(6)--离散数学习题及答案.doc

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1、 习题1.1 1判断下列哪些语句是命题若是命题，区分简单命题与复合命题并说明其真值（1）会议9点开始吗？（2）人不犯我，我不犯人；人若犯我，我必犯人（3）2008年北京奥运会开幕式那天，天气很晴朗（4）请全体起立！（5）太阳系以外的星球上也有生命（6）（7）太阳从西方升起当且仅当他喜欢看NBA（8）青岛真是一个美丽的海滨城市啊（9）除非明天下雨，否则运动会会如期举行（10）2或是素数或是合数答案：（1） 不是 ；（2）是复合命题，真值为真 ；（3）是简单命题，真值以具体情况而定；（4）不是 ；（5）是复合命题，真值为真； （6）不是 ；（7）是复合命题，真值为真；（8）不是 ；（9）是复合命题

2、，真值为真 ；（10）是复合命题，真值为真。 2将下列命题符号化（1）小明不仅喜欢踢足球，也喜欢打篮球（2）小明不是不喜欢踢足球，而是不喜欢打篮球（3）假如下午不下雨，我就去广场溜狗，否则就在家里看电视或者做家务（4）吃得苦中苦，方为人上人答案：（1） :小明喜欢踢足球 :小明喜欢打篮球（2） :小明喜欢踢足球 :小明喜欢打篮球 （3）:下午下雨 :我去广场遛狗 :我在家里看电视 :我在家里做家务 （4）:吃得苦中苦 :为人上人 3设命题的真值分别为，求下面命题的真值（1）（2）（3）（4）答案：（1）真 ；（2）真 ；（3）真 ；（4）真。 习题1.21说明下列符号串中哪些是命题公式若是公式

3、，用真值表法判断其类型（1）（2）（3）（4）（5）（6）答案：（1） 不是，p和r之间缺少联结词；（2） 不是，非p和后面的缺少联结词；（3） 是， p q T T F F F T F F F F F T T T T F F T F F（4） 是， pq（TTTFTTFFTTFTFFFFFFFF（5）是，pTFFTFTTT（6）是，pqrTTTFTFFFTTFTTFFFTFTFTFFFTFFTTFFFFTTFTFFFFTFTTFFFFFTFTFFFFFFTTFFF 习题1.3 1用等值演算法证明下列等值式（1）（2）（3）（4）答案：(1). （2） （3）（4）2用等值演算法判断下列公式的

4、类型（1）（2）（3）（4）答案：（1）所以（1）为永真式（2）所以（2）为永假式（3）所以（3）为永真式（4）所以（4）为一般式 习题1.41写出与公式，分别等值的三个公式，要求它们的联结词集合为；再将等值地换成仅含联结词“”的形式答案： ：； : ；:；。2已知公式，试将此两公式化成仅含联结词“”的形式，分别写出它们的对偶式，并证明其对偶式也等值（1）两式的对偶式都为：，因对偶式一样所以对偶式等值 习题1.51求下列命题公式的析取范式（1）（2）（3）答案：（1）（2）（3）2求下列命题公式的主析取范式（1）（2）（3）答案：（1）所以其主析取范式为：（2）（3）3求下列命题公式的合取范式

5、（1）（2）（3）答案：（1）（2）（3）4求下列命题公式的主合取范式（1）（2）（3）答案：（1）（2）（3）5已知、是含命题变项的公式，且（1）是永真式；（2）是永假式；（3）的成真赋值为000，010，101；（4）的成假赋值为011，100，101，010求的成真赋值和成假赋值，并写出、的极小项和极大项答案：成真赋值：无；成假赋值：000、001、010、011、100、101、110、111；的成真赋值：000、001、010、011、100、101、110、111；成假赋值：无；的成真赋值：001、011、100、110、111；成假赋值：000、010、101；的成真赋值：001

6、、100、101；成假赋值：000、001、010、110、111。极小项：无； 习题1.61构造下面推理的证明（1）前提：结论：（2）前提：结论：答案：（1）证明：（1） p （2） T(1)I（3） T(1)I（4） p（5） T(2)(4)I（6） T(3)(5)I（2） 证明：（1） p（2） T(1)I（3） T(2)I（4） T(2)(3)I（5） p（6） T(4)(5)I 2证明下列推理（1）（2）答案：(1) 证明：（1） p（2） T(1)E（3） T(2)I（4） p（5） T(4)E（6） T(3)(5)I（2） 证明：（1） p（2） T(1)I （3） p （4）

7、T(2)(3)I（5） p （6） T(4)(5)I3甲、乙、丙、丁参加乒乓球比赛，已知情况是：（1）若甲获得冠军，则乙或丙获得亚军；（2）若乙获得亚军，则甲不能获得冠军；（3）若丁获得亚军，则丙不能获得亚军；（4）甲确实获得冠军所以丁没有获得亚军请写出前提和结论，并证明此结论是有效结论答案：解：P:甲获得冠军 q:丁获得亚军 r:乙获得亚军 s:丙获得亚军前提：结论：证明：（1） p（2） p（3） T(1)(2I) （4） p（5） T(1)(3)(4)I （6） p （7） T(5)(6)I 4公安人员审查一件凶杀案，已查明下列事实：（1）甲或乙是凶杀犯（2）若甲是凶杀犯，则作案时间不能

8、在上午（3）若乙的供词可靠，则上午房间里的电视是开着的（4）若乙的供词不可靠，则作案时间在上午（5）上午房间里的电视没有开着试判断谁是凶杀犯，写出推理过程答案：解：:甲是凶杀犯 :乙是凶杀犯 :乙的供词可靠 :作案时间在上午 ：上午房间里开着电视前提:证明：（1） p（2） p （3） T(1)(2)I （4） p（5） p （6） p（7） T(5)(6)I （8） p（9） T(7)(8)I结论：乙是凶杀犯 习题一 1针对给出的语句回答下面问题：哪些语句是命题？哪些不是？为什么？对于是命题的语句，判定哪些是简单命题？哪些是复合命题？对于是命题的语句，能否给出它们的真值？如能请给出其中给出的

9、语句如下：（1）老虎是动物（2）祖国的河山多么壮丽啊！（3）他不但思想好，而且学习也好（4）2050年，城市居民做饭不烧煤气（5）星期日，学生可以上机吗？（6）李刚和李强是亲兄弟（7）方程有实根（8）当且仅当太阳从西边出来（9）向右看齐！（10）甲和乙至少有一人在说谎答案：（a）、（1）（3）（4）（6）（8）（10）是命题；（2）（5）（7）（9）不是命题因为：（2）（9）是感叹句，（5）是疑问句，（7）要根据上下文判断。（b）、（1）（4）（6）是简单命题，（3）（8）（10）是复杂命题；（c）、（1）真值为真，其余不确定。 2将下列命题符号化（1）老王的孙女美丽又聪明（2）电灯不亮，原因

10、有且仅有两个：灯泡坏了或者开关发生故障哪个（3）如果太阳比月亮大，那么（4）如果老张和老李都不去，他就去（5）除非天气很好，否则他是不会出门的（6）这件事情，你和他谁去半都行（7）两个球的体积相等的充要条件是它们的半径相等（8）陈红现在在火车上或飞机上（9）如果，则3是偶数（10）两军相遇，勇者胜答案：（1）:老王的孙女漂亮 :老王的孙女聪明 （2）:电灯亮 :灯泡坏了 : 开关发生故障 （3）:太阳比月亮大 : （4）:老张不去 :老李不去 :他去 （5）:天气很好 ：他出门 （6）:你去办这件事情 :他去办这件事情 （7）:两球体积相等 :两球面积相等 （8）:陈红现在在火车上 :陈红现在

11、在飞机上 （9）:1+12 :3是偶数 （10）:两军相遇 :勇者胜 3如果设：今天下雪；：今天刮大风；：我去电影院；：我在家做家务请用日常语言叙述下列命题（1）；（2）；（3）；（4）答案：（1）今天只下雨没刮风（2）如果今天既不下雨也不刮风，我就去看电影（3）我去不去看电影由今天下不下雨决定（4）如果今天我在家做家务，那说明外面既下雨又刮风 4判断下列符号串哪些不是命题公式？说明理由若规定公式中的变项的真值为求出公式的真值（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）（8）答案：(4)(5)(6)(7)不是命题（1）（2）（3）（8）真值都为假 5判断下列命题公式的类型，方法不限（

12、1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）答案:（1）一般类型；（2）永真式；（3）一般类型；（4）永真式；（5）永假式；（6）永真式；（7）一般类型；（8）一般类型。6利用真值表法求下列各公式的主析取范式，主合取范式，成真赋值，成假赋值（1）（2）（3）（4）答案：（1）pqTTFTTFTTFTFFTFFTFFTTTFFTFTFF主析取范式： ； 主合取范式：；成真赋值： ； 成假赋值：。（2）pqrTTTTTFTTFTFTTFTFFTTFFFFTFTTTTFFTFTFTFFTTFTFFFTFT成真赋值：110、101、100、010、001、000；成假赋值：111、011（3）TTF

13、FFTTTFFTTFFFTTFTFFFFTTTTT成真赋值：11、00；成假赋值：10、01（4）pqrTTTTTTTTFTFFTFTTFFTFFTFFFTTTTTFTFTFFFFTFFTFFFFFT成真赋值：111、011、001、000；成假赋值：110、101、100、0107利用合取范式等值演算法求下列各公式的主析取范式，主，成真赋值，成假赋值（1）（2）（3）（4）答案：（1）主析取范式：主合取范式： 成真赋值：00、01、10成假赋值：11（2）主析取范式：主合取范式：成真赋值：000、111成假赋值：001、010、011、100、101、110（3）主析取范式：无主合取范式：成

14、真赋值：无成假赋值：00、01、10、11（4）主析取范式：主合取范式：成真赋值：010、100、101、110、111成假赋值：000、001、011 8判断下列推理是否正确先将命题符号化，再写出前提和结论，然后进行判断（1）如果今天是1号，则明天是5号今天是1号所以明天是5号（2）如果今天是1号，则明天是5号明天是5号所以今天是1号（3）如果今天是1号，则明天是5号明天不是5号所以今天不是1号（4）如果今天是1号，则明天是5号今天不是1号所以明天不是5号答案：P：今天是1号；q：明天是5号；（1）前提：结论：q 正确（2）前提：结论： 不正确 （3）前提：结论： 正确（4）前提： 结论：

15、不正确 9构造下面推理的证明（1）前提：结论：；（2）前提：结论：；（3）前提：结论：；（4）前提：结论：；（5）前提： 结论： ；（6）前提：结论： 答案：（1）证明：（1） p（2） p （3） T(1)(2)I（4） p（5） T(4)E（6） T(3)(5)I（2）证明：（1） p（2） T(1)E（3） p（4） T(2)(4)I（5） T(1)E（6） T(4)(5)I （3）证明：（1） p（2） T(1)E（3） T(1)E（4） p（5） T(2)(3)(4)I （4）证明：（1） p（2） T(1)E（3） p （4） T(3)I （5） T(2)(4)I（5）证明：（1）

16、 p（2） T(1)I（3） p（4） T(2)(3)I（5） p（6） T(4)(5)I（6）、证明：（1） p（2） T(1)E（3） T(1)E （4） p（5） T(3)(4)I（6） p（7） T(5)(6)I（8） p （9） T(7)(8)I （10） T(2)(5)(7)(9)I10分析下列事实：早饭我吃面包或蛋糕；如果我吃面包，那么我还要喝牛奶；如果我吃蛋糕，那么我还要喝咖啡；但我没有喝咖啡，所以早饭我吃面包的牛奶请写出前提和结论，证明其有效证明：早饭我吃面包； ：早饭我吃蛋糕； ：我喝牛奶； ：我喝咖啡前提：结论：（1） p（2） p （3） T(1)(2)i（4） p（5

17、） T(3)(4)I（6） p （7） T(5)(6)I（8） T(5)(7)I 习题2.11.（1）：是白的；：雪花 （2）：是人；：喜欢看小说 （3）：喜欢乒乓球运动；:人 （4）：喜欢美食；：人 （5） ：是文科生；:是理科生；：大学生 2在谓词逻辑中将下列命题符号化，并指出各命题的真值个体域分别为自然数集合整数集合实数集合（1）对于任意的，均有（2）存在，使得（3）存在，使得答案：（1）： 真 真 真（2）: 假 真 真（3）: 假 假 真3将下列各式翻译成自然语言，然后在不同的个体域中确定它们的真值（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）个体域分别为实数集合整数集合正数集合（非零实

18、数集合）答案：（1）存在这样的，对任意的，满足真 真 假 假（2）对任意的，存在这样的，满足真 真 假 假（3）存在这样的，对任意的，满足假 假 假 假（4）对任意的，存在这样的，满足假 假 假 假（5）存在这样的，对任意的，满足真 真 真 真（6）对任意的，存在这样的，满足)假 假 假 假（7）存在这样的，对任意的、，满足假 假 假 假 习题2.2 1指出下列公式中量词每次出现的辖域，并指出个体变元是约束变元还是自由变元（1）（2）答案：（1）其中是约束变元，在 是约束变元,在中是自由变元,z是自由变元（2）即是约束变元又是自由变元。2设是二元运算符号，是二元谓词符号，考查的个体域为有理数集

19、，给出解释如下：；根据上面的解释，以下公式中哪些为真，哪些为假？（1）；（2）；（3）；（4）；（5）答案：（1）假 ；（2）真 ；（3）假；（4）假 ；（5）假。 习题2.31在有限个体域上，验证量词分配等值式成立2证明：3求下列各式的前束范式（1）（2）（3）答案：（1）（2）（3） 习题2.41指出下面推理的错误推理1 前提引入 前提引入 EI EI 化简 合取 EG推理2 前提引入 UI EI UG UI UG答案：（1）第四步错（2）第四步错2构造下面推理的证明前提：结论：答案：（1） p（2） T(1)E （3） UI(2) （4） p（5） UI(5) （6） T(3)E （7）

20、 T(6)E （8） T(5)(7)I （9） UG(8) 习题二1. 将下列命题符号化（1）所有运动员都是大学生（2）并非所有运动员都是大学生（3）没有不吃饭的人（4）有人不用右手写字（5）有些狗是黑色的，而且很聪明（6）所有运动员都钦佩某些教练答案：（1）:是运动员； ：是大学生 （2）:是运动员； :是大学生 （3）:吃饭； :是人（4）：用右手写字； :是人 （5）:是狗； :是黑色的； : 很聪明 （6） 2对于下列谓词公式，指出约束变元和自由变元，并指明各个量词的辖域（1）；（2）；（3）；（4）答案：（1）； 是约束变元，是自由变元（2）；是约束变元（3）；是约束变元，既是约束变

21、元又是自由变元（4）；、为约束变元，为自由变元3. 令是素数，是偶数，是奇数，能整除请用日常语言叙述下列命题（1）；（2）；（3）；（4）答案：（1）5是素数（2）2是素数但不是奇数（3）所有的偶数都能被2整除（4）对于有些奇数能找到这样的偶数使它能整除这个奇数4设个体域为，请消去下列谓词公式中的量词（1）；（2）答案：（1）（2）5.（1）试给出解释使得与在下具有不同的真值（2）试给出解释使得与在下具有不同的真值答案：（1）当使为正为负，则俩式不出不同值。（2）当使为正为负，则俩式不出不同值。6. 设解释如下：是实数集，中特定元素中特定函数特定谓词为，在解释下，下列哪些公式为真？哪些为假？（

22、1）；（2）；（3）；（4）答案：（1）假 ；（2）假 ；（3）真 ；（4）真。7. 给出解释，使下面两个公式在解释下均为假，从而说明这两个公式都不是逻辑有效式（永真式）（1）；（2）答案：（1）中存在这样的使和不能同时为真。（2）中不存在使和同时为真的x。8. 试寻找谓词公式，分别符合下列条件：（1）是闭式，使得在某些解释下为真，在另外一些解释下为假（2）是非封闭的公式，使得存在解释，在下，的真值不确定，即不是命题答案：闭式和非闭式我们没学过，课本上也没有。9. 设个体域为，且和的真值为1，和的真值为假，求下列各式的真值（1）；（2）；（3）；（4）答案：（1）假 ；（2）真 ；（3）假 ；

23、（4）真。10. 给出解释如下：（1）个体域为自然数集；（2）上特定元素：；（3）上特定函数；（4）上特定谓词在解释下，求下列公式的真值（1）；（2）；（3）答案：（1）假；（2）真；（3）假。11求下列各式的前束范式，要求使用约束变元换名规则（1）；（2）答案：（1）.（2）12. 求下列各式的前束范式，要求使用自由变元换名规则（1）；（2）答案：（1）（2）13. 指出下面推理中的错误（1） 前提引入 EG（2） 前提引入 EG（3） 前提引入 EG（4） 前提引入 前提引入EI化简EI化简合取EG答案：（1）不能由第一步直接到第二步，不是存在推广。（2）应先经过存在指定。（3）不符合存在

24、推广（4）七到八不符合存在推广14. 构造下面推理的证明（1）前提：， 结论：；（2）前提：， 结论：答案：（1）（1） p（2） p（3） T(1)(2)I（4） UI(3)（5） EI(1)（6） T(4)(5)I（7） EG(6)（2）（1） p（2） UI(1)（3） p（4） EI(3)（5） T(2)(4)I（6） T(5)I（7） T(4)(6)I（8） EG(7)15. 在谓词逻辑中构造下面推理的证明（1）所有有理数都是实数，某些有理数是整数，因此某些实数是整数（2）所有大熊猫都产在中国，欢欢是大熊猫所以欢欢产在中国答案：（1）:是实数； :是有理数； :是整数前提：，结论：

25、证明：（1） p（2） EI(1)（3） p（4） UI(1)（5） T(2)I（6） T(2)（7） T(4)(5)I（8） T(6)(7)I （9） EG(8)（2）:是大熊猫； :产在中国；a：欢欢前提：，结论： 证明：（1） p（2） UI(1)（3） p（4） T(2)(3)I 习题3.11用列举法表示下列集合：（1）1至100的整数中的完全平方数的集合；（2）大于3而小于或等于7的整数集合；（3）12的质因数集合；（4）的奇数解的集合答案：（1）1，4，9，16，25，36，49，64，81，100（2）4，5，6，7（3）1，2，3，4，6，12（4）-1，-3，1，32用描述法表示下列集合：（1）所有一元一次方程的解组成的集合；（2）被5除余1的整数集合；（3）平面直角坐标系中单位圆内（不包括圆周）的点集；