数学-2024年1月新“九省联考”考后提升卷 含解析.pdf

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1、2024 年 1 月“九省联考”考后提升卷高三数学（考试时间：150 分钟 试卷满分：150 分）注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、单项选择题：本题共一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1某篮球兴趣小组

2、7 名学生参加投篮比赛，每人投 10 个，投中的个数分别为 8，5，7，5，8，6，8，则这组数据的众数和中位数分别为（）A5，7B6，7C8，5D8，72设椭圆的两个焦点分别为1F、2F，过2F作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若12FPF为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是（）A22B212-C21-D23若数列 na满足122nnnaaa+=+，其前n项和为nS，若80a=，161718aa+=，则17S=（）A0B18C1817D35174已知a、b是两个不同的平面，m、n是两条不同的直线，则下列命题中不正确的是（）A若ma，/na，则mnB若ma，nb，/a b，则/m nC若/a b，m

3、a，则/mbD若mn，ma，/nb，则ab5在党的二十大报告中，习近平总书记提出要发展“高质量教育”，促进城乡教育均衡发展.某地区教育行政部门积极响应党中央号召，近期将安排甲乙丙丁 4 名教育专家前往某省教育相对落后的三个地区指导教育教学工作，则每个地区至少安排 1 名专家的概率为（）A19B49C13D8276设F为抛物线22yx=的焦点，ABC，为该抛物线上三点，若0FAFBFC+=uuu ruuu ruuu rr，则|FAFBFC+=uuu ruuu ruuu r（）A9B6C4D37已知3,tan24tan44qqq=-+，则21sin22cossin2qqq+=+（）A14B34C1

4、D328已知12,F F分别为双曲线22221(0,0)xyabab-=的左、右焦点，过2F且与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线于点P，若124PFPF=，则双曲线的离心率为（）A7B213C3D21二、多项选择题：本题共二、多项选择题：本题共 3 小题，每小题小题，每小题 6 分，共分，共 18 分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分分9若函数 sin 28f xx=-的图象向左平移8个单位长度后得到函数 g x的图象，则（）A g x的

5、最小正周期为B g x是奇函数C g x的图象关于直线316x=对称D g x在0,8上单调递增10已知复数2iz=+，1izxy=+（x，yR）（i为虚数单位），z为z的共轭复数，则下列结论正确的是（）Az的虚部为i-B22|zz=C|1|zz=D若11zz-，则在复平面内1z对应的点形成的图形的面积为11已知函数 f x，g x的定义域均为 R，且 4g xfx=+，4f xyf xyg xfy+-=-，31g-=，则下列说法正确的有（）A 11f=B f x为奇函数C f x的周期为 6D 202613kf k=-三、填空题：本题共三、填空题：本题共 3 小题，每小题小题，每小题 5 分

6、，共分，共 15 分分12已知集合32,AxxBx xa=-=且AB，则实数 a 的取值范围是 13传说古希腊数学家阿基米德的墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等.“圆柱容球”是阿基米德最为得意的发现.在一个“圆柱容球”模型中，若球的体积为4 3，则该模型中圆柱的表面积为 .14对于任意两个正实数 a，b，定义aabbl=，其中常数2,12l若0uv，且uv与vu都是集合|2nx xn=Z，的元素，则uv=四、解答题：本题共四、解答题：本题共 5 小题，共小题，共 77 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤15（13

7、 分）已知函数 2ln2fxxxax=+在点 22f,处的切线与直线230 xy+=垂直（1）求a；（2）求函数的单调性和极值.16（15 分）某班为了庆祝我国传统节日中秋节，设计了一个小游戏：在一个不透明箱中装有 4 个黑球，3个红球，1 个黄球，这些球除颜色外完全相同.每位学生从中一次随机摸出 3 个球，观察颜色后放回.若摸出的球中有X个红球，则分得X个月饼；若摸出的球中有黄球，则需要表演一个节目.(1)求一学生既分得月饼又要表演节目的概率；(2)求每位学生分得月饼数的概率分布和数学期望.17（15 分）如图，在四棱柱1111ABCDABC D-中，底面ABCD和侧面11BCC B都是矩形

8、，115D DDC=，22ABBC=.(1)求证：1ADDC；(2)若点P的在线段1BD上，且二面角PCDB-的大小为4，求1D PPB的值.18（17 分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线2:2(0)E ypx p=的焦点为,F E的准线l交x轴于点K，过K的直线l与抛物线E相切于点A，且交y轴正半轴于点P.已知E上的动点B到点F的距离与到直线2x=-的距离之和的最小值为 3.(1)求抛物线E的方程；(2)过点P的直线交E于,M N两点，过M且平行于y轴的直线与线段OA交于点T，点H满足MTTH=uuuruuu r.证明：直线HN过定点.19（17 分）今有一个“数列过滤器”，它会将进入的无

9、穷非减正整数数列删去某些项，并将剩下的项按原来的位置排好形成一个新的无穷非减正整数数列，每次“过滤”会删去数列中除以M余数为N的项，将这样的操作记为(,)L M N操作.设数列 na是无穷非减正整数数列.（1）若12,nnanN-+=，na进行(2,1)L操作后得到 nb，设nnab+前n项和为nS求nS是否存在,p q rN+，使得,PqrSS S成等差？若存在，求出所有的(,)p q r；若不存在，说明理由（2）若,nan nN+=，对 na进行(4,0)L与(4,1)L操作得到 nb，再将 nb中下标除以 4 余数为 0，1 的项删掉最终得到 nc证明：每个大于 1 的奇平方数都是 nc

10、中相邻两项的和2024 年 1 月“九省联考”考后提升卷高三数学（考试时间：150 分钟 试卷满分：150 分）注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、单项选择题：本题共一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1某

11、篮球兴趣小组 7 名学生参加投篮比赛，每人投 10 个，投中的个数分别为 8，5，7，5，8，6，8，则这组数据的众数和中位数分别为（）A5，7B6，7C8，5D8，7【答案】D【解析】数据由小到大排列为 5，5，6，7，8，8，8，因此，这组数据的众数为 8，中位数为 7故选：D2设椭圆的两个焦点分别为1F、2F，过2F作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若12FPF为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是（）A22B212-C21-D2【答案】C【解析】依题意，设椭圆的长轴为2a，半焦距为c，则122FFc=，则22PFc=，12 2PFc=，于是1222 22aPFPFcc=+=+，222122 2

12、2ccceaacc=-+.故选：C.3若数列 na满足122nnnaaa+=+，其前n项和为nS，若80a=，161718aa+=，则17S=（）A0B18C1817D3517【答案】B【解析】因为数列 na满足122nnnaaa+=+，则数列 na为等差数列，设数列 na的公差为d，则161788891718aaadadd+=+=，可得1817d=，所以，981817aad=+=，所以，11791791717 2181717182217aaaSa+=，故选 B.4已知a、b是两个不同的平面，m、n是两条不同的直线，则下列命题中不正确的是（）A若ma，/na，则mnB若ma，nb，/a b，则

13、/m nC若/a b，ma，则/mbD若mn，ma，/nb，则ab【答案】D【解析】对于 A 选项，因为/na，过直线n作平面b，使得aab=，因为/na，nb，aab=，则/n a，因为ma，aa，则ma，故mn，A 对；对于 B 选项，若ma，/a b，则mb，又因为nb，故/m n，B 对；对于 C 选项，若/a b，ma，则/mb，C 对；对于 D 选项，若mn，ma，/nb，则a、b平行或相交，D 错.故选 D.5在党的二十大报告中，习近平总书记提出要发展“高质量教育”，促进城乡教育均衡发展.某地区教育行政部门积极响应党中央号召，近期将安排甲乙丙丁 4 名教育专家前往某省教育相对落后

14、的三个地区指导教育教学工作，则每个地区至少安排 1 名专家的概率为（）A19B49C13D827【答案】B【解析】甲乙丙丁 4 名教育专家到三个地区指导教育教学工作的安排方法共有：4381=种；每个地区至少安排 1 名专家的安排方法有：2343C A36=种；由古典概型的计算公式，每个地区至少安排 1 名专家的概率为：364819=.故选：B.6设F为抛物线22yx=的焦点，ABC，为该抛物线上三点，若0FAFBFC+=uuu ruuu ruuu rr，则|FAFBFC+=uuu ruuu ruuu r（）A9B6C4D3【答案】D【解析】设1(A x，1)y，2(B x，2)y，3(C x，

15、3)y，抛物线焦点坐标1,02F，准线方程：12x=-，Q0FAFBFC+=uuu ruuu ruuu rr，点F是ABCV重心，则12332xxx+=，1230yyy+=.而111122FAxx=-=+，221122FBxx=-=+，331122FCxx=-=+1231231113333222222FAFBFCxxxxxx+=+=+=+=，故选：D7已知3,tan24tan44qqq=-+，则21sin22cossin2qqq+=+（）A14B34C1D32【答案】A【解析】由题3,tan24tan44qqq=-+，得224 tan12tan4 tan12tan1tan1tanqqqqqq-

16、+=-+=-，则2tan1tan20tan2qqq+=-或1tan2q=-，因为3,tan1,04qq-，所以1tan2q=-，222221 sin2sincos2sin costan12tan2cossin22cos2sin cos22tanqqqqqqqqqqqqq+=+11 114214+-=+-.故选：A8已知12,F F分别为双曲线22221(0,0)xyabab-=的左、右焦点，过2F且与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线于点P，若124PFPF=，则双曲线的离心率为（）A7B213C3D21【答案】B【解析】如图，不妨设点 P 为与双曲线渐近线byxa=平行的直线与双曲线的交点

17、.由已知结合双曲线的定义可得12232PFPFPFa-=，所以，223PFa=，183PFa=，12tanbFF Pa=，且12FF P为锐角.又121212sintancosFF PbFF PFF Pa=，221212sincos1FF PFF P+=，所以，12cosaFF Pc=.又122FFc=，在12FF PV中，由余弦定理可得222212112212cos2PFFFPFFF PPFFF+-=222282332223acaac+-=ac=，整理可得，2237ca=，所以272133caa=，213cea=.故选：B.二、多项选择题：本题共二、多项选择题：本题共 3 小题，每小题小题，

18、每小题 6 分，共分，共 18 分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分分9若函数 sin 28f xx=-的图象向左平移8个单位长度后得到函数 g x的图象，则（）A g x的最小正周期为B g x是奇函数C g x的图象关于直线316x=对称D g x在0,8上单调递增【答案】ACD【解析】由题意，可得 sin 2sin 2888g xxx=+-=+，则 g x的最小正周期为，且 g x不是奇函数，所以 A 正确，B 不正确；当316x=时，

19、可得 3sin(2)sin11682g x=+=，所以 g x的图象关于直线316x=对称，所以 C 正确；由0,8x，得 32,888x+，所以 g x在0,8上单调递增，所以 D 正确故选：ACD.10已知复数2iz=+，1izxy=+（x，yR）（i为虚数单位），z为z的共轭复数，则下列结论正确的是（）Az的虚部为i-B22|zz=C|1|zz=D若11zz-，则在复平面内1z对应的点形成的图形的面积为【答案】CD【解析】由题意可得2iz=-，所以z的虚部为1-，A 错误，22222i34i,215zz=+=+=+=，故22|zz，B 错误，22222(1)|1|21zz+-=+，C 正

20、确，11zz-表示点,x y到(2,1)的距离不大于 1 的点构成的图形，故为以(2,1)为圆心，以 1 为半径的圆以及内部，故面积为，D 正确，故选：CD11已知函数 f x，g x的定义域均为 R，且 4g xfx=+，4f xyf xyg xfy+-=-，31g-=，则下列说法正确的有（）A 11f=B f x为奇函数C f x的周期为 6D 202613kf k=-【答案】ACD【解析】对于 A，311gf-=，故 A 正确；4g xfx=+Q，4g xf x-=，f xyf xyf x fy+-=，令1y=，则 11f xf xf x+-=，21f xf xf x+=+，+可得120

21、f xf x-+=，30f xf x+=，360f xf x+=，6f xf x=+，因此6T=，故 C 正确；令0 x=，0fyfyffy+-=，令1x=，0y=，2110fff=，则 02f=，故0 x=，2fyfyfyfyfy+-=-，故 f x为偶函数，所以 B 不正确；因为 6f xf xfx=+=-，故 f x关于3x=对称，且 02f=，11f=，令1x=，1y=，则 21f=-，令2x=，1y=，32f=-，则 421ff=-，511ff=，602ff=，一个周期的和为 0，则 2026112343kf kffff=+=-，故 D 正确.故选：ACD三、填空题：本题共三、填空题

22、：本题共 3 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 15 分分12已知集合32,AxxBx xa=-=且AB，则实数 a 的取值范围是 【答案】,3-【解析】集合32,AxxBx xa=-=且AB，则3a -.13传说古希腊数学家阿基米德的墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等.“圆柱容球”是阿基米德最为得意的发现.在一个“圆柱容球”模型中，若球的体积为4 3，则该模型中圆柱的表面积为 .【答案】18【解析】设球的半径为R，则圆柱的底面半径为R，母线长为2R，则球的体积为344 33R=，所以3R=，所以圆柱表面积为22222618RRRR+=.14对于任

23、意两个正实数 a，b，定义aabbl=，其中常数2,12l若0uv，且uv与vu都是集合|2nx xn=Z，的元素，则uv=【答案】32/1.5【解析】由uv与vu都是集合|2nx xn=Z，的元素，不妨设121211,22uvuvn vun n nvull=Z，因为0uv，所以01vu，故当102x，当112x时，0fx时，()0fx，故 f x的单调递增区间为10,2、1,+，f x的单调递减区间为1,12，故 f x有极大值211113ln32ln222224f=+-+=-，有极小值 21ln1 13 120f=+-+=.16（15 分）某班为了庆祝我国传统节日中秋节，设计了一个小游戏：

24、在一个不透明箱中装有 4 个黑球，3个红球，1 个黄球，这些球除颜色外完全相同.每位学生从中一次随机摸出 3 个球，观察颜色后放回.若摸出的球中有X个红球，则分得X个月饼；若摸出的球中有黄球，则需要表演一个节目.(1)求一学生既分得月饼又要表演节目的概率；(2)求每位学生分得月饼数的概率分布和数学期望.【解】（1）记“一学生既分得月饼又要表演节目”为事件 A，可知有两种可能：“2 个红球 1 个黄球”和“1 个黑球，1 个红球，1 个黄球”，所以 211113143138C CC C C15C56+=P A.（2）由题意可知X的可能取值为：0，1，2，3，则有：302153533388C CC

25、 C5150,1C28C28=P XP X，120353533388C CC C1512,3C56C56=P XP X，可得X的分布列为X0123P52815281556156所以51515190123282856568E X=+=.17（15 分）如图，在四棱柱1111ABCDABC D-中，底面ABCD和侧面11BCC B都是矩形，115D DDC=，22ABBC=.(1)求证：1ADDC；(2)若点P的在线段1BD上，且二面角PCDB-的大小为4，求1D PPB的值.【解】（1）在四棱柱1111ABCDABC D-中，底面ABCD和侧面11BCC B都是矩形，则侧面11ADD A都是矩形

26、，有ADDC，1ADDD，1DCDDD=，1,DC DD 平面11DCC D，所以AD 平面11DCC D，又因为1DC 平面11DCC D，所以1ADDC.（2）115D DDC=，22ABBC=.取,E F分别为,DC AB的中点，连接1ED，EF，因为/EF AD，AD 平面11DCC D，所以EF平面11DCC D，因为11D DDC=，所以1EDDC,所以以E为原点，1,EF EC ED所在直线分别为,x y z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，因为115D DDC=，22ABBC=，则12ED=.则10,1,0,0,1,0,0,0,2,1,1,0CDDB-，设1101D PD Bl

27、l=uuuu ruuuu r，即11,1,2D Pl=-uuuu r，可得,22Pl ll-，0,2,0DC=uuur，,1,22CPl ll=-uuu r，设平面PCD的一个法向量,nx y z=r，则有201220n DCyn CPxyzlll=+-+-=uuurruuu rr，令zl=，则22,0 xyl=-=，得22,0,nll=-r，又平面BCD的一个法向量0,0,1m=r，因为二面角PCDB-的大小为4，则有222coscos4222n mn mnmlll=-+r rr rrr，整理得，23840ll-+=，解得23l=，或2l=（舍），所以1123D PD B=uuuu ruuu

28、u r，则113PBD B=uuu ruuuu r，有1D PPB的值为 2.18（17 分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线2:2(0)E ypx p=的焦点为,F E的准线l交x轴于点K，过K的直线l与抛物线E相切于点A，且交y轴正半轴于点P.已知E上的动点B到点F的距离与到直线2x=-的距离之和的最小值为 3.(1)求抛物线E的方程；(2)过点P的直线交E于,M N两点，过M且平行于y轴的直线与线段OA交于点T，点H满足MTTH=uuuruuu r.证明：直线HN过定点.【解】（1）设000,0B xyx，由题意知准线:,022ppl xF=-，由抛物线的定义可知点B到点F的距离等于点B

29、到准线l的距离，所以点B到点F的距离与到直线2x=-的距离之和为00022222ppxxx+=+，由题意知当00 x=时，距离之和最小，所以232p+=，解得2p=，所以抛物线C的方程为24yx=.（2）由（1）知1,0K-，设:1AK xmy=-，联立方程214xmyyx=-=n，得2440ymy-+=，由0=得216160m-=，解得1m=，又与y轴交于正半轴，所以1,m=由2440yy-+=解得2y=，所以点1,2A，所以直线:2OA yx=，所以直线:1AK yx=+，所以0,1P，因为MN斜率存在且不为零，所以设1122:10,MN ykxkM x yN xy=+，联立241yxyk

30、x=+，消去x，得24400kyyk-+=，则16 10k=-，所以1k 且0,k.12124yyy yk+=，又直线:2OA yx=，令1xx=，得12yx=，所以11,2T xx，因为MTTH=uuuruuu r，所以111,4H xxy-，所以121214NHyyxKxx+-=-，所以直线NH的方程为12122214yyxyyxxxx+-=-，所以21211211211212212212121214444xyyxyyxyyxx xx yx yyxyxxxxxxxxx+-+-+-=+-=+-，因为222212121212122121121244044444yyyyy yx xx yx yy

31、yy yyy-=-=-+=，所以直线NH为121214yyxyxxx+-=-，所以NH恒过定点0,0.19（17 分）今有一个“数列过滤器”，它会将进入的无穷非减正整数数列删去某些项，并将剩下的项按原来的位置排好形成一个新的无穷非减正整数数列，每次“过滤”会删去数列中除以M余数为N的项，将这样的操作记为(,)L M N操作.设数列 na是无穷非减正整数数列.（1）若12,nnanN-+=，na进行(2,1)L操作后得到 nb，设nnab+前n项和为nS求nS是否存在,p q rN+，使得,PqrSS S成等差？若存在，求出所有的(,)p q r；若不存在，说明理由（2）若,nan nN+=，对

32、 na进行(4,0)L与(4,1)L操作得到 nb，再将 nb中下标除以 4 余数为 0，1 的项删掉最终得到 nc证明：每个大于 1 的奇平方数都是 nc中相邻两项的和【解】（1）由12,nnanN-+=知：当2n 时2naN+，故2,nnbnN+=则11323 21,ninniSnN-+=-解：假设存在，由nS单调递增，不妨设,2,qPrpqrSSSp q rN+=+化简得1212q pr q-+-=+，显然左式为偶数，右式为奇数，矛盾，故不存在（2）易知443424174,43,42,41nnnnan ananan-=-=-=-，所以保留4241,nnaa-，则21242,41nnbnb

33、n-=-=-又4142434482,83,86,87nnnnbnbnbnbn+=+=+=+=+，将441,nnbb+删去，得到nc，则212283,86nncncn+=+=+也即85,21,82,2nnnkckNnnk+-=-=-=记(1)2kk kr+=，下面证明：21(21)kkrrkcc+=+由2222441424382,861,8103,8146mmmmrmm rmmrmmrmm+=+=+=+=+，知：22412221828218 428 412(4)1mmrrmmmmccccmmmmm+=+=+-+=+224141218618622(41)1mmrrmmmmccccm+=+=+，同理可得：4242434322112(42)1,2(43)1mmmmrrrrccmccm+=+=+，合并以上四式，便证明了对任意的kN+，都有21(21)kkrrkcc+=+因此，原命题得证