九师联盟2024届高三上学期1月质量检测试数学试卷含答案.pdf

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1、学科网（北京）股份有限公司高三数学高三数学考生注意：考生注意：1本试卷分选择题和非选择题两部分。满分 150 分，考试时间 120 分钟。2答题前，考生务必用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。3考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。4本卷命题范围：高考范围一、选择题：本题共一、选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，

2、只有一项是符合题目要求的。分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1已知复数 z 满足210z+=，则1z+=A3B2C2D12已知集合2340Ax xx=-，250Bx xx=-，则RAB=IA1,2-B2,4C4,1-D4,2-3如图是正方体的表面展开图，在原正方体中，直线 AB 与 CD 所成角的大小为A6pB4pC3pD2p4已知向量24log 3,sin3ap=r，3log 8,bm=r，若abrr，则m=A2 3-B3-C2 3D3 25下表统计了 2017 年2022 年我国的新生儿数量（单位：万人）年份201720182019202020212022年份代码 x

3、123456新生儿数量 y17231523146512001062956经研究发现新生儿数量与年份代码之间满足线性相关关系，且156.66yax=-+，据此预测 2023 年新生儿数九师联盟2024届高三上学期1月质量检测试学科网（北京）股份有限公司量约为（精确到 0.1）（参考数据：617929iiy=）A773.2 万B791.1 万C800.2 万D821.1 万6甲箱中有 2 个白球和 4 个黑球，乙箱中有 4 个白球和 2 个黑球先从甲箱中随机取出一球放入乙箱中，以1A，2A分别表示由甲箱中取出的是白球和黑球；再从乙箱中随机取出一球，以 B 表示从乙箱中取出的是白球，则下列结论错误的

4、是A1A，2A互斥B157P B A=C217P A B=D 1321P B=7阿波罗尼斯（约公元前 262 年约公元前 190 年），古希腊著名数学家主要著作有圆锥曲线论、论切触等尤其圆锥曲线论是一部经典巨著，代表了希腊几何的最高水平，此书集前人之大成，进一步提出了许多新的性质其中也包括圆锥曲线的光学性质，光线从双曲线的一个焦点发出，通过双曲线的反射，反射光线的反向延长线经过其另一个焦点已知双曲线 C：22221xyab-=（0a，0b）的左、右焦点分别为1F，2F，其离心率5e=，从2F发出的光线经过双曲线 C 的右支上一点 E 的反射，反射光线为 EP，若反射光线与入射光线垂直，则21s

5、inF FE=A56B55C45D2 558若集合lnln40 x xxkxk+-+）的焦点 F 作直线 l，交抛物线于 A，B 两点，若3FAFB=，则直线 l 的倾斜角可能为A30B60C120D15010已知函数 sin4faxxwj=+（0a，0w，3pj），则0.683PXmsms-+，220.954PXmsms-+，330.997PXmsms-）的左、右焦点分别为1F，2F，右顶点为 A，且124AFAF+=，离心率为12（1）求 C 的方程；（2）已知点1,0B-，M，N 是曲线 C 上两点（点 M，N 不同于点 A），直线 AM，AN 分别交直线1x=-于P，Q 两点，若94B

6、P BQ=-uuu r uuu r，证明：直线 MN 过定点19（本小题满分 17 分）已知函数 1lnxxeaxf x=-（aR）（1）当ae=时，求 f x的最小值；（2）若 f x有 2 个零点，求 a 的取值范围学科网（北京）股份有限公司高三数学参考答案、提示及评分细则高三数学参考答案、提示及评分细则1C因为210z+=，所以iz=，所以2211i112z+=+=故选 C2B由2340 xx-，得1x-，或4x，所以14Ax xx=-或 所以1,4RA=-，由2x-50 x-，得25x，所以2,4RAB=I故选 B3D将表面展开图还原为正方体，AB 与 CD 在正方体中的位置如图所示，

7、易证 AB平面 DCE，所以 ABCD，故直线 AB 与 CD 所成角的大小为2p故选 D4C因为abrr，所以0a b=r r，即234log 3 log 8sin03mp+=，所以23log 802m-=，所以2 3m=故选 C5A由 题 意 得3.5x=，79291321.56y=，所 以156.663.51321.5548.311869.81ay=+=+=，所 以156.661869.81yx=-+，当7x=时，156.6671869.81773.19773.2y=-+=故选 A6C因为每次只取一球，故1A，2A是互斥的事件，故 A 正确；由题意得113P A=，223P A=，157

8、P B A=，12152413373721P BP ABP A B=+=+=，故B，D均 正 确；因 为22483721P A B=，故 C 错误故选 C7B设1EFm=，2EFn=，122FFc=，由 题 意 知2mna-=，2F EEP，5ca=，所 以222mnmm+-，24a=5ca=，2224mnc+=，所 以222228mncaa=-=，又2mna-=，所 以学科网（北京）股份有限公司22280nana+-=，解得2na=，所以2211225sin52 5EFaF FEFFa=故选 B8A原不等式等价于1ln4lnk xxxx+-，设 1g xk x=+，ln4lnxxxf x=-

9、，则 ln4fx=-41lnln1xx+=-，令 0 fx=，得4xe=当40 xe，f x单调递增；当4xe时，0 fx 时，当且仅当 112233gfgfgf，或 112233gfgfgf由第一个不等式组，得2ln432ln42ln243ln43ln3kkk-，即342lnln2433k，由第二个不等式组，得2ln432ln42ln243ln43ln3kkk-，该不等式组无解综上所述，342lnln2433k）的焦点为 F，准线方程为2px=-，分别过A，B 作准线的垂线，垂足为 A，B，直线 l 交准线于 C，作 BMAA，垂足为 M，则AAAF=，BBBF=，3FAFB=，所以2AMB

10、F=，42ABBFAM=，所以30ABM=，则 l 的倾斜角60AFx=，同理可得当直线 l 的倾斜角为钝角时，其大小为 120故选 BC学科网（北京）股份有限公司10BC由 题 意 得2a=，124ppw=，12w=，所 以 12sin42fxxj=+，1cos42 fxxj+=由 01f=，00f，得2sin41j=，cos40j，所以426kpjp=+，kZ，所以224kppj=+又3pj，只可能0k=，所以24pj=，所以 12sin26fxxp=+，2sin 26g xxp=-，故 A 错误，B 正确；因为2122sin23236fppp=+=，所以 f x的图象关于直线23xp=对

11、称，故 C 正确；令222kxpp+3262kppp-+（kZ），解 得536kxkpppp+（kZ），令2k=-，得5736xpp-，又5,3pp-包含57,36pp-但不是其子集，故 D 错误故选 BC11ABC由正方体的性质，易证1D B 平面11AC D，若点 P 不与 B 重合，因为1D P 平面11AC D，则11D PD B，与111D PD BD=I矛盾，故当1D P 平面11AC D时，点 P 与 B 重合，故 A 正确；由题意知三棱锥1DACD-为正三棱锥，故顶点 D 在底面1ACD的射影为1ACDD的中心 H，连接 DH，由11DACDDACDVV-=，得11113222

12、2 22 232322DH =，所以23DH=，因为球的半径为2 63，所以截面圆的半径222 622333r=-=，所以球面与截面1ACD的交线是以 H 为圆心，23学科网（北京）股份有限公司为半径的圆在1ACDD内部部分，如图所示，1362 2323HN=，所以222 36233MF=-2 63=222HFHMMF+=，所以2MHFp=，同理，其余两弦所对圆心角也等于2p，所以球面与截面1ACD的交线的长度为223232333ppp-=，故 B 正确；对于 C，过 E，P 的直线分别交 DA、DC 的延长线于点 G，M，连接1D M、1DG，分别交侧棱1CC于点 N，交侧棱1A A于点 H

13、，连接 EH 和 NP，如图所示：则 截 面 为 五 边 形1D HEPN，易 求1113DGD M=，3 2GM=，2GE=，133GH=，1cosDGM=113226GMDG=，故117sin26DGM=，所 以11173 17133 22226D GMSD=，122GEHSD=1317173626=，所以五边形1D HEPN的面积13 17177 1722266D GMGEHSSSDD=-=-=，故 C 正 确；因 为11AB 平 面11BCC B，所 以111PBAB因为平面11BCC B 平面11CDDC，故点 P 到平面11CDDC的距离为点 P 到1CC的距离，由题意知点 P 到

14、点1B的距离等于点 P 到1CC的距离，故点 P 的轨迹是以1B为焦点，以1CC为准线的抛物线在侧面11BCC B内的部分，故 D 错误故选 ABC学科网（北京）股份有限公司12672-9 39219922rrrrrrrTCxC xx-+=-=-，令9302r-=，解得3r=，故常数项为3392672C-=-1313015+设3,0E关于直线12yx=的对称点为,E m n，则113 213222nmnm=-+=，解得95125mn=，故9 12,5 5E要使PBPA-的值最大，则 P，A，B（其中 B为 B 关于直线12yx=的对称点）三点共线，且该直线过 C，E两点，如图，其最大值为229

15、121301111555ABCE=+=+-+=+14312nna+=因为31221log 13nnaxxx-=L，所以11311122221log1 133nnnaxxx xxxx-+-=LL332333323122221log 1331nx xxxa-=-L，所 以111322nnaa+-=-，又13log 1 3 32a=，所 以11322a-=，所以12na-是以32为首项，3为公比的等比数列，所以11333222nnna-=，所以312nna+=15解：（1）因为 X 服从正态分布60,144N，所以60m=，12s=，72ms=+，所以10.683720.15852P X-=进入面试

16、的人数100,0.1585ZB，1000.158516E Z=因此，进入面试的人数大约为 16学科网（北京）股份有限公司（2）由题意可知，Y 的可能取值为 0，2，4，6，8，10，则22410113575P Y=-=；2242213575P Y=-=；2244841135575P YC=-=；12244166135575P YC=-=；22416813575P Y=-=；22432103575P Y=所以 12816163258011602468107575757575757515E Y=+=16解：（1）在ABD 中，由余弦定理，得2222cos2016cosBDABADAB ADaa=+

17、-=-，在BCD 中，由余弦定理，得2222cos88cosBDBCCDBC CDbb=+-=-，所以2016cos88cosab-=-，所以8 2coscos12ab-=，即32coscos2ab-=（2）由题意知11sin4sin2SAB ADBADa=，21sin2sin2SBC CDBCDb=，所以2222221216sin4sin16 1cos4 1cosSSabab+=+=-+-222016cos4cosab=-，由（1）知32coscos2ab-=，所以3cos2cos2ba=-，1cos,14a，学科网（北京）股份有限公司所以222221232016cos4 2cos32cos

18、24cos112SSaaaa+=-=-+233132 cos82a=-+，所以当31cos,184a=时，2212SS+取得最大值，最大值为31217（1）证明：连接 CP 交 BD 于点 H，连接 HQ，因为 ADBC，且23PDAD=，所以23PHPDPDHCBCAD=，因为25FQFC=uuu ruuu r，所以23FQQC=，所以FQPHQCHC=，所以 PFHQ，因为HQ 平面 BDQ，PF/平面 BDQ，所以 PF平面 BDQ（2）解：分别取 AD，BC 的中点 I，J，连接 EI，IJ，FJ，则 IJAB，且IJAB=，因为四边形 ABFE 与四边形 CDEF 为全等的等腰梯形，

19、所以EAEDFEFC=，四边形 EIJF 为等腰梯形，且 EFIJ，1122EFABIJ=，EIAD，FJBC，又 ADBC，所以 FJAD，因为 EI，FJ 平面 EIJF，且 EI，FJ 为两条相交直线，所以 AD平面 EIJF，所以平面 ABCD平面 EIJF过 E 在平面 EIJF 内作 IJ 的垂线，垂足为 M，则 EM平面 ABCD，32EM=，112IMIJEF=-=过 M 作 MKAD，易得 MK，MJ，ME 两两垂直，以 M 为坐标原点，MK，MJ，ME 所在直线分别为 x 轴，y轴，z 轴建立空间直角坐标系（如图所示），学科网（北京）股份有限公司则30,2,2F，1,3,0

20、B，1,3,0C-，设,1,0P a-（11a-），所以3,3,2PFa=-uuu r，31,1,2FB=-uuu r，31,1,2FC=-uuu r设平面 BCF 的一个法向量,nx y z=r，则00n FBn FC=uuu ruuu r，即302302xyzxyz+-=-+-=，令2z=，解得0 x=，3y=，所以0,3,2n=r，设 PF 与平面 BCF 所成角的大小为q，则2122 39sincos,1345134PF nPF nPFnaq=+uuu r ruuu r ruuu rr，解得32a=，且满足题意，所以312AP=-，或312AP=+18（1）解：设 C 的半焦距为 c，

21、由题意得2222412acaabc=+，解得231abc=，故 C 的方程为22143xy+=学科网（北京）股份有限公司（2）证明：设 MN 的方程为xsyt=+（2t），代入22143xy+=，得2223463120systyt+-=，由2 222364 343120s tstD=-+-，得22340st+-，设11,M x y，22,N xy，则122634styys+=-+，212231234ty ys-=+，所以121228234txxs yyts+=+=+，222212121212241234tsx xsytsyts y yst yyts-=+=+=+直线 AM 的方程为1122yy

22、xx=-，令1x=-，得1132yyx=-，故1131,2yPx-，同理可求2231,2yQx-，所以1130,2yBPx=-uuu r，2230,2yBQx=-uuu r，由94BP BQ=-uuu r uuu r，得1212339224yyxx-=-，即1212121244y yx xxx=-+，所以22222231213441284243434tststss-+=-+，所以223412tt-=-，解得1t=-，所以直线 MN 的方程为1xsy=-，故直线 MN 过定点1,0-19解：（1）f x的定义域为0,+当ae=时，1lnxxeexf x=-，2xxex eexexxfx-=-=学

23、科网（北京）股份有限公司令 2xx eeg x=-（0 x），则 202xgxxx e=+，所以 g x在上0,+单调递增，又 01g=，所以当0,1x时，0g x，0 fx，0 fx，所以 f x在0,1上单调递减，在1,+上单调递增，所以 min01f xf=（2）由题意知 2xxax eaxexxfx-=-=（0 x）当0a时，0 fx 在0,+上恒成立，所以 f x在0,+上单调递增，所以 f x至多有一个零点，不合题意；当0a 时，令 2xhx eax=-，则 202xhxxx e=+在0,+上恒成立，所以 h x在0,+上单调递增，因为 00ha=-，所以存在唯一00,xa，使得0

24、2000 xh xx ea=-=，所以020 xax e=当00,xx时，0h x，0 fx，0 fx，所以 f x在00,x上单调递减，在0,x+上单调递增，所以 0000min 1lnxff xxeaxx=-（a）当ae=时，由（1）知 min 01f xf=，即ae=时，01x=，且00f x=，f x只有一个零点 1，不合题意；（b）当ae时，因为020 xax ee=，则01x，又 f x在00,x上单调递减，所以 0min01f xf xf=时，0 xj，xj在1,+上单调递增；学科网（北京）股份有限公司当01x时，0 xj时，10 xjj=，即1ln0 xx-又ln1a，所以ln

25、1ln ln0aa-，所以lnln0faaaj=，由 f x的单调性及零点存在定理，知 f x在0,x+上有且仅有一个零点又 f x在00,x上有且仅有一个零点 1，所以，当,ae+时，f x存在两个零点；（c）当0ae时，由020 xax ee=，得001x，又 f x在0,x+上单调递增，所以 010f xf=取1axe-=，则101ae-，所以1011ae-当0,1x时，ln1xx-，所以ln 1xx-，所以1ln 1ln1xxx-=-，所以11xex-又101ae-+=-+=-，由 f x的单调性及零点存在定理，知 f x在00,x上有且有一个零点，又 1 为 f x在0,x+内的唯一零点，所以当0,ae时，f x存在两个零点综上可知，a 的取值范围是0,ee+U