(2.12)--《结构力学》第5章_虚功原理与结构的位移计算(4).ppt

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1、 静定结构在温度变化作用下各杆能自由变形，所以结构不产生内力。静定结构在温度变化作用下各杆能自由变形，所以结构不产生内力。变变形和位移是材料自由膨胀、收缩的结果。形和位移是材料自由膨胀、收缩的结果。1、是温度改变值，而非某时刻的温度。是温度改变值，而非某时刻的温度。某时刻温度某时刻温度另一时刻温度另一时刻温度温度改变值温度改变值5-6 温度作用时的位移计算温度作用时的位移计算2、温度沿杆件截面厚度方向成线性变化。、温度沿杆件截面厚度方向成线性变化。截面上、下边缘温差：截面上、下边缘温差：杆轴线处温度改变值杆轴线处温度改变值 ：t1t2h1h2hdsh1h2ht1t2t0 3、微段、微段 ds

2、的应变的应变轴向线应变轴向线应变弯曲应变弯曲应变剪应变剪应变4、位移计算公式、位移计算公式正负号规则：正负号规则：及温度变化使杆件同一侧纤维伸长及温度变化使杆件同一侧纤维伸长(弯曲方向相同弯曲方向相同)，则则乘积乘积 为正，反之为负。为正，反之为负。以以温度升高为正，降低为负温度升高为正，降低为负；以以拉力为正，压力为负拉力为正，压力为负。a1 1例例5-12：求图示刚架求图示刚架C点的竖向位移。梁下侧和柱右侧温度升高点的竖向位移。梁下侧和柱右侧温度升高10，梁上侧，梁上侧和柱左侧温度无变化。各杆截面为矩形，高和柱左侧温度无变化。各杆截面为矩形，高h=60cm，a=6m，=0.00001。aa

3、00+10C1 11 1图图图图11练习练习5-6：求图示刚架求图示刚架C截面水平位移截面水平位移 。已知杆件线膨胀系数为。已知杆件线膨胀系数为 ，杆件，杆件矩形横截面高为矩形横截面高为h。解：解：a1CABCABaa图图图图aCAB1111 互等定理适用于线性变形体系，即体系产生的是小变形，且杆件材料服互等定理适用于线性变形体系，即体系产生的是小变形，且杆件材料服从虎克定律。从虎克定律。1、功的互等定理、功的互等定理功的互等功的互等本质上是虚功互等本质上是虚功互等。下图给出状态下图给出状态 I 和状态和状态 II。状态状态II状态状态I5-9 互互 等等 定定 理理令状态令状态 I 的平衡力

4、系在状态的平衡力系在状态 II 的位移上做虚功，得到：的位移上做虚功，得到：12abAB12abAB同样，令状态同样，令状态II的平衡力系在状态的平衡力系在状态I的位移上做虚功，得到：的位移上做虚功，得到：所以所以即即定理：定理：在任一线性变形体系中，第一状态的外力在第二状态的位移上所做的在任一线性变形体系中，第一状态的外力在第二状态的位移上所做的虚功虚功W12 等于等于第二状态的外力在第一状态的位移上所做的第二状态的外力在第一状态的位移上所做的虚功虚功W21。即即2、位移互等定理、位移互等定理定理：定理：在任一线性变形体系中，由荷载在任一线性变形体系中，由荷载FP1 引起的与荷载引起的与荷载

5、FP2 相应的相应的位移影响位移影响系数系数21 等于等于由荷载由荷载FP2 引起的与荷载引起的与荷载FP1 相应的相应的位移影响系数位移影响系数12。即即 12=21状态状态I12abAB状态状态II12abAB由功的互等定理可得：由功的互等定理可得：在线性变形体系中，位移在线性变形体系中，位移ij 与力与力FPj 的比值是一个常数，记作的比值是一个常数，记作ij，即：，即：或或于是于是所以所以状态状态 II状态状态 I12ABAB12说明：说明：FP1 和和FP2 可以是集中力也可以是集中力偶，则相应的可以是集中力也可以是集中力偶，则相应的12 和和21 就是线位就是线位移影响系数或角位移

6、影响系数。即荷载可以是移影响系数或角位移影响系数。即荷载可以是广义荷载广义荷载，而位移则是，而位移则是广义位广义位移移。两个广义位移的量纲可能不等，但它们的影响系数在数值和量纲上仍然。两个广义位移的量纲可能不等，但它们的影响系数在数值和量纲上仍然保持相等。保持相等。ij 也称为也称为柔度系数，即单位力产生的位移柔度系数，即单位力产生的位移。i 产生位移的方位；产生位移的方位；j 产生位产生位移的原因。移的原因。M1例例5-13：验证位移互等定理。验证位移互等定理。解：解：FP1=F21Fa/41a/4a/2a/21EI2EIa/2a/212FP2=MM/21所以所以121/23、反力互等定理、

7、反力互等定理 反力互等定理只适用于超静定结构反力互等定理只适用于超静定结构，因为静定结构在支座移动时只产生，因为静定结构在支座移动时只产生刚体位移，其内力和支座反力均等于零。刚体位移，其内力和支座反力均等于零。状态状态IC112C2状态状态II12根据功的互等定理：根据功的互等定理：在线性变形体系中，反在线性变形体系中，反力力FRij 与与Cj 的比值为一常数的比值为一常数,记作记作rij，即，即或或所以所以得得FR11FR21FR22FR12定理：定理：在任一线性变形体系中，由位移在任一线性变形体系中，由位移C1 引起的与位移引起的与位移C2 相应的相应的反力影响系反力影响系数数r21 等于

8、由位移等于由位移C2 引起的与位移引起的与位移C1 相应的相应的反力影响系数反力影响系数r12。例例5-14：验证反力互等定理。验证反力互等定理。可见：可见：r12=r2112EI lC2=1r12r21=3EI/l23EI/l3r12=3EI/l23EI/l12EI lC1=1上述支座可以是其它种类支座，则支座位移、支座反力应与支座种类相应。上述支座可以是其它种类支座，则支座位移、支座反力应与支座种类相应。说明：说明：rij 也称为也称为刚度系数，即产生单位位移所需施加的力刚度系数，即产生单位位移所需施加的力。其量纲为。其量纲为 。i 产生支座反力的方位；产生支座反力的方位；j 产生支座移动

9、的支座。产生支座移动的支座。r214、位移反力互等定理、位移反力互等定理根据功的互等定理有：根据功的互等定理有：令令FP112C2状态状态II12状态状态I12FR21所以所以由此得到由此得到即即 上式中力可以是广义力，位移可以是广义位移。符号相反表明：虚功方上式中力可以是广义力，位移可以是广义位移。符号相反表明：虚功方程中必有一项，其力和位移方向相反。程中必有一项，其力和位移方向相反。系数系数 、的量纲都是的量纲都是 。定理：定理：在任一线性变形体系中，由位移在任一线性变形体系中，由位移C2 引起的与荷载引起的与荷载FP1 相应的相应的位移影响位移影响系数系数 在绝对值上等于由荷载在绝对值上等于由荷载FP1 引起的与位移引起的与位移C2 相应的相应的反力影响系数反力影响系数 ,但但二者符号相反。二者符号相反。位移反力互等定理在混合法中得到应用。位移反力互等定理在混合法中得到应用。5m5m5m5m5m2kN/m7kN10kNABGCDEF15kN50kN.m253510201kN2kN10101020m求求A点水平位移。点水平位移。