湖州中学2024届高三上学期第一次质量检测数学试题含答案.pdf

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1、 第1页/共5页 学科网（北京）股份有限公司 湖州中学湖州中学 2024 届高三第一次质量检测届高三第一次质量检测 数学试卷数学试卷 一、单项选择题：本题共一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的一项是符合要求的.1.复数5i2的共轭复数是（）A.2i+B.2i+C 2i D.2i 2.已知集合21log,1,12xAy yx xBy yx=，则AB=（）A.01yy B.102yy C.112yy D.3.已知向量()0,1,1a=，()1,1,0b=，则向量b在向量a上

2、的投影向量为（）A.1 10,2 2 B.11,0,22 C.()0,1,1 D.()1,0,1 4.设56与双曲线()222222222:10,0 xyCabab=具有相同的左、右焦点1F，2F，点P为它们在第一象限的交点，动点Q在曲线1C上，若记曲线1C，2C的离心率分别为1e，2e，满足121e e=，且直线1PF与y轴的交点的坐标为230,2a，则12FQF的最大值为（）A 3 B.2 C.23 D.56 二、多项选择题：本题共二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分，在每小题给出的四个选项中，有多分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要

3、求，全部选对的得项符合题目的要求，全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 2分，有选错的得分，有选错的得 0 分分.9.设函数()cos3f xx=+，则下列结论正确的是（）A.()yf x=的一个周期为2 B.()yf x=的图像关于直线83x=对称 C.()yf x=+的一个零点为6x=D.()yf x=在,2单调递减 10.18 世纪 30 年代，数学家棣莫弗发现，如果随机变量 X服从二项分布(),B n p，那么当 n 比较大时，可视为 X服从正态分布()2,N，其密度函数()()222,1e2xx=，xR.任意正态分布()2,XB，可通过变换XZ=转化为标准正态分布（0=

4、且1=）.当()0,1ZN时，对任意实数 x，记()()t xP Zx=时，()()1 2P Zxt x=C.随机变量()2,XN，当减小，增大时，概率()P X保持不变.第3页/共5页 学科网（北京）股份有限公司 D.随机变量()2,XN，当，都增大时，概率()P X的焦点，直线AB经过点F交抛物线于 A、B 两点，则下列说法正确的是（）A.以AB为直径的圆与抛物线的准线相切 B.若2AFFB=，则直线AB的斜率3k=C.弦AB的中点M的轨迹为一条抛物线，其方程为222ypxp=D.若4p=，则|4|AFBF+的最小值为 18 12.已知函数(),()f x g x的定义域均为R，且()(2

5、)1g xfx+=,()(1)1f xg x+=，若()yf x=的图象关于直线1x=对称，则以下说法正确的是（）A.()g x为奇函数 B.3()02g=C.x R，()(4)f xf x=+D.若()f x值域为,m M，则()()1f xg xmM+=+三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.13.在等比数列na中，12a=，前n项和为nS，若数列1na+也是等比数列，则nS等于_.14.已知()1nx+的展开式中，唯有3x的系数最大，则()1nx+的系数和为_ 15.如图，已知正三棱柱111ABCABC的底面边长为 1cm，高为

6、5cm，一质点自A点出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达1A点的最短路线的长为_.16.已知函数 f(x)22(1)23(1)xxexx xxx，当 x(，m时，f(x)1,1e，则实数 m的取值范围是_.的 第4页/共5页 学科网（北京）股份有限公司 四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6小题，共小题，共 70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤.17.已知数列 na满足：112,2nnnaaa+=+.（1）求 na通项公式；（2）若21 22 31111log,nnnnnba Tbbb bb b+=+，求nT.18.已知()si,

7、n3ax=，()2c scos,oxbx=，且()32f xa b=（1）求()yf x=的单调区间.（2）在ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，当1a=，2b=，12Af=，求ABC的面积.19.如图，在四棱锥PABCD中，侧面PAD是边长为2的正三角形且与底面垂直，底面ABCD是菱形，且60ABC=，M为棱PC上的动点，且()0,1PMPC=（1）求证：PBC为直角三角形；（2）试确定的值，使得平面PAD与平面ADM夹角的余弦值为2 55 20.为进一步激发青少年学习中华优秀传统文化的热情，某校举办了“我爱古诗词”对抗赛，在每轮对抗赛中，高二年级胜高三年级的概率为25，高一年级胜高

8、三年级的概率为13，且每轮对抗赛的成绩互不影响（1）若高二年级与高三年级进行 4轮对抗赛，求高三年级在对抗赛中至少有 3 轮胜出的概率；（2）若高一年级与高三年级进行对抗，高一年级胜 2 轮就停止，否则开始新一轮对抗，但对抗不超过 5轮，求对抗赛轮数 X的分布列与数学期望 21.已知直线:10l axy+=与圆22:6440C xyxy+=交于A，B两点，过点()5,1Q的直线m与圆C交于M，N两点.的 第5页/共5页 学科网（北京）股份有限公司()1若直线m垂直平分弦AB，求实数a的值；()2已知点()6,2S，在直线SC上（C为圆心），存在定点T（异于点S），满足：对于圆C上任一点P，都有

9、PSPT为同一常数，试求所有满足条件的点T的坐标及该常数.22.设函数()()e24,xf xaxaba b=+R（1）求函数()f x的单调区间；（2）若函数()yf xab=有两个不同零点1x，()212xxx 的 第1页/共21页 学科网（北京）股份有限公司 湖州中学湖州中学 2024 届高三第一次质量检测届高三第一次质量检测 数学试卷数学试卷 一、单项选择题：本题共一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的一项是符合要求的.1.复数5i2的共轭复数是（）A.2i+B.

10、2i+C.2i D.2i【答案】B【解析】【分析】先将复数的分母化成实数，再求其共轭复数即可.【详解】55(2i)105i2i,i2(2i)(2i)5=+而2i 的共轭复数是2i.+故选：B.2.已知集合21log,1,12xAy yx xBy yx=，则AB=（）A.01yy B.102yy C.112yy，1|02Byy=，所以AB=102yy.故选：B 3.已知向量()0,1,1a=，()1,1,0b=，则向量b在向量a上的投影向量为（）A.1 10,2 2 B.11,0,22 C.()0,1,1 D.()1,0,1【答案】A 第2页/共21页 学科网（北京）股份有限公司【解析】【分析】

11、根据给定条件，利用投影向量的定义求解即得.【详解】向量()0,1,1a=，()1,1,0b=，则1,|2a ba=，所以向量b在向量a上的投影向量为11 1(0,)22 2|a baaaa=.故选：A 4.设56，cos2a=，则sin4等于（）A.12a+B.12a C.12a+D.12a【答案】D【解析】【分析】借助56，得出2与4所处区间及象限，结合三角恒等变换公式即可得.【详解】56，5,322，5 3,442，故sin04与双曲线()222222222:10,0 xyCabab=具有相同的左、右焦点1F，2F，点P为它们在第一象限的交点，动点Q在曲线1C上，若记曲线1C，2C的离心率

12、分别为1e，2e，满足121e e=，且直线1PF与y轴的交点的坐标为230,2a，则12FQF的最大值为（）A.3 B.2 C.23 D.56【答案】A【解析】【分析】根据椭圆、双曲线的定义可得112212PFaaPFaa=+=，结合离心率可得11211aceaec=，在12PFF中，利用余弦定理可得112e=，进而结合椭圆性质可知：当Q为椭圆短轴顶点时，12FQF取到最大值，分析求解即可.【详解】由题意可知：12112222PFPFaPFPFa+=，解得112212PFaaPFaa=+=，第6页/共21页 学科网（北京）股份有限公司 又因为1122121ceaceae e=，可得11211

13、aceaec=，由直线1PF与y轴的交点的坐标为230,2a可得12222212cos9494cPFFaec=+，在12PFF中，由余弦定理可得()()()()()2222221212112212112122cos222aacaaPFFFPFPFFPFFFaac+=+()22212121111211a acccaacecec cee+=+，可得211122149eee=+，整理得42118210ee+=，解得2114e=或2112e=（舍去），且10e，所以112e=，由椭圆性质可知：当Q为椭圆短轴顶点时，12FQF取到最大值，此时12111sin22FQFcea=，且()120,FQF，则1

14、20,22FQF，所以1226FQF=，即123FQF=.故选：A.【点睛】关键点睛：本题解决的关键在于找到12cosPFF的两种表达方式，构造了关于1e的方程，从而得解.第7页/共21页 学科网（北京）股份有限公司 二、多项选择题：本题共二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分，在每小题给出的四个选项中，有多分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得项符合题目的要求，全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 2分，有选错的得分，有选错的得 0 分分.9.设函数()cos3f xx=+，则下列结论正确的是（）A.()yf

15、x=的一个周期为2 B.()yf x=的图像关于直线83x=对称 C.()yf x=+的一个零点为6x=D.()yf x=在,2单调递减【答案】ABC【解析】【分析】对于选项 A，通过2T=计算函数的周期；对于选项 B，将83x=代入函数()cos3f xx=+，若所得结果为1或1，则 B选项正确；对于选项 C，计算()cos()cos()33yf xxx=+=+=+，将6x=代入函数，若结果为 0，则选项C正确；对于选项 D，当,2x，则5 4,363tx=+，然后分析cosyt=在5 4,63上的单调性.【详解】因为函数cos()()3f xx=+，所以它的一个周期为2，故 A 正确；令8

16、3x=，求得()1f x=为最小值，故()f x的图像关于直线83x=对称，故 B正确；对于()cos()cos()33yf xxx=+=+=+，令6x=，可得()0f x+=，故()yf x=+的一个零点为6x=，故 C 正确；当,2x，5 4,363x+，函数cosyx=在5,6上单调递减，在4,3上单调递增，所以函数()f x在,2上没有单调性，故 D错误 故选：ABC 10.18 世纪 30 年代，数学家棣莫弗发现，如果随机变量 X服从二项分布(),B n p，那么当 n 比较大时，可 第8页/共21页 学科网（北京）股份有限公司 视为 X服从正态分布()2,N，其密度函数()()22

17、2,1e2xx=，xR.任意正态分布()2,XB，可通过变换XZ=转化为标准正态分布（0=且1=）.当()0,1ZN时，对任意实数 x，记()()t xP Zx=时，()()1 2P Zxt x=C.随机变量()2,XN，当减小，增大时，概率()P X保持不变 D.随机变量()2,XN，当，都增大时，概率()P X单调增大【答案】AC【解析】【分析】根据()()t xP Zx=结合正态曲线的对称性，可判断 A;由定义即可判断 B;根据正态分布的3准则可判断 C,D.【详解】对于 A，根据正态曲线的对称性可得：()()()1()1()txP ZxP ZxP Zxt x=时，()()t xP Zx

18、=，故 B错误；对于 C，D，根据正态分布的3准则，在正态分布中代表标准差，代表均值,x=即为图象的对称轴，根据3原则可知X数值分布在(),+中的概率为 0.6826，是常数，故由(|)()PXPX=的焦点，直线AB经过点F交抛物线于 A、B 两点，则下列说法正确的是（）A.以AB为直径圆与抛物线的准线相切 B.若2AFFB=，则直线AB的斜率3k=C.弦AB的中点M的轨迹为一条抛物线，其方程为222ypxp=D.若4p=，则|4|AFBF+的最小值为 18 的 第9页/共21页 学科网（北京）股份有限公司【答案】AD【解析】【分析】A：利用抛物线的定义求得AB的中点 M准线的距离即可判断；B

19、：联立直线与抛物线，然后由条件和根与系数的关系即可判定；C：设(,)M x y，结合选项 AB 可得：122yyymp+=，222m ppx=+，消去 m即可判定；D：可得124,x x=结合基本不等式即可判定.【详解】A：由抛物线的方程可得焦点,02pF，准线方程为：2px=，设()()1122,A x yB xy，则AB的中点1212,22xxyyM+，利用焦点弦的性质可得12|ABxxp=+，而AB的中点 M 准线的距离：()1212112222xxpdxxpAB+=+=，以AB为直径的圆与该抛物线的准线相切，因此 A正确；B：设直线AB的方程为102pxmykm=+=，联立222pxm

20、yypx=+=，整理可得：2220ympyp=，易知0，可得212122,yymp y yp+=，1222AFFByy=，解得212,4ymp ymp=，2228m pp=，解得218m=，212 2km=，因此 B 不正确；C：设(,)M x y，结合 A、B 可得：122yyymp+=，()122122222m yyxxppxm p+=+=+，消去 m 可得：222pypx=，因此 C错误；D：若4p=，则抛物线2:8C yx=，不妨设120 xx，()21212464y yx x=，1222224144104104 21018AFBFxxxxxx+=+=+=，第10页/共21页 学科网（

21、北京）股份有限公司 当且仅当211,4xx=时取等号，因此 D正确 故选：AD 【点睛】方法点睛：直线AB与抛物线2:2(0)C ypx p=交于()()1122,A x yB xy两点，与对称轴交点(),0N n，则21212,2x xny ypn=，进而可以使用基本不等式求与()1212,0 xxyy+有关的最值问题.12.已知函数(),()f x g x的定义域均为R，且()(2)1g xfx+=,()(1)1f xg x+=，若()yf x=的图象关于直线1x=对称，则以下说法正确的是（）A.()g x为奇函数 B.3()02g=C.x R，()(4)f xf x=+D.若()f x的

22、值域为,m M，则()()1f xg xmM+=+【答案】BCD【解析】【分 析】由()(2)1g xfx+=得(1)(1)1g xfx+=，与()(1)1f xg x+=联 立 得()(1)2f xfx+=，再结合()yf x=的图象关于直线1x=对称，可得()yf x=的周期、奇偶性、对称中心，可依次验证各选项正误.【详解】()(2)1g xfx+=，(1)(1)1g xfx+=，()(1)1f xg x+=，()(1)2f xfx+=，()f x关于1x=对称，(1)(1)fxfx=+，()()12f xfx+=，()()122f xfx+=，()(2)f xfx=+，2,T=()(4)

23、f xf x=+，故 C正确；.第11页/共21页 学科网（北京）股份有限公司()f x关于1x=对称，()(2)f xfx=，()()f xfx=，()f x为偶函数，()(2)1g xfx+=，()()1g xf x+=，()()1gxfx+=，()()1gxf x+=，()()g xgx=，()g x为偶函数，故 A 错误；()(1)2f xfx+=，()f x图象关于点1,12中心对称，存在一对最小值点与最大值点也关于1,12对称，2mM+=()()11g xf xmM+=+，故 D正确；由()(1)2f xfx+=得1()12f=，又2T=，所以3()12f=，由()()1g xf

24、x+=得33()()122gf+=，所以3()02g=，故 B 正确；故选：BCD【点睛】关键点点睛：对含有()(),f xg x混合关系的抽象函数，要探求()(),f xg x性质首先要消去一个函数只剩下另一下函数，消去其中一个函数的方法就是对x进行合理的赋值，组成方程组消去一个函数，再考查剩余函数的性质.对抽象函数的周期性、奇偶性、单调性以及图象的对称性的综合应用，解决该问题应该注意的事项：（1）赋值法使用，注意和题目条件作联系；（2）转化过程要以相关定义为目的，不断转变.三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.13.在等比数列na中

25、，12a=，前n项和为nS，若数列1na+也是等比数列，则nS等于_.【答案】2n【解析】【分析】设等比数列 na的公比为q，根据等比数列定义及性质求得公比q，然后根据等比数列的求和公式即得.【详解】设等比数列 na的公比为q，则12nnaq=,又数列1na+也是等比数列，则()()()212111nnnaaa+=+，211222nnnnnnaaaaaa+=+,()()()2222nnnnnnaqaqaaqaaq+=+，即22nnnaqaaq=+,第12页/共21页 学科网（北京）股份有限公司()2120naqq+=,即2210qq+=,1q=，2na=,所以2nSn=.故答案为：2n.14.

26、已知()1nx+的展开式中，唯有3x的系数最大，则()1nx+的系数和为_【答案】64【解析】【分析】由题意，列出不等式组3234CCCCnnnn，可解得6n=，利用赋值法求系数和，即得解【详解】由题意知3234CCCCnnnn，则()()()()()()()()1216212123624n nnn nn nnn nnn，解得57n，当 x(，m时，f(x)1,1e，则实数 m的取值范围是_.【答案】1 1,22e【解析】【分析】先分类讨论，求解在不同区间的最值，利用最值取得的条件对参数m进行讨论【详解】当1x时，()()()12xfxxe=+，令 0fx，则ln21x或1x ；()0fx，则

27、1ln2x 时，()1123 1,12e2ef xxx=，综上所述，m的取值范围为11,22e 故答案为：1 1,22e 四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6小题，共小题，共 70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤.17.已知数列 na满足：112,2nnnaaa+=+.（1）求 na的通项公式；第14页/共21页 学科网（北京）股份有限公司（2）若21 22 31111log,nnnnnba Tbbb bb b+=+，求nT.【答案】（1）2nna=；（2）1nnTn=+【解析】【分析】(1)利用累加法，即可求解通项公式.（2

28、）利用列项相消，即可求和.【详解】（1）由已知得12nnnaa+=，当 n2 时，()()()121321nnnaaaaaaaa=+()1212 1222222212nnn=+=+=又12a=，也满足上式，故2nna=（2）由（1）可知：211111log,(1)1nnnnbanb bn nnn+=+，1 22 3111111111111223111nnnnTbbb bb bnnnn+=+=+=+故1nnTn=+.18.已知()si,n3ax=，()2c scos,oxbx=，且()32f xa b=（1）求()yf x=的单调区间.（2）在ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，当1a=

29、，2b=，12Af=，求ABC的面积.【答案】（1）在5,1212kk+（Zk）单调递增；在12127,kk+（Zk）单调递减；（2）32.【解析】【分析】【详解】（1）()sin,3ax=，()2cos,cosbxx=.第15页/共21页 学科网（北京）股份有限公司()23sincos3cos2f xxxx=+()213sin22cos122xx=+13sin2cos222xx=+sin 23x=+令52222321212kxkkxk+所以函数()f x在5,1212kk+，（Zk）单调递增；令372222321212kxkkxk+所以函数()f x在12127,kk+，（Zk）单调递减.（

30、2）由（1）可知()sin 23f xx=+sin12,2332AfAAkkZ=+=+=+ab 角A为锐角，6A=由正弦定理，sin1sinsin2abBBAB=即三角形为直角三角形，223cba=则131322ABCS=19.如图，在四棱锥PABCD中，侧面PAD是边长为2的正三角形且与底面垂直，底面ABCD是菱形，且60ABC=，M为棱PC上的动点，且()0,1PMPC=第16页/共21页 学科网（北京）股份有限公司 （1）求证：PBC为直角三角形；（2）试确定的值，使得平面PAD与平面ADM夹角的余弦值为2 55【答案】（1）证明见解析 （2）13=【解析】【分析】（1）取AD的中点O，

31、连接,OP OC AC，由已知可证明出AD 平面POC，进而可以证明BCPC，即PBC为直角三角形；（2）先证明,OC PO AD两两垂直，以O为原点，建立空间直角坐标系Oxyz，写出点的坐标，求出平面的法向量，利用二面角的向量公式列方程，求出的值.小问 1 详解】证明：取AD的中点O，连接,OP OC AC，依题意可知PAD，ACD均为正三角形，所以OCAD，OPAD，又因为OCOPO=，OC 平面POC，OP 平面POC，所以AD 平面POC，又因为PC 平面POC，所以ADPC，因为BCAD，所以BCPC，即90PCB=，从而PBC为直角三角形【小问 2 详解】由（1）可知OPAD，又因

32、为平面PAD 平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD=，PO平面PAD，所以PO平面ABCD，又因为OC 平面ABCD，所以OCPO，所以,OC PO AD两两垂直 以O为原点，建立空间直角坐标系Oxyz，如图所示，【第17页/共21页 学科网（北京）股份有限公司 则()0,0,0O，()0,0,3P，()0,1,0A，()0,1,0D，()3,0,0C，所以()3,0,3PC=由()3,0,3PMPC=，可得点M的坐标为()3,0,33，所以()3,1,33AM=，()3,1,33DM=，设平面ADM的法向量为(),nx y z=，则00n AMn DM=，即()()33303330 xy

33、zxyz+=+=令z=，得1x=，0y=，则()1,0,n=为平面ADM的一个法向量，显然平面PAD的一个法向量为()3,0,0OC=，令()()22312 5cos,513n OCn OCn OC=+，解得13=或1=（舍去），所以当13=时，平面PAD与平面ADM夹角的余弦值为2 55 20.为进一步激发青少年学习中华优秀传统文化的热情，某校举办了“我爱古诗词”对抗赛，在每轮对抗赛中，高二年级胜高三年级的概率为25，高一年级胜高三年级的概率为13，且每轮对抗赛的成绩互不影响（1）若高二年级与高三年级进行 4轮对抗赛，求高三年级在对抗赛中至少有 3 轮胜出的概率；（2）若高一年级与高三年级进

34、行对抗，高一年级胜 2 轮就停止，否则开始新一轮对抗，但对抗不超过 5轮，求对抗赛轮数 X的分布列与数学期望【答案】（1）297625 （2）分布列见解析；期望为389【解析】【分析】（1）先求得高三年级胜高二年级的概率，再根据相互独立事件的概率计算公式求解即可；第18页/共21页 学科网（北京）股份有限公司（2）先确定出 X的所有可能取值，分别求出相应概率，从而列出分布列，求得数学期望【小问 1 详解】由题意，知高三年级胜高二年级的概率为35 设高三年级在 4 轮对抗赛中有 x 轮胜出，“至少有 3 轮胜出”的概率为 P，则()()343432329734C555625PP xP x=+=+

35、=【小问 2 详解】由题意可知2X=，3，4，5，则()211239P X=，()1211143C133327P X=，()21311144C133327P X=，()3414111165C11133327P X=+=，故 X 的分布列为 X 2 3 4 5 P 19 427 427 1627()1441638234592727279E X=+=21.已知直线:10l axy+=与圆22:6440C xyxy+=交于A，B两点，过点()5,1Q的直线m与圆C交于M，N两点.()1若直线m垂直平分弦AB，求实数a的值；()2已知点()6,2S，在直线SC上（C为圆心），存在定点T（异于点S），满

36、足：对于圆C上任一点P，都有PSPT为同一常数，试求所有满足条件的点T的坐标及该常数.第19页/共21页 学科网（北京）股份有限公司【答案】()12a=；()2在直线SC上存在定点()2,2T使得|PSPT为常数3.【解析】【分析】()1化简圆的方程为标准方程，求出圆的半径，转化求解实数a的值；()2设直线SC上的点(),2T t，取直线SC与圆C的交点()10,2P，则116PSPTt=，取直线SC与圆C的交点()26,2P，则22126PSPTt=，然后求解存在这样的定点()2,2T，进而求证结论.【详解】解：()1依题意，圆 C方程变形为()()22329xy+=，圆心()3,2C，半径

37、3r=又直线 l的方程即为1yax=+因为m垂直平分弦AB，圆心()3,2C必在直线m上 m过点()5,1Q和()3,2C，斜率12mk=，2lka=()2设直线SC上的点(),2T t 取直线SC与圆C的交点()10,2P，则116PSPTt=取直线SC与圆C的交点()26,2P，则22126PSPTt=.令6126tt=，解得2t=或6t=（舍去，与S重合），此时3PSPT=若存在这样的定点T满足题意，则必为()2,2T 下证：点()2,2T满足题意.设圆上任意一点(),P x y，则()()22293yx+=()()()()()()()()()2222222222626939 24183

38、69242422293PSxyxxxxxxxyxxPT+=+3PSPT=综上可知，在直线SC上存在定点()2,2T使得PSPT为常数3.【点睛】本题考查直线与圆的方程的综合应用，考查转化思想以及计算能力，属于中档题.第20页/共21页 学科网（北京）股份有限公司 22.设函数()()e24,xf xaxaba b=+R（1）求函数()f x的单调区间；（2）若函数()yf xab=有两个不同的零点1x，()212xxx 【答案】（1）当0a 时，()f x的单调递增区间为 R，无单调递减区间；当a0时，()f x的单调递增区间为2,lna，单调递减区间为2ln,a+（2）证明见解析【解析】【分

39、析】（1）求导，对参数a分类，讨论()fx的正负，研究函数的单调性；（2）由已知a，进而得到()()120fxfx+，再判断()20fx，即可证得结论.【小问 1 详解】由题可得，()e2xfxa=+，当0a 时，0fx，函数()f x的单调递增区间为 R，无单调递减区间；当a0时，令 0fx，得2lnxa，令()0fx，所以函数()f x的单调递增区间为2,lna，单调递减区间为2ln,a+综上，当0a 时，()f x的单调递增区间为 R，无单调递减区间；当a0时，()f x的单调递增区间为2,lna，单调递减区间为2ln,a+【小问 2 详解】因为函数()yf xab=有两个不同的零点1x

40、，()212xxx，的 第21页/共21页 学科网（北京）股份有限公司 所以a+，所以()h u在()0,1上单调递增，所以()0h u+，所以()()()121212e2e2220 xxfxfxaaxx+=+=+，所以()()12fxfx，所以()p u在()0,1上单调递增，所以()0p u，故()20fx 【点睛】方法点睛：本题考查研究函数的单调性及构造函数证明不等式，解含参数的不等式，通常需要从几个方面分类讨论：（1）看函数最高次项系数是否为 0，需分类讨论；（2）若最高次项系数不为 0，通常是二次函数，若二次函数开口定时，需根据判别式讨论无根或两根相等的情况；（3）再根据判别式讨论两根不等时，注意两根大小比较，或与定义域的比较.