江苏省盐城市五校联盟2023-2024学年高二上学期1月期末考试数学试题含答案.pdf

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1、第 1 页 共 6 页2023/2024 学年度第一学期2023/2024 学年度第一学期联盟校期末考试高二年级数学试卷联盟校期末考试高二年级数学试卷（总分 150 分考试时间 120 分钟）2024.01注意事项:1.本试卷中所有试题必须作答在答题纸上规定的位置，否则不给分。2.答题前，务必将自己的姓名、准考证号用 0.5 毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题纸上。3.作答非选择题时必须用黑色字迹 0.5 毫米签字笔书写在答题纸的指定位置上，作答选择题必须用 2B 铅笔在答题纸上将对应题目的选项涂黑。如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，请保持答题纸清洁，不折叠、不破损。一单项选择题.本

2、题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.一单项选择题.本题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1直线tan60 x 的倾斜角为（）A60B90C120D1502函数 230e1xfxfxx（fx是 fx的导函数），则 00ff（）A32B12C12D323南宋数学家杨辉在详解九章算法和算法通变本末中提出了一些新的垛积公式，他所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是逐项之差成等差数列现有一高阶等差数列，其前 7 项分别为 1，2，4，7，11，16，22

3、，则该数列的第 100 项为（）A4951B4 953C4955D49574在平面直角坐标系中，军营所在区域的边界为221xy,河岸所在直线方程为3xy,将军从点0,2A处出发，先到河边饮马，然后再返回军营，如果将军只要到达军营所在区域即回到军营，则这个将军所经过的最短路程为（）A5B51C10D101#QQABTQIEggCIQBBAAQgCEwVqCAIQkAGAAIoOxAAIMAAAiRNABAA=#江苏省盐城市五校联盟2023-2024学年高二上学期1月期末考试数学试题第 2 页 共 6 页5.已知数列 na满足112a，418a 且111122nnnnnnaaaaaan，若1nnn

4、ba a，数列 nb的前n项和为nT，则2024T（）A.20238096B.20232024C.20242025D.50620256拉格朗日中值定理是微分学中的基本定理之一，内容是：如果函数()f x在闭区间,a b上的图象连续不间断，在开区间,a b内的导数为 fx，那么在区间,a b内至少存在一点 c，使得 f bf afcba成立，其中 c 叫做()f x在,a b上的“拉格朗日中值点”根据这个定理，可得函数 33f xxx在2 2,上的“拉格朗日中值点”的个数为（）A3B2C1D07过抛物线28yx的焦点作直线交抛物线于P、Q两点，则线段PQ的中点的轨迹方程为（）A.41yxB.21

5、4xy C.212xy D.242yx8.已知圆22:4C xy与x轴正半轴的交点为D，从直线 2x+y=6 上任一动点P向圆作切线，切点分别为A，B，过点（0，23）作直线AB的垂线，垂足为H，则DH的最小值为（）A.2 533B.2 523C.2 543D.2 53二多项选择题二多项选择题.本题共本题共 4 4 小题小题,每小题每小题 5 5 分分,共共 2020 分分.在每小题在每小题给出的选项中给出的选项中,有多项符合题目要求有多项符合题目要求.全部选对的得全部选对的得 5 5 分分,部分选部分选对的得对的得 2 2 分分,有选错的得有选错的得 0 0 分分.9下列结论正确的是（）A.

6、212:21230,:340lxayalaxya，若1l/2l，则1a 或32a#QQABTQIEggCIQBBAAQgCEwVqCAIQkAGAAIoOxAAIMAAAiRNABAA=#第 3 页 共 6 页B.直线10kxyk 和以(3,1),(3,2)MN为端点的线段相交，则 k-12或 k32C.直线10 xy 与直线2210 xy 之间的距离是2D.与点1,2A 的距离为 1，且与点3,1B的距离为 4 的直线共有 3 条10英国著名物理学家牛顿用“作切线”的方法求函数零点.如图，在横坐标为1x的点处作 f x的切线，切线与x轴交点的横坐标为2x；用2x代替1x重复上面的过程得到3x

7、；一直下去，得到数列 nx，叫作牛顿数列.若函数 226,ln3nnnxfxxxax且11,3nax，数列 na的前n项和为nS，则下列说法正确的是（）A1nnnnfxxxfxB数列 na是递减数列C数列 na是等比数列D2023202321S11 阿基米德是古希腊伟大的物理学家、数学家、天文学家，享有“数学之神”的称号 若抛物线上任意两点 A，B 处的切线交于点 P，则称PAB为“阿基米德三角形”已知抛物线28xy的焦点为 F，过抛物线上两点 A，B 的直线的方程为20 xy，弦AB的中点为 C，则关于“阿基米德三角形”PAB，下列结论正确的是（）A点(3,2)PBPCx轴CPAPBDPFA

8、B12已知函数 fx及其导函数 fx的定义域为R，若 28f，函数21fx和2fx均为偶函数，则（）A函数 fx的图象关于点1,0对称B函数 fx是周期为 4 的周期函数C函数 fx的图象关于点3,0对称D20231()8ifi#QQABTQIEggCIQBBAAQgCEwVqCAIQkAGAAIoOxAAIMAAAiRNABAA=#第 4 页 共 6 页三填空题三填空题.本题共本题共 4 4 小题小题,每小题每小题 5 5 分分,共共 2020 分分.13.已知数列 na满足35a，14nnaan，则1021iia_14曲线lnyxx上一点到直线90 xy的最短距离为15.学校餐厅每天供应

9、1050 名学生用餐，每周一有 A，B 两种套餐可供选择.调查表明，凡是本周一选 A 套餐的，下周一会有 20%改选 B 套餐；而选 B 套餐的，下周一会有30%改选 A 套餐.用na，nb分别表示第n个周一选 A 套餐的人数和选 B 套餐的人数.第一个周一选 A 套餐的人数为1a人.（1）如果每个周一选 A 套餐人数总相等，则1a _.2（分）（2）若1350a，则从第_个周一开始，选 A 套餐人数首次超过选 B套餐的人数.3（分）16.已知椭圆22:14xCy的左、右焦点分别为1F，2F，M是C上异于顶点的一点，O为坐标原点，E为线段1MF的中点，12FMF的平分线与直线EO交于点P，当四

10、边形12MFPF的面积为2 2时，21sin MF F_四四解答题解答题.本题共本题共 6 6 小题小题,共共 7070 分分.应应写出文字说明写出文字说明、证明过程证明过程或演算步骤或演算步骤.17已知圆C过(1,0)A，(0,1)B两点，且圆心C在直线20 xy上（1）求圆C的方程；（2）设点P是直线4380 xy上的动点，PM、PN是圆C的两条切线，M、N为切点，求四边形PMCN面积的最小值.#QQABTQIEggCIQBBAAQgCEwVqCAIQkAGAAIoOxAAIMAAAiRNABAA=#第 5 页 共 6 页18已知函数 2e2xfxx.(1)求 fx的极值；(2)若对于任意

11、xR，不等式 2 e 1fxxm恒成立，求实数m的取值范围.19已知抛物线2:2(0)C xpy p的焦点为00,2 3,F Aypy为C上一点，且4AF.(1)求抛物线C的方程；(2)若直线1:lykxb交抛物线C于,D E两点，且4OD OE （O为坐标原点），记直线2:320lxmym过定点Q，证明：直线1l过定点P，并求出FPQ的面积.20.设数列 na的前 n 项和为nS，已知13a，2330nnSa.（1）证明数列 na为等比数列；（2）设数列 na的前n项积为nT，若133(1 2)(2)2log1nkknkkk SaaTn对任意*Nn恒成立，求整数的最大值.#QQABTQIEg

12、gCIQBBAAQgCEwVqCAIQkAGAAIoOxAAIMAAAiRNABAA=#第 6 页 共 6 页21在平面直角坐标系xOy中，设点00,Mxy是椭圆22:1205xyC上一点，以 M为圆心的一个半径2r 的圆，过原点作此圆的两条切线分别与椭圆 C 交于点 P、Q.（1）若直线,OP OQ的斜率都存在，且分别记为12,k k.求证：12k k为定值；（2）探究22OPOQ是否为定值，若是，则求出OPOQ的最大值；若不是，请说明理由.22已知函数 f(x)lnx2ax，aR(1)讨论函数 f(x)的单调性；(2)若对任意的 x(0，)，都有f(x)1xe3x恒成立，求 a 的取值范围

13、#QQABTQIEggCIQBBAAQgCEwVqCAIQkAGAAIoOxAAIMAAAiRNABAA=#2023/20242023/2024 学年度第一学期学年度第一学期联盟校期末考试高二年级数学试卷联盟校期末考试高二年级数学试卷（答案）（答案）一单选题1.B2.C3.A4.D5.D6.B7.D8.B二多选题9.BD10.ACD11.BCD12.ABD三填空题13.408214.4 215.6302（分）33（分）16.63四解答题17.（1）根据题意，设圆的圆心为(,)a b，半径为r，则有222222(1)(0)(0)(1)20abrabrab ，解可得1a ，1b，5r；故要求圆的方

14、程为22(1)(1)5xy；4（分）（2）根据题意，四边形PMCN的面积1(|)5|2PMCPNCSSSCMMPCNNPPM，6（分）而2222|5PMPCCMPC，当|PC最小时，四边形PMCN面积的最小，而|PC的最小值为点C到直线20 xy的距离，则|PC的最小值为|4(1)3 1 8|3169minPC ；故|PM的最小值为 2，故四边形PMCN面积的最小值为2 510（分）18（1）解：由函数 2e2xfxx，可得 22e2xfx，令0)(xf，即2e10 x，解得0 x；，即2e10 x，解得0 x，所以函数 fx在区间(,0)单调递减，(0,)单调递增，当0 x 时，fx取得极小

15、值，极小值为 01f，无极大值.4（分）（2）解：由不等式 2 e 1fxxm恒成立，即22ee21xxmx恒成立，即对于任意xR，不等式2e2exmx恒成立，6（分）设 2e2exg xx，可得 2=2e2exgx，#QQABTQIEggCIQBBAAQgCEwVqCAIQkAGAAIoOxAAIMAAAiRNABAA=#令 0gx，即22e2e0 x，解得12x；令 0gx，即22e2e0 x，解得12x，所以 g x在1(,)2上单调递减，在1(,)2单调递增，所以，当12x 时，函数 g x取得极小值，同时也时最小值，1()02g，10（分）所以 minmg x，即0m，所以实数m的取

16、值范围为,0.12（分）19.（1）因为02 3,Ay在2:2(0)C xpy p上，所以0122py，又4AF，所以042py，则042py，所以12242pp，则28120pp，解得2p 或6p=，当2p 时，03y，满足要求；当6p=时，01y，不满足0py，故2p，所以抛物线的方程为24xy4（分）（2）设1122,D x yE xy，联立24xyykxb，消去y整理得2440 xkxb，所以216160kb，且1 24x xb，所以222121216x xy yb，因为2121244OD OEx xy ybb ，解得2b，8（分）所以直线1l的方程为2ykx，则直线1l过定点0,2P

17、，直线2:320lxmym，即230 xm y过定点2,3Q，又0,1F，所以1PF，所以11 212FPQS.12（分）20.（1）因为2330nnSa，当2n时，112330nnSa，得：132nnaan，即-132nnana，经检验13a 符合上式，所以数列 na是首项为 3，公比为 3 的等比数列.4（分）（2）由（1）知3nna，所以13 1 3331 32nnnS，121 22123 3333n nnnnnTa aa ，#QQABTQIEggCIQBBAAQgCEwVqCAIQkAGAAIoOxAAIMAAAiRNABAA=#所以312111133333(1 2)(2)(1 2)(

18、2 3)(21)3222log13logkkknnnkkkkkkkkk SakkTk k 111333311kknnkkkn8（分）所以13311nnann恒成立，即133311nnnn，化简得：1133nn，10（分）令1133nnnb，所以112121330333nnnnnnnnbb，所以数列 nb是递增数列，最小值为11 11 1313b，所以1，故整数的最大值为 0.12（分）21（1）因为直线12:OP yk xOQ yk x，与圆 M 相切，所以直线1:OP yxk与圆2200:4Mxxyy联立，可得222210100012240kxxk yxxy同理222222000012240

19、kxxk yxxy，可得12kk，是方程22200004240 xkx y ky的两个不相等的实数根，20122044yk kx因为点00(,)M xy在椭圆 C 上，所以220054xy，所以1214k k ；6（分）（2）（i）当直线OPOQ，不落在坐标轴上时，设1122,P x yQ xy，因为12410k k ，所以22221212116y yx x，因为1122,P x yQ xy在椭圆 C 上.所以2222221212121554416xxy yx x整理得221220 xx，所以22125yy所以2225OPOQ.10（分）（ii）当直线落在坐标轴上时，圆M方程为22(2)(2)

20、4xy，易求得2225OPOQ，综上：2225OPOQ，所以|2212522OPOQOPOQ所以OPOQ的最大值为25212（分）22.（1）axxf21)(当0a时，），在（0)(,0)(xfxf是增函数2（分）#QQABTQIEggCIQBBAAQgCEwVqCAIQkAGAAIoOxAAIMAAAiRNABAA=#当0a时，令0)(,21,0)(210,21,0)(xfaxfaaxxf）（）上，所以（得综上所述，0a，）是增函数，在（-)(xf）是减函数，）是增函数，在（，在（aaxfa21-21-0)(,04（分）法一：（2）xxexxxeaxeaxxxxxx21ln21ln,12ln

21、ln333min2321ln1ln321lnln3xxxxxxexx，当且仅当 3x+lnx=0 时等号成立。8（分）xxxgln3)(）是增函数，在（0)(,013)(xgxxg.0)()1,1(.03)1(,023)1(02022xgexgeef使得存在可取等号23a12（分）法二：（2）xxxexxxeaxeaxxxxx1ln1ln2,12ln333令xxxexgx1ln)(3（x0）xxexxxexgxxln3ln3)(3223令0196)(,ln3)(32332xexxexhxexxhxxx故)(xh在（0，+）是增函数。6（分）又 h(1)=3e30,03ln3)31(eh所以存在

22、0)(),1,31(00 xhx使得且是减函数即）上，（)(,0)(,0)(00 xgxgxhx，是增函数即）上，（)(,0)(,0)(0 xgxgxhx所以00030min1ln)()(0 xxxexgxgx8（分），0ln3)(003000 xxexxhx00003000301ln1ln-30ln300 xxxxexxxexxx，即令是增函数在，（),0()(,0)(),0(,ln)xxxxxx0)(xf03031),1()(00 xexexx即所以，即 3x0=-lnx0所以3131)(00000 xxxxxg，所以23a12（分）#QQABTQIEggCIQBBAAQgCEwVqCAIQkAGAAIoOxAAIMAAAiRNABAA=#