(39)--4.4 半群与独异点离散数学离散数学.ppt

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1、半群与独异点半群：半群：设设V=是代数系统，是代数系统，是二元运算。是二元运算。如果如果 在在S上是上是可结合可结合的，则称的，则称V为半群。为半群。即对即对 x,y,z S，有，有(x y)z=x (y z)。如：如：,都是半群，都是半群，但但不是半群。不是半群。半群子半群：半群的子代数。若是半群，也是半群，且B S，是的子半群。如：和是的子半群半群定理：设S，*是半群，B是S的非空子集，且二元运算*在B上封闭的。那么，B，*也是半群，且B，*是S，*的子半群。对于任意的对于任意的a，b，cB S，必有，必有a*(b*c)=(a*b)*c成立。成立。半群可交换半群：可交换半群：如果半群如果半

2、群V=中的中的二元运算二元运算 是是可交换的，则称可交换的，则称V为可交换半群。为可交换半群。abcaabcbabccabc不是可交换的不是可交换的*abcaabcbbbccccc是可交换的是可交换的半群含幺半群（独异点）：含幺半群（独异点）：如果半群如果半群V=的二元运算的二元运算 含有幺元，则称含有幺元，则称V为含幺半群为含幺半群(独异点独异点)。即。即 e S，使得，使得对对 x S都有都有e x=x e=x。独异点亦可记为。独异点亦可记为。如：如：,都是独异点，但都是独异点，但不是独异点。不是独异点。独异点例例:设设Zn=0,1,2,n-1，定义，定义Zn上的运算上的运算 如下：如下：

3、x,yZn，x y=x+y(modn),证明证明是含幺半群。是含幺半群。证证：（封闭性）（封闭性）x,yZn，令，令k=x+y(modn)，则，则0k n-1，即，即kZn所以封闭性成立。所以封闭性成立。独异点（结合律）（结合律）x,y,zZn，有，有(x y)z=x+y+z(modn)=x (y z)所以所以结合律成立。结合律成立。（单位元）（单位元）xZn，显然有，显然有0 x=x 0=x所以所以0是单位元。是单位元。故故是含幺半群。是含幺半群。独异点子独异点：子独异点：含幺元的含幺元的子半群。子半群。即设即设V=是独异点，是独异点，B S且且B ，若若B对对 运算运算封闭，且封闭，且e B，则则是是V的子独异点。的子独异点。独异点例例：代数系统代数系统中运算中运算 如表所示。如表所示。01001111是含幺半群，幺元为是含幺半群，幺元为0。、是含幺半群，是含幺半群，但但不是不是的含幺子半群。的含幺子半群。111 000半群中的幂：半群中的幂：设设半群半群V=，则，则对对 x S，x1=x，xn+1=xn x，(n为正整数为正整数)独异点中的幂：独异点中的幂：设设独异点独异点V=，则，则对对 x S，x0=e，xn+1=xn x，(n为自然数为自然数)幂运算的性质：幂运算的性质：xm xn=xm+n，(xm)n=xmn (m,n为正整数为正整数)幂运算THANK YOU