2024届浙江绍兴市诸暨市高三上学期期末考试数学试卷含答案.pdf

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1、 学科网（北京）股份有限公司 诸暨市诸暨市 2023-2024 学年第一学期期末考试试题学年第一学期期末考试试题（高三数学高三数学）一、选择题：本题共一、选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分分 1设集合1,2,3A=，|1Bxx=，1,2C=，则()ABC=（）A 3 B1,2 C2,3 D1,2,3 2若函数()()logaf xxb=+（0a，1a）的图象过点()2,0和()1,1，则（）A2a=，3b=B3a=，2b=C2a=，4b=D4a=，2b=3已知 i 是虛数单位，aR，则“21a=”是“()2i2ia+=”的（）A充分不必要条件 B必要不充分

2、条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 4已知a，b为单位向量，若a bab=+，则a b=（）A13 B13+C13 D31 561ab的展开式中mmab（即分子 a 的指数和分母 b 的指数相同）项的系数为（）A15 B15 C20 D20 6若直线 l 与三次函数()yf x=有三个公共点且公共点的横坐标成等差数列，则直线 l（）A经过定点 B不经过定点 C斜率为定值 D斜率可为任意实数 7小张同学将一块棱长为 2 的正方体形状橡皮泥重新捏成一个正四面体（过程中橡皮泥无损失），则该四面体外接球的体积为（）A6 B2 6 C3 6 D9 6 8已知函数()()sincos0f xx=

3、+，,m nR都有()()()2if mf nf x，若恰好有 4 个点()(),iixf x同在一个圆心在 x 轴上半径为、22122+的圆内，则的取值范围为（）A3 2,24 B5 22,4 C3,4 D2,2 二、多选题：本题共二、多选题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 9在正方体1111ABCDABC D中，E 为棱1BB的中点，则下列结论正确的是（）A若点 P 为11BC中点，则EP面1ACD 学科网（北京）股份有限公司 B若点 P 为11AC中点，则EP面1ACD C若点 P 为 AC 中点，则EP 面1ACD D若点 P 为1DC中点，则EP

4、面1ACD 10已知函数()()sinsin 1f xxx=+，()fx为()f x的导函数，则下列结论正确的是（）A()()1fxfx=+B()()0f xfx+=C1122ff=D()2fxfx=+11已知双曲线2222:1(0)xCabab=上两点 M，N 关于 x 轴对称，A，B 分别为 C 的左右顶点，若直线MA 和 NB 交于点 P，则（）A直线 MA 和 MB 的斜率之积为定值 B直线 MA 和 NB 的斜率之积为定值 C点 P 在椭圆22221xyab+=上 DPAB面积的最大值为 ab 12在 22 的红色表格中，有一只会染红黄蓝三种颜色的电子蛐蛐从 A 区域出发，每次跳动都

5、等可能的跳往相邻区域，当它落下时会将该区域染成新的颜色（既与该区域原来的颜色不同，也与蛐蛐起跳时区域的颜色不同）记蛐蛐第 n 跳后表格中的不同染色情况种数为 a，（第一次跳后有如图四种情况，即14a=），则（）A28a=B1nnaa+，恒成立 C蛐蛐能将表格中的三块染成蓝色 D蛐蛐能将表格中的四块染成黄色 三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13设等比数列 na的公比为 q，nS为前 n 项和，若12qS=，26qS=，则4a=_ 14一台放置在水平桌面上的笔记本电脑，将其侧面抽象成如图所示的几何图形，若显示屏所在面的侧边 AO与键

6、盘所在面的侧边长 BO 均为 32cm，点 P 为眼睛所在位置，D 为 AO 的中点，连接 PD，当PDAO时，称点 P 为“黄金视角点”，作PCBC，垂足 C 在 OB 的延长线上，当11BC=cm，23AOC=时，PC=_ 学科网（北京）股份有限公司 15将正整数 110 由校到大排列 1，2，m，10，从中随机抽取两个数，这两个数其中一个在 m 前面，一个在 m 后面的概率为25，则m=_ 16已知动点 P 在抛物线24yx=上，抛物线焦点为 F，准线与 x 轴交于点 E，以 E，F 为焦点的椭圆1C和双曲线2C皆过点 P，则椭圆1C和双曲线2C离心率之比的取值范围为_ 四、解答题：本题

7、共四、解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分分 17已知 na为等比数列，前 n 项和nS，且24S=，11a，21a+，31a 成等差数列（1）求na和nS；（2）若11nnnnb S Sa+=，求数列 nb的前 n 项和nT 18如图，在四棱锥PABCD中，PA平面 ABCD，ADBC，ADCD，N 是线段 PC 的中点，2ADCD=，2 2BC=（1）求点 N 到平面 PAB 的距离；（2）若二面角NADP的余弦值为63，求四棱锥PABCD体积的大小 19在ABC中，已知sintan3cosABA=（1）若1tan3B=，求sin A的值；（2）已知中线 AM 交 BC 于 M，

8、角平分线 AN 交 BC 于 N，且2AM=，1MN=，求ABC的面积 20：已知点(0,2)A在椭圆2222:1(1)1xyCaaa+=上，过右焦点的两相互垂直的弦中点分别记为 M，N（1）求椭圆 C 的方程；学科网（北京）股份有限公司（2）求直线 MN 经过的定点坐标 21（本题 12 分）为丰富课余生活，某班组织了五子棋大赛下表统计了该班学生近期课间与其他班学生的200 场比赛的胜负与先后手列联表（不记平局，单位：场）最后甲乙两人晋级决赛，决赛规则如下：五局三胜，没有平局，其中第一局先后手等可能，之后每局交换先后手已知甲先手胜乙的概率为23后手胜乙的概率为13 先后手 胜负 合计 胜 负

9、 先手 60 40 100 后手 40 60 100 合计 100 100 200（1）依据0.01=的独立性检验，能否认为五子棋先后手与胜负有关联？（2）在甲第一局失败的的条件下，求甲最终获胜的概率 附：22()()()()()n adbckab cd ac bd=+()20P kk 0.050 0.010 0.001 0k 3.841 6.635 10.828 22：已知函数1()12xef xaxxa=+，其中aR且0a （1）当1a=时，求曲线()yf x=在()()0,0f处的切线方程（2）若对任意)1,x +，都有()0f x 恒成立，求实数 a 的取值范围 学科网（北京）股份有限

10、公司 诸暨答案诸暨答案 1D 解析：11Bxxx x=，2,3AB=，()1,2,3ABC=，故选 D 2A 解析：()()logaf xxb=+过点()2,0的3b=，()()log3af xx=+过点()1,1得2a=，故选 A 3B 解析：21 2 i2iaa+=，得1a=，所以“2 1a=”是“()i 2 2ia+=”的必要不充分条件，故选 B 4C 解析：22221 12a baba b=+=+，13a b=，又1a b故选 C 5B 解析：通项公式()6216TCrrrrab+=，由mmab可得62rr=，故4r=，系数为46C15=，故选 B 6A 解析：设这三个交点的坐标分别为

11、(),()a f a，(),()b f b，(),()c f c由题意可得2bac=+，由于三次函数()yf x=的图像是中心对称图形，由2bac=+可知，()(),b f b为()f x对称中心，即直线 l 经过定点三次函数的对称中心故选 A 7C 解析：设正四面体的棱长为 a，由题意可得，正方体的体积即为正四面体的体积，即322 212VaV=正四面体正方体，所以324a=，又因为正四面体外接球的半径64Ra=，334463 6334RVa=球，故选 C 8C 解析：()sincos2sin4f xxx=+=+因为,m nR都有()()()2if mf nf x，所以这4个点()(),ii

12、xf x为()f x的最值点由恰好有4个点在圆内，可得22223214252142TT+，解得34恒成立，B 错误；所以 C 正确；因此三块都是黄色也可能，但当三块染成黄色后，不可能第四块还是黄色，因为要和起跳时区域不一样，D 错误 故选：AC 138 解析：()112121222,26qSqaqSq aaqaqaqa=+=+=+=，得24qa=，于是22112aqaqaqa=，324128aa qq=答案：8 1425 3 解析：过O作OMOC交DP于M，过M作MNPC交PC于C，则6DOMPMN=，323OM=，433PN=，于是324325 333PC=+=答案：25 3 154 或 7

13、 解析：由题意1121102102112805mmCCmmC=+=，解得4m=或 7 故答案为：4 或 7 16(0,32 2 学科网（北京）股份有限公司 解析：由题意椭圆1C和双曲线2C离心率之比11222111PFPEPFPEeeaPFecaPEPFPE=+令PFtPE=，设()(),0P m nm，则24nm=，因为()1,0E，()1,0F，所以()22222(1)4111PFmnmtPFmmmn+=+，因为22441612216mmmmmm=+，所以22t，故121221132 211212etett=+，又120ee，所以(120,32 2ee 故答案为：(0,32 2 17（1）

14、解析：因为11a，21a+，31a 成等差数列，所以()213212aaa+=+，又24S=，即124aa+=，可列出方程()()12114124aqqq+=+=，解得113aq=，所以13nna=，1 3311 32nnnS=（2）解析：由（1）得13nna=，所以()()11114 3112313131 31nnnnnnnnnabS S+=，2231111111111122213 131313131313 13131nnnnnT+=+=18（1）解析：因为2222248842ABACBCAC BC=+=+=，学科网（北京）股份有限公司 所以222BCACAB=+，所以CAABCAAPCAA

15、BAPA=平面 ABP，所以点 C 到平面 PAB 的距离2cdCA=，又因为 BN 是线段 PC 的中点，所以点 N 到平面 PAB 的距离122NdCA=（2）解法一：建立如图空间直角坐标系，则()0,0,2Ph，()0,2,0C，()0,1,Nh，()0,0,0A，()1,1,0D，()0,1,ANh=，()1,1,0AD=，()1,nx y z=，所以111011,1,0AN nyhznhAD nxy=+=+=，又因为DC 平面 APD，则()21,1,0nDC=，所以12122621312 2n nhnnh=+，所以13 223P ABCDV=解法二：如图，作 NO 垂直 AC 于

16、O，取 AD 中点 M，连结 MO，MN，易知OMN是二面角NADP 的余角，所以RtNOM中，6sin1322NONOMNO=，所以22PANO=，所以13 223P ABCDV=19（1）解析 1：1sin3sin3coscos33sin33cosAAAAAA=222sin(33sin)15sin9sin40AAAA+=+=sin1A=或45（2）解析 1：sinsinsincossincos3sinsin3sincos3cosBAABBABCBBA=+=3cb=学科网（北京）股份有限公司 又sin3sinABNABNSBNcBANSNCbCAN=131BNBMNCBM+=24BMa=又2

17、22449448coscos002 2 22 2 25bbAMBAMCb+=+=22288916552bcaBAC+=+=2133 812222 55ABCSbcb=20（1）解析 1：由题意得：222220415:1154xyaCaa+=+=（2）解析 1：若两条弦分别与 x 与，y 与平行，此时直线 MN 中 x 与，故定点在 x 与上否则设过右焦点的直线记为1xty=+：交椭圆于两点()11,x y，()22,xy，则1xty=+，4()22224520458160 xytyty+=+=1222844545Mttyyytt+=+22245114545MMtxtytt=+=+=+同理：22

18、2554545Ntxtt=+，22444545Nttytt=+若MNxx=，解得1t=，5:9MNlx=否则()222222449544555515445MNMNMNttyytttktxxttt+=+()25119MNtkt=故()2225145:94545MNttlxyttt=+其中：()()222225145202559454599 45ttttttt+=+中直线过定点5,09 21（1）解析：2200(3600 1600)86.635100 100 100 100X=故可以认为五子棋先后手与胜负有关联（2）解析：设事件 A：甲第一局失败；事件 B：第一局甲先手；事件 C：甲获胜 学科网（

19、北京）股份有限公司 1()()2P BP B=；1 21 11()()()2 32 32P AP ABP A B=+=+=分两种情况讨论：甲第一局先手且失败，但最终获胜：共 4 局比赛：1 1 1 2 112 3 3 3 381=共 5 局比赛：1 12 2 11 1 11 2 221912 33 3 33 3 33 3 339 2727+=甲第一局后手且失败，但最终获胜：共 4 局比赛：1 2 2 1 242 3 3 3 381=共 5 局比赛：1 21 1 22 2 22 1 111 1242 33 3 33 3 33 3 339 2781+=故甲在第一局失败的情况下获胜的概率114412

20、4()812781818127P AC=+=综上()8()()27P ACP C AP A=22 解析：（1）由题意知，当1a=时，11()22 1xfxex=+，又因为()00f=，()00f=，即得曲线()yf x=在()()0,0f处的切线方程为0y=（2）法一：因为1(0)1001faa=，所以当01a，又由1()22 1xeafxax=+，可知()f x在)1,x +上递增，且2112(0)222aaafaa=（i）当()00f时，即01a，此时存在01,0 x ，使得()f x在()01,x上递减，在0(),x+上递增，所以()002000min00020001112()122xx

21、xxxeef xf xaxxaaaxxx+=+=+当011,2x 时，令()()0020000000222200000000121111122()210 xxxxxxxxeeaaxxxxxxxxx+=+=+，所以可得()00f x 当01,02x，再令()12,xtx+=+，此时，学科网（北京）股份有限公司()()020000000220000001 1212121112()(1)10 xxxxxxxxeaxxxxxx+=+=，所以可得，()00f x（ii）当()00f，则存在1)0(,x+，使得()10fx=，()f x在()11,x上递减，在1(),x+上递增，所以()min11()(0)10f xf xfa=，不成立 综上（i），（ii）知，01a