江苏省如皋市2024届高三上学期1月诊断测试数学含答案.pdf

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1、如皋市如皋市 2024 届高三届高三 1 月诊断测试月诊断测试数数 学学 试试 题题 2024.1一、单项选择题：本题共一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.抛物线212yx的焦点坐标为（）.A.1,08B.1,02C.10,8D.10,22.在等比数列 na中，182xaa+，3281xa a-，且前 x 项和121xS，x（）.A.4B.5C.6D.73.已知 m，n 表示两条不同直线，a表示平面，则（）.A.若/ma，/na，则/m nB.若

2、ma，na，则mnC.若ma，mn，则/naD.若/ma，mn，则na4.有 5 辆车停放 6 个并排车位，货车甲车体较宽，停靠时需要占两个车位，并且乙车不与货车甲相邻停放，则共有（）种停放方法.A.72B.144C.108D.965.已 知ABC的 边 BC 的 中 点 为 D，点 E 在ABC所 在 平 面 内，且32CDCECA-uuu ruuu ruuu r，若ACxAByBE+uuuruuu ruuu r，则xy+（）.A.5B.7C.9D.116.函数 yf x的图象为椭圆2222:10 xyCabxab+轴上方的部分，若f st-，f s，f st+成等比数列，则点,s t的轨迹

3、是（）.A.线段（不包含端点）B.椭圆一部分C.双曲线一部分D.线段(不包含端点)和双曲线一部分注意事项（请考生作答前认真阅读以下内容）：注意事项（请考生作答前认真阅读以下内容）：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、座位号填写在答题卡上，并用 2B 铅笔填涂准考证号.2.作答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑：如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷上.3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上。4.考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.5.试卷共 4

4、页，共 19 小题；答题卡共 2 页.满分 150 分.考试用时 120 分钟.命题：马超7.已知0,4x，3 5sincos5xx+，则3tan4x-（）.A.3B.3-C.5-D.28.双曲线 C：22221(0,0)xyabab-的左、右焦点分别是1F，2F，离心率为62，点11(,)P x y是 C 的右支上异于顶点的一点，过2F作12FPF的平分线的垂线，垂足是 M，|2MO，若 C 上一点 T 满足125FT F Tuuur uuur，则 T 到 C 的两条渐近线距离之和为（）.A.2 2B.2 3C.2 5D.2 6二、多项选择题：本题共二、多项选择题：本题共 3 小题，每小题小

5、题，每小题 6 分，共分，共 18 分在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对的得分在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分分9.已知复数12,z z是关于 x 的方程21022,Rxbxbb+-的两根，则（）.A.12zzB.12RzzC.121zzD.若1b，则33121zz10.若函数 22222sinlog sin2coslog cosfxxxxx+，则（）.A.f x的最小正周期为B.f x的图象关于直线4x 对称C.f x的最小值为1-D.f x的单调递减区间为2,24kk

6、+，Zk 11.设 a 为常数，1(0)2f，()()()()()f xyf x f ayf y f ax+-+-，则（）.A.1()2f a B.1()2f x 恒成立C.()2()()f xyf x f y+D.满足条件的 f x不止一个三、填空题：本题共三、填空题：本题共 3 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 15 分分12.集合2R|320,RAxaxxa-+，若 A 中元素至多有 1 个，则 a 的取值范围是 .13.已知圆锥的母线长为 2，则当圆锥的母线与底面所成角的余弦值为 时，圆锥的体积最大，最大值为 .14.函数2238()R2sin13cos2f xxxx+的最小

7、值 .四、解答题：本题共四、解答题：本题共5小题，共小题，共77分分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（本小题满分 13 分）设13()ln122f xaxxx+-+，曲线()yf x在点(1,(1)f处取得极值.（1）求 a；（2）求函数()f x的单调区间和极值.16.（本小题满分 15 分）袋中装有 5 个乒乓球，其中 2 个旧球，现在无放回地每次取一球检验（1）若直到取到新球为止，求抽取次数 X 的概率分布及其均值；（2）若将题设中的“无放回”改为“有放回”，求检验 5 次取到新

8、球个数 X 的均值17.（本小题满分 15 分）如图，在三棱柱111ABCABC-中，122ACBBBC，123CBBCAB，且平面ABC 平面11.BC CB（1）证明：平面ABC 平面1ACB；（2）设点 P 为直线 BC 的中点，求直线1AP与平面1ACB所成角的正弦值.18.（本小题满分 17 分）已 知 抛 物 线 E：24yx的 焦 点 为 F，若ABC的 三 个 顶 点 都 在 抛 物 线 E 上，且 满 足0FAFBFC+uuu ruuu ruuu rr，则称该三角形为“核心三角形”（1）设“核心三角形 ABC”的一边 AB 所在直线的斜率为 2，求直线 AB 的方程；（2）已

9、知ABC是“核心三角形”，证明：ABC三个顶点的横坐标都小于2.19.（本小题满分 17 分）对于给定的正整数 n，记集合123j|(,),1,2,3,nnRx x xxxR jna arr，其中元素ar称为一个 n 维向量.特别地，0(0,0,0)r称为零向量.设Rk，12(,)nna aaRar，12(,)nnb bbRbr，定义加法和数乘：12(,)nkka kakaar，1122(,)nnab ababab+rr.对一组向量1auu r，2auu r，(,2)ssNsa+uu r，若存在一组不全为零的实数1k，2k，sk，使得11220sskkkaaa+uu ruu ruu rr，则称

10、这组向量线性相关否则，称为线性无关（1）对3n，判断下列各组向量是线性相关还是线性无关，并说明理由(1,1,1)ar，(2,2,2)br；(1,1,1)ar，(2,2,2)br，(5,1,4)gr；(1,1,0)ar，(1,0,1)br，(0,1,1)gr，(1,1,1).dr（2）已知ar，br，gr线性无关，判断ab+rr，bg+rr，ag+rr是线性相关还是线性无关，并说明理由（3）已知(2)m m个向量1auu r，2auu r，mauur线性相关，但其中任意1m-个都线性无关，证明：如果存在等式11220(,1,2,3,)mmikkkkR imaaa+uu ruu ruurr，则这些

11、系数1k，2k，mk或者全为零，或者全不为零；如果两个等式11220mmkkkaaa+uu ruu ruurr，11220(,1,2,3,)mmiilllkR lR imaaa+uu ruu ruurr同时成立，其中10l，则1212.mmkkklll如皋市 2024 届高三 1 月诊断测试数学 答题卡姓名姓名学校学校班级班级考位号考位号请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效请在各题目的

12、答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效第 1-8 题为单项选择题，第 9-11 题为多项选择题题型说明题型说明注注 意意 事事 项项1.答题前，请考生先将自己的姓名、班级、考位号填写清楚，并认真核对条形码上的姓名、考试号是否与本人相符2.在草稿纸、试卷上作答一律无效3.保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁、不折叠贴条形码区（请按左边线和上边线对齐贴条形码）缺考标记缺考标记（由监考员用2B铅笔涂黑）选择题选择题填涂示例填涂示例正确填涂错误形式请特别注意本卡题号排列方向，并按题号用 2B 铅笔将对应选项的方框涂满涂黑，修改时用橡

13、皮擦干净，不留痕迹填涂说明填涂说明9ABCD10ABCD11ABCD12.13.，14.16.（本小题满分 15 分）非选择题非选择题答题说明答题说明请按照题号用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔书写（如需作图，必须使用 2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等必须加黑、加粗），并按各题规定的横线区域或黑色矩形区域内答题，超出规定区域作答的答案一律无效请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效1ABC

14、D2ABCD3ABCD4ABCD5ABCD6ABCD7ABCD8ABCD15.（本小题满分 13 分）请勿在此区域内答题或者做任何标记请勿在此区域内答题或者做任何标记#QQABSQQQgggIAAJAAAgCAw1YCAGQkAAAAKoOhAAAIAAAiAFABAA=#请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效请在各题目的答题

15、区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效17.（本小题满分 15 分）18.（本小题满分 15 分）19.（本小题满分 17 分）#QQABSQQQgggIAAJAAAgCAw1YCAGQkAAAAKoOhAAAIAAAi

16、AFABAA=#如皋市如皋市 2024 届高三届高三 1 月诊断测试月诊断测试数学参考答案数学参考答案2024.01一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.题号12345678答案DBBADAAA二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.全部选对得 6 分，部分选对得 3 分，有选错得 0 分.二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.全部选对得 6 分，部分选对得 3 分，有选错得 0 分.题号91011答案ACDBCDABC三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 1

17、5 分.三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.题号12131314答案0a=或98a 6316 327p4913四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（13 分）（1）13()ln122f xaxxx=，则213()22afxxx=，又(1)0f=，故可得20a=，解得2a=；（2）由(1)可知，13()2ln122f xxxx=，2(31)(1)()2xxfxx=，令()0fx=，解得113x=，21x=，又函数定义域为(0,)，故

18、可得()f x在区间1(0,)3和(1,)单调递减，在区间1(,1)3单调递增.故()f x的极大值为(1)0f=，()f x的极小值为1()22ln3.3f=16.（15 分）（1）X的可能取值为 1，2，3，3(1)5P X=，233(2)5410P X=，2 1 31(3)54310P X=，故抽取次数 X 的概率分布为：X123P353101103313()123.510102E X=（2）每次检验取到新球的概率均为35，故35,5XB，所以3()53.5E X=17.（15 分）（1）证明：因为22ACBC=，所以1BC=，因 为23CABp=，所以.6CABp=在ABCV中，sin

19、sinBCACAB=，即12sinsin6Bp=，所 以sin1B=，即.ABBC又因为平面ABC 平面11BC CB，平面ABC 平面11BC CBBC=，AB 平面 ABC，所以AB 平面11.BC CB又1BC 平面11BC CB，所以1ABBC，在1B BCV中，12B B=，1BC=，13CBBp=，所以2221112cos33BCB BBCB B BCp=，即13BC=，所以1.BCBC而1ABBC，AB 平面 ABC，BC 平面 ABC，ABBCB=，所以1BC 平面.ABC又1BC 平面1ACB，所以平面ABC 平面1.ACB（2）在平面 ABC 中过点 C 作 AC 的垂线

20、CE，以 C 为坐标原点，分别以 CA，CE，1CB所在直线为 x，y，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则(0,0,0)C，13(,0)22B，(2,0,0)A，1(0,0,3)B，所以13(,0)44P，133(,3)22A，所以15 3 3(,3)44AP=uuur，平面1ACB的一个法向量为(0,1,0)n=r，设直线1AP与平面1ACB所成的角为a，则直线1AP与平面1ACB所成角的正弦值为：1sin|cosAPa=uuurrruuurr 18.（17 分）（1）解：设直线 AB 的方程为2yxt=，与24yx=联立得2220yyt=，480tD=，得12t，设11(,)A x y

21、，22(,)B xy，33(,)C xy，则 122yy=，122y yt=，所以12121(2)12xxyytt=，由题意知(1,0)F，因为0FAFBFC=uuu ruuu ruuu rr，11(1,)FAxy=uuu r，22(1,)FBxy=uuu r，33(1,)FCxy=uuu r，所以123123(3,)(0,0)xxxyyy=，所以1231233,0,xxxyyy=，所以332,2,xt y=，即点 C 的坐标为(2,2)t，代入抛物线 E 的方程得：44(2)t=，解得1t=，满足条件12t，所以2nm，234yym=，234y yn=，所以22323()242.xxm yy

22、nmn=由(1)知1231233,0,xxxyyy=，所以211342,4.xmn ym=，即点 A 的坐标为2(342,4).mnm又点 A 在抛物线24yx=上，所以22164(342)mmn=，所以2342nm=，又2nm，所以212m，所以点 A 的横坐标2234242mnm=，同理可证，B，C 两点的横坐标也小于2.所以ABCV三个顶点的横坐标均小于2.19.（17 分）（1）解：对于，设120kkab=rrr，则可得1220kk=，所以,a brr线性相关；对于，设1230kkkabg=rrrr，则可得12312312325020240kkkkkkkkk=，所以1220kk=，30

23、k=，所以,a b grrr线性相关；对 于 ，设12340kkkkabgd=rrrrr，则 可 得124134234000kkkkkkkkk=，解 得123412kkkk=，所以,a b g drrrr线性相关；（2）解：设123()()()0kkkabbgag=rrrrrrr，则131223()()()0kkkkkkabg=rrrr，因为向量ar，br，gr线性无关，所以131223000kkkkkk=，解得1230kkk=，所以向量abrr，bgrr，agrr线性无关，（3）11220mmkkkaaa=uu ruu ruurr，如果某个0ik=，1i=，2，m，则112211110iii

24、immkkkkkaaaaa=uu ruu ruuuruuuruurrL，因为任意1m个都线性无关，所以1k，2k，1ik，1ik，mk都等于 0，所以这些系数1k，2k，mk或者全为零，或者全不为零，因为10l，所以1l，2l，ml全不为零，所以由11220mmlllaaa=uu ruu ruurr可得21211mmllllaaa=uu ruu ruur，代入11220mmkkkaaa=uu ruu ruurr可得2122211()0mmmmllkkkllaaaa=uu ruuruu ruurr，所以2122111()()0mmmllkkkkllaa=uu ruurr，所以21210lkkl=，110mmlkkl=，所以1212.mmkkklll=