或11t=，201t，令2()(1)1g ttk tk=+-+，若10t，201tD=+-故312k.若11t=，201tD=+-无解，综上31,2k，故 C 正确；由图结合单调性可知3ex，故 B 正确；若(1)10fkk-=-=，则1k=，又31,2k，故 A 不正确；222231212212123lnlnln11111111eeeeeeeee

19、eeeexxxtttttxxx +=+=+2121 2122222222111111111(1)(1)eeeeeeeeeeettt tttkk=+=+=-+-+=，故 D 正确，故选BCD.三、填空题（本大题共三、填空题（本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分）分）题号13141516答案960163p8 6p0,3【解析】13.102xx+的二项展开式的通项公式为1010 2110102CC2rrrrrrrTxxx-+=，令1024r-=，得3r=，所以4x项的系数为3310C2960=.学科网（北京）股份有限公司14.作圆锥的轴截面图，如图，由图，母线PA与底面

20、所成的角为60PAO=，PAB为等边三角形，又Q2AO=，所以tan602 3POAO=，所以在正PAB中，30OPC=，设内切球球心为O，则O在PO上，且O OO CR=，在RtPO C中，22POO CR=，所以22 3RR=-，解得2 33R=，所以外接球表面积21643SRpp=.15.根据题意三棱锥PABC-可以补成分别以BC，AB，PA为长、宽、高的长方体，如图，其中PC为长方体的对角线，则三棱锥PABC-的外接球球心即为PC的中点，要使三棱锥PABC-的外接球的体积最小，则PC最小.设ABx=，则PAx=，6BCx=-，2222|3(2)24PCABPABCx=+=-+，所以当2

21、x=时，min|2 6PC=，则有三棱锥PABC-的外接球的球半径最小为6，所以3min48 63VRpp=.16.如图所示建立坐标系，以A为坐标原点，边长为 2 的正方形ABCD的AB，AD所在直线为x轴、y轴，设ABb=uuu rr，ADa=uuurr，Q为线段BC上一点，则AQc=uuurr，学科网（北京）股份有限公司又Q|2cd-=rr，以Q为圆心，2为半径画圆，点P为圆上一点，设(,)P x y，(2,0)AB=uuu r，(0,2)AD=uuur，(2,2)APmABnADmn=+=uuu ruuu ruuur，所以2xm=，2yn=，所以1122zmnxy=+=+，所以2yxz=

22、-+，它表示斜率为1-，纵截距为2z的直线，当圆心为点B时，AP与Be相切且点P在x轴的下方时，(1,1)P-，此时11022mn+=-=，取得最小值；当圆心为点C时，AP经过圆心时，(3,3)P，此时33322mn+=+=，取得最大值，mn+的取值范围为0,3.四、解答题（共四、解答题（共 70 分分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.（本小题满分 10 分）解：（1）2311 cos231()cossin2sin222222xf xxxxwwww+=+-=+-31sin2cos2sin 2226xxxpwww=+=+.Q242Tppw=，

23、14w=，故1()sin26f xxp=+，令1262xkppp+=+，kZ，解得223xkpp=+，kZ，故对称轴方程为：223xkpp=+，kZ.（2）由(2)coscosacBbC-=得(2sinsin)cossinACBB-=，2sincossincoscossinsin()sinABBCBCBCA=+=+=.sin0AQ，1cos2B=，,(0)Bp，3Bp=，1()sin26f AAp=+，203Ap，6262Appp+，1sin1226Ap+，所以212228623443kxxkk+=-=-+，212224121513443kx xkk-=-+，故1212542x xxx=-+-

24、.由（1）可得1(2,0)A-，2(2,0)A，则直线1AD的方程为11(2)2yyxx=+，直线2A E的方程为22(2)2yyxx=-.设直线1AD与2A E的交点坐标为00,xy，则1200122222yyxxxx+=-+-，故212101212012121212212222221222yxk xxxx xxxxyxk xxx xxx+=-+-+-121212121212542234125931234222xxxxxxxxxxxx-+-+-=-+-+-，解得04x=-，故直线1AD与2A E的交点在直线4x=-上.22.（本小题满分 12 分）解：（1）由题设()sin22sing xx

25、x=+，则2()2cos22cos4cos2cos22(2cos1)(cos1)g xxxxxxx=+=+-=-+，若()0g x，则1cos2x，0,2xp，可得0,3xp，()g x递增；若()0g x，则1cos2x，0,2xp，则sinsin3 cos0 xaxxx+-，令()sinsin3 cosh xxaxxx=+-，0,2xp，则()cos2cos3 sinh xaaxxxx=-+，且(0)2ha=-，当1a=，323sinsincos204444424ahpppppp=+-=-，即sinyxx=-递增，所以sin0sin00yxx=-=，故sinxx恒成立，所以()0k x，即()()k xh x=在0,2xp上递增，又(0)20ha=-=，则()0h x，所以()h x在0,2xp上递增，又(0)0h=，即()0h x，0,2xp，符合题意；当3a，令00,12xapp=-，则000(1)axxx ap-=-=，00sinsinaxxp=+，所以00000000000sinsin3cossinsin3cos3cos0h xxaxxxxxxxxxp=+-=+-=-（舍）；综上，正整数a的取值集合为2.