2024高考总复习优化设计二轮用书数学(适用于新高考新教材)考点突破练与专题检测考点突破练9　概率与统计的基本计算含答案.docx

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1、2024 高考总复习优化设计二轮用书数学高考总复习优化设计二轮用书数学(适用于新高考新适用于新高考新教材教材)考点突破练与专题检测考点突破练考点突破练与专题检测考点突破练 9概率与统计概率与统计的基本计算的基本计算考点突破练考点突破练 9概率与统计的基本计算概率与统计的基本计算一、必备知识夯实练一、必备知识夯实练1.(2023 山东临沂一模)某工厂随机抽取 20 名工人,对他们某天生产的产品件数进行统计,数据如下表,则该组数据的第 75 百分位数是()件数7891011人数37541A.8.5B.9C.9.5D.102.(2023 全国乙,文 9)某学校举办作文比赛,共设 6 个主题,每位参赛

2、同学从中随机抽取一个主题准备作文,则甲、乙两位参赛同学抽到不同主题的概率为()A.56B.23C.12D.133.(2023 福建泉州三模)某运动员每次射击击中目标的概率均相等,若在三次射击中,至少有一次击中目标的概率为6364,则射击一次,击中目标的概率为()A.78B.34C.14D.184.(2021 全国甲,理 2)为了解某地农村经济情况,对该地农户家庭年收入进行抽样调查,将农户家庭年收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图:根据此频率分布直方图,下面结论中不正确的是()A.该地农户家庭年收入低于 4.5 万元的农户比率估计为 6%B.该地农户家庭年收入不低于 10.5 万元的农户比率

3、估计为 10%C.估计该地农户家庭年收入的平均值不超过 6.5 万元D.估计该地有一半以上的农户,其家庭年收入介于 4.5 万元至 8.5 万元之间5.(多选题)(2023 山东威海一模)已知事件 A,B 满足 P(A)=0.5,P(B)=0.2,则()A.若 BA,则 P(AB)=0.5B.若 A与 B 互斥,则 P(A+B)=0.7C.若 A与 B 相互独立,则 P(A?)=0.9D.若 P(B|A)=0.2,则 A与 B 相互独立6.(2023 云南昆明一模)一个数学兴趣小组共有 2 名男生 3 名女生,从中随机选出 2 名参加交流会,在已知选出的 2 名中有 1 名是男生的条件下,另

4、1 名是女生的概率为.7.(2023 天津教研联盟一模)某产品的质量检验过程依次为进货检验(IQC)、生产过程检验(IPQC)、出货检验(OQC)三个环节.已知某产品 IQC 的单独通过率为45,IPQC 的单独通过率为34,规定上一类检验不通过则不进入下一类检验,未通过可修复后再检验一次(修复后无需从头检验,通过率不变且每类检验最多两次),且各类检验间相互独立,则一件该产品能进入 OQC 环节的概率为.8.(2023 天津北辰三模)有两台车床加工同一型号的零件,第一台车床加工的优秀率为 15%,第二台车床加工的优秀率为 10%.假定两台车床加工的优秀率互不影响,则两台车床加工零件,同时出现优

5、秀品的概率为;若把加工出来的零件混放在一起,已知第一台车床加工的零件数占总数的 60%,第二台车床加工的零件数占总数的 40%,现任取一个零件,则它是优秀品的概率为.9.(2023 山东聊城一模)某班共有 50 名学生,在期末考试中,小明因病未参加数学考试,参加考试的 49名学生的数学成绩的方差为 2.在评估数学成绩时,老师把小明的数学成绩按这 49 名学生的数学成绩的平均数来算,那么全班 50 名学生的数学成绩的标准差为.二、关键能力提升练二、关键能力提升练10.(多选题)(2023 广东湛江二模)设某种植园成熟的红橙单果质量 M(单位:g)服从正态分布 N(165,2),且 P(M162)

6、=0.15,P(165M167)=0.3.下列说法正确的是()A.若从种植园成熟的红橙中随机选取 1 个,则这个红橙的质量小于 167 g 的概率为 0.7B.若从种植园成熟的红橙中随机选取 1 个,则这个红橙的质量在 167 g168 g 之间的概率为 0.05C.若从种植园成熟的红橙中随机选取 600个,则质量大于 163 g 的个数的数学期望为 480D.若从种植园成熟的红橙中随机选取 600 个,则质量在 163 g168 g 之间的个数的方差为 136.511.(多选题)(2023 广东广州二模)有 3 台车床加工同一型号的零件,第 1 台加工的次品率为 8%,第 2 台加工的次品率

7、为 3%,第 3 台加工的次品率为 2%,加工出来的零件混放在一起.已知第 1,2,3台车床加工的零件数分别占总数的 10%,40%,50%,从混放的零件中任取一个零件,则下列结论正确的是()A.该零件是第 1 台车床加工出来的次品的概率为 0.08B.该零件是次品的概率为 0.03C.如果该零件是第 3 台车床加工出来的,那么它不是次品的概率为 0.98D.如果该零件是次品,那么它不是第 3 台车床加工出来的概率为1312.(多选题)甲箱中有 4 个红球、2 个白球和 3 个黑球,乙箱中有 3 个红球、3 个白球和 3 个黑球,先从甲箱中随机取出一球放入乙箱,分别以 A1,A2和 A3表示事

8、件由甲箱取出的球是红球、白球和黑球;再从乙箱中随机取出一球,以 B 表示事件由乙箱取出的球是红球,则下列结论正确的是()A.事件 B 与事件 Ai(i=1,2,3)相互独立B.P(A1B)=845C.P(B)=13D.P(A2|B)=63113.(2023 湖北武汉高三期末)某校采用分层随机抽样的方法采集了高一、高二、高三年级学生的身高情况,部分调查数据如下:年级样本量样本平均数样本方差高一100167120高二100170150高三100173150则总样本的方差 s2=.三、核心素养创新练三、核心素养创新练14.(多选题)现有甲、乙、丙三位篮球运动员连续 5 场篮球比赛得分情况的记录数据,

9、已知三位球员得分情况的数据满足以下条件:甲球员:5 个数据的中位数是 26,众数是 24;乙球员:5 个数据的中位数是 29,平均数是 26;丙球员:5 个数据有 1 个是 32,平均数是 26,方差是 9.6.根据以上统计数据,下列统计结论一定正确的是()A.甲球员连续 5 场比赛得分都不低于 24 分B.乙球员连续 5 场比赛得分都不低于 24 分C.丙球员连续 5 场比赛得分都不低于 24 分D.丙球员连续 5 场比赛得分的第 60 百分位数大于 24考点突破练 9概率与统计的基本计算1.C解析 抽取的工人总数为 20,2075%=15,那么第 75百分位数是所有数据从小到大排序的第 1

10、5项与第 16项数据的平均数,第 15项与第 16项数据分别为 9,10,所以第 75百分位数是9+102=9.5.2.A解析 甲、乙两位同学各随机抽取一个主题,共有 66=36种结果,而甲、乙两位同学抽到同一个主题的结果有 6种,所以甲、乙两位同学抽到不同主题的概率 P=1-636?56.故选 A.3.B解析 设该运动员射击一次,击中目标的概率为 p,则该运动员在三次射击中,至少有一次击中目标的概率为 1-(1-p)3=6364,解得 p=34.4.C解析 该地农户家庭年收入低于 4.5 万元的农户比率估计为(0.02+0.04)1=6%,A正确;该地农户家庭年收入不低于 10.5 万元的农

11、户比率估计为(0.04+0.02+0.02+0.02)1=10%,B 正确;该地农户家庭年收入的平均值为0.023+0.044+0.15+0.146+0.27+0.28+0.19+0.110+0.0411+0.0212+0.0213+0.0214=7.68,C不正确;该地农户家庭年收入介于 4.5万元至 8.5万元之间的比率为(0.1+0.14+0.2+0.2)1=64%,D正确.5.BD解析 对于 A,因为 P(A)=0.5,P(B)=0.2,BA,所以 P(AB)=P(B)=0.2,故 A错误;对于 B,因为 A 与 B 互斥,所以 P(A+B)=P(A)+P(B)=0.5+0.2=0.7

12、,故 B正确;对于 C,因为 P(B)=0.2,所以 P(?)=1-0.2=0.8,又 A与 B相互独立,所以 P(A?)=0.50.8=0.4,故 C错误;对于 D,因为 P(B|A)=0.2,即?(?)?(?)=0.2,所以 P(AB)=0.2P(A)=0.1,又因为 P(A)P(B)=0.50.2=0.1,所以 P(AB)=P(A)P(B),所以 A 与 B相互独立,故 D正确.故选 BD.6.67解析 若 A表示事件“2名中至少有 1名男生”,B表示事件“2名中 1名是男生,另 1名是女生”,所以 2名中有 1名是男生的条件下,另 1名是女生的概率为 P(B|A)=?(?)?(?),而

13、P(AB)=C21C31C52?35,P(A)=1-C32C52?710,故 P(B|A)=67.7.910解析 设 Ai表示第 i 次通过进货检验,Bi表示第 i 次通过生产过程检验(i=1,2),C表示该产品能进入出货检验环节,由题意得P(C)=P(A1B1+?1A2B1+A1?1B2+?1A2?1B2)=45?34+15?45?34+45?14?34+15?45?14?34?910.8.1.5%13%解析 由于第一台车床加工的优秀率为 15%,第二台车床加工的优秀率为 10%,所以两台车床加工零件,同时出现优秀品的概率为 15%10%=1.5%.记事件 B=“加工的零件为优秀品”,事件

14、A=“零件为第 1台车床加工”,事件?=“零件为第 2台车床加工”,P(A)=60%,P(?)=40%,P(B|A)=15%,P(B|?)=10%,由全概率公式可得 P(B)=P(A)P(B|A)+P(?)P(B|?)=60%15%+40%10%=13%.9.75解析 设参加考试的 49名学生的数学成绩为 xi(i=1,2,3,49),平均成绩为?,由题意得?149(?-?)249=2,则全班 50名学生数学成绩的标准差为i?149(?-?)2+(?-?)250?149(?-?)2+050?49?2+050?75.10.BCD解析 因为 MN(165,2),所以 P(M167)=0.5+0.3

15、=0.8,故 A错误;因为 P(165M168)=P(162M165)=0.5-0.15=0.35,所以 P(167M163)=P(M167)=0.8,若从种植园成熟的红橙中随机选取 600个,则质量大于 163 g的个数XB(600,0.8),所以 E(X)=6000.8=480,故 C正确;因为 P(165M167)=0.3,所以 P(163M165)=0.3,又因为 P(M162)=0.15,所以P(162M163)=P(M165)-P(163M165)-P(M162)=0.5-0.3-0.15=0.05,则P(167M168)=0.05,所以 P(163M168)=P(163M165)

16、+P(165M167)+P(167M72,与已知矛盾,所以 z5=32,(?1-26)2+(?2-26)2+(?3-26)2+(?4-26)2=12,因为 z1,z2,z3,z4,z5的平均数为 26,所以 z1+z2+z3+z4=98,取 z1=23,z2=25,z3=25,z4=25,满足要求,但有一场得分低于 24分,故 C错误;因为 560%=3,所以丙球员连续 5场比赛得分的第 60百分位数为?3+?42,若?3+?4224,则?1+?2224,故 z1+z2+z3+z424,所以丙球员连续 5场比赛得分的第 60百分位数大于 24,故 D 正确.故选 AD.考点突破练考点突破练 1

17、0概率与统计的综合问题概率与统计的综合问题1.(2023 江苏苏锡常镇二模)某地区的疾控机构为了考察药物 A 对某疾病的预防效果,在该地区随机抽取 96 人,调查得到的统计数据如下表所示.单位:人药物 A患病未患病合计服用103848未服用222648合计326496(1)依据=0.01 的独立性检验,能否认为药物 A 对预防该疾病有效果?(2)已知治愈一位服用药物 A 的该疾病患者需要 2 个疗程,治愈一位未服用药物 A 的该疾病患者需要3 个疗程.从该地区随机抽取 1 人,调查其是否服用药物 A、是否患该疾病.若未患病,则无需治疗;若患病,则对其进行治疗并治愈.求所需疗程数的数学期望.附:

18、2=?(?-?)2(?+?)(?+?)(?+?)(?+?),其中 n=a+b+c+d.0.10.010.0050.001x2.7066.6357.87910.8282.(2023 江苏七市三模)某高中采用多维评分的方式进行综合素质评价.下图是该校高三学生“运动与健康”评价结果的频率分布直方图,评分在区间90,100),70,90),60,70),50,60)内,分别对应为 A,B,C,D四个等级.为了进一步引导学生对运动与健康的重视,初评获 A 等级的学生不参加复评,等级不变,对其余学生学校将进行一次复评.复评中,原获 B 等级的学生有14的概率提升为 A等级;原获 C等级的学生有15的概率提

19、升为 B 等级;原获 D 等级的学生有16的概率提升为 C等级.用频率估计概率,每名学生复评结果相互独立.(1)若初评中甲获得 B 等级,乙、丙获得 C 等级,记甲、乙、丙三人复评后等级为 B 等级的人数为,求的分布列和数学期望;(2)从全体高三学生中任选 1 人,在已知该学生是复评晋级的条件下,求他初评是 C 等级的概率.3.(2023 浙江绍兴二模)2023 年春季以来,各地出台了促进经济发展的各种措施,经济增长呈现稳中有进的可喜现象.服务业的消费越来越火爆,一些超市也纷纷加大了广告促销.现随机抽取 7 家超市,得到其广告支出 x(单位:万元)与销售额 y(单位:万元)的数据如下.超市编号

20、 i1234567广告支出 xi1246101320销售额 yi19324440525354(1)已知 x 和 y 具有线性相关关系,建立 y 关于 x 的经验回归方程;(系数精确到 0.01)(2)若将超市的销售额 y 与广告支出 x 的比值称为该超市的广告效率值,当10 时,称该超市的广告为“好广告”.从这 7 家超市中随机抽取 4 家超市,记这 4 家超市中“好广告”的超市数为 X,求 X 的分布列与期望.附:?17xiyi=2 788,i?17?2=726,?17?2=13 350,经验回归直线?+?x 中斜率和截距的最小二乘估计分别为?1?-?1?2-?2,?.4.为了引导青少年抵制

21、不良游戏,适度参与益脑游戏,某游戏公司开发了一款益脑游戏,在内测时收集了玩家每一关的平均过关时间,如下表:关卡 x123456平均过关时间 y/秒 5078124121137352计算得到一些统计量的值为?16ui=28.5,?16xiui=106.05,其中,u=ln y.(1)若用模型 y=aebx拟合 y 与 x的关系,根据提供的数据,求出 y 与 x 的经验回归方程.(2)制定游戏规则如下:玩家在每关的平均过关时间内通过可获得积分 2 分并进入下一关,否则获得-1分且该轮游戏结束.甲通过练习,前 3 关都能在平均时间内过关,后面 3 关能在平均时间内通过的概率均为45,若甲玩一轮此款益

22、脑游戏,求“甲获得的积分 X”的分布列和数学期望.参考公式:对于一组数据(xi,yi)(i=1,2,3,n),其经验回归直线?x+?的斜率和截距的最小二乘估计分别为?1?-?1?2-?2,?.5.某商场为了回馈广大顾客,设计了一个抽奖活动,在抽奖箱中放 10 个除颜色外完全相同的小球,其中5 个为红色,5 个为白色.抽奖方式为:每名顾客进行两次抽奖,每次抽奖从抽奖箱中一次性摸出两个小球.如果每次抽奖摸出的两个小球颜色相同即为中奖,两个小球颜色不同即为不中奖.(1)若规定第一次抽奖后将球放回抽奖箱,再进行第二次抽奖,求中奖次数 X 的分布列和数学期望;(2)若规定第一次抽奖后不将球放回抽奖箱,直

23、接进行第二次抽奖,求中奖次数 Y 的分布列和数学期望.6.(2023 福建泉州模拟)某技术部门对工程师进行达标等级考核,需要进行两轮测试,每轮测试的成绩在 90 分及以上的定为该轮测试通过,只有通过第一轮测试的人员才能进行第二轮测试,两轮测试的过程相互独立,并规定:两轮测试均通过的定为一级工程师;仅通过第一轮测试,而第二轮测试没通过的定为二级工程师;第一轮测试没通过的不予定级.现有某公司的甲、乙、丙三位工程师参加等级考核,已知他们通过第一轮测试的概率分别为13,23,23,通过第二轮测试的概率均为12.(1)求经过本次考核,甲、乙、丙三位工程师中恰有两位被定为一级工程师的概率.(2)公司为鼓励

24、工程师参加等级考核设置两套奖励方案.方案一:定为一级工程师的奖励 2 000 元,定为二级工程师的奖励 1 500 元,未定级的给予鼓励奖 500元.方案二:定为一级或二级工程师的均奖励 2 000 元,未定级的不予奖励.采用哪套方案,公司的奖励支出会更少?考点突破练 10概率与统计的综合问题1.解(1)零假设为 H0:药物 A对预防该疾病没有效果.由题意可得2=96?(10?26-38?22)248?48?32?64?274=6.756.635=x0.01,所以依据=0.01的独立性检验,我们推断H0不成立,即认为药物 A对预防该疾病有效果,此推断犯错误的概率不大于 0.01.(2)设所需疗

25、程数为 X,则 X的可能取值为 0,2,3.由表格可知,P(X=0)=6496?23,P(X=2)=1096?548,P(X=3)=2296?1148,所以随机变量 X 的分布列为X023P235481148则 E(X)=023+2548+31148?4348,所以所需疗程数的数学期望为4348.2.解(1)的所有可能取值为 0,1,2,3,P(=0)=14?45?45?425,P(=1)=34?45?45+14?C21?15?45?1425,P(=2)=34?C21?15?45+14?15?15?14,P(=3)=34?15?15?3100,的分布列如下:0123P4251425143100

26、E()=1425+12+9100?115100?2320.(2)记事件 A为“该学生复评晋级”,事件 B为“该学生初评是 C 等级”,则所求概率为 P(B|A)=?(?)?(?)=0.15?150.6?14+0.15?15+0.05?16?18113.3.解(1)由表中数据可得?1+2+4+6+10+13+207?567=8,?19+32+44+40+52+53+547=42.又?17xiyi=2 788,i?17?2=726,?17?-7?17?2-7?2?2 788-7?8?42726-7?82?4362781.57,?=42-436278829.45.y关于 x的经验回归方程为?=1.5

27、7x+29.45.(2)由题知,7家超市中有 3家超市的广告是“好广告”,则 X的可能取值是 0,1,2,3,P(X=0)=C44C74?135,P(X=1)=C31C43C74?1235,P(X=2)=C32C42C74?1835,P(X=3)=C33C41C74?435.所以 X的分布列为X0123P13512351835435期望为 E(X)=0135+11235+21835+3435?6035?127.4.解(1)因为 y=aebx两边取对数可得 ln y=ln(aebx)=ln a+ln ebx,即 ln y=ln a+bx,令 u=ln y,所以 u=bx+ln a,由?16?16

28、ui=4.75,x?16(1+2+3+4+5+6)=3.5,i?1n?2=12+22+32+42+52+62=91.所以?16?-6?16?2-6?2?106.05-6?3.5?4.7591-6?3.52=0.36.又?+ln?,即 4.75=0.363.5+ln?,所以ln?=3.49,所以?=e3.49.所以 y关于 x的经验回归方程为?=e0.36x+3.49.(2)由题知,甲获得的积分 X 的所有可能取值为 5,7,9,12,所以 P(X=5)=15,P(X=7)=45?15?425,P(X=9)=452?15?16125,P(X=12)=453?64125,所以 X的分布列为X579

29、12P154251612564125所以 E(X)=515+7425+916125+1264125?1 177125.5.解(1)若第一次抽奖后将球放回抽奖箱,再进行第二次抽奖,则每次中奖的概率为C52+C52C102?49.因为两次抽奖相互独立,所以中奖次数 X 服从二项分布,即 XB(2,49),X 的所有可能取值为 0,1,2,则 P(X=0)=C20?490?592?2581,P(X=1)=C21?491?591?4081,P(X=2)=C22?492?590?1681,所以 X的分布列为X012P258140811681数学期望为 E(X)=249?89.(2)若第一次抽奖后不将球放

30、回抽奖箱,直接进行第二次抽奖,中奖次数 Y 的所有可能取值为 0,1,2,则 P(Y=0)=C51C51C102?C41C41C82?2063,P(Y=1)=C52+C52C102?C31C51C82+C51C51C102?C42+C42C82?1563+1563?3063?1021,P(Y=2)=C52+C52C102?C32+C52C82?1363,所以 Y的分布列为Y012P206310211363数学期望为 E(Y)=11021+21363?89.6.解(1)设甲、乙、丙被定为一级工程师的事件分别为 A1,A2,A3,事件 C表示三位工程师中恰有两位被定为一级工程师.P(A1)=13?

31、12?16,P(A2)=P(A3)=23?12?13,所以 P(C)=P(?1A2A3)+P(A1?2A3)+P(A1A2?3)=56?13?13+16?23?13+16?13?23?16.(2)方案一:设甲、乙、丙获得的奖金分别为 X,Y,Z,则 X,Y,Z 的取值均可能为 2 000,1 500,500.则 P(X=2 000)=P(A1)=16,P(X=1 500)=13?12?16,P(X=500)=1-13?23,故 E(X)=2 00016+1 50016+50023?2 7503.P(Y=2 000)=P(Z=2 000)=P(A2)=13,P(Y=1 500)=P(Z=1 50

32、0)=23?12?13,P(Y=500)=P(Z=500)=1-23?13,故 E(Y)=E(Z)=2 00013+1 50013+50013?4 0003.E(X)+E(Y)+E(Z)=2 7503+24 0003?10 7503.方案二:设甲、乙、丙获得的奖金分别为 X,Y,Z,则 X,Y,Z的取值均可能为 2 000,0.P(X=2 000)=16+13?12?13,E(X)=2 00013?2 0003;P(Y=2 000)=P(Z=2000)=13+23?12?23,E(Y)=E(Z)=2 00023?4 0003.E(X)+E(Y)+E(Z)=2 0003+24 0003?10 0003.显然10 7503?10 0003,故公司采用方案二奖励支出会更少.