离散数学离散数学 (3).pdf

《离散数学离散数学 (3).pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《离散数学离散数学 (3).pdf（15页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、代数系统代数系统半群半群含幺半群含幺半群群（环，域）群（环，域）群群,环环,域域格与布尔代数格与布尔代数5.2 群的概念及其性质5 5.2 2.1 1 群的基本概念群的基本概念定义：设设 是一代数系统，如果满足以下几点：是一代数系统，如果满足以下几点：(1)运算是可结合的；运算是可结合的；(2)存在单位元存在单位元 e；(3)对任意元素对任意元素 a 都存在逆元都存在逆元 a-1；则称则称 是一个群。是一个群。|G|表示群的阶，可以是有限也表示群的阶，可以是有限也可以是无限可以是无限例：例：，,构成群构成群(1)运算是封闭的运算是封闭的（2）运算是可结合的；）运算是可结合的；(3)存在单位元存

2、在单位元 e；(4)对任意元素对任意元素 a 都存在逆元都存在逆元 a-1；5 5.2 2.1 1 群的基本概念群的基本概念举例：举例：，n是大于等于是大于等于1的正整数。的正整数。),(nMR举例：举例：，n是大于等于是大于等于1的正整数。的正整数。),(nMR举例：举例：，S非空集合，非空集合，是集合的对称差。是集合的对称差。举例：举例：，是是 否否 是是 否否例：下列系统能否构成群？例：下列系统能否构成群？5 5.2 2.1 1 群的基本概念群的基本概念例例：假设R=0,60,120,180,240,300表示平面几何上图形绕形心顺时针旋转的角度集合。*是定义在R上的运算。定义如下：对任

3、意的a,bR，a*b表示图形顺时针旋转a角度，再顺时针旋转b角度得到的总旋转度数。并规定旋转360度等于原来的状态，即该运算是模360的。整个运算可以用运算表表示。5 5.2 2.1 1 群的基本概念群的基本概念ab 180 180 60 0 120 120 60 0 300 240 240 300 180 180 120 60*0 180 120 60 240 180 120 240 300 240 300 0 240 300 240 300 300 0 0 60 60 120 300 0 60 120 180 0 60 120 180 240 5 5.2 2.1 1 群的基本概念群的基本概

4、念设设 是一代数系统，满足以下几点：是一代数系统，满足以下几点：(1)运算运算*”顺时针旋转的角度”是封闭的是封闭的(2)运算运算*”顺时针旋转的角度”是可结合的；是可结合的；(3)存在单位元存在单位元 e=0；(4)对任意元素对任意元素 a 都存在逆元都存在逆元 a-1；0*0=0；60*300=0；120*240=0；180*180=00-1=0;60-1=300;120-1=240;180-1=180 是一个群。是一个群。|G|=6，六阶群，六阶群 180 180 60 0 120 120 60 0 300 240 240 300 180 180 120 60*0 180 120 60

5、240 180 120 240 300 240 300 0 240 300 240 300 300 0 0 60 60 120 300 0 60 120 180 0 60 120 180 240 5 5.2 2.1 1 群的基本概念群的基本概念例：例：A是非空集合，是非空集合，双射集双射集,:AAffF运算“。”是函数的复合运算，是函数的复合运算，则则是群是群5 5.2 2.1 1 群的基本概念群的基本概念例1：A=1,2,3 解：双射的个数解：双射的个数 3！，！，F=f1,f2,f3,f4,f5,f6，213321,132321,231321,123321,312321,321321654

6、321ffffff5 5.2 2.1 1 群的基本概念群的基本概念 f6 f5 f4 f3 f2 f3 f2 f4 f1 f6 f5 f6 f4 f4 f3 f2 f1 f1 f2 f3 f5 f6 f5 f5 f1 f6 f4 f3 f1 f6 f5 f2 f4 f6 f5 f1 f3 f2 f2 f4 f3 f1 f6 f4 f3 f2 f5 f1 632213321123321312321fff523132321312321123321fff144321321231321231321fff5 5.2 2.1 1 群的基本概念群的基本概念 f6 f5 f4 f3 f2 f3 f2 f4 f

7、1 f6 f5 f6 f4 f4 f3 f2 f1 f1 f2 f3 f5 f6 f5 f5 f1 f6 f4 f3 f1 f6 f5 f2 f4 f6 f5 f1 f3 f2 f2 f4 f3 f1 f6 f4 f3 f2 f5 f1 (1)运算是可结合的；运算是可结合的；(2)存在单位元存在单位元 e；f1=IA(3)对任意元素对任意元素 a 都存在逆元都存在逆元 a-1；f1,f2,f3,f4自身为逆元，f5,f6互为逆元5 5.2 2.1 1 群的基本概念群的基本概念5 5.2 2.1 1 群的基本概念群的基本概念一个群如果运算满足交换律，则称该群一个群如果运算满足交换律，则称该群为交

8、换群，或为交换群，或Abel群（阿贝尔）。a,b G 有有 a*b=b*a勒让德、拉普拉斯、傅立叶、泊松、柯西。尼尔斯尼尔斯 亨利克亨利克 阿贝尔阿贝尔(N.H.Abel)1802年年8月月5日出生在挪威一个名叫芬德日出生在挪威一个名叫芬德的小村庄。有七个兄弟姐妹，阿贝尔在家里排行第二。他父亲是村子里的穷牧的小村庄。有七个兄弟姐妹，阿贝尔在家里排行第二。他父亲是村子里的穷牧师，母亲安妮是一个非常美丽的女人，她遗传给阿贝尔惊人的漂亮容貌。师，母亲安妮是一个非常美丽的女人，她遗传给阿贝尔惊人的漂亮容貌。例例 Z5,+5 是可交换群。是可交换群。+50 1 2 3 4012340 1 2 3 41

9、2 3 4 0 2 3 4 0 1 3 4 0 1 2 4 0 1 2 3(1)i,j,kZ5(i+5j)+5k=i+5(j+5k)=(i+j+k)mod 5(2)e=0(3)i Z5i-1=-i=5-i(4)i,jZ5i+5j=j+5i=(i+j)mod 5 Zm,+m 也是可交换群也是可交换群5 5.2 2.1 1 群的基本概念群的基本概念2021/3/29半群、独异点半群、独异点群小结群小结（1 1）1 1、是一代数系统，如果满足以下几点：是一代数系统，如果满足以下几点：(1)(1)运算是可结合的；运算是可结合的；(2)(2)存在单位元存在单位元 e e；(3)(3)对任意元素对任意元素 a a 都存在逆元都存在逆元 a a-1 1；则称则称 是一个群。是一个群。|G|G|表示群的阶，可以是有限表示群的阶，可以是有限也可以是无限也可以是无限2、交换群，或、交换群，或Abel群（阿贝尔）一类特殊的群群（阿贝尔）一类特殊的群