江苏省常州市2023-2024学年高三上学期期末学业水平监测数学试卷含答案.pdf

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1、#QQABZQAEoggIABIAAQhCAwHKCgMQkBCAAKoGRFAAsAAAyQNABAA=#QQABZQAEoggIABIAAQhCAwHKCgMQkBCAAKoGRFAAsAAAyQNABAA=#QQABZQAEoggIABIAAQhCAwHKCgMQkBCAAKoGRFAAsAAAyQNABAA=#QQABZQAEoggIABIAAQhCAwHKCgMQkBCAAKoGRFAAsAAAyQNABAA=#QQABZQAEoggIABIAAQhCAwHKCgMQkBCAAKoGRFAAsAAAyQNABAA=#QQABZQAEoggIABIAAQhCAwHKCgMQkBCAAK

2、oGRFAAsAAAyQNABAA=#参考答案 第 1 页（共 5 页）常州市教育学会常州市教育学会学业水平监测学业水平监测 高三数学参考答案 2024 年 1 月 一、选择题：一、选择题：1A 2A 3C 4B 5B 6C 7A 8D 二、选择题二、选择题：9BC 10ABD 11BCD 12BD 三三、填空题：、填空题：132 142 158，15(22)16+162 628+或2 628 四四、解答题、解答题：17解：（1）当1n=时，1112aSc=+，当2n=时，2213aSSc=+，当1n=时，3325aSSc=+，因为 na是等差数列，所以3221aaaa=，可得0c=3 分 所

3、以11a=，212daa=，所以21nan=，此时2nSn=符合题意 5 分（2）因为mb为na在区间(0 2ma ，（*mN）中的项的个数，21nan=，即mb为区间21(0 2m ，（*mN）中奇数的个数 8 分 所以211242mmmb=（*mN），所以数列 nb的通项公式14nnb=10 分 18解：（1）因为6.0460.04(6.04)()()P X=，其中5000 114(6.04)0.97725000P X=，即0.04()0.9772=4 分 查表得0.042.0=，所以0.02=6 分（2）因为6.056(5.956.05)2(6.05)12()12(2.5)10.02PX

4、P X=9 分 所以1(5.956.05)500022(2.5)5000(10.9938)1000062PX=，所以不合格的金属棒约有 62 根 12 分#QQABZQAEoggIABIAAQhCAwHKCgMQkBCAAKoGRFAAsAAAyQNABAA=#参考答案 第 2 页（共 5 页）19解：（1）由等面积法得11sin6022acbh=，且3bh=，从而232bac=又由余弦定理得2222cosbacacB=+，222bacac=+由，可得22502acac+=，所以122acac=或，即122ca=或 4 分（2）13sin3cos2(sincos)2sin()223AAAAA=

5、5 分 令3At=，则3At=+，233CAt=由11sin6022acbh=得3=2achb，而cah=，则32accab=，由正弦定理得()2 sin2 sin2 2 sin3 2 sin2 sinRCRARBRARC=，所以有sinsinsinsinCACA=8 分 所以有sin()sin()sin()sin()3333tttt+=+，所以2222sinsincoscossi32cosn33ttt=，即2231sincossin44ttt=，所以24sin4sin30tt=，所以1sin2t=或3sin2t=（舍）11 分 所以sin3cos2sin1AAt=12 分 20解：（1）在平

6、面 PCD 内，过点 N 作CD的平行线交PD于E，有ENCD，在正方形ABCD中，ABCD，所以ENAB，则四点E N A B ，在同一个平面上，因为MN平面PAD，MN 平面AMNE，平面PAD平面AMNEAE=，所以MNAE 3 分 所以四边形AMNE是平行四边形，所以1122ENAMABCD=，所以点E N ，分别为PD PC ，的中点，因为PAAD=，所以AEPD，因为MNPC且MNAE，所以AEPC，又因为PDPCP=，PC，PD 平面PCD，所以AE 平面PCD，因为CD平面PCD，所以CDAE EABCMNPDx y z#QQABZQAEoggIABIAAQhCAwHKCgMQ

7、kBCAAKoGRFAAsAAAyQNABAA=#参考答案 第 3 页（共 5 页）因为正方形ABCD中CDAD，又因为ADAEA=，AD AE ，平面PAD，所以CD平面PAD 7 分（2）由（1）ENCD，CD平面PAD，可得EN 平面PAD，以,EA EN EP为正交基底，建立空间直角坐标系 8 分 则()()()()()()0,0,3,1,2,0,0,2,3,1,1,0,0,1,0,0,0,3PBCMND，设平面PBD的法向量()1111nxyz =，则1PDn，1DBn，1111112 30230DP nzDB nxyz=+=，不妨取11y=，则()12 1 0n=，设平面MNC的法

8、向量()2222nxyz=，则2NCn，2MNn，22222300NC nyzMN nx=，不妨取11z=，则()103 1n=，10 分 则121212315cos1052nnnnn n=，所以平面MNC与平面PBD所成的二面角的正弦值为1585110010=12 分 21解：（1）因为()esinxf xmx=，所以(0)1fm=，又()010fmn=+=，所以1m=，2n=2 分 所以()ecos2xf xx=+，得到()esinxf xx=，当0 x 时，e0 x，sin0 x，所以()esin0 xfxx=当0 x 时，e1x，sin1x，所以()esin0 xf xx=，即()0f

9、 x在)+，上恒成立，所以()f x在)+，上单调递增 5 分（2）“当0)x +，时，()3sinf xxax恒成立”等价于“e3sincos20 xxxax+在)0 +，上恒成立”设()e3sincos20 xg xxxaxx=+，则()e3cossinxg xxxa=+，#QQABZQAEoggIABIAAQhCAwHKCgMQkBCAAKoGRFAAsAAAyQNABAA=#参考答案 第 4 页（共 5 页）设()()h xg x=，则()e3sincosxh xxx=+，当)0 x ，时，由于sin0 x，e1x，cos1x，故()0h x；当)x +，时，由于3ee28x=，3si

10、ncos10 xx，故()0h x，综上可得()()h xg x=在0)+，上单调递增，8 分 又(0)2ga=，若2a，则()(0)0g xg，故()g x在0)+，上单调递增，又()00g=，故符合题意；10 分 若2a，则(0)0g，故必存在正实数0 x满足0()0g x=，故()g x在()00 x ，上单调递减，在()0 x +，上单调递增，又()00g=，故0()0g x，不符合，所以实数 a 的取值范围是)2 +，12 分 22解：（1）设()()0000A xyBxy ，()()00Fcc ，从而()00=FAxc y+，()00=FBxcy+，由FAFB可得22200=0FA

11、 FB cxy=，点()00A xy ，在椭圆C上可得2200221xyab+=，两式联立后消去0y，可得()2222022abcxba=，由于2200 xa，则()()222222222220abcbaabcaba，化简得222200bcac，所以212e 4 分（2）由题意可得直线PA的斜率存在，故设直线PA的方程为()2yk xa=，由12e=可得2ac=，从而3bc=，所以直线PA方程可化为()4yk xc=设()()()112211A xyD xyB xy ，从而直线BD方程为()212221yyyyxxxx+=，令0y=，则()221211222121yxxx yx yxxyyyy

12、+=+()()()()2112124444x k xcx k xck xck xc+=+，#QQABZQAEoggIABIAAQhCAwHKCgMQkBCAAKoGRFAAsAAAyQNABAA=#参考答案 第 5 页（共 5 页）即()121212248x xc xxxxxc+=+由()22224143yk xcxycc=+=，消去y得()2222223+43264120kxck xk cc+=，则()()()2222222122222122=324 34641203234641234ckkk ccckxxkk ccx xk+=+=+，从而()222222121221226412322424

13、3434328834k ccckcx xc xxkkxcckxxcck+=+，所以=1c，所以椭圆的标准方程为22+143xy=8 分 若直线MN与x轴重合，则()()2 02 04OM ON=，若直线MN与x轴不重合，设直线MN的方程为1xmy=+，()()3344M xyN xy ，所以()()343434341+1+OM ONx xy ymymyy y=+=+()()2343411my ym yy=+，由2213412xmyxy=+=，消去x得()2234690mymy+=，从而()()()22342342644390643943mmmyymy ym=+=+=+，则()222222296

14、1251111443434343mmOM ONmmmmm=+=+，由于20m，则211110434m+，从而OM ON544 ，综上所述OM ON的取值范围是544 ，12 分#QQABZQAEoggIABIAAQhCAwHKCgMQkBCAAKoGRFAAsAAAyQNABAA=#高三数学第 1 页(共 16 页)常州市教育学会学业水平监测常州市教育学会学业水平监测高三数学2024 年 1 月注意事项：注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上2回答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其

15、他答案标号回答非选择题时，将答案写在答题卡上写在本试卷上无效3考试结束后，将答题卡交回一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1设集合 Ax|x2x，Bx|lnx0，则 ABA0，1B(0，1C0，1)D(0，1)2在复平面内，复数 z1232i 对应的向量为OA，复数 z1 对应的向量为OB，那么向量AB对应的复数是A1B1C 3iD 3i3已知实数 a，b 满足等式 lgalnb，下列三个关系式中可能成立的个数为ab1；1ab；abA0B1C2D3#QQABbQiAggAgABIAAAhCAw26CgMQkBEACIoGx

16、EAMsAAACBFABAA=#高三数学第 2 页(共 16 页)4对任意实数 a，b，C，在下列命题中，真命题是A“ac2bc2”是“ab”的必要条件B“ac2bc2”是“ab”的必要条件C“ac2bc2”是“ab”的充分条件D“ac2bc2”是“ab”的充分条件5已知扇形 AOB 的半径为 5，以 O 为原点建立如图所示的平面直角坐标系，OA(5，0)，OB(4，3)，弧 AB 的中点为 C，则OC(第 5 题图)A(92，32)B(3 102，102)C(4，2)D(2 5，5)#QQABbQiAggAgABIAAAhCAw26CgMQkBEACIoGxEAMsAAACBFABAA=#高

17、三数学第 3 页(共 16 页)6 已知正三棱锥 PABC 的侧棱长为 3，当该三棱锥的体积取得最大值时，点 A 到平面 PBC的距离是A3 2B 6C3D3 327已知定义在 R 上的函数 f(x)的导数为 f(x)，f(1)e，且对任意的 x 满足 f(x)f(x)ex，则不等式 f(x)xex的解集是A(，1)B(，0)C(0，)D(1，)#QQABbQiAggAgABIAAAhCAw26CgMQkBEACIoGxEAMsAAACBFABAA=#高三数学第 4 页(共 16 页)8已知圆 C 的直径 AB 长为 8，与 C 相离的直线 l 垂直于直线 AB，垂足为 H，且 0AH2，圆

18、C 上的两点 P，Q 到 l 的距离分别为 d1，d2，且 d1d2若 d1AP，d2AQ，则d1d2A2B4C6D8的两根，#QQABbQiAggAgABIAAAhCAw26CgMQkBEACIoGxEAMsAAACBFABAA=#高三数学第 5 页(共 16 页)二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分9已知一组样本数据 x1，x2，xn(n4)，其中 x10 xn，若由 yk2xk1(k1，2，n)生成一组新的数据 y1，y2，yn，则这组新数据与原数据可能相等的量有A

19、极差B平均数C中位数D标准差10对某城市进行气象调查，发现从当天上午 9：00 开始计时的连续 24 小时中，温度(单位：C)与时间 t(单位：h)近似地满足函数关系AsinxB(A0，B0，012)，其中 0t24已知当天开始计时(t0)时的温度为 25C，第二天凌晨 3：00 时温度最低为 19C，则A12B当天下午 3：00 温度最高C温度为 28C 是当天晚上 7：00D从当天晚上 23：00 到第二天清晨 5：00 温度都不高于 22C#QQABbQiAggAgABIAAAhCAw26CgMQkBEACIoGxEAMsAAACBFABAA=#高三数学第 6 页(共 16 页)11在棱

20、长为 2 的正方体 ABCDA1B1C1D1中，P 在线段 BD1上运动(包括端点)，下列说法正确的有A存在点 P，使得 CP平面 A1DBB不存在点 P，使得直线 C1P 与平面 A1DB 所成的角为 30CPCPD 的最小值为 2 3D以 P 为球心，PA 为半径的球体积最小时，被正方形 ADD1A1截得的弧长是2 23法向量，#QQABbQiAggAgABIAAAhCAw26CgMQkBEACIoGxEAMsAAACBFABAA=#高三数学第 7 页(共 16 页)2 23，选项 D 正确；#QQABbQiAggAgABIAAAhCAw26CgMQkBEACIoGxEAMsAAACBFA

21、BAA=#高三数学第 8 页(共 16 页)12关于函数 f(x)2x1x21，下列说法正确的有A函数 f(x)的图象关于点(12，0)对称B函数 f(x)在(，2)上单调递增，在(2，)上单调递减C若方程 f(x)t 恰有一个实数根，则 t 5D若xR，都有 f(x)m，则 m2#QQABbQiAggAgABIAAAhCAw26CgMQkBEACIoGxEAMsAAACBFABAA=#高三数学第 9 页(共 16 页)三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分13已知双曲线的标准方程为x2k4y2k51，则该双曲线的焦距是14已知函数 f(x)ax23x，x0，log3x2，

22、x0，若 ff(13)a，则实数 a 的值为(第 15 题图)15如图，以等腰直角三角形 BA0A1的直角边 BA1为斜边，在BA0A1外侧作等腰直角三角形 BA1A2，以边 BA0的中点 O1为圆心，作一个圆心角是 90的圆弧 A0A1；再以等腰直角三角形 BA1A2的直角边 BA2为斜边，在BA1A2外侧作等腰直角三角形 BA2A3，以边 BA1的中点 O2为圆心，作一个圆心角是 90的圆弧 A1A2；按此规律操作，直至得到的直角三角形 BAi1Ai的直角顶点 Ai首次落到线段BA0上，作出相应的圆弧后结束 若 BA04，则 i，所有圆弧的总长度为#QQABbQiAggAgABIAAAhC

23、Aw26CgMQkBEACIoGxEAMsAAACBFABAA=#高三数学第 10 页(共 16 页)16已知二面角l为 60，内一条直线 m 与 l 所成角为 30，内一条直线 n 与 l 所成角为 45，则直线 m 与直线 n 所成角的余弦值是#QQABbQiAggAgABIAAAhCAw26CgMQkBEACIoGxEAMsAAACBFABAA=#高三数学第 11 页(共 16 页)四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17(10 分)已知等差数列an的前 n 项和为 Snn2cnc，cR(1)求数列an的通项公式；(2)记 bm为an在区间(0

24、，2am(mN*)中的项的个数，求数列bn的通项公式【解析】18(12 分)某制造商生产的 5000 根金属棒的长度近似服从正态分布 N(6，2)，其中恰有 114 根金属棒长度不小于 6.04(1)求；(2)如果允许制造商生产这种金属棒的长度范围是(5.95，6.05)，那么这批金属棒中不合格的金属棒约有多少根?说明：对任何一个正态分布 XN(，2)来说，通过 ZX1转化为标准正态分布 ZN(0，1)，从而查标准正态分布表得到 P(XX1)(Z)可供查阅的(部分)标准正态分布表(Z)Z1.11.21.31.41.51.61.71.81.9(Z)0.86430.88490.90320.9192

25、0.93320.94520.95540.96410.9713Z2.02.12.22.32.42.52.62.72.8(Z)0.97720.98210.98610.98930.99180.99380.99530.99650.9974#QQABbQiAggAgABIAAAhCAw26CgMQkBEACIoGxEAMsAAACBFABAA=#高三数学第 12 页(共 16 页)【解析】19(12 分)记ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，AC 边上的高为 h，已知 B3(1)若 b 3h，求ca的值；(2)若 cah，求 sinA 3cosA 的值【解析】#QQABbQiAggAg

26、ABIAAAhCAw26CgMQkBEACIoGxEAMsAAACBFABAA=#高三数学第 13 页(共 16 页)20(12 分)如图，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是边长为 2 的正方形，PAAD，PD2 3，M 是 AB 的中点，N 是线段 PC 上一点，且 MN平面 PAD，MNPC(1)求证：CD平面 PAD；(2)求平面 MNC 与平面 PBD 所成的二面角的正弦值(第 20 题图)【解析】#QQABbQiAggAgABIAAAhCAw26CgMQkBEACIoGxEAMsAAACBFABAA=#高三数学第 14 页(共 16 页)21(12 分)已知函数 f(x)m

27、excosxn，曲线 yf(x)在点(0，f(0)处切线方程为 yx(1)讨论函数 f(x)在，)上的单调性；(2)当 x0，)时，f(x)3sinxax 恒成立，求实数 a 的取值范围【解析】#QQABbQiAggAgABIAAAhCAw26CgMQkBEACIoGxEAMsAAACBFABAA=#高三数学第 15 页(共 16 页)22(12 分)已知椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)的左焦点为 F，离心率为 e，A，B 是 C 上的相异两点，P(2a，0)(1)若点 A，B 关于原点对称，且 FAFB，求 e 的取值范围；(2)若点 A，B 关于 x 轴对称，直线 PA 交 C 于另一点 D，直线 BD 与 x 轴的交点 Q 的横坐标为 1，过 Q 的直线交 C 于 M，N 两点已知 e12，求OMON的取值范围【解析】#QQABbQiAggAgABIAAAhCAw26CgMQkBEACIoGxEAMsAAACBFABAA=#高三数学第 16 页(共 16 页)(2)#QQABbQiAggAgABIAAAhCAw26CgMQkBEACIoGxEAMsAAACBFABAA=#