50套民国大学入学数学考试试题.pdf

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1、北京大学一九一七年民国老试卷数学竞赛的那些事儿we are fools,we love math1北京大学一九一七年一、甲部A.算术1.鸡犬共若干只.足数共 320,而鸡之头数为犬之头数之七分之二,问鸡犬各有几只.2.有酒两种,甲种 4 升与乙种 5 升价值之比若 6:7.今甲种 4 升瓶 26 瓶之价为 13元,问乙种 3 升瓶 28 瓶该价若干?B.代数3.试解一次联立方程式7x+2y=47,5x 3y=7.4.试解方程式:x2 x+72x2 x=18.C.几何5.自二等边三角形底边上任意一点,引他二边之平行线,所得平行四边形之周围有一定之长.6.直角三角形内切圆之直径与斜边之和等于他二边

2、之和.二、乙部A.算术1.某日温度华氏与摄氏之比若 13:4,问华氏几度?2.即甲部之 1 题.B.代数3.试分 ab(x2 y2)+xy(a2 b2)为因数.4.有二位数字之数,其数等于各位数字之和之五倍,又此数加 9,则此数数字之顺序顛倒,求此数.C.几何5.三等边三角形顶角之外角,二等分线与底边平行.北京高等师范学校一九一九年民国老试卷数学竞赛的那些事儿we are fools,we love math2北京高等师范学校一九一九年一、8 月 12 日本京招生试题1.有人持钱购物,初用去其三分之一,又用其剩余者八分之五,尚余铜元 30 枚,问其人原持钱若干.2.求解:4x 17x 4+10

3、 x 132x 3=8x 302x 7+5x 4x 1.3.由直角三角形之直角顶,作其对边之垂线,求证:此垂线之平方,等于其所分底线两段之积.4.试证以下基本公式:(1)cos(A+B)=cosAcosB sinAsinB.(2)cos(A B)=cosAcosB+sinAsinB.二、9 月 12 日复试各省适送学生试题1.二百二十码之竞走,甲许乙先发 5 码,乙许丙先发 9 码,则无胜负 若于 880 码竞走,同甲许丙先发 50 码,尚胜若干码?2.试化下式为简式1+x1 x+4x1+x3+8x1 x41 x1+x1+x31 x3+4x31+x41 x31+x3.3.设两弦于圆内相交,其两

4、线分之积,彼此相等.试证明之.4.设 2sinA=cosA,求 sinA 及 cosA 之值.北京工业专门学校一九一九年民国老试卷数学竞赛的那些事儿we are fools,we love math3北京工业专门学校一九一九年A.算术(以代数作者无效)1.有甲乙两人,甲所有银为乙之五倍,其后甲得 30 元,乙得 80 元,则甲所有为乙之二倍,问甲乙原各有银几何.2.由甲地至乙地,若每时行 32 丈,则比预定时间迟 2 小时始到,若每小时行 56 丈,则比预定时间早一小时可到,同依预定时间每时应行之速.3.化简1 426697+212812312518.4.农夫四名,每日工作 14 小时,5 日

5、间可耘田 15 亩,问用农夫七名,每日工作 13 小时,几日可耕田 1912亩.5.我国邮便贮金,规定常年 4 厘 2 毫,于六月,十二月底结算,可以利息加入本金,但不满一元者不计,今有人以 500 元于六月底存入,由七月一号起算利息,问三年后可得本利共若干元?B.代数1.试将下列繁分数简单之:2x+y1xy xy2x y1y2x+yx xyx+2y.2.有人定酒二坛,两坛所盛斤数不等,原定一盛甲酒每斤 8 角,一盛乙酒每斤 5 角,今误将甲坛盛乙酒,乙坛盛甲酒,酒商要求加洋一元五角.问两坛斤数各几何.3.试解下列之联立方程式,求 x,y,z 之值:5x8y=3,8y3z=1,25z+73x=

6、2.北京工业专门学校一九一九年民国老试卷数学竞赛的那些事儿we are fools,we love math44.若 a:b=c:d,试证:(a2+b2)a3a+b=(c2+d2)c3c+d.5.有三数原成等比级数,其和为92.若第一数以23乘之,第二数以23乘之,第三数以1627乘之,则成等差级数.问原三数各几何?C.几何1.三角形各内角平分线必交于一点,试证之.2.圆内各等弦中点之轨迹为一同心圆周,试证之.3.设已知三角形之底边,面积及其顶角,求作此形.4.有圆锥高 8 寸,底之半径 4 寸,今距顶点 2 寸之处,作与底平行之平面截断此圆锥,问此两部分之体积各几何?天津北洋大学一九二一年民

7、国老试卷数学竞赛的那些事儿we are fools,we love math5天津北洋大学一九二一年1.化(x2 y2)(2x2 2xy)4(x y)2xyx+y.2.解x+y+x+y=a,x y+x y=b.3.二水管齐开需时 1027点钟装满一水池,若大管独开则较小管独开所需之时少 6 点钟,试求每水管独开需若干点钟可装满此水池.4.设由圆外一点作一切线一割线,证明:此切线为割线及其圆外线分的比例中率.5.设一圆之半径为 25 尺,其外切四边形之周界为 400 尺.试求此四边形之面积.6.知一边一邻角及其余二边之和,求作三角形.7.设一三角形之底边为 600 尺,其二底角一为 30,一为

8、120,试求其他二边及其商为若干尺.南京东南大学一九二二年民国老试卷数学竞赛的那些事儿we are fools,we love math6南京东南大学一九二二年A.代数1.约写下式A2(A B)(A C)+B2(B C)(B A)+C2(C A)(C B).2.解下列方程式 AX2+2BX+2(B A)=0,并证明其根恒为实数.B.代数1.解联立方程式xB2 C2=yC2 A2=zA2 B2,xB+C+yC+A+zA+B=1.2.欲方程式 MX2+2(M 1)X+4M=0 有实根,M 之值当如何?3.有半径为 R 之圆 C,于其直径 AB 上取其半 B1B 为直径作一圆 C1,又取 B1B之半

9、 B2B 为直径作一圆 C2,更取 B2B 之半 B3B 为直径作一圆 C3,如是无限推之,求C1,C2,C3,无穷个圆周之和.C.几何1.联四边对边中点之两直线,必互为二等分,试证之.2.有直角三角形 ABC(C 为直角),以 A 为圆心,斜边之长为直径作圆,割 AC 于 D点及 AB 于 O 点,自 D 引与 AO 正交之弦 DE,证:ADE 与 OCB 相等.D.三角1.已知 cosx=1 (M+1)sin2x1+(M 1)sin2x,求 x 的值.2.证:tan2x tan2ysec2x sec2y=sin(x+y)sin(x y).3.设 A,B,C 与 a,b,c 依次为一三角形之

10、三角与三边,试证:ab+c=sinA2cosB C2.武昌高等师范学校一九二二年民国老试卷数学竞赛的那些事儿we are fools,we love math7武昌高等师范学校一九二二年一、初试A.算术1.求由 1 至于某数间之素数之法,并举例以说明之.2.梨 10 个柿 8 个较梨 8 个柿 10 个少 30 文,而梨柿各一个共钱 55 文,问梨柿每个价若干.B.代数1.析 a2b+ab2 a2c+ac2 2abc b2c+bc2之因式.2.解11+2x22+3x+33+3x44+4x=0.C.几何1.三角形二边之和大于其他一边.2.作通过二定点,中心在一定直线上之圆.二、复试A.代数1.有

11、甲乙二书记,甲每写 3 页,乙能写 4 页.甲日写 8 点钟,10 日之间已写 480 页,问乙欲 15 日之力写完 720 页,每日须写几点钟.2.解x2 xy+y2=81,x4+x2y2+y4=1281.3.有甲乙二列火车,甲列比乙列每点之速度多 15 里,如行 36 里,则甲列比乙列先 12分钟到.问甲乙二列车之速度各几何.B.几何1.试证三角形之三中线相会于一点.2.任意之外切四边形,相对两边之和等于其他相对两边之和,试证明之.C.三角1.试证:cosA+sinAcosA sinA=tan2A+sec2A.国立北京大学入学试验算学试题一九三二年民国老试卷数学竞赛的那些事儿we are

12、fools,we love math8国立北京大学入学试验算学试题一九三二年理学院(A)一、代数1.试解方程式:a(x+y)=b(x y)=xy.2.求 4x+49y 28xy 之平方根.3.设 x+y+z=0,试证明:x3+y3+z3=3xyz.4.试解方程式:x+2x 2x 2x+2=56.二、三角1.试求方程式:sin3+cos=0 之一般根.2.试证:tana+tanbtana tanb=sin(a+b)sin(a b).三、几何1.于四边形之内,取一点不在两对角线之交点之上者.试证明从此点至各顶点之距离之和,大于两对角线之和.2.内接(inscribed)于圆之平行四边形为矩形,其对

13、角线通过圆心.试证明之.3.求内接于圆之正六角形(regular hexagon)与外切(circumscribed)正三角形之面积之比.4.直角三角形之斜边(hypotenuse)上所画之正三角形之面积,等于其余两边上所画之正三角形之面积之和.国立北京大学入学试验算学试题一九三二年民国老试卷数学竞赛的那些事儿we are fools,we love math9理学院(B)一、解析几何1.关于直交轴有三直线 x=0,y=0,xa+yb=1.求与此三直线相切之圆之方程式.2.求二直线 y=m1x+c1,y=m2x+c2,及 y 轴所包围之三角形之面积.3.试讨论方程式 3y2+2x+1=0 所表

14、示之曲线.4.双曲线之切线与渐近线相交,试证切点移动,其所包围之三角形之面积为常数.二、高等代数1.试求适合 5x+3y 121,74x+y=42 二式之 x,y 之值之界限.2.(1+x)n之展开式中,求其各项系数之平方之和.3.试求方程式(x 2)(x 3)(x 4)=1 2 3 之诸根.4.试求:raqapa至无穷.上海交通大学入学试验算学试题一九三三年民国老试卷数学竞赛的那些事儿we are fools,we love math10国立上海交通大学入学试验算学试题一九三三年(A)一、高等代数1.分解此式为部分分数x2+px+q(x a)(x b)(x c).2.若 a,b,c 为不等正

15、数,求证:a3+b3+c3 3abc.3.以递差法(Method of Idifference)求下列级数之第 n 项及 n 项之和:8,16,0,64,200,432,.4.某童平均能于五题中作三题.若试验八题中,能作五题即及格,求此童及格之机会.5.用消元法解下之联立方程式:x2 3xy+2y2 16x 28y=0,x2 xy 2y2 5x 5y=0.6.求一最简分数表 =3.14159265.使其误差小于 0.000001.7.以一行列式表次行列式之积:?aaaabbbbccccdddd?abcd?8.知 x3 2x2 23x+70=0 有根在 5 与 6 之间,求此根之值至小数四位止.

16、上海交通大学入学试验算学试题一九三三年民国老试卷数学竞赛的那些事儿we are fools,we love math11(B)一、平面三角及解析几何1.求满足次方程式 x 之值:Vers1x Vers1x=Vers1(1 ).2.一人立于高为 h 之塔之正南,测得塔之仰角为.自此向西行至 A 处,测得仰角 继续西行至 B,得仰角.求 AB 之长,以 h,表之.3.由抛物线焦点向切线所引之垂直线,交过切点之直径于准线上.4.讨论且描出次方程式之轨迹 r2=16sin2.5.椭圆诸圆之极(Pole)在辅圆(Auxiliary circle)上,求此诸弦中心之轨迹.6.求双曲线 x2 y2=a2之反

17、曲线(Inverse),并讨论其性质,但反演中心(Center ofinversion)在双曲线之顶点上.7.求过(3,2,6)且与平面 4x y+3z=5 垂直之直线方程式.8.求过直线x x1a1=y y1b1=z z1c1及与直线x x2a2=y y2b2=z z2c2平行之平面之方程式.国立北平师范大学一九三三年民国老试卷数学竞赛的那些事儿we are fools,we love math12国立北平师范大学一九三三年一、算术二数之和为 36,其大数之二倍较小数之三倍多 2,试问各数为何.二、代数1.某甲作工若干日,共得工洋 36 圆.如其每日多挣二角,则虽少作二日,亦可得相等之工资.

18、问其每日工价若干,又问其作若干日.2.试解下列联立方程式x3+y3=a3,x+y=b.三、几何1.两圆相外切(tangent externally)于 A,又有一外公切线(common external tangent)切两圆于 B 及 C,试证 BAC 为直角(right angle).2.已知三角形之三角及其面积,求作其圆.南开大学一九三三年民国老试卷数学竞赛的那些事儿we are fools,we love math13南开大学一九三三年理科1.Two straight roads intersect at an angle of 30.If two automobiles start

19、at the same timeat the junction,one at the rate of 60miles an hour and the other at the rate of 40 miles an hour,how far apart will they be in 15 minutes?2.Draw the graph of the equation(1)y=x3 x2 x+1.Use the graph to locate theroots of the equation(2)x3 x2 x+1=0.Check by solving the equation algebr

20、aically.3.Find the area of the triangle out off from the first quadrant by the tangent to the ellipse2x2+3y2=14 at the point(1,2).4.Find the equation in polar coordinates of the straight line which is perpendicular to thepolar axes at a distance of 5 units from the pole.5.Reduce the hyperbola 4x2 9y

21、2 24x+36y 36=0 to standard form.6.ABCD is a rectangle,and a straight line APQ cuts BC in P&DC extended in Q.Locatethe point P so that the sum of the areas of the two triangles ABP&CPQ may be a minimum.7.Find the area bounded by the curves.y=sinx of y=12sinx beween x=0 and x=.8.Evaluate the determina

22、nt.?sinAcosB1cosBsinA1111?齐鲁大学一九三三年民国老试卷数学竞赛的那些事儿we are fools,we love math14齐鲁大学一九三三年下列各题分 A、B、C 三组,A、C 每组至少各答二题,B 组至少答一题.A1.解下列二式1.(a2 b2)(x2 1)=4abx.2.7x+1 3x+10=1.A2.一坐自行车者以平均速度行过 180 哩,设彼每小时迟行三哩,则行此路程须多加三小时,问其速度若何?A3.求 117 3610 之平方根.B4.设A、B、C 为一三角形之三角,设证sin2A+sin2B+sin2C=2+2cosAcosB cosC.B5.有 AB

23、C 三角形,已知 B=15,b=3 1,c=3+1,试求其余各项.C6.一定点 D 在 AB 及 AC 两直线间,求作过 D 至 AB、AC 两线之直线,并 D 为所作线之三等分点之一点,井证有二此等线.C7.试证同底之三角形且在同平行线内其面积相等,又证明如何作一三角形令其面积等于已知之四边形.C8.试证圆内之等弦距圆心均等.又证圆内之两等弦相交割其所割相当之部分各相等.C9.自一平面外之一点 A 向平面上作 AB 垂线,CD 为平面内之任一线,AE 线垂直于 CD,证 BE 线垂直于 CD.河北省立女子师范学院一九三三年民国老试卷数学竞赛的那些事儿we are fools,we love

24、math15河北省立女子师范学院一九三三年任作五题一、有长方体积之冰块,其长 2 步,阔 1 步 3 尺,厚 4 尺,而此冰之比重为 0.93,若置其于水中,浮出水面之高几寸?二、有甲乙二童赛跑于若干丈之间,甲每分时之速度较乙之 3 倍少 18 丈.若乙先行48 丈,甲始出发,则经 8 分时同达.问 1 分时甲乙速度各如何?三、劈下列各式之生数(即因式分解):1.3a2+a 6a2b 2b2.(2x+3y)2(x 4y)23.a4+a2b2+b4.四、解明:6x+58x 151+8x15=1 x3+3 x5.五、今有连续二数,其和之平方数较平方之和多 220,问二数为何?六、试言已知三角形之两

25、角及一角之对边,求作其形之方法.七、切线与经过切点之弦所成之角可用其截弦之半量之,证:x=12x.国立中央大学一九三三年民国老试卷数学竞赛的那些事儿we are fools,we love math16国立中央大学一九三三年一、解下列诸方程式:1.2x 1+3y+1=74,x+y p5(x+y)=10.2.log10?7x+4+25?log10 x=1.二、甲乙二地,东西相距若干里,今有汽车于上午十时由甲地向乙地而行,至中途,折而南行,行十里时后,复向乙地前进,至下午二时达乙地,停留一小时后,由乙地向甲地驶返,每小时之速度,较前增三里,至下午五时返甲地,求甲乙二地之距离.三、求作下列诸直线:1

26、.过一已知点,分已知等腰梯形为两等积形.2.垂直于一已知线,与已知圆相切.四、于正东正南甲乙二地,测得某山之仰角为 45及 30,今甲乙两地之距离为 2400尺,求山高.五、答下列各则(其不通或不可解者,请注明不通或不可解):1.323 与 221 之最大公约数为.2.x2+3x+9=0 之两根为.3.(x+y)6=.4.x4+4 之有理因子为.5.log100=,log10(4)=.6.317 与421 之两数孰大.7.n 多边形诸角之和=.8.何为圆：.9.rsinx 34=23之根为.10.tan30=,tan45=,tan60=.国立各院校统一招生一九三九年民国老试卷数学竞赛的那些事儿

27、we are fools,we love math17国立各院校统一招生一九三九年甲组试题1.已知2+i(i=1)为方程式 x6+3x5 3x4 6x3+11x2+27x 9=0 之一根,求其余诸根.2.用 De Moivre 定理解方程式:(x 2)2(x2+2x+4)2+12=0.3.设 a,b,c 为不全等于零之实数,求证:方程式?x22xyy200 x22xyy2c2ba00c2ba?=1恒表示两个二次曲线,并讨论其性质.4.求过椭圆上之一定点上诸弦之中点之轨迹,并讨论之.5.设a,b为合乎关系ab=0,a2=b2之二常数,为合乎关系a+an=b+an=0之二参数(parameters

28、).求证:x=asin2+bcos2,y=bsin2+acos2.6.有互相外切之三圆,其半径分别为 a,b,c,试求三圆当中空隙之面积.辅仁大学一九四一年民国老试卷数学竞赛的那些事儿we are fools,we love math18辅仁大学一九四一年一、设 AD 为 ABC 之中线 ADB 之平分线交 AB 于 E,ADC 之平分线交 AC于 F,试证 EF/BC.二、试作一正方形,与一已知长方形之面积相等.三、设 a:b=x:y,试证(a3+2b3):ab2=(x3+2y3):xy2.四、方程式 x3 9x2+23x 15=0 之诸根成为等差级数,试求之.五、设 A+B+C=180,试

29、证 sin2A+sin2B+sin2C=4sinAsinB sinC.六、解方程式 tan12x+tan14x=tan13.国立四校联合考试民国老试卷数学竞赛的那些事儿we are fools,we love math19国立西南联合大学国立武汉大学国立中央大学国立浙江大学一九四一年甲组试题一、二次方程式 x2+px+q=0 有二相异实根时,若 k 为不等于 0 之常数,则方程式x2+px+q+k(2x+p)=0 亦有二实根且仅有一根在前二根之间,试证之.二、试证：?cos(a b)cos(b c)cos(c a)cos(a+b)cos(b+c)cos(c+a)sin(a+b)sin(b+c)

30、sin(c+a)?=sin(c a)sin(a b)sin(b+c)?2sin(b+c)sin(b c)?=2sin(b c)sin(c a)sin(a b).三、设 P 点在椭圆所引之二切线与其长轴之夹角为 1、2,试就下列情形分别求 P之轨迹.1.tan1+tan2为一定值.2.cot1+cot2为一定值.中国大学一九四一年民国老试卷数学竞赛的那些事儿we are fools,we love math20中国大学一九四一年一、算术1.某校招考学生,投考的有 540 人,考取 15%,是多少人?2.某学生带银去买书籍等物 要用所有银的14买字典,15买地理,16买文具,这样一算,付价之后,还

31、可以剩银 2310元 问他带去银是多少?二、代数1.解方程式3x+6x 1=x+13x(x 1).2.求证 13+23+33+n3=?n(n+1)2?2.三、几何1.若三角形的两边不等,它的对不等边的两角也必不等,并且大角必对大边.2.ABC 之边 AC 之三等分点之中,设近于 A 之点为 D,而 BC 之中点为 E 时,则AE 为 BD 所二等分.四、三角1.求证:sin(x+y)sin(x y)=tanx+tanytanx tany.2.求证下列恒等式 tan1m+tan1n=tan1m+n1 mn.中央政治学校一九四一年民国老试卷数学竞赛的那些事儿we are fools,we love

32、 math21中央政治学校一九四一年一、解方程式1x2+1xy=1a2,1y2+1yx=1b2.二、求级数11 3+13 5+15 7+,n项及无穷项之总和,其第n项为1(2n 1)(2n+1).三、求与原点及直线 x+4y=8 等距离之点之轨迹方程式.国立四川大学一九四二年民国老试卷数学竞赛的那些事儿we are fools,we love math22国立四川大学一九四二年一、已知 log102=0.30103,试求下列对数之值 log101013250235.二、掷骰一粒,连掷十次,求掷得四次六点之几率.三、试证:直角三角形之弦上正方形之面积,与其他两边之平方形面积之和相等.四、求作一四

33、角形,与一已知四角形等角而外切于一定圆.五、解下列三角方程式 tanx+tan2x=tan3x.六、试证下列恒等式 2sec1x=tan12x2 12 x2.国立三校联合考试一九四六年民国老试卷数学竞赛的那些事儿we are fools,we love math23国立北京大学国立清华大学国立南开大学一九四六年一、证明:ABC 中过 B、C 二顶点之二中线等长,则 ABC 为等腰,并证明其逆定理.二、从半圆之直径 AB 两端各引此半圆弦 AC、BD 交于 E,求证:AC AE+BD BE=AB2.三、解下列联立三角方程式tanx+tany=1,cosxcosy=22.四、两圆外切,其半径各为

34、R 和 r,设两圆之外公切线之交角为,试证sin=4(R r)Rr(R+r)2.五、求下列行列式之值?xx+1x+2x+3x+1x+2x+3xx+2x+3xx+1x+3xx+1x+2?.六、1.解x2+16xy+3y2=2,4x2+5xy+7y2=6.2.有一元票、二元票、十元票各三张,问可付出若干种不同款额?七、求过直线 2x y+4=0 与圆 x2+y2+2x 4y+1=0 之二交点并点(1,1)之圆之方程式.八、试证在抛物线正焦弦两端点所作切线互相垂直,又若此抛物线之方程式为 y2=2px,试求其在上述二切线为坐标轴时之新方程式.国立交通大学一九四六年民国老试卷数学竞赛的那些事儿we a

35、re fools,we love math24国立交通大学一九四六年管理学院一、求解方程式a3(b c)(x b)(x c)+b3(c a)(x c)(x a)+c3(a b)(x a)(x b)=0.二、若 为 1 之两立方虚根之一,试示?121211211112?=33.三、若整数 m=paqbrc,其 p、q、r 为质数(primes),试求 m 所有约数之个数.四、于圆内接四边形内,若两对角线成垂直,求证:对角线交点与一边中点之距离,等于自圆心至对边之距离.五、于三角形 ABC 之 BC 边上任取 X 点,作 ABX 及 ACX 两圆,求证:此两圆直径之比为 AB:AC.六、上题中,若

36、 BX:XC=m:n,试示：1.(m+n)cotAXC=ncotB mcotC.2.(m+n)2AX2=(m+n)(mb2+nc2)mna2,其中 a=BC,b=CA,c=AB.国立交通大学一九四六年民国老试卷数学竞赛的那些事儿we are fools,we love math25理工学院一、若 l+m+n=0,试示方程式 lx2+2nxy+my+2mx+2ly+n=0 表两直线.若此二直线与 x 轴交于 A 及 B,与 y 轴交于 C 与 D,试示 AD、BC 两直线之连合方程式为 lx2+2lmnxy+my2+2mx+2ly+n=0.二、椭圆x2a2+y2b2=1 上三点 P、Q、R 之离

37、心角(eccentric angles)顺次为、,试示 P、Q、R 处三切线所成三角形之面积(不计符号)为 abtan 2tan 2tan 2.三、证明:对于一组共轴圆(coaxial circles)一定点之诸极线(polars)必通过一定点,且一定直线之诸极(poles)必在一直线上.四、若|x|1,m 为正整数,试示(1 x)m可以展开作 c0+c1x+c2x2+之形式,求 ck之值,且证明 c0+c1+c2+ck=(m+k)!m!k!.五、以 n 角形之顶点为顶点,而不是 n 角形之边为边之三角形共有若干?六、路旁有塔 CD,塔底 D 与路最近处为路上之 A 点.于路上 B 点测得塔顶

38、 C 之仰角为,又测得 BC 与路成角.已知 AD=l,求塔高.国立中央大学一九四六年民国老试卷数学竞赛的那些事儿we are fools,we love math26国立中央大学一九四六年一、变换方程式 x4+16x3+89x2+200 x+156=0,使其缺第二项,因而求原方程式之根.二、有相交之二直线 a 及 b,自 a 上之一点作 b 之垂线,复自其在 b 上之垂足向 a 作垂线,更自第二个垂足作 b 之垂线,如此继续作成无数根垂线,设第一垂线之长为 7,第二垂线之长为 6,求此无数垂线长之和.三、若 A+B+C=180,求证:?111tanAtanBtanCsin2Asin2Bsin

39、2C?=0.四、求椭圆 x2+5y2=5 及圆(x+2)2+y2=5 之实公切线之方程式.五、于双曲线43(x 2)2(y+1)2=1 中,已知其一直径之斜度为13,试求此直径及其共轭直径之方程式,若以此二共轭直径为新坐标轴,试求双曲线之新方程式.国立浙江大学一九四六年民国老试卷数学竞赛的那些事儿we are fools,we love math27国立浙江大学一九四六年一、在复素数的平面图上,解不等式?2x 1x 2?0,a、b、皆为实数,求(a+cos)(b+cos)1+cos之极小值.二、问级数 1 x1+x22x33+何时收敛?三、设二斜交轴 x 与 y 交角为,作一圆使通过 x 轴上

40、之二定点(a2,0)、(b2,0),且与y 轴相切,求此圆之方程式.四、设 P 为椭圆上之任意点,且 F 为一焦点,证明:以 FP 及椭圆之长轴各为直径之圆必相内切.五、解?1111sin1211sin21411sin31811?=0.国立武汉大学一九四七年民国老试卷数学竞赛的那些事儿we are fools,we love math41国立武汉大学一九四七年一、某人每年存定款入银行,年利率依复利计算,若干年后得本利和恰为定款 3 倍.设年数加倍,得本利和为定款之 5 倍,但取款时不存入定款,问年利率若干?二、试求(1+2x+10 x2)10之展开式中 x5之系数.三、以三角形各边为直径作圆,

41、试证任意两边上二圆公切线之长为第三边被内切圆切点所分两部分之比例中项.四、试解方程式 csc3+sec2=sincsc2csc3.国立复旦大学一九四七年民国老试卷数学竞赛的那些事儿we are fools,we love math42国立复旦大学一九四七年一、设 a、b、c 为方程式 x3+px+q=0 之三根,Sn=an+bn+cn.1.展开下列行列式为 p、q 之函数 =?S0S1S2S1S2S3S2S3S4?.2.表明 0 时,a、b、c 为三个不同实根 0 时,a、b、c 三根中有一为实根,其余为二相配(conjugate)虚根 =0 时,a、b、c 为三实根且至少有二根相等.二、已知

42、齐次方程组x y cosC z cosB=0 xcosC+y z cosA=0 xcosB y cosA+z=0式中 A、B、C 为三参数(parameter).1.求此方程组 x=y=z=0 之一组解答外,有其他解答时 A、B、C 间之关系.2.求证:A+B+C=时,x、y、z 恰为一三角形之三边.三、试述无穷级数为收敛或发散之定义(definition of convergence or divergence),并讨论普遍项(general term)如下之二无穷级数,何时为收敛?何时为发散?1.Um=xn+1?log(n+1)?q(log 表以 e 为底之对数).2.Um=xn?cosn

43、+cosn1sin+cosn2sin2+sinn?,0 4.四、设有等边双曲线(equilateral hyperbola)xy=1,今于其上取三点 A、B、C 联成三角形,而 A、B、C 之横标(abscissa)依次为 a、b、c.1.求证:过 ABC 三顶点作向对边之垂线会于一点.2.求出三垂线之交点坐标,井证明此焦点在双曲线上.五、设于椭圆上之 M(acos,bsin)点,引与椭圆心 O 之联线 OM、再由 M 点引正交于椭圆长轴之线 MP,复由 P 引与 OM 正交之线 PQ.1.求当 M 点沿椭圆线移动时 Q 点之轨迹.2.讨论此轨迹之形状,并绘图以明之.国立中央大学一九四七年民国

44、老试卷数学竞赛的那些事儿we are fools,we love math43国立中央大学一九四七年一、设 a1,a2,a3,an成调和级数,试证:a1a2+a2a3+a3a4+an1an=(n 1)a1an.二、解无理方程式2x+5+x+6=8x+1,并就其结果讨论之.三、圆内接四边形 ABCD 内,A=90,AB=a,BC=b,其面积为 c2,求 CD、DA及圆半径之长.四、作一正方形,令其四边分别经过四已知点.五、于 A、B、C 三阵地测得敌机之仰角为 60、45、45,今 B 地在 A 地正北 3000尺,C 地在 A 地之正西 4000 尺,求敌机之高,井讨论之.国立中山大学一九四七

45、年民国老试卷数学竞赛的那些事儿we are fools,we love math44国立中山大学一九四七年一、圆之直径 AB 上任意取 P 点,又 CD 弦与直径平行,求证:AP2+BP2=CP2+DP2.二、求作圆,经过一定点,与两定直线相切.三、分x3(x+1)4为分项分数.四、求将 81 分为两整数,其一为 8 之倍数,其他为 5 之倍数.五、设 =2tan1t,求以 t 表 asin(+b).国立四川大学一九四七年民国老试卷数学竞赛的那些事儿we are fools,we love math45国立四川大学一九四七年一、设 ABC 为一直角三角形,A 为直角,A 之平分线与 BC 交于

46、 D,与此三角形之外接圆交于 E.求证:ABC 之面积=12AD AE.二、设 x、y、z 为任意三个角,求证:1.sinx+siny+sinz sin(x+y+z)=4sinx+y2siny+z2sinz+x2.2.sinxsin(yz)cos(y+zx)+siny sin(zx)cos(z+xy)+sinz sin(xy)cos(x+y z)=0.三、设一班有学生 40 人中有甲乙二生,今选四人为代表,问:1.甲乙均被选共有几种方法?2.甲乙均不被选共有几种方法?四、设一三角形三边之长为方程式 x3+px2+qx+r=0 三根.式中 p、q、r 均为已知数,求此三角形之面积.国立河南大学一

47、九四七年民国老试卷数学竞赛的那些事儿we are fools,we love math46国立河南大学一九四七年一、对于已知圆,作一外接三角形,与已知三角形相似.二、求方程式 23x 31y=5,xy=1332之解.三、解下列方程式:1.2cos5 3cos3+cos=0.2.tan1(1 x2)+tan1(2+x)=4.四、试答下列问题:1.(a+b)n=?2.ai=?(i=1).3.表通常十进数 345 为二进数.4.加法及乘法之交换律、结合律、分配律如何?五、证明:自椭圆二焦点至其任意切线之垂直距离,其乘积为一常数.国立山东大学一九四七年民国老试卷数学竞赛的那些事儿we are fool

48、s,we love math47国立山东大学一九四七年一、如方程式 ax3+3bx2+3cx+d=0 有二相等之根,则其系数间之关系为(bc ad)2=4(ac b2)(bd c2),试证之.二、试解?15 2x111011 3x17167 x1413?=0.三、试求椭圆中诸平行弦之中点轨迹的方程式.四、已知二圆 C1:x2+y2 6x=0、C2:x2+y2 4=0,求通过 C1、C2之两交点及另一点(2,2)之圆的方程式.五、1.求 cos40cos60cos80之值.2.试 A+B+C=90,则 tanAtanB+tanB tanC+tanC tanA=1,试证之.国立厦门大学一九四七年民

49、国老试卷数学竞赛的那些事儿we are fools,we love math48国立厦门大学一九四七年一、等积各三角形,证明:其等腰者周界为极小,当其底相等时.二、ABC 三角形中,自 A、B 两点各作对边垂线,垂足为 DE,设 MN 为 DE 及 AB之两中点,证明:MN DE.三、三角形 ABC 中,其边为 a、b、c,内接圆半径为 r,试证:a+b+c=2r?cotA2+cotB2+cotC2?.四、证明:?bck2bc(b+c)ack2ac(a+c)abk2ab(a+b)?=0.五、求?x3+1x2?20中之 x45之系数.上海圣约翰大学一九四七年民国老试卷数学竞赛的那些事儿we ar

50、e fools,we love math49上海圣约翰大学一九四七年Algebra1.Determine the graph of y=x2+x+1.Find the coordinates of its vertex and theequation of its axis.2.(1)There are two groups of boys on the street corner.One boy leaves the first group andjoins the second.The groups are then equal in size.If one boy had left th