河南省驻马店市2023-2024学年高三上学期期末统一考试数学试题含答案.pdf

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1、学科网（北京）股份有限公司驻马店市驻马店市 2023-2024 学年度高三年级期末统一考试学年度高三年级期末统一考试数学数学注意事项：注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案

2、写在答题卡上。写在本试卷上无效。3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。4.本试卷主要考试内容：高考全部内容。本试卷主要考试内容：高考全部内容。一、选择题：本题共一、选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设复数1 i43iz+=-，则z=A.17i2525-+B.17i2525-C.1i7-+D.1i7-2.设集合21,Ax xnn=-Z，234 0Bx xx=-，则AB=IA.1,1,3-B.3,1,1-C.4

3、,3,2,1,0,1-D.1,0,1,2,3,4-3.已知函数 22f xaxxc=+的定义域为R，则224ac+的最小值为A.1B.2C.4D.54.如图，这是某厂生产的一批不倒肦型台灯外形，它由一个圆锥和一个半球组合而成，且圆锥的体积恰好等于半球的体积，则该圆锥的轴截面的顶角的余弦值为A.45B.45-C.35D.35-5.设圆1C：224xy+=和圆2C：22224xy+=交于A，B两点，则四边形12C AC B的面积为A.2 2B.4C.6D.4 26.已知tan2a=，则sin3sincosaaa=+学科网（北京）股份有限公司A.215-B.215C.79-D.797.将 5 本不同

4、的书（2 本文学书、2 本科学书和 1 本体育书）分给甲、乙、丙三人，每人至少分得 1 本书，每本书只能分给一人，其中体育书只能分给甲、乙中的一人，则不同的分配方法数为A.78B.92C.100D.1228.已知O为坐标原点，抛物线C：24yx=的焦点为F，过点F的直线l交抛物线C于A，B两点，若3AFBF=，则OA=A.2 3B.15C.17D.21二、选择题：本题共二、选择题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 2

5、 分，有选错的得分，有选错的得 0 分分.9.为了解高三学生体能情况，某中学对所有高三男生进行了 1000 米跑测试，测试结果表明所有男生的成绩X（单位：分）近似服从正态分布275,Ns，600.1P X=，700.3P X=+有最小值，则m的取值范围是_.15.已知ABC是边长为 3 的等边三角形，D为CB上一点，O为ABC的中心，E为ABC内一点（包括边界），且23ADABmAC=+uuuruuu ruuur，则AD OEuuur uuu r的最大值为_.16.探究函数1yxx=+的图象和性质时发现它的图象实际上是双曲线，将函数1yxx=+的图象绕原点顺时针旋转得到焦点在x轴上的双曲线C，

6、00,P xy是双曲线C上一点，则22002121xy-+=_.四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（10 分）在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知coscos2 cosaBbAcC+=，4ab=.（1）求ABC的面积；（2）求AB边上的高的最大值.18.（12 分）已知数列 na的前n项和为nS，11a=且满足111nnnaa+-=+-.（1）令21nnba-=，求数列 nb的通项公式；（2）求30S.19.（12 分）如图，在斜三棱柱ABCDEF-中，平

7、面ABC 平面ACFD，ABBC，四边形ACFD是边长为 2 的菱形，3DACp=，1BC=，M，N分别为AC，DE的中点.（1）证明：BCMN.（2）求直线MN与平面BCD所成角的正弦值.学科网（北京）股份有限公司20.（12 分）一枚质地均匀的小正四面体，其中两个面标有数字 1，两个面标有数字 2.现将此正四面体任意抛掷n次，落于水平的桌面，记n次底面的数字之和为nX.（1）当2n=时，记Y为2X被 3 整除的余数，求Y的分布列与期望；（2）求nX能被 3 整除的概率nP.21.（12 分）动点,M x y到定点11,0F-的距离和它到直线4x=-的距离的比是常数12，点M的轨迹为C.（1

8、）求C的方程，并说明C是什么曲线；（2）过点1F作不与坐标轴垂直的直线l交C于A，B两点，线段AB的垂直平分线与x轴交于点Q，若11111149F A FB FQF AFB=+，求l的方程.22.（12 分）已知函数 lnf xaxx=-有两个零点.（1）求a的取值范围；（2）设1x，2x是 f x的两个零点，21xx，证明：82312ex x.学科网（北京）股份有限公司驻马店市驻马店市 2023-2024 学年度高三年级期末统一考试学年度高三年级期末统一考试数学参考答案数学参考答案1.B 1 i43i1 i1 7i17i43i43i43i252525z+=+-+，则17i2525z=-.2.

9、A 依题得234 014Bx xxxx=-=-，则1,1,3AB=-I.3.C 由题可知0a，且440ac-，即1ac，所以22444acac+，当且仅当2a=，22c=时，等号成立，则224ac+的最小值为 4.4.C 几何体的轴截面如图所示，设圆锥的底面半径为r，高为h，母线长为l，则球的半径也为r.因为圆锥的体积恰好等于半球的体积，所以23114323r hrpp=，得2hr=.故2225lrrr=+=.设圆锥的轴截面的顶角为a，则2222255263cos105255rrrrrrra+-=.5.B 由题意可知10,0C，22,2C-，直线AB的方程为20 xy+=，易知四边形12C A

10、C B为菱形，所以1C到直线AB的距离222211d=+，所以22 42 2ABd=-=，故121222 242C AC BSdAB=四边形.6.A sin3sin cos2cos sin2tan cos2sin2sincossincostan1aaaaaaaaaaaaa+=+22222 cossin2sin cos2cos2sin233 sincosaaaaaaaa-+=+222 1tan2tan2153 tan1aaa-+=-+.7.C 若将体育书分给甲，当剩余 4 本书恰好分给乙、丙时，此时的分配方法有2232224122224CCCCAA14A+=种，当剩余 4 本书恰好分给甲、乙、丙

11、三人时，此时的分配方法有2343CA36=种.综上，将体育书分给甲，不同的分配方法数是143650+=.学科网（北京）股份有限公司同理，将体育书分给乙，不同的分配方法数也是 50.故不同的分配方法数是5050100+=.8.D 不妨设点A在第一象限，直线AB的倾斜角为q，所以2cosAFAFq-=，则21 cosAFq=-，同理可得21 cosBFq=+.因 为3AFBF=，所 以1cos2q=，即3pq=，23AFOp=，所 以241 cosAFq=-.在AFO中，222cos21OAAFOFAFOFAFO=+-=.9.ABC 8090607070600.2PXPXP XP X=-=，708

12、01 2700.4PXP X=-，函数1yxx=+的两条渐近线方程为yx=和0 x=，学科网（北京）股份有限公司其夹角为4p，故22tan8tan141tan8ppp=-，解得tan218p=-，则21ba=-，且31tan21821p=+-，所以yx=和0 x=的角平分线的方程为21yx=+.联立21,1,yxyxx=+=+解得222x=，所以22222222142 22 22axyxxx=+=+=+=+，222212 22ba=-=-，所以双曲线C的方程为2212 222 22xy-=+-，故220021212xy-+=.17.解：（1）由coscos2 cosaBbAcC+=及正弦定理，

13、得sin cossin cos2sin cosABBACC+=，则1cos2C=，即3Cp=，所以ABC的面积1sin32SabC=.（2）由余弦定理可知222222cos4cababCab=+-=+-.因为222abab+，所以2c，当且仅当ab=时，等号成立.设h为AB边上的高，所以12Shc=，即23Shc=，所以AB边上的高的最大值为3.18.（1）由题可知221nnaa-=，2122nnaa+=+所以21212nnaa+-=+，即12nnbb+=+，所以数列 nb是等差数列，则12121nbnn=+-=-（2）301232930135292Saaaaaaaaa=+=+1231515

14、142215 124502bbbb=+=+=19.（1）证明：如图，连接DM.因为四边形ACFD是边长为 2 的菱形，3DACp=，学科网（北京）股份有限公司所以ADC为等边三角形，则DMAC.又平面ABC 平面ACFD，平面ABC I平面ACFDAC=，所以DM 平面ABC，因为BC 平面ABC，所以DMBC.因为ABDE，ABBC，所以DEBC.因为DMDED=I，所以BC 平面NMD.又MN 平面NMD，所以BCMN.（2）解：如图，过B作DM的平行线为z轴，结合（1）知z轴，BA，BC两两垂直.故可建立如图所示的空间直角坐标系，则0,0,0B，1,0,0C，13,022M，13,322

15、D，0,3,0A，则13,322BD=uuu r，1,0,0BC=uuu r，0,3,0BA=uuu r.设平面BCD的法向量为,nx y z=r，则0,0,n BDn BC=uuu ruu rrur得1330,220,xyzx+=取2y=，得1z=-，则0,2,1n=-r.因为N为DE的中点，所以1130,0222DNEDBA=-=-=-uuuruuu ruuu r.又0,0,3DM=-uuuu r.所以30,32MNDNDM=-=-uuuu ruuuruuuu r.则2 34cos,51552MN nMN nMN n-=-uuuu r ruuuu ruuuu rrr.设直线MN与平面BCD

16、所成的角为q，则4sincos,5MN nq=uuu ru r，学科网（北京）股份有限公司即直线MN与平面BCD所成角的正弦值为45.20.解：（1）由题可知，Y的取值可能为 0，1，2.11111022222P Y=+=，1111224P Y=，1112224P Y=，则Y的分布列为Y012P12141411130122444EY=+=.（2）由题可知10P=，当2n时，1n-次底面的数字之和能被 3 整除的概率为1nP-，所以1112nnPP-=-，则1111323nnPP-=-，所以数列13nP-是以13-为首项，12-为公比的等比数列，则1111332nnP-=-，即1111332nn

17、P-=-.21.解：（1）由题意得221142xyx+=+，化简得223412xy+=，即22143xy+=.故曲线C是焦点在x轴上的椭圆。（2）设11,A x y，22,B xy，直线l的方程为1yk x=+，则2211143xy+=，2222143xy+=所以222211111131113242xAFxyxx=+=+-=+，12122BFx=+.学科网（北京）股份有限公司（也可以根据题目条件得出111114222AFxx=+=+，122114222BFxx=+=+）联立方程组221,1,43yk xxy=+=整理得22223484120kxk xk+-=，则0，所以2122834kxxk-

18、+=+，212241234kx xk-=+所以线段AB的中点为22243,3434kkGkk-+，所以线段AB的垂直平分线方程为2223143434kkyxkkk-=-+.令0y=，可得2234kxk-=+，即22,034kQk-+.因为2212222111212121444 3411114211133 84 34224224xxkkAFBFkkkxxx xxx+-+=+=-+，由11111149F A FB FQF AFB=+，可得11191114FQAFBF=+，则2261347kk-+=+，解得21k=，所以l的方程为10 xy+=.22.（1）解：由ln0axx-=且0 x，可得lnx

19、ax=.设 lnxF xx=，0,x+，则 21 lnxFxx-=，令 0Fx=，解得ex=.当0ex，F x单调递增；当ex 时，0Fx，F x单调递减.又当x趋向于 0 时，F x趋向于-，当x趋向于+时，F x趋向于 0，所以要使 F x的图象与直线ya=有两个交点，则 0eaF，学科网（北京）股份有限公司故a的取值范围是10,e.（2）证明：10F=，由（1）得121exx，则11lnlnlntxtx+=，即1lnln1txt=-，2lnln1t txt=-212122 lnln2lnln1ttx xxxt+=+=-.设 2 ln11ttg ttt+=-，则 223ln11tttg tt-+-+=-.设 23ln1G tttt=-+-+，则 2212321ttG tttt-=-+=，当1,2t时，0G t，G t单调递增.又 10G=，210GG，所以存在唯一的202,et，使得 00G t=，即00023ln10ttt-+-+=，所以 g t的最小值为 0g t，0000000000212 ln2148411333tttttg ttttt-+=+-，所以2128ln3x x，故82312ex x.