江苏省扬州市2023-2024学年高二上学期1月期末数学试题含答案.pdf

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1、第 1 页（共 4 页）20232024 学年第学年第一一学期期学期期末末检测检测 高高 二二 数数 学学 2024.1一、一、单项选择题单项选择题(本大题共本大题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分分在每小题给出的四个选项中，只有一项符合在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题题目目要求要求)1.直线1 0 xy 的倾斜角为（）A.4B.3C.34D.232.在等比数列 na中,12a,38a,则5a（）A.14B.16C.28D.323.某质点沿直线运动,位移S(单位:m)与时间t(单位:s)之间的关系为 23S tt,则当5t s时该质 点的瞬时速度为（）A.10

2、/m sB.11/m sC.13/m sD.28/m s4.已知双曲线22:14xyCm的一条渐近线方程为34yx,则实数m的值为（）A.32B.94C.3D.95.已知k为实数,则直线:1 0l kxyk 与圆224xy的位置关系为（）A.相交B.相离 C.相切 D.无法确定6.已知M是椭圆2213xy上一动点,则该点到椭圆短轴端点的距离的最大值为（）A.2B.92C.3 22D.327.已知定义在R上的可导函数 f x,其导函数为 fx,若 20f xfx,且 1fe,则不等式23()0 xef xe的解集为（）A.1，B.e，C.1，D.e，8.在ABC中,已知D为边BC上一点,CDDB

3、,4BAD.若tanACB的最大值为 2,则常数的值 为（）A.1034B.1034C.1014D.1014二、多项选择题二、多项选择题(本本大大题共题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求求全部选对的得全部选对的得 5 分，有选错的得分，有选错的得 0 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 分分)9.已知12,l l为两条不重合的直线,则下列说法中正确的有（）A.若12,l l斜率相等,则12,l l平行B.若12,l l平行,则12,l l的斜率相等#QQABDQIAggCAAABAAAg

4、CAwHoCAKQkBAACIoGAEAAoAAAyRNABAA=#江苏省扬州市2023-2024学年高二上学期1月期末数学试题第 2 页（共 4 页）C.若12,l l的斜率乘积等于1,则12,l l垂直 D.若12,l l垂直,则12,l l的斜率乘积等于1 10.椭圆221:1259yxC与双曲线222:1(97)97xyCkkk（）A.有相同的焦点 B.有相等的焦距 C.有相同的对称中心 D.可能存在相同的顶点 11.已知函数ln()xf xx,下列说法中正确的有（）A.函数()f x的极大值为1e B.函数()f x在点(1,0)处的切线方程为1yx C.20242023202320

5、24 D.若曲线 yf x与曲线yx无交点,则的取值范围是11e，12.已知无穷数列na,11a.性质:,sm nN,m nmnaaa；性质:,2tm nNmn,11mnmnaaaa,下列说法中正确的有（）A.若32nan,则na具有性质s B.若2nan,则na具有性质t C.若na具有性质s,则nan D.若等比数列na既满足性质s又满足性质t,则其公比的取值范围为2,三、填空题（本大题共三、填空题（本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分）分）13.写出过点1,2的被圆22:4C xy所截的弦长为2 3的直线方程 .（写出一条直线即可）14.曲率是衡量曲线弯曲程

6、度的重要指标.定义：若 fx是 f x的导函数,fx是 fx的导函数，则曲线 yf x在点,x f x处的曲率 3221fxKfx.已知 2cos1f xx,则曲线 yf x在点 1,1f处的曲率为 .15.南宋数学家杨辉在详解九章算法和算法通变本末中,提出了一些新的垛积公式,所讨论的高阶 等差数列与一般等差数列不同,前后两项之差并不相等,但是逐项差数之差或者高次差会成等差数列.在杨辉之后,对这类高阶等差数列的研究一般称为“垛积术”.现有高阶等差数列,其前 5 项分别为 1,4,10,20,35,则该数列的第 6 项为 .#QQABDQIAggCAAABAAAgCAwHoCAKQkBAACIo

7、GAEAAoAAAyRNABAA=#第 3 页（共 4 页）16.已知椭圆2222:1(0)xyCabab的左、右焦点分别为1F,2F,过2F作斜率为22bab的直线交椭圆 C于A,B两点,以AB为直径的圆过1F,则椭圆C的离心率为 .四、解答题（本大题四、解答题（本大题共共 6 小题，小题，共共 70 分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17.（本小题满分 10 分）已知na是等差数列,nb是等比数列,且11ab,22b,34b,84ab.（1）求数列na和 nb的通项公式；（2）设nnncab,求数列 nc的前n项和.18.（本小

8、题满分 12 分）已知函数32()212f xxaxxb在2x 处取得极小值5.（1）求实数,a b的值；（2）当0,3x时,求函数()f x的最小值.19.（本小题满分 12 分）已知数列 na的首项11a,前n项和为nS,且121nnSSnnN.设1nnba.（1）求数列 nb的通项公式；（2）设2214(log)1nncb,数列 nc的前n项和为nT,证明：1132nT.#QQABDQIAggCAAABAAAgCAwHoCAKQkBAACIoGAEAAoAAAyRNABAA=#第 4 页（共 4 页）20.（本小题满分 12 分）已知点4,0A,P是圆22:4C xy上的一动点,点,Q

9、x y是线段AP的中点.（1）求点Q的轨迹方程；（2）已知M,N是直线:20l xy上两个动点,且6MN.若MQN恒为锐角,求线段MN中点 G的横坐标取值范围.21.（本小题满分 12 分）已知抛物线C的顶点为坐标原点,焦点在坐标轴上,且经过点(1,2)A（1）求抛物线C的标准方程；（2）若抛物线C开口向右,准线l上两点,P Q关于x轴对称,直线PA交抛物线C于另一点M,直线QA交抛物线C于另一点N,证明：直线MN过定点 22.（本小题满分 12 分）已知函数()lnxf xeaxbe.（2.71828e 是自然对数的底数)（1）若1,1ab,求不等式()0f x 的解集；（2）若0ab,证明

10、:对任意0 x（，），21()12f xxx成立；（3）若1b,试讨论函数()f x的零点个数,并说明理由.#QQABDQIAggCAAABAAAgCAwHoCAKQkBAACIoGAEAAoAAAyRNABAA=#第 1 页（共 4 页）2022023 32022024 4 学年学年第第一一学期期末学期期末检测检测 高二数学高二数学参考答案参考答案 2024.1 1.C 2.D 3.A 4.B 5.A 6.C 7.A 8.D 9.AC 10.BCD 11.ABD 12.BCD 13.13.1x 或3450 xy（写出一条即可）1 14.4.2 15.15.56 16.16.55 1717.【

11、解析】（1）设等差数列na的公差为d，等比数列 nb的公比为q 由232,4bb可得322bqb，22122 22.nnnnbb q 3 分 则有11841,8.abab所以818 118 18 1aad 所以1(1)1(1)1naandnn 所以nan，12nnb 6 分 （2）1=2nnnncabn，所以数列 nc的前n项和为：12112(1 1)(22)(2)(123)(1222)nnncccnn 2(1)12212122nnn nnn 10 分 18.18.【解析】（1）2()6212fxxax 因为()f x在2x 处取极小值5，所以(2)244120fa，得9a 3 分 此时2()

12、618126(1)(2)fxxxxxx 所以()f x在(1,2)上单调递减，在(2,)上单调递增 所以()f x在2x 时取极小值，符合题意 所以9a，32()2912f xxxxb.又(2)45fb，所以1b.6 分（2）32()29121,f xxxx所以()6(1)(2)fxxx 8 分 列表如下：10 分 所以0,3x时，min()(0)1f xf 12 分 1919.【解析】（1）在数列 na中，121nnSSnnN 122nnSSn n 由-得：112()1nnnnSSSS，即121(2)nnaan 2 分 x 0(0,1)1(1,2)2(2,3)3()fx +0-0+()f x

13、 1 极大值 6 极小值 5 10#QQABDQIAggCAAABAAAgCAwHoCAKQkBAACIoGAEAAoAAAyRNABAA=#第 2 页（共 4 页）所以112(1)(2)nnaan，即12(2)nnbb n 在中令1n，得2122SS，即12122aaa，而11a，故23.a 则2112(1)aa，即212bb，又120b，所以12()nnbnNb 所以数列 nb是以2为首项，2为公比的等比数列，所以2nnb 6 分（2）222114(log)141nncbn1111()(21)(21)2 2121nnnn，8 分 1 111111111()()()(1)2 13352121

14、2212nTnnn 又因为21041ncn，所以113nTc 所以1132nT 12 分 2020.【解析】（1）设,P x y，则由题意得422xxyy，即242xxyy .因为P在圆22:4C xy上，所以224xy 即222424xy，所以点Q的轨迹方程为2221xy 5 分（2）设,G a b，则2ba，当P在圆C上运动时，MQN恒为锐角，等价于以MN中点G为圆心，3 为半径的圆 与圆22:21xy外离.9 分 所以2223 1ab，解得2a 或2a 所以线段MN中点G的横坐标取值范围为,22,.12 分 2121.【解析】（1）设抛物线C的标准方程为22(0)ypx p或22(0)x

15、py p，将A坐标代入22ypx，得2p，所以24yx；将A坐标代入22xpy，得14p，所以212xy，所以抛物线C的标准方程为24yx或212xy .4 分（2）方方法法 1 1 由抛物线C开口向右得标准方程为24yx，准线:1l x ，5 分 设(1,),(1,)(2)Pm Qm m ，则2:2(1)2APmlyx，即2222mxymm，#QQABDQIAggCAAABAAAgCAwHoCAKQkBAACIoGAEAAoAAAyRNABAA=#第 3 页（共 4 页）由222224mxymmyx得284(2)022myymm，所以4(2)2MAmyym，所以22(2)222,(),222

16、2MMMmmmyxymmmm 所以222(2)(),)22mmMmm，7 分 用m代m，得222(2)(),)22mmNmm,则2244MNmkm，9 分 所以2222(2)42:()242MNmmmlyxmmm，化简得224:(1)4MNmlyxm 所以，直线MN过定点(1,0).12 分 方方法法 2 2 由抛物线C开口向右得标准方程为24yx，准线:1l x ，5 分 直线MN不垂直于y轴，设1122:,(,),(,)MNlxmyn M x yN xy，由24xmynyx得2440ymyn，所以12124,4yym y yn，7 分 所以112111224,1214MAyykyxy所以1

17、4:2(1),2MAlyxy 1x 令，则1822Pyy，同理2822Qyy.9 分 因为,P Q关于x轴对称,所以1212128(4)4(1)40,2()421PQyynyyy yyynm 则1n .所以，直线MN过定点(1,0).12 分 2222.【解析】（1）1,1ab 时，()ln(0)xf xexe x，1()0 xfxex对0 x 恒成立，所以()f x在(0,)上单调递增 1 分 又(1)0,f所以()0f x 的解集为(1,).2 分（2）0ab时，令2211()()11(0)22xm xf xxxexxx，则()1,xm xex 令()(),n xm x则()10 xn x

18、e 对任意0 x（，）恒成立，所以()n x在(0,)上单调递增 又(0)0,n所以()(0)0,n xn即()0,m x 所以()m x在(0,)上单调递增 又(0)0,m所以()(0)0m xm 所以，对任意0 x（，），21()12f xxx成立 6 分#QQABDQIAggCAAABAAAgCAwHoCAKQkBAACIoGAEAAoAAAyRNABAA=#第 4 页（共 4 页）（3）1b 时，()ln(0)xf xeaxe x，()xxaxeafxexx 当0a 时，()0fx 对0 x 恒成立，所以()f x在(0,)上单调递增，又(1)0,f所以()f x仅有1个零点.7 分

19、当0a 时，令2()(),()0 xag xfx g xex，所以()fx在(0,)上单调递增，令()(0)xh xxea x，则(0)0,()(1)0ahah aa e ，又因为()xh xxea在(0,)上单调递增，所以存在唯一0(0,)xa，使得0()0h x，即0()0fx，0(0,)xx时，0()0fx，所以()f x在0(0,)x上单调递减；0(),xx，时，0()0fx，所以()f x在0(,)x 上单调递增 所以0()()f xf x极小值 8 分 若01,x 则()(1)0f xf极小值，所以()f x仅有1个零点，此时00 xax ee 9 分 若001x，则()f x在0

20、(,)x 上递增且(1)0f，所以()f x在0(,)x 上仅有 1 个零点，且0()(1)0f xf 0(0,)xx时，()lnlnxf xeaxeaxe，所以()0eaf e，0,01eaae，又0,1)xx时，()0,f x 0(0,)eaex，所以()f x在0(0,)x上仅有一个零点，所以()f x在(0,)上共有两个零点,此时00(0,)xax ee 10 分 若01x，则()f x在0(0,)x上递减且(1)0,f所以()f x在0(0,)x上仅有 1 个零点，且0()(1)0,f xf 0(,)xx时，由（2）可知211,2xexxx 两边取对数得ln,xx又22111,22xexxx 所以21()ln2xf xeaxexaxe，不妨取210max2,2 xx aae，则10(,)xx且1()0f x，又因为0()0f x，所以()f x在0(,)x 上仅有 1 个零点.所以()f x在(0,)上共有两个零点,此时00(,)xax ee.综上得：当0a 或ae时，函数()f x有 1 个零点；当0a 且ae时，函数()f x有 2 个零点.12 分#QQABDQIAggCAAABAAAgCAwHoCAKQkBAACIoGAEAAoAAAyRNABAA=#