（趣味数学）第二讲 盈亏问题（培优讲义）2023-2024学年五年级下册数学思维拓展含答案.pdf

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1、 盈亏问题九章算术第七章介绍了盈亏问题，这一类问题是把一定数量的物品平均分给若干对象，每个对象少分，则物品有余；如果每个对象多分，则物品不足。所以分物时经常出现盈（有余）、亏（不足）、尽（恰好分完）的情况，所以古人把这类问题称为盈不足问题。盈亏问题情况多样，解法巧妙，倍受古人重视，在许多古代算书上留下了不少好题。下面选取其中的一个给同学欣赏：题 目 今有人共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数，物价各几何？题意：有一群人凑钱买一件物品。如果每人出 8 枚钱币，就比物价多出 3 个钱币。如果每人出 7 枚钱币，就比物价少 4 个钱币。求人数和钱数各是多少？分析：这是属于“一盈一亏”类的问题

2、。当第一次每人出 8 枚钱币时多 3 枚，当第二次每人出 7 枚钱币时不但不多，还要少 4 枚，即第二次比第一次共少了 437 枚。这是由于第二次比第一次每人少出了 871 枚钱币。相差 7 枚，就说明有 717 人。这样物价也就可以算出来了。解答：437（枚）871（枚）717（人）78 3=53（枚）第二讲第二讲 盈亏问题盈亏问题 板块一：趣味数学 （趣味数学）第二讲 盈亏问题（培优讲义）2023-2024学年五年级下册数学思维拓展 答：一共有 7 人，物价为 53 枚。事实上，古代数学家发现，在计算人数（即分物对象的个数）时，还有一个简单易记、琅琅上口的口诀：“有余加不足，大减小来除”。

3、这种算法的绝妙之处在于它几乎可以不动脑筋，只要把几个数按口诀对号入座，马上可以得出答案。同学们如果你学会了，有兴趣就试试下面这个题目吧！钱几何 今有散钱不知其数，作七十七陌穿之，欠五十凑穿；作七十八陌穿之，不多不少。问钱数几何？盈亏问题的基本数量关系是：（盈亏）两次所分之差=人数；还有一些非标准的盈亏问题，它们被分为四类：1.两盈：两次分配都有多余；2.两不足：两次分配都不够；3.盈适足：一次分配有余，一次分配够分；4，不足适足：一次分配不够，一次分配正好。一些非标准的盈亏问题都是由标准的盈亏问题演变过来的。解题时我们可以记住：1.“两亏”问题的数量关系是：两次亏数的差两次分得的差=参与分配对

4、象总数；2.“两盈”问题的数量关系是：两次盈数的差两次分得的差=参与分配对象总数；3.“一盈一亏”问题的数量关系是：盈与亏的和两次分得的差=参与分配对象总数。【例题【例题 1 1】果树队上山种果树，所需栽的苹果树苗是梨树苗的 2 倍，如果梨树苗每人栽 3 棵，还余下 2 棵；苹果树苗每人栽 7 棵，则少 6 棵。问：果树专业队上山植树的有多少人？要栽多少棵苹果树和梨树？【分析】由于苹果树苗是梨树苗的 2 倍，根据题意，梨树苗每人栽 3 棵，还余下 2 棵，那么如果每人栽 6棵苹果树苗，应余下 4 棵，而已知每人栽 7 棵苹果树苗，则少 6 棵。根据盈亏问题解法，植树人员共（46）（76）10（

5、人），梨树有 310232（棵），苹果树有 32264（棵）。板块二：知识精讲板块二：知识精讲 板块三：典例好题板块三：典例好题 【详解】根据题意，如果每人栽 326（棵）苹果树苗，则应余下 224（棵）果树专业队上山植树的人数：（46）（76）101 10（人）梨树：310232（棵）苹果树：32264（棵）答：果树专业队上山植树的有 10 人，要栽的梨树和苹果树分别是 32 棵和 64 棵。【点睛】本题考查盈亏问题中一盈一亏的解法：盈与亏的和两次分得的差参与分配对象总数。根据梨树与苹果树之间的数量关系，将梨树的盈余问题转化为苹果树的盈余是解题的关键。练习练习一：1某校安排学生宿舍，如果每间

6、住 12 人，就会有 34 人没有宿舍；如果每间住 14 人，就会空出 4 间宿舍，问：有多少间宿舍？要安排多少个学生？2六一儿童节，老师给班上的同学发糖果，如果每人发 10 粒糖果，则还差 32 粒糖果，如果每人发 6 粒糖果，则糖果刚好分完。那么班上一共有多少名同学？老师一共有多少粒糖果？3动物园为猴山的猴买来桃，这些桃如果每只猴分 5 个，还剩 32 个；如果其中 10 只小猴分 4 个，其余的猴分 8 个，就恰好分完。问猴山有猴多少只？共买来多少个桃？【例题【例题 2 2】某班组织野营活动，需租借小木船过河，若每只船 10 人，则还空有两人的座位；若每只船乘 12 人，则可少租一只船，

7、而且刚好坐满。这时每人可节省 0.5 元，问租用一只小船要多少元？【分析】若每只船 10 人，则还空有两人的座位，即若每只船 10 人，则人数差 2 人；若每只船乘 12 人，则可少租一只船，则每只船乘 12 人，人数少 12112 人，对比两次的分配方法，亏 2，亏 12，两次分配的人数差为 12102 人，则船数为（122）（1210）5 只，人数为（51）1248 人；少租 用一只船，每人可以节约 0.5 元，则一只船的租用价格为 480.524 元。【详解】12112（人）（122）（1210）102 5（只）（51）12 412 48（人）480.524（元）答：租用一只小船要用 2

8、4 元。【点睛】本题中将少租的船数转化成人数，从而统一两次分配的单位是解决本题的关键。本题也可以使用方程法。练习练习二：1小明妈妈带着一笔钱去买肉，若买 10 千克牛肉则还差 6 元，若买 12 千克猪肉则还剩 4 元已知每千克牛肉比猪肉贵 3 元，问：小明妈妈带了多少钱？2小虎在敌人窗外听里边在分子弹：一人说每人背 50 发还多 60 发；另一人说每人背 55 发还多 40 发。有多少敌人？多少发子弹？3有若干个苹果和若干个梨如果按每 1 个苹果配 2 个梨分堆，那么梨分完时还剩 2 个苹果；如果按每 3个苹果配 5 个梨分堆，那么苹果分完时还剩 1 个梨问：苹果和梨各有多少个？【例题【例题

9、 3 3】粉笔盒里装的白粉笔支笔是彩色粉笔的 5 倍，教师们每天用去白粉笔 20 支，彩色粉笔 6支。若干天后盒子中余下的白粉笔 60 支，而彩色粉笔已断用了 2 天，粉笔盒中原有白粉笔、彩色粉笔各多少支？【分析】“每天用去白粉笔 20 支，彩色粉笔 6 支。若干天后盒子中余下的白粉笔 60 支，而彩色粉笔已断用了 2 天”，即每天用白粉笔 20 支，彩色粉笔 6 支，若干天后，白粉笔剩下 60 支，彩色粉笔少 6212支；因为白色粉笔是彩色粉笔的 5 倍，如果每天白色粉笔用 20 支，彩色粉笔用 4 支，则当剩下白色粉笔60 支时，彩色粉笔应该剩下 60512 支；对比两次的分配方法，亏 1

10、2，盈 12，两次分配彩色粉笔的数量差为 642 支，所以一共用了（1212）（64）12 天，彩色粉笔有（122）660 支，白色粉笔 605300 支。【详解】2054（支）60512（支）2612（支）（1212）（64）242 12（天）（122）10 1010 60（支）605300（支）答：粉笔盒中原有白粉笔 300 支，彩色粉笔 60 支。【点睛】本题中分配的对象有白色粉笔和彩色粉笔两种，根据白色粉笔与彩色粉笔的倍数关系将题中的分配方法按照白色粉笔与彩色粉笔的倍数关系进行分配，从而得到两次分配彩色粉笔的盈与亏是解决本题的关键。本题还可以采用假设法与方程法解。练习练习三：1王老师去

11、琴行买儿童小提琴，若买 7 把，则所带的钱差 110 元；若买 5 把，则所带的钱还多 30 元，问儿童小提琴多少钱一把？王老师一共带了多少钱？2.有若干盒卡片，每盒中卡片数一样多，把这些卡片分给一些小朋友，如果只分一盒，每人至少可以得到7 张；如果每人分 8 张卡片，则还缺少 5 张，现在把所有卡片都分完，每人分到 60 张，而且还多出 4张，问：共有多少个小朋友？3一位老师给学生分糖果，如果每人分 4 粒就多 9 粒，如果每人分 5 粒正好分完，问：有多少位学生？共多少粒糖果？【例题【例题 4 4】上级规定上午 9 点应把传令售从军营交到指挥部。一通讯兵如果每分钟走到 100 米可提早 1

12、0 分钟到达，如果每分钟走 80 米，可提早 6 分钟到达。求这个通讯兵在路上应用多长时间？他几点从军营出发刚好 9 点到达？军营离指挥部有多远？【分析】每分钟走到 100 米可提早 10 分钟到达，即若每分钟走到 100 米，按原定时间走可以多走 101001000 米；如果每分钟走 80 米，可提早 6 分钟到达，即若每分钟走到 80 米，按原定时间走可以多走680480 米；对比两次行驶方法，路程差为 1000480520 米，速度差为 1008020 米/分，则原定时间为 5202026 分，军营离指挥部的路程为（266）801600 米。【详解】101001000（米）680480（

13、米）（1000480）（10080）52020 26（分）9 点26 分8 点 34 分（266）80 2080 1600（米）答：这个通讯兵在路上应用 26 分，他 8 点 34 分从军营出发刚好 9 点到达，军营离指挥部有 1600 米。【点睛】用题目中提早到达的时间乘速度得到多走的路程，用路程差除以速度差得到原定路上走的时间是解决本题的关键。练习练习四：1老猴子给小猴子分桃，每只小猴分 10 个桃，就多出 9 个桃，每只小猴分 11 个桃则多出 2 个桃，那么一共有多少只小猴子？老猴子一共有多少个桃子？2某校安排学生宿舍，如果每间 4 人，则有 6 人没有床位，如果每间 6 人，则空了

14、2 间宿舍，该校有宿舍多少间？学生多少人？3学而思学校新买来一批书，将它们分给几位老师，如果每人发 10 本，还差 9 本，每人发 9 本，还差 2本，请问有多少老师？多少本书？分数的起源 人类历史上最早产生的数是自然数，随着生产活动的发展，在度量和均分时很难正好得到整数的结果，这样就产生了分数。看似简单的分数，它的产生可经历了一个漫长过程。刚开始人们也只是使用简单的分数，如一半，一半的一半等，后来才逐渐出现了三分之一，三分之二等简单的分数。今天我们认识分数也是按这样一个过程进行的。2000 多年前，中国有了分数，但是当时分数表现形式与现在不一样，它是在用算筹做除法运算的基础上产生的。当除不尽

15、时，把余数作为分子，除数作为分母，就产生了一个分子在上，分母在下的分数筹算形式。现在的分数形式是阿拉伯人发明的。为什么叫分数呢？分数这个名称能直观而生动地表示这种数的特征。分数是为度量和数学本身的需要除法运算的需要而产生的。板块四：数学故事板块四：数学故事 练习一练习一 145 间 574 个【详解】宿舍间数：（34+144）（14-12）=（34+56）2=902=45（间）学生人数：1245+34=540+34=574（人）答：这个学校有 45 间宿舍，要安排 574 个学生 28 名同学；48 粒【分析】盈亏问题，注意两次分配时，人数和糖果数量不变，套用公式进行求解，第一次差 32 粒，

16、第二次刚好分完，可认为差 0 粒，当做“亏亏型”盈亏问题求解。【详解】具体算式如下：32 106 324=8=（名）6 848=（粒）答：班上一共有 8 名同学，老师一共有 48 粒糖果。【点睛】本题主要考查盈亏问题，人数与糖果数量不变是本题的关键。324 只；152 个【分析】设出猴子的总数，表示出桃子的数量，根据两次分配桃子的数量不变，列方程求解。【详解】解：设猴山上有 x 只猴；5324 108(10)xx+=+53240880 xx+=+372x=板块五：答案解析板块五：答案解析 24x=5325 2432152x+=+=答：猴山上有 24 只猴；共买来 152 个桃。【点睛】本题是盈

17、亏问题中较为复杂的类型，第二次分配，大猴和小猴所分到的数量不一样，用算术方法求解不是很方便，可以考虑列方程求解。练习二练习二 1124 元【详解】因为“每千克牛肉比猪肉贵 3 元”，所以同样买 10 千克猪肉的话，就剩了 310624（元），这样化成普通的盈亏问题，猪肉的价钱是：（244）（1210）10（元），所以小明妈妈带的钱数是：12104124（元）24 个；260 发【分析】盈亏问题，第一次多 60 发，第二次多 40 发，当做“盈盈型”盈亏问题求解。【详解】具体算式如下：60405550（）（）205=4=（个）50 460260+=（发）答：一共有 4 个敌人；260 发子弹。【

18、点睛】盈亏问题的三种形式，“盈亏型”、“盈盈型”、“亏亏型”，注意三者的联系与区别，合理套用公式进行求解。3有苹果 15 个；有梨 26 个【详解】容易看出这是一道盈亏应用题，但是盈亏总额与两次分配数之差很难找到原因在于第一种方案是 1 个苹果“搭配”2 个梨，第二种方案是 3 个苹果“搭配”5 个梨如果将这两种方案统一为 1 个苹果“搭配”若干个梨，那么问题就好解决了将原题条件变为“1 个苹果搭配 2 个梨，缺 4 个梨；1 个苹果搭配 5/3 个梨，多 1 个梨”，此时盈亏总额为4 15+=(个)梨，两次分配数之差为25/31/3=(个)梨所以有苹果(4 1)(25/3)15+=(个)，有

19、梨15 2426=(个)练习三练习三 170 元 380 元【详解】第一个方案：买 7 把差 110 元，第二个方案：买 5 把还多 30 元，从买 7 把变成买 5 把，少买了752=（把），而钱的差额为：11030140+=（元），即 140 元可以买 2 把小提琴，可见小提琴的单价是 每把 70 元，王老师一共带了70 7 110380=（元）.211 个【分析】若是 7 盒，则每人不可能分到 60 张，7856（张）60（张）；若是 9 盒，则每人必超过 60张，8864（张）60（张），所以一共只能有 8 盒卡片。现在问题就变成简单的盈亏问题：8 盒卡片，每人分 8864（张），缺

20、8540（张）；每人分 60 张，则多出 4 张。由此可知，用（404）除以（6460），即可计算出小朋友的人数。【详解】8864（张）8540（张）（404）（6460）444 11（人）答：共有 11 个小朋友。【点睛】此题考查的是盈亏问题的计算，关键是先判断有多少盒卡片。39 人 45 粒【详解】第一种分配方案盈 9 粒糖，第二种方案不盈不亏，所以盈亏总和是 9 粒，两次分配之差是541=（粒），由盈亏问题公式得，参与分糖的同学有：9 19=（人），有糖果9 545=（粒）练习四练习四 1一共有 7 只小猴子；老猴子一共有 79 个桃子【详解】老猴子的第一种方案盈 9 个桃子，第二种方案

21、盈 2 个，所以盈亏总和是927=（个），两次分配之差是11 101=（个），由盈亏问题公式得，有小猴子：7 17=（只），老猴子有7 10979+=（个）桃子 2该校有宿舍 9 间，学生 42 人。【分析】如果每间 4 人，则有 6 人没有床位，即如果每间 4 人，则人数多 6 人；如果每间 6 人，则空了 2间宿舍，即如果每间 6 人，则人数少 6212 人；对比两次分配的方法，盈 6，亏 12，两次分配的人数差为 642 人，则房间数为（126）（64）9（间），总人数为 49642 人。【详解】2612（人）（126）（64）182 9（间）496 366 42（人）答：该校有宿舍 9 间，学生 42 人。【点睛】将空了的房间数转化成少的人数，然后算出盈与亏是解决本题的关键。本题也可以使用方程法解。37 人 61 本【详解】“差 9 本”和“差 2 本”两者相差927=（本），每个人要多发1091=（本），因此就知道，共有老师7 17=（人），书有7 10961=（本）