(3)--18.2.8最终版《画法几何与建筑制图》.doc

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1、目录第一篇 画法几何1第一章 投影的基本知识11-1 投影的概念、分类及其特性11-2 正投影图形成及其特性51-3 基本形体的投影81-4 组合形体的投影10第二章 点、直线、平面的投影122-1 点的投影122-2 直线的投影152-3 线段的实长和倾角192-4 两直线的相对位置202-5 平面的投影252-6平面上的直线和点29第三章 直线与平面、平面与平面的相对关系323-1 直线与平面、平面与平面的平行323-2直线与平面、平面与平面的垂直343-3直线与平面、平面与平面的相交363-4换面法40第四章 曲线和曲面444-1 曲线444-2 曲面464-3 回转面474-4 非回转

2、直纹曲面57第五章 截交线和相贯线635-1 概述635-2 截交线645-3 相贯线715-4 同坡屋面78第六章 轴测投影796-1 轴测图的基本知识796-2 正轴测图806-3 斜轴测图87第二篇 建筑制图的基本知识90第一章 建筑制图的基本知识901-1 图纸的幅面规格与图纸编排顺序901-2 图线、字体、比例941-3 图例971-4 尺寸标注108第二章 建筑形体的表达方法1122-1 建筑形体的画法1122-2 视图选择1132-3 建筑形体的尺寸标注1152-4 剖面图1162-5 断面图119第三章 建筑施工图1213-1 建筑设计的基本知识1213-2 建筑施工图中常用符

3、号1243-3 总平面图1293-4 建筑平面图1323-5 建筑立面图1353-6 建筑剖面图1373-7 建筑详图1393-8 建筑施工图的绘制步骤144第四章 结构施工图1514-1 概述1514-2 钢筋混凝土结构简介1554-3 楼盖平法施工图1604-4 梁平法施工图1644-5 柱平法施工图1704-6 独立基础平法施工图1754-7 现浇混凝土板式楼梯平法施工图181第三篇 CAD基础189第一章 Auto CAD1891-1 软件介绍1891-2 AutoCAD发展历程1891-3 AutoCAD2014的启动与操作界面1901-4 AutoCAD2014基本操作1941-5

4、 绘制二维图形1971-6 图案填充2021-7 绘制多段线2041-8 图形编辑2061-9 利用单个对象生成多个对象2081-10 标注与编辑块2131-11 建筑施工图实例215第二章 天正绘制建筑施工图2202-1 天正简介2202-2 平面图绘制2222-3 立面图、剖面图及楼梯绘制2322-4 用快捷键命令235第三章 Revit概述2413-1 BIM基础2413-2 Revit简介2433-3 Revit基础2443-4 Revit基本术语2463-5 Revit建模实例教学248附图2602第一篇 画法几何第一章 投影的基本知识1-1 投影的概念、分类及其特性一、投影的概念在

5、日常生活中，物体在阳光或灯光的照射下会在地面或墙面上留下影子。这种影子内部灰黑一片，只能反映物体外形的轮廓，不能表达物体的真实面目。人们对自然界的这一物理现象加以科学的抽象和概括，即假设光线能穿透物体，将物体表面上的各个点和线都在某平面上落下它们的影子，从而使这些点、线的影子组成能够反映物体形状的“线框图”。如图1-1-1所示。我们把这样的线框图称为投影。在这个过程中，光线可以抽象为投射线，物体可以抽象为形体（只研究其形状、大小、位置，而不考虑它的物理性质和化学性质），把承担影子的平面如地面、墙面等抽象为投影面，这种把空间形体转化为平面图形的方法称为投影法。因此产生投影必备的三要素是：投射线、

6、形体、投影面。图1-1-1 投影示意图 二、投影的分类根据投射线之间的关系，可将投影分为两大类：中心投影和平行投影。1、中心投影能够产生光线的光源称为投影中心。当所有的投射线都是从投影中心发出时，在这样的投射线作用下所形成的投影称为中心投影。这种方法称为中心投影法。如图1-1-2所示。 图1-1-2 中心投影图 图1-1-3斜投影图 图1-1-4 正投影图2、平行投影 在相互平行的投射线的作用下所形成的投影称为平行投影。根据投射线与投影面之间的关系，平行投影又分为斜投影和正投影两种。当投射线与投影面倾斜时得到的投影称为斜投影，这种方法称为斜投影法，如图1-1-3所示。当投射线与投影面垂直时得到

7、的投影称为正投影，这种方法称为正投影法，如图1-1-4所示。三、各种投影法在工程中的应用中心投影和平行投影在建筑工程中应用甚广。工程中常用的投影图有：正投影图、轴测投影图、透视投影图、标高投影图。采用不同的投影法可以画出建筑工程中最常见的四种投影图。1、正投影图用正投影法把形体向两个或两个以上互相垂直的投影面进行投影，再按一定的规则画在同一个平面上，所得到的投影图称为正投影图。如图1-1-5所示。它是目前工程上最主要的图样。这种投影图的优点是能准确地反映物体的形状和大小，作图方便，度量性好；缺点是立体感差，需经过一定的训练才能看懂。图1-1-5 正投影 图1-1-6正轴测图 图1-1-7 斜轴

8、测图2、轴测投影图轴测投影是物体在一个投影面上的平行投影，简称轴测图。根据投射线与投影面是否垂直，轴测图可分为正轴测图和斜轴测图。如图1-1-6所示和图1-1-7所示。轴测图可以反映形体的三维向度，因此具有立体感，容易看懂。但度量性差，作图比较麻烦，对复杂形体难以表达清楚，因此工程中常用做辅助图样。 3、透视投影图 用中心投影法做出物体的投影就是透视投影图，简称透视图。如图1-1-8所示。这种图形形象逼真，跟照片效果几乎一样。但它的度量性差、作图繁杂，且物体的真实形状和大小都不能直接在图中直接反映和度量。 图1-1-8透视图 图1-1-9 标高示意图 图1-1-10标高投影4、标高投影图 标高

9、投影图是一种带有数字标记的单面正投影图。它用正投影反映物体的长度、宽度、轮廓，高度用数字标注。如图1-1-9和图1-1-10所示。这种图常用来表达地面的形状。作图时将间隔相等而高程不同的等高线投影到水平的投影面上，并标出各等高线的高程，即为标高投影图。四、平行投影的特性 建筑工程中，最常用的投影法就是平行投影法。平行投影有如下特性：1、度量性 当线段或平面图形平行于投影面时，其平行投影反映实长或实形。即线段的实长与平面图形的形状和大小，都可以直接从其平行投影中确定和度量。如图1-1-11所示。这种能反映线段或平面图形实形的特性称为度量性。 （a）线段度量性 （b）平面度量性图1-1-11 度量

10、性2、相仿性 当直线和平面图形不平行且不垂直投影面时，其正投影小于实长、实形。但斜投影则可能大于、等于或小于其实长。如图1-1-12所示。不管何种情况，平面投影图必定是线段和平面图形的相仿图形。即三角形的平行投影是三角形，五边形的平行投影是五边形，圆的平行投影是椭圆等等。 （a）线段相仿性 （b）平面相仿性图1-1-12 相仿性3、积聚性当直线或平面图形平行于投影线时，其平行投影积聚为一点或一直线，这种特性称为积聚投性。如图1-1-13所示。 （a）线段积聚性 （b）平面积聚性图1-1-13 积聚性4、平行性 平行性包含两方面内容：第一，相互平行的两直线在同一投影面上的平行投影保持平行。如图1

11、-1-14所示。第二，一直线或一平面图形，经过平行移动后，它们在同一投影面上的投影，只有位置发生变化，其形状和大小保持不变。 （a）线段平行性 （b）平面平行性 图1-1-14 平行性 图1-1-15定比性5、从属性 一点在一直线或一曲线上，它的投影必落在该直线或曲线的同面投影上。6、定比性 当直线与投射方向不平行时，直线上两线段长度之比等于两线段投影长度之比。如图1-1-15所示。AC:CD=ac:cd；由此推出，两平行线段的长度之比，等于它们的同面投影长度之比。空间线段AB平行CD，则有如下关系：AB:CD=ab:cd。由此还可推出：ab:AB =cd:CD。1-2 正投影图形成及其特性

12、工程上绘制图样的方法主要是正投影法。这种方法绘图简单，绘出的图形真实可靠，方便度量，能够满足设计与施工的需要，是建筑施工图中最重要的绘图方法。一、正投影图的形成1、假设有一个基础的模型，如何才能确切而全面表达其形状呢？如图1-2-1所示。 图1-2-1基础模型图 1-2-2 两面投影2、在模型下放置一个平行于底面的水平面，称为水平投影面，简称H面。在H面上的投影称为水平投影或H投影。3、分析：根据正投影的特性，上、下两个长方体在H面上的正投影是内外两个矩形框。线框是长方体上、下底面的实形投影。线框的每一边是长方体的水平侧棱的实长投影，同时又是长方体侧面的积聚投影。形体的H面投影反映不出形体各部

13、分的相对高度。4、结论：一个投影面上的投影不能确定空间形体的形状。二、两面投影体系和两面投影图1、在正面设立一个与H面垂直的铅垂投影面，称为正立投影面，简称V面。在V面上的投影称为正立面投影，简称V面投影。V面和H面形成两投影面体系，投影面的交线为投影轴，用OX表示。如图1-2-2所示。2、V面保持不动，把H面及H面上的投影绕OX轴向下旋转，直到与V面重合。如图1-2-3所示。3、形体的形状和大小可以通过两面投影体系中的投影唯一确定。4、移去空间形体后，我们可以通过分析、研究其投影进而对空间形体进行分析。三、三面投影体系和三面投影图1、有些形体通过两面投影也不能确定其形状和大小，这时应考虑增加

14、第三个投影面W面，相互垂直的H、V、W面形成了三面投影体系。W面也称侧立投影面。H面与V面的交线称为OX轴，H面与W面的交线称为OY轴，V面与W面交线称为OZ轴，三轴线的交点O为原点。如图1-2-4所示。 图1-2-3 展开投影面 图1-2-4 三面投影体系2、空间形体的形状可以由三面投影唯一确定下来。3、V面保持不动，H面及H面上的投影绕OX轴向下旋转，W面及形体的W面投影绕OZ轴向右旋转，直到都与V面重合。这样形成的投影图称为三面投影图。如图1-2-5所示。4、投影面的边框线无用，不需画出。5、移去空间形体，通过分析研究投影来了解空间形体的形状。如图1-2-6所示。 图1-2-5 展开投影

15、面 图1-2-6 三面投影图四、投影图的特性1、展开方法 V面不动，H面向下翻转，W面向右转，摊平在同一个平面上。2、投影轴的方向 使OX、OY和OZ轴平行形体的三个向度，形体的长度是指形体上最左和最右两点间平行OX轴的距离，形体的宽度是指形体上最前和最后两点间平行OY轴的距离，形体的高度是指形体上最高和最低两点间平行OZ轴的距离。3、投影关系 长对正、宽相等、高平齐。4、形体的方向 V面投影可反映形体的上、下、左、右关系； H面投影可反映形体的左、右、前、后关系； W面投影可反映形体的上、下、前、后关系；5、基本投影面 H、V、W面称为基本投影面。6、多面正投影 如果三个投影仍不能清楚表达形

16、体时，需增加一个或几个投影面，所得的投影为多面正投影。1-3 基本形体的投影 一般建筑物及其构配件，可以看做是由一些简单几何形体叠砌或切割而组成。这些简单形体称为基本形体。基本形体可分为两大类：平面体和曲面体。平面体包括：棱柱、棱锥、棱台等；曲面体包括：圆柱、圆锥、圆台、球等。如图1-3-1所示。图1-3-1 别墅的组合形体一、平面体的投影图1、平面体的形状特征 平面体是由若干平面围合而成。以六棱柱为例，它的上下底面是平行的正六边形，六个侧面均为相等的矩形，所有侧棱相互平行、相等且垂直底面；以正三棱锥为例，底面是等边三角形，三个侧面均为相等的三角形。2、安放位置 安放形体时，首先使形体处于稳定

17、状态，其次要考虑形体的实际工作情况。进行投影时，使每个投影面尽可能平行形体的主要侧面和侧棱，以便可以得到更多的实形投影。例如：对于六棱柱，上下两个底面平行水平投影面，这样在H面上可得到底面实形；六棱柱的一个侧面平行正立投影面，这样在V面上可得到侧面实形。对于三棱锥，使其底面平行H面；底面三角形的一条边平行OX轴，这样得到的投影可以最大化的显示三棱柱的信息。3、作投影图分别作出正六棱柱、三棱锥及四棱台的三面投影。如图1-3-2、1-3-3、1-3-4所示。 （a）空间图 （b）投影图图1-3-2 正六棱柱投影（a）空间图 （b）投影图图1-3-3 正三棱锥投影（a）空间图 （b）投影图图1-3-

18、4 四棱台投影二、曲面体的投影图1、曲面体的形状特征 曲面体是由曲面或由曲面及平面共同围合而成的空间形体。以直圆柱为例，上下底面是相等且平行的圆平面，直圆柱面可看成是一根母线绕与其平行的一根轴线做圆周运动而形成的曲面。2、安放位置 以圆柱为例，根据圆柱在实际工程中的运用，一般情况下轴线处于竖直位置，因此H面平行于上、下底面，V面、W面平行于圆柱轴线。3、作投影图分别作出圆柱、圆锥、球的面投影。如图1-3-5、1-3-6、1-3-7所示。 图1-3-5 圆柱投影 图1-3-6 圆锥投影 图1-3-7 球投影1-4 组合形体的投影 由若干个基本形体叠砌而成（如图1-4-1a），或由一个大的基本形体

19、切割掉一个或若干个小的基本形体而成（如图1-4-1b），或既有叠砌又有切割的形体（如图1-4-1c），统称为组合形体。无论多复杂的组合形体都可由基本形体通过某种途径转化而来。（a）叠砌 （b）切割 （c）叠砌加切割图1-4-1 组合形体 绘制空间组合形体的投影图时，可以先分解成若干个基本形体，分别画出基本形体的投影，最后组合而成，如图1-4-2所示。也可逐次画出三个投影面的组合形体的全部投影。俗话说，绘图容易读图难，通过投影图得知空间形体的形状和位置需要一定的专业基本知识。 （a） （b） （c）图1-4-2 组合形体的三面投影现在分析一下组合形体投影图中的线段和线框的意义。如图1-4-3所示

20、。 投影图中的线段可有三种不同的意义： 1、可以是形体表面上相邻两面的交线； 2、可以是曲面的投影轮廓线； 3、可以是形体上某一个表面的积聚投影。 投影图中的线框可有四种不同的意义： 1、可以是某一表面的实形； 2、可以是某一表面的仿形投影； 3、可以是某一曲面的投影； 4、可以是形体上一个空洞。 分析三面投影图中线段和线框的意义，可以进一步认识各个基本形体和组合形体的整体形状。这种方法称为“线面分析法”。图1-4-3 组合形体投影中的线段和线框例4-1 阅读分析图1-4-4所示组合形体的投影图，想象该形体形状。 图1-4-4 组合形体的投影第二章 点、直线、平面的投影2-1 点的投影一、点的

21、正投影规律 空间一点A在三面投影体系中的投影，如图2-1-1所示。过点A分别向三个投影面作垂线，得到相应的垂足a、a、a即为点A的三面投影。a称为点A的水平投影；a称为点A的正立面投影；a称为点A的侧立面投影。空间点A可由三面投影唯一确定。 图2-1-1点的三面投影 图2-1-2 点的两面投影 由图2-1-2所示，aaOX，aaOZ，由此得出点的第一个正投影规律：两投影面体系中，一点的两面投影在投影图上的连线，必垂直于投影轴，即垂直于该两投影面的交线。由图2-1-3所示，Aa=aax=a1ax1。得出点的第二个正投影规律：空间一点到某一投影面的距离，等于该点在任意一个与该投影面垂直的投影面上的

22、投影到其对应投影轴的距离。 （a）已知条件 （b）点的三面投影 图2-1-3 空间点的投影图 2-1-4 点A的两面投影通过点的投影规律得出点在三面投影体系中的三个关系：第一，点的水平投影和正面投影必在同一竖直连线上。第二，点的正面投影和侧面投影必在同一水平投影连线上。第三，点的水平投影到OX轴的距离等于该点的侧面投影到OZ轴的距离，它们都反映该点到V面的距离。例2-1 已知A点的V面投影a和W面投影a，试求它的H面投影。如图2-1-4所示。解：（1）根据规律一，aaOX，a必在这条竖直连线上。（2）根据规律二，a到OX轴的距离等于a到OZ轴的距离，将此距离转移到H面，得到点A的投影a。二、点

23、的坐标与投影的关系空间一点的位置可以用坐标来确定。如果把三投影面体系看作空间直角坐标系，那么投影面相当于坐标平面，投影轴相当于坐标轴，投影轴原点相当于坐标原点。因此点A的空间坐标是A（x，y，z），则点A的三面投影坐标是a（x，y），a（x，z），a（y，z）。若已知点的坐标，即可作出该点的三面投影；若已知点的三面投影，那点的空间位置随之确定。例2-2 已知点A的坐标为x=15，y=11，z=10，试作A点的三面投影。如图2-1-5所示。解：作图步骤如下：（1）作投影轴。（2）通过x值和z值确定a。（3）由a和a确定a。图2-1-5 根据坐标求投影三、两点的相对位置和重影点1、两点的相对位置两

24、点的相对位置是指空间两点的前后、左右和上下关系，可根据两点坐标大小来确定。H面投影可判断左右、前后关系，V面投影可判断上下、左右关系，W面投影可判断前后、上下关系。如图2-1-6所示，A点在B点左前上方。 图2-1-6 两点相对位置 图2-1-7 重影点2、重影点在某个投影面上重影的两个点，称为该投影面的重影点。3、H面重影点 空间A、B两个点，同在垂直H面的一根投影线上，其H投影重合在一起。向H面作投射线时，投射线先遇到A点，再遇到B点，点A为可见，点B为不可见。不可见的投影应加括号。如图2-1-7所示。同理在V面和W面都会出现重影点。四、点的辅助投影在基本投影面（H、V、W）的适当位置设立

25、一个与之垂直的新投影面，这种新投影面称为辅助投影面，辅助投影面上的投影称为辅助投影。点的辅助投影是解决线面关系的基础。1、变换V面（V1面替换V面） 如图2-1-8所示，设置一个辅助投影面V1垂直H面，两面交线是O1X1轴，点A在V1面上的投影是a1,根据点的第二条投影规律，得出aax=Aa=a1ax1。下面将空间图展成一平面，V1绕O1X1转到与H面重合，V面保持不动，H面和V1再一起翻转，直至与V面在同一平面上，形成点的投影图。 （a）空间图 （b）投影图图2-1-8 点A的V1面辅助投影2、变换H面（H1面替换H面） 如图2-1-9所示，设置垂直V面的辅助投影面H1面， H1与V面的交线

26、为O1X1轴，点A在H1面上的投影为a1,根据点的第二条投影规律，得出aax=Aa=a1ax1，V面不动，将H面和H1一起翻转，直至与V面成一个平面，形成点的投影图。 （a）空间图 （b）投影图图2-1-9 点的H1面辅助投影2-2 直线的投影直线是无限延长的，直线的空间位置可由线上两点确定。直线还可以由线上任意一点的位置和直线方向两者共同确定。直线上两点之间的线段称为直线段。为叙述方便，直线段简称直线。作直线的投影，可先作出直线上两点的三面投影，然后将其同面投影相连。如图2-2-1所示。直线与投影面的夹角称为直线相对于投影面的倾角。相对H面的倾角用表示，相对V面的倾角用来表示，相对W面的倾角

27、用来表示。根据直线相对投影面位置的不同，直线可分为三种：一般位置直线；投影面的平行线；投影面的垂直线。 （a）直线上两点投影 （b）直线投影 图2-2-1 直线的投影一、一般位置直线1、基本概念 相对三个投影面均倾斜的直线，称为一般位置直线，简称一般线。2、投影特点由于一般线与三个投影面均倾斜，在正投影的作用下，一般线的三个投影长度均小于线段实长；在各个投影面上的投影均倾斜于投影轴；在三个投影面的投影与投影轴的夹角均不反映空间直线相对于三个投影面的倾角(、）。3、读图空间一直线的三面投影中若有两个投影相对于投影轴是倾斜的，此直线一定是空间一般位置直线。如图2-2-2所示。 （a）一般线的空间图

28、 (b）一般线的投影图图2-2-2 一般直线的投影二、投影面的平行线1、基本概念 平行于某一投影面，同时倾斜于另外两个投影面的直线，称为投影面的平行线。根据直线段相对于投影面的位置不同，投影面的平行线分为三种：如图2-2-3所示。（a）水平线 (b）正平线 （c）侧平线图2-2-3 投影面的平行线 （a）水平线 (b）正平线 （c）侧平线图2-2-4投影面平行线的投影图（1）水平线平行于H面且倾斜于V、W面。（2）正平线平行于V面且倾斜于H、W面。（3）侧平线平行于W面且倾斜于H、V面。 2、投影特点 与直线段平行的投影面上的投影反映线段实长，其余两个投影平行相应的投影轴。实长投影与投影轴的夹

29、角反映直线段与相应投影面的倾角大小。三种投影面的平行线的特点如图2-2-4所示。3、读图判断空间一直线是否是投影面的平行线时，我们只需通过两面投影即可。以水平线为例，如果直线段的H面投影反映实形，V面投影与OX轴是平行的，通过两面投影即可断定是水平线。以正平线为例， 如果直线段的H面投影与OX轴是平行的，V面投影反映实形，通过两面投影即可断定是正平线。两种情况均无需W面投影。三、投影面的垂直线1、基本概念 垂直于某一投影面的直线，称为该投影面的垂直线。根据直线段相对于投影面位置的不同，投影面的垂直线分为三种：（1）铅垂线垂直于H面且平行于V、W面。如图2-2-5所示。 （a） （b） （c）图

30、2-2-5铅垂线的投影图（2）正垂线垂直于V面且平行于H、W面。如图2-2-6所示。 （a） （b） （c）图2-2-6正垂线的投影图（3）侧垂线垂直于W面且平行于H、V面。如图2-2-7所示。（a） （b） （c）图2-2-7正垂线的投影图2、投影特点 投影面的垂直线在它所垂直的投影面上的投影积聚为一点，在其它两个投影面上的投影反映实形。3、读图 判断空间一直线是否是投影面的垂直线时，我们只需通过两面投影即可。以铅垂线为例，如果H面投影积聚为一点，V面投影反映实长，则可断定是铅垂线。以正垂线为例，如果V面投影积聚为一点，H面投影反映实长，则可断定是正垂线。两种情况无需W面投影。四、直线上的点

31、 根据平行投影的从属性可得知，直线上点的投影必落在该直线的同面投影上。如图2-2-8所示。直线AB上点C作垂直于H面的投射线Cc必在投射平面ABba上，点C在H的投影c必在H面上，点c既在平面ABba上同时还在H面上，因此点c必在投射平面ABba与H面的交线是ab上。图2-2-8 直线上点的投影 一直线上两线段之比，等于它们对应的投影长度之比。这种特性称为定比性。如果不满足定比性，则此点不属于直线上的点。例2-3 已知侧平线AB的H、V面投影及线上一点K的V投影，试求点K的H面投影。如图2-2-9所示。 图2-2-9 已知条件 图2-2-10 第一种方法 图2-2-11 第二种方法解：第一种方

32、法： 如图2-2-10所示，先求出AB的W面投影，然后再根据点的投影规律求出点K的W面投影。第二种方法：如图2-2-11所示，根据定比性，ak:kb=ak:kb，过点b任做一直线，使得ak=b1，kb=12，连接a2，过点1做a2的平行线，找到k。2-3 线段的实长和倾角 一般位置直线的三面投影既不反映实长，也不反映与三个投影面的倾角。要通过三面投影得知空间直线段的实长和倾角，常用的有两种方法。第一种方法：直角三角形法 利用直线在某一投影面上的投影和另外一个投影面上投影的两端点垂直坐标轴的的坐标差求一般位置直线的实长及与投影面夹角的方法称为直角三角形法。如图2-3-1所示，若求AB实长，可将其

33、放在一个空间ABC中，AB与AC的夹角即为AB与H面的夹角。如果已知空间三角形的两条直角边，则斜边AB的实长可求出。AC的长度等于H面上ab的长度，BC的长度等于V面a、b到OX轴的距离之差。因此，在水平投影面上可以造出这个空间三角形。H面上，所造三角形的一条直角边是ab，过a或过b做ab的垂线，长度为b、a到OX轴的距离差，这条直角边标注为aB1，aB1的长度即为AB的实长。ab与aB1的夹角即为。同样道理，也可在V面上造一个三角形，所求过程是一样的，这样可以得到AB的实长以及AB与V面的夹角。图2-3-1直角三角形法第二种方法：辅助投影法 做一个辅肋投影面，让辅助投影面平行空间一般位置直线

34、，这样直线在辅助投影面上的投影反映实形，这种方法称为辅助投影法。 如图2-3-2（a）所示，做辅助投影面V1与空间直线AB平行，则AB在V1面上的投影a1b1反映实形，同时能反映直线与H面的夹角。如图2-3-2（b）所示，已知AB的两面投影，作出点A和点B在V1面的投影，a1b1即为AB的实长，a1b1与O1X1的夹角即为。 同样可以作辅助投影面H1，在H1面上可体现AB的实形并反映与AB与V面的夹角。 （a）辅助投影法的空间图 （b）辅助投影法的作图过程图2-3-2 辅助投影法求实长2-4 两直线的相对位置 空间两直线的相对位置有四种方式，即相交、平行、交叉、垂直。垂直有相交垂直和交叉垂直两

35、种情况。一、两相交直线 先由空间转到投影图中，空间两直线若相交，则两直线的同面投影必定相交，且交点符合点的投影规律。如图2-4-1所示。然后由投影图转到空间，不管空间是什么位置直线，如果此直线的三面投影相交，且交点符合点的投影规律，则空间两直线必定相交。（a）两线相交的空间图 （b）两线相交的投影图图2-4-1 两线相交(一） 如果空间两直线都是一般位置直线，则只需通过两面投影判断，即两面投影均相交，且交点符合点的投影规律，则空间两一般位置直线是相交的。如图2-4-2所示。 （a）空间图 （b) 投影图图2-4-2 两线相交（二） 若空间两直线有一条是投影面的平行线，则有两种处理方法：第一种，

36、作出三面投影，看是否符合点的投影规律；第二种，看是否符合定比性。例2-4 正平线JK与一般线AB、CD相交，且已知点K的H面投影，求JK的两面投影。如图2-4-3（a）所示。解：（1）正平线在H面的投影与OX轴平行，过k作平行OX轴的平行线，找到j。（2）根据点的投影规律，找到点J在V面上的投影j。如图2-4-3（b）所示。 （a）已知条件 （b）JK的投影图2-4-3 求JK的投影二、两平行直线 首先由空间转到投影图中，由平行投影的平行性可知，两平行直线在同一投影面上的投影必定相互平行。这种性质符合任意位置的直线。如图2-4-4（a）所示。 （a）空间图 （b）投影图图2-4-4 空间两平行

37、线的投影 然后由投影图转到空间，不管空间是什么位置直线，只要两直线的三面投影平行，空间两直线必定平行。如图2-4-4（b）所示。 当两直线均为一般位置直线时，则只需通过两面投影判断即可。即如果两直线的两面投影平行，则空间两直线必定平行。如图2-4-5所示。 图2-4-5 两一般线平行图 2-4-6 判断两线是否平行的第一种方法 若空间两直线是W面的平行线，判断两直线是否平行，则有两种处理方法。一种方法：作出两直线的第三面投影，若第三面投影也平行，则空间两直线必定平行，若第三面投影不平行，则空间两直线必定不平行。如图2-4-6所示。第二种方法：观察法。如图2-4-6所示，若两直线的两面投影标注顺

38、序是相反的，即对于H面的顺序是ab和dc，而对于V面投影顺序是ab和cd，则两直线的相对位置关系必定是交叉的。如果顺序一致，则按第一种方法处理。例2-5 过点A作直线ABEF，判断直线AB与CD是否相交。如图2-4-7所示。 （a）已知条件 （b）作图过程图2-4-7 判断直线AB与CD是否相交解：（1）根据平行性，分别过a、a作ef、ef的平行线。（2）所作平行线AB与CD的投影交点不满足定比性，故AB与CD不相交。三、两交叉直线 两交叉直线既不平行也不相交。它们的同面投影可能平行，也可能相交。空间两直线若是交叉，则它们投影的交点不符合点的投影规律。反之亦然，如果空间两直线的两面投影交点不符

39、合点的投影规律，则空间两直线必定交叉。如图2-4-8所示。H面的重影点1（2）与V面重影点3（4）的连线不垂直OX轴，不符合点的投影规律，故空间直线AB和CD是交叉的。 （a）空间图 （b）投影图图2-4-8 空间两交叉直线的投影特殊情况：如果两面投影平行，而第三面投影相交，则空间两直线是交叉的。例2-6判断两直线AB和CD的相对位置关系。如图2-4-9所示。解：（1）由投影图可知，空间直线AB和CD是一般位置直线。（2）两直线在V面的投影交点与H面的投影交点的连线与OX轴不垂直，故AB与CD的关系是交叉。图2-4-9 两直线的关系四、两垂直直线 空间两直线若垂直，则它们的投影不一定是垂直的；

40、若空间两直线的投影垂直，空间两直线也不一定是垂直的。那么如何通过投影来断定空间两直线是相互垂直的呢？由此引入垂直投影定理。垂直投影定理包括两部分内容：第一，若垂直相交的两直线中有一条平行某投影面，则两直线在该投影面上的投影相互垂直。第二，若两相交直线在某投影面上的投影相互垂直，且已知其中一条直线平行该投影面，则两直线在空间一定相互垂直。 （a）空间图 （b）投影图图2-4-10 垂直投影定理 如图2-4-10所示，直线BC是水平线，ABBC，BCBb，故BC面ABba，因此BCab，又因为abBb，故ab面BCcb，则ab垂直平面BCcb上任意一条直线，因此abbc。反之，已知abbc，且BC是水平线。可证明ABBC。例2-7 求点P到正平线AB的距离。如图2-4-11（a）所示。解：如图2-4-11（b）所示。（1）由图中可知AB是正平线，过点P作AB的垂线，根据垂直投影定理可知垂直关系可在V面上体现出来，故过p作