北京市房山区2023-2024学年高三上学期期末考试 数学含解析.pdf

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1、房山区房山区 2023-2024 学年度第一学期期末检测试卷学年度第一学期期末检测试卷高三数学高三数学本试卷共本试卷共 6 页，共页，共 150 分分.考试时长考试时长 120 分钟分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将答题卡交回，试卷自行保存考试结束后，将答题卡交回，试卷自行保存.第一部分（选择题共第一部分（选择题共 40 分）分）一、选择题共一、选择题共 10 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 40 分分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.已

2、知集合2,0,1,2A=-，10Bxx=-，则AB=I（）A.2B.1,2C.2,0-D.2,0,1,2-2.在复平面内，若复数z对应的点为1,1-，则1 i z-=（）A.2B.2iC.2i-D.2-3.已知向量2,0a=r，,1bm=r，且ar与br的夹角为3，则m的值为（）A.33-B.33C.3-D.34.432xx+的展开式中的常数项是（）A.32-B.32C.23-D.235.已知a，b为非零实数，且ab，则下列结论正确是（）A.22abB.11abC.baabD.2211aba b6.已知直线:2l yxb=+与圆22:125Cxy-+=相切，则实数b=（）A.1或9B.1-或9

3、C.1-或9-D.1或9-7.已知函数()f x满足()()0fxf x-=，且在0,)+上单调递减，对于实数 a，b，则“22ab”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件8.保护环境功在当代，利在千秋，良好的生态环境既是自然财富，也是经济财富，关系社会发展的潜力和后劲.某工厂将生产产生的废气经过过滤后排放，已知过滤过程中的污染物的残留数量P（单位：毫米/的升）与过滤时间t（单位：小时）之间的函数关系为0e(0)ktPPt-=，其中k为常数，0k，0P为原污染物数量.该工厂某次过滤废气时，若前 9 个小时废气中的污染物恰好被过滤掉80%，那么再继续过滤3

4、 小时，废气中污染物的残留量约为原污染物的（参考数据：1310.5855）（）A.12%B.10%C.9%D.6%9.已知双曲线 C：22221(0,0)xyabab-=的左、右焦点分别为1F，2F，P为双曲线 C 左支上一动点，Q为双曲线 C 的渐近线上一动点，且2PQPF+最小时，1PF与双曲线 C 的另一条渐近线平行，则双曲线C 的方程可能是（）A 2213yx-=B.2213xy-=C.22122xy-=D.2214xy-=10.数学家祖冲之曾给出圆周率p的两个近似值：“约率”227与“密率”355113.它们可用“调日法”得到：称小于 3.1415926 的近似值为弱率，大于 3.1

5、415927 的近似值为强率.由于3141p，取 3 为弱率，4为强率，计算得171 1234a=+，故1a为强率，与上一次的弱率 3 计算得23710123a+=+，故2a为强率，继续计算，.若某次得到的近似值为强率，与上一次的弱率继续计算得到新的近似值；若某次得到的近似值为弱率，与上一次的强率继续计算得到新的近似值，依此类推.已知258ma=，则m=（）A.8B.7C.6D.5第二部分（非选择题共第二部分（非选择题共 110 分）分）二、填空题共二、填空题共 5 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 25 分分.11.函数2ln(12)yxx=-+的定义域是_.12.记nS为等差数列

6、 na的前n项和，已知17a=-，315S=-，则na=_.13.在ABCV中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且2cos2bcaC-=，则A=_.14.已知平面直角坐标系中，动点M到(0,2)F-的距离比M到x轴的距离大 2，则M的轨迹方程是_.15.如图，在棱长为a的正方体1111ABCDABC D-中，点P是线段1BC上的动点.给出下列结论：.1APBD；/AP平面11AC D；直线AP与直线11AD所成角的范围是,4 3；点P到平面11AC D的距离是33a.其中所有正确结论的序号是_.三、解答题共三、解答题共 6 小题，共小题，共 85 分分.解答应写出文字说明，演算步骤

7、或证明过程解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16.如图，在四棱锥PABCD-中，PADV为等腰三角形，PDAD，2 2PA=，底面ABCD是正方形，M，N分别为棱PD，BC的中点.（1）求证：/MN平面PAB；（2）再从条件、条件这两个条件中选择一个作为已知，求MN与平面PBC所成角的正弦值.条件：CDPA；条件：2 3PB=.注：如果选择条件和条件分别解答，按第一个解答计分.17.已知函数 2sin 22f xxjj=+的左、右顶点分别为1A，2A，右焦点为F，已知13AF=，离心率为12.（1）求椭圆C的标准方程；（2）已知点P是椭圆C上一个动点（不与顶点重合），直线2A P交y轴于

8、点Q，若1APQ的面积是2A FP面积的 4 倍，求直线2A P的方程.20.已知函数 1exf xax=+.（1）当0a=时，求曲线 yf x=在点 1,1f处的切线方程；（2）当1a=时，求函数 f x的单调递增区间；（3）若函数 f x在区间0,1上只有一个极值点，求a的取值范围.21.若无穷数列 na满足：*m$N，对于*00nnn N，都有n mnaqa+=（其中q为常数），则称的的的 na具有性质“0,Q m n q”.（1）若 na具有性质“(4,2,3)Q”，且31a=，52a=，691120aaa+=，求2a；（2）若无穷数列 nb是等差数列，无穷数列 nc是公比为 2 的等

9、比数列，234bc=，112bcc+=，nnnabc=+，判断 na是否具有性质“(2,1,3)Q”，并说明理由；（3）设 na既具有性质“1,1,Q iq”，又具有性质“2,1,Q jq”，其中i，*jN，ij，则AB=I（）A.2B.1,2C.2,0-D.2,0,1,2-【答案】C【解析】【分析】计算出集合B后由交集定义运算可得.【详解】101Bxxx x=-=，则下列结论正确的是（）A.22abB.11abC.baabD.2211aba b【答案】D【解析】【分析】对 A、B、C 举反例即可得，对 D 作差计算即可得.【详解】对 A：若0ab，则22ab，则11ab，则22ab，0ab，

10、左右同除ab，有abba，故错误；对 D：由ab且a，b为非零实数，则2222110ababa ba b-=，即2211aba b，故正确.故选：D.6.已知直线:2l yxb=+与圆22:125Cxy-+=相切，则实数b=（）A.1或9B.1-或9C.1-或9-D.1或9-【答案】D【解析】【分析】利用圆心到直线的距离等于圆的半径，可求得实数b的值.【详解】圆C的圆心为1,2C-，半径为5，因为直线:20lxyb-+=与圆C相切，则2222521b+=+-，即45b+=，解得1b=或9-.故选：D.7.已知函数()f x满足()()0fxf x-=，且在0,)+上单调递减，对于实数 a，b，

11、则“22ab”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】根据给定条件，可得函数()f x是 R 上的偶函数，利用充分条件、必要条件的定义，结合偶函数性质及单调性判断即得.【详解】由函数()f x满足()()0fxf x-=，得函数()f x是 R 上的偶函数，而()f x在0,)+上单调递减，因此22()()(|)(|)|f af bfafbabab，所以“22ab”的充要条件.故选：C8.保护环境功在当代，利在千秋，良好的生态环境既是自然财富，也是经济财富，关系社会发展的潜力和后劲.某工厂将生产产生的废气经过过滤后排放，已知过滤过

12、程中的污染物的残留数量P（单位：毫米/升）与过滤时间t（单位：小时）之间的函数关系为0e(0)ktPPt-=，其中k为常数，0k，0P为原污染物数量.该工厂某次过滤废气时，若前 9 个小时废气中的污染物恰好被过滤掉80%，那么再继续过滤3 小时，废气中污染物的残留量约为原污染物的（参考数据：1310.5855）（）A.12%B.10%C.9%D.6%【答案】A【解析】【分析】根据题意可得9001e5kPP-=，解得1331e5k-=，从而求得关于残留数量与过滤时间的函数关系式，再将12t=代入即可求得答案.【详解】因为前 9 个小时废气中的污染物恰好被过滤掉80%，所以9001e5kPP-=，

13、即91e,5k-=所以1331e5k-=再继续过滤 3 小时，废气中污染物的残留量约为4341230000011ee0.58512%55kkPPPPP-=故选：A.9.已知双曲线 C：22221(0,0)xyabab-=的左、右焦点分别为1F，2F，P为双曲线 C 左支上一动点，Q为双曲线 C 的渐近线上一动点，且2PQPF+最小时，1PF与双曲线 C 的另一条渐近线平行，则双曲线C 的方程可能是（）A.2213yx-=B.2213xy-=C.22122xy-=D.2214xy-=【答案】C【解析】【分析】根据给定条件，利用双曲线定义确定2PQPF+最小时，点Q的位置，进而求出,a b的关系即

14、得.【详解】双曲线 C：22221(0,0)xyabab-=的渐近线为0bxay=，由对称性不妨令点P在第二象限，由双曲线定义得211|2|2PQPFPQPFaFQa+=+，当且仅当P为线段1FQ与双曲线的交点时取等号，因此2PQPF+的最小值为1|FQ的最小值与2a的和，显然当1FQ与渐近线0bxay+=垂直时，1|FQ取得最小值，而1PF平行于渐近线0bxay-=，于是双曲线的两条渐近线互相垂直，即1ba=，则双曲线22221xyab-=的渐近线方程为0 xy=，显然选项 ABD 不满足，C 满足，所以双曲线 C 的方程可能是22122xy-=.故选：C10.数学家祖冲之曾给出圆周率p的两

15、个近似值：“约率”227与“密率”355113.它们可用“调日法”得到：称小于 3.1415926 的近似值为弱率，大于 3.1415927 的近似值为强率.由于3141p，取 3 为弱率，4为强率，计算得171 1234a=+，故1a为强率，与上一次的弱率 3 计算得23710123a+=+，故2a为强率，继续计算，.若某次得到的近似值为强率，与上一次的弱率继续计算得到新的近似值；若某次得到的近似值为弱率，与上一次的强率继续计算得到新的近似值，依此类推.已知258ma=，则m=（）A.8B.7C.6D.5【答案】B【解析】【分析】根据题意不断计算即可解出【详解】因为2a为强率，由31013+

16、，即3a为强率；由31314+，即4a为强率；由31615+，即5a为强率；由31916+，即6a强率；由32217可得，763222531.1252183.41597a+=、0 x，故12x，因此2cos2A=，又0A【解析】【分析】设出点M的坐标，利用已知列出方程化简即得.【详解】设点(,)M x y，依题意，|2MFy=+，即22(2)|2xyy+=+，整理得24(|)xyy=-，所以M轨迹方程是28(0)xy y=-或0(0)xy=.故答案为：28(0)xy y=-或0(0)xy=15.如图，在棱长为a的正方体1111ABCDABC D-中，点P是线段1BC上的动点.给出下列结论：1A

17、PBD；/AP平面11AC D；直线AP与直线11AD所成角的范围是,4 3；点P到平面11AC D的距离是33a.其中所有正确结论的序号是_.【答案】【解析】【分析】建立空间直角坐标系后逐个分析即可得.的【详解】以D为原点，建立如图所示空间直角坐标系，则有0,0,0D、,0,0A a、1,0,A aa、,0B a a、10,0,Da、1,B a a a、0,0Ca、10,Ca a，则1,0,BCaa=-uuur、1,BDaa a=-uuuu r、11,0ACa a=-uuuur、1,0,ADaa=-uuuu r、10,ABa a=uuur、11,0,0ADa=-uuuur、10,0,AAa=

18、uuur，设11B PBCl=uuuruuur，0,1l，则11,APABB Pa a aall=+=-uuu ruuuruuur，222210AP BDaaaall=-+-=uuu r uuuu r，故1APBD，故正确；设平面11AC D的法向量为,nx y z=r，则有11100AC nAD n=uuuurruuuu rr，即00axayaxaz-+=-=，取1x=，则1,1,1n=-r，有0AP naaall=-+-+=uuu r r，故APnuuu rr，又AP 平面11AC D，则/AP平面11AC D，故正确；当0l=时，有0,APa a=uuu r，此时110000AAPD=+

19、=uuuuuuu rr，即11APAD，即此时直线AP与直线11AD所成角为2，故错误；由1,1,1n=-r，11,PAAAAPaaall=-=-uuuruuuruuu r，则1333PA naaadanll-=uuurrr，故正确.故答案为：.【点睛】关键点睛：对空间中线上动点问题，可设出未知数表示该动点分线段所得比例，从而用未知数的变化来体现动点的变化.三、解答题共三、解答题共 6 小题，共小题，共 85 分分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16.如图，在四棱锥PABCD-中，PADV为等腰三角形，PDAD，2 2PA=，底面ABCD是正方形

20、，M，N分别为棱PD，BC的中点.（1）求证：/MN平面PAB；（2）再从条件、条件这两个条件中选择一个作为已知，求MN与平面PBC所成角的正弦值.条件：CDPA；条件：2 3PB=.注：如果选择条件和条件分别解答，按第一个解答计分.【答案】（1）证明见解析 （2）36【解析】【分析】（1）由线面平行的判定定理即可得；（2）选，由题意及CDPA去推导得到PD、CD、AD两两垂直，即可建立空间直角坐标系解决问题；选，由题意及2 3PB=结合勾股定理的逆定理去推导得到PD、CD、AD两两垂直，即可建立空间直角坐标系解决问题.【小问 1 详解】连接点B与AP中点E、连接ME，又M，N分别为棱PD，B

21、C的中点，故/MEAD、12MEAD=，又底面ABCD是正方形，故/BNAD、12=BNAD，故/MEBN且MEBN=，故四边形MEBN为平行四边形，故/MNEB，又EB 平面PAB，MN平面PAB，故/MN平面PAB；【小问 2 详解】选条件：CDPA，由PDAD且PADV为等腰三角形，故PDAD=，又2 2PA=，故22 222PDAD=，有2PDADABBCCD=，由CDPA，CDAD，PA、AD 平面PAD，PAADA=，故CD 平面PAD，又PD 平面PAD，故CDPD，故PD、CD、AD两两垂直，故可以D为原点，建立如图所示空间直角坐标系，有0,0,0D、0 0 2P,、2,2,0

22、B、0,2,0C、0,0,1M、1,2,0N，则1,2,1MN=-uuuu r、2,2,2PB=-uuu r、0,2,2PC=-uuu r，令平面PBC的法向量为,nx y z=r，则有00PB nPC n=uuu rruuu rr，即2220220 xyzyz+-=-=，令1y=，则0,1,1n=r，则2 13cos,614 11 1MN nMN nMN n-=+uuuu r ruuuu r ruuuu r r，故MN与平面PBC所成角的正弦值为36.条件：2 3PB=，由PDAD且PADV为等腰三角形，故PDAD=，又2 2PA=，故22 222PDAD=，有2PDADABBCCD=，由2

23、 3PB=，则222PBPAAB=+，故PAAB，又/ABCD，故CDPA，又CDAD，PA、AD 平面PAD，PAADA=，故CD 平面PAD，又PD 平面PAD，故CDPD，故PD、CD、AD两两垂直，故可以D为原点，建立如图所示空间直角坐标系，有0,0,0D、0 0 2P,、2,2,0B、0,2,0C、0,0,1M、1,2,0N，则1,2,1MN=-uuuu r、2,2,2PB=-uuu r、0,2,2PC=-uuu r，令平面PBC的法向量为,nx y z=r，则有00PB nPC n=uuu rruuu rr，即2220220 xyzyz+-=-=，令1y=，则0,1,1n=r，则2

24、 13cos,614 11 1MN nMN nMN n-=+uuuu r ruuuu r ruuuu r r，故MN与平面PBC所成角的正弦值为36.17.已知函数 2sin 22f xxjj=+的图象上所有点向右平移8个单位长度，所得函数图象关于原点对称.（1）求j的值；（2）设 212cos2g xf xx=-+，若 g x在区间0,m上有且只有一个零点，求m的取值范围.【答案】（1）4j=（2）5,12 12【解析】【分析】（1）求出平移后所得函数的解析式，根据正弦型函数的奇偶性，结合j的取值范围可求得j的值；（2）利用三角恒等变换化简得出 1sin22g xx=-，由0 xm可得022

25、xm，结合题意可得出关于m的不等式，解之即可.【小问 1 详解】解：将函数 2sin 22f xxjj=+的图象上所有点向右平移8个单位长度，可得到函数2sin 22sin 284yxxjj=-+=+-，由题意可知，函数2sin 24yxj=+-为奇函数，则4kkj-=Z，可得4kkj=+Z，又因为2j，则4j=.【小问 2 详解】解：由（1）可知，2sin 2sin2cos24f xxxx=+=+，则 21112cossin2cos21cos2sin2222g xf xxxxxx=-+=+-+=-，因为0 xm，则022xm，由 0g x=，可得1sin22x=，因为 g x在区间0,m上有

26、且只有一个零点，则5266m，解得51212m2212ss=【解析】【分析】（1）利用古典概型计算公式进行求解即可；（2）利用古典概型计算公式，结合数学期望公式进行求解即可.（3）根据数据的集中趋势进行判断即可.【小问 1 详解】由图可知，七天中只有 1 日、2 日乙获得流量大于丙获得流量，所以该天乙获得流量大于丙获得流量概率为27；【小问 2 详解】由（1）可知七天中只有 1 日、2 日乙获得流量大于丙获得流量，因此0,1,2X=，2527C100C21P X=，2227C12C21P X=，1011011212121P X=-=，所以X的分布列如下图所示：X012P102110211211

27、010140122121217E X=+=；【小问 3 详解】根据图中数据信息，甲、乙七天的数据相同，都是 1 个 50,2 个 30,1 个 10,3 个 5；而且丙的的数据最分散，的所以，23s 2212ss=.19.设椭圆C：22221(0)xyabab+=的左、右顶点分别为1A，2A，右焦点为F，已知13AF=，离心率为12.（1）求椭圆C的标准方程；（2）已知点P是椭圆C上的一个动点（不与顶点重合），直线2A P交y轴于点Q，若1APQ的面积是2A FP面积的 4 倍，求直线2A P的方程.【答案】19.22143xy+=20.3260 xy-=【解析】【分析】（1）由题意计算即可得

28、；（2）设出直线，联立曲线，得到P、Q两点的纵坐标，结合面积公式计算即可得.【小问 1 详解】由13AFac=+=，12cea=，解得2a=，1c=，故223bac=-=，即椭圆C的标准方程为22143xy+=；【小问 2 详解】由椭圆C的标准方程为22143xy+=，则12,0A-、22,0A、1,0F，由题意可得直线2A P斜率存在且不为0，设2:2A Plxmy=+，令0 x=，则2ym=-，故20,Qm-，联立222143xmyxy=+=，消去x得2234120mymy+=，即234120mym y+=，故0y=或21234mym-=+，由22,0A，故21234Pmym-=+，则11

29、2121144222A PQA A QA A PQPQPSSSyyyy=-=-=-VVV，又212 122PA FPPySy=-=V，即2422PQPPyyyy-=，即QPPyyy-=，若QPyy，则2QPyy=，即2122234mmm-=+，即223412mm+=，即249m=，则23m=，若QPyy，即210 xx+-，解得152x+，因此，当1a=时，函数 f x的单调递增区间为15,2+-、51,2-+.【小问 3 详解】解：因为 1exf xax=+，则 2221 e11exxaxxfxaxxx+-=+-=，令 21g xaxx=+-，因为函数 f x在0,1上有且只有一个极值点，则

30、函数 g x在0,1上有一个异号零点，当0a=时，对任意的0,1x，10g xx=-时，函数 21g xaxx=+-在0,1上单调递增，因为 010g=-，合乎题意；当a，因为 010g=-，不合乎题意，舍去.综上所述，实数a取值范围是0,+.21.若无穷数列 na满足：*m$N，对于*00nnn N，都有n mnaqa+=（其中q为常数），则称 na具有性质“0,Q m n q”.（1）若 na具有性质“(4,2,3)Q”，且31a=，52a=，691120aaa+=，求2a；（2）若无穷数列 nb是等差数列，无穷数列 nc是公比为 2 的等比数列，234bc=，112bcc+=，nnnab

31、c=+，判断 na是否具有性质“(2,1,3)Q”，并说明理由；（3）设 na既具有性质“1,1,Q iq”，又具有性质“2,1,Q jq”，其中i，*jN，ij，求证：na具有性质“2,1,j ijQji iq-+”.【答案】（1）53 （2）na不具有性质“(2,1,3)Q”，理由见解析 （3）证明见解析【解析】【分析】（1）由 na具有性质“(4,2,3)Q”，可得当2n 时，43nnaa+=，结合题意计算即可得；（2）由题意计算出na通项公式后，检验2nnaa+是否恒等于3即可得；（3）借助 na既具有性质“1,1,Q iq”，又具有性质“2,1,Q jq”，则当1n 时，有1n in

32、aqa+=，2njnaqa+=，则有12112j ijiijaaaqaaa+=L，12212jjijiiaaaqaaa+=L，通过运算得到12jiqq=，从而可验证对任意的1ni+时，是否有2j inj ijnaqa-+-=即可得.【小问 1 详解】由 na具有性质“(4,2,3)Q”，则当2n 时，43nnaa+=，故623aa=，953aa=，117339aaa=，又31a=，52a=，故6911253233933 29 120aaaaaaa+=+=+=，的即253a=；【小问 2 详解】na不具有性质“(2,1,3)Q”，理由如下：设11nbbnd=+-，112nncc-=，由234bc

33、=，112bcc+=，即有11111442bdcbcc+=+=，解得1113bcd=，故32nbn=-，12nnc-=，则1232nnnnabcn-=+=+-，有2 1122322234nnnann+-+=+-=+，则121234232nnnnanan+-+=+-，不恒等于3，故 na不具有性质“(2,1,3)Q”；【小问 3 详解】由 na既具有性质“1,1,Q iq”，又具有性质“2,1,Q jq”，即当1n 时，有1n inaqa+=，2njnaqa+=，则有12112j ijiijaaaqaaa+=L，12212jjijiiaaaqaaa+=L，由ij，故121212112212121

34、j iiijjiijijjijiijiaaaaaaa aaqaaaqa aaaaa+=LLLL，故12jiqq=，即12ijqq=，由1n inaqa+=，2njnaqa+=，则21njn iaqaq+=，当1ni+，即1ni-时，有22212j in ijnj ijin i injaaqqqaaqq-+-+=，即对任意的1ni+时，有2j inj ijnaqa-+-=，即 na具有性质“2,1,j ijQji iq-+”.【点睛】关键点睛：本题关键点在于通过对数列新定义的分析，从而得到1n inaqa+=，2njnaqa+=，并由此得到12112j ijiijaaaqaaa+=L，12212jjijiiaaaqaaa+=L，从而得出12jiqq=.