2024高考总复习优化设计二轮用书数学(适用于新高考新教材)考点突破练与专题检测专题检测5　解析几何含答案.docx

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1、2024 高考总复习优化设计二轮用书数学高考总复习优化设计二轮用书数学(适用于新高考新适用于新高考新教材教材)考点突破练与专题检测专题检测考点突破练与专题检测专题检测 5 解析几何解析几何专题专题检测五检测五 解析几何解析几何 一、选择题:本题共 8小题,每小题 5分,共 40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2021 新高考,3)抛物线 y2=2px(p0)的焦点到直线 y=x+1 的距离为,则 p=()A.1 B.2 C.2 D.4 2.(2023 北京八一中学模拟)已知从点(-5,3)发出的光线,经 x轴反射后,反射光线恰好平分圆 x2+y2-2x-2y-3=

2、0的圆周,则反射光线所在的直线方程为()A.2x-3y+1=0 B.2x-3y-1=0 C.3x-2y+1=0 D.3x-2y-1=0 3.(2023 山东济宁一模)若过点 P(0,-1)的直线 l与圆 -+y2=1 有公共点,则直线 l的倾斜角的最大值为()A.B.C.D.4.(2023 湖南常德一模)已知抛物线的方程为 x2=4y,过其焦点 F 的直线与抛物线交于 M,N两点,且|MF|=5,O为坐标原点,则MOF 的面积与NOF 的面积之比为()A.B.C.5 D.4 5.(2023 全国甲,理 8)已知双曲线 C:=1(a0,b0)的离心率为,C的一条渐近线与圆(x-2)2+(y-3)

3、2=1 交于 A,B两点,则|AB|=()A.B.C.D.6.(2023 广东佛山二模)已知方程 Ax2+By2+Cxy+Dx+Ey+F=0,其中 ABCDEF.现有四位同学对该方程进行了判断,提出了四个命题:甲:可以是圆的方程;乙:可以是抛物线的方程;丙:可以是椭圆的标准方程;丁:可以是双曲线的标准方程.其中,真命题有()A.1 个 B.2个 C.3个 D.4 个 7.(2023 山东德州一模)由点 P(-3,0)射出的两条光线与O1:(x+1)2+y2=1 分别相切于点 A,B,称两射线PA,PB 上切点右侧部分的射线和优弧 AB右侧所夹的平面区域为O1的“背面”.若O2:(x-1)2+(

4、y-t)2=1 处于O1的“背面”,则实数 t的取值范围为()A.-2,2 B.-+1,-1 C.-1,1 D.-8.(2023 湖南长郡中学一模)已知 O为坐标原点,双曲线 C:=1(a0,b0)的左、右焦点分别是F1,F2,离心率为 ,P(x1,y1)是 C的右支上异于顶点的一点,过点 F2作F1PF2的平分线的垂线,垂足是M,|MO|=.若双曲线 C上一点 T满足 =5,则点 T 到双曲线 C 的两条渐近线的距离之和为()A.2 B.2 C.2 D.2 二、选择题:本题共 4小题,每小题 5分,共 20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得 5分,部分选对的得 2 分

5、,有选错的得 0 分.9.(2023 福建泉州三模)已知 AB为圆 C:x2+y2=4的直径且不与 y 轴重合,直线 l:y=kx+1与 y轴交于点M,则()A.l与 C 恒有公共点 B.ABM 是钝角三角形 C.ABM 的面积的最大值为 1 D.l被 C 截得的弦的长度的最小值为 2 10.已知抛物线 C:y2=4x的焦点为 F,斜率为 1 的直线 l交抛物线于 A,B两点,则()A.抛物线 C 的准线方程为 x=1 B.线段 AB的中点在直线 y=2 上 C.若|AB|=8,则OAB 的面积为 2 D.以线段 AF为直径的圆一定与 y 轴相切 11.(2023 河北邯郸一模)已知双曲线 C

6、:=1(a0,b0)的左、右焦点分别是 F1,F2,过 F1作圆x2+y2=a2的切线 l,切点为 M,且直线 l与双曲线 C的左、右两支分别交于 A,B两点,则下列结论正确的是()A.若 a=3,b=4,则|BF1|+|BF2|=26 B.若 BF2BF1,则双曲线 C的渐近线方程为 y=2x C.若|MB|=2|MF1|,则双曲线 C 的离心率是 D.若 M是 BF1的中点,则双曲线 C的离心率是 12.(2023 山东菏泽二模)法国数学家加斯帕尔 蒙日发现:与椭圆相切的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆,我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆.已知椭圆 C:+y2=1,F1

7、,F2分别为椭圆的左、右焦点,直线 l的方程为 x+y-3=0,M为椭圆 C 的蒙日圆上一动点,MA,MB分别与椭圆相切于 A,B两点,O为坐标原点,下列说法正确的是()A.椭圆 C的蒙日圆方程为 x2+y2=3 B.记点 A 到直线 l的距离为 d,则 d-|AF2|的最小值为 C.一矩形四条边与椭圆 C相切,则此矩形面积的最大值为 6 D.AOB 的面积的最小值为 ,最大值为 三、填空题:本题共 4小题,每小题 5分,共 20分.13.(2023 福建厦门二模)写出与直线 x=1,y=1和圆 x2+y2=1 都相切的一个圆的方程:.14.(2023 天津,12)过原点的一条直线与圆 C:(

8、x+2)2+y2=3 相切,交曲线 y2=2px(p0)于点 P,若|OP|=8,则 p的值为 .15.(2022 全国甲,文 15)记双曲线 C:=1(a0,b0)的离心率为 e,写出满足条件“直线 y=2x与 C无公共点”的 e的一个值 .16.(2023 河北石家庄一模)已知 F1,F2分别是椭圆 C:=1(ab0)的左、右焦点,B是 C 的上顶点,过 F1的直线交 C于 P,Q 两点,O 为坐标原点,OBF1与PQF2的周长比为 ,则椭圆的离心率为 ;如果|BF1|=,且 BF1PQ,则PQF2的面积为 .四、解答题:本题共 6小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤

9、.17.(10分)已知双曲线 =1(a0,b0)过点 A(-3,2),且离心率 e=.(1)求该双曲线的标准方程;(2)如果 B,C 为双曲线上的动点,直线 AB 与直线 AC 的斜率互为相反数,证明直线 BC 的斜率为定值,并求出该定值.18.(12分)(2023河北唐山二模)已知抛物线 C:y2=2px(p0)的焦点为 F,A 为 C上一点,B 为准线 l上一点,=2 ,|AB|=9.(1)求 C 的方程;(2)M,N,E(x0,-2)是 C上的三点,若 kEM+kEN=1,求点 E到直线 MN距离的最大值.19.(12分)(2021全国甲,理 20)抛物线 C 的顶点为坐标原点 O,焦点

10、在 x轴上,直线 l:x=1 交 C 于 P,Q两点,且 OPOQ.已知点 M(2,0),且M与 l相切.(1)求 C,M的方程;(2)设 A1,A2,A3是 C 上的三个点,直线 A1A2,A1A3均与M 相切.判断直线 A2A3与M 的位置关系,并说明理由.20.(12分)(2023江苏海安高级中学一模)某城市决定在夹角为 30的两条道路 EB,EF之间建造一个半椭圆形状的主题公园,如图所示,AB=2千米,O为 AB的中点,OD为椭圆的长半轴,在半椭圆形区域内再建造一个游乐区域三角形 OMN,其中 M,N在椭圆上,且 MN 的倾斜角为 45,交 OD于点 G.(1)若 OE=3 千米,为了

11、不破坏道路 EF,求椭圆长半轴长的最大值;(2)若椭圆的离心率为 ,当线段 OG长为何值时,游乐区域三角形 OMN的面积最大?21.(12分)(2023山东青岛一模)已知 O为坐标原点,椭圆 C:=1(ab0)的左、右焦点分别为F1,F2,A 为椭圆 C 的上顶点,AF1F2为等腰直角三角形,其面积为 1.(1)求椭圆 C 的标准方程.(2)直线 l交椭圆 C 于 P,Q两点,点 W在过原点且与 l平行的直线上,记直线 WP,WQ 的斜率分别为k1,k2,WPQ 的面积为 S.从下面三个条件中选择两个条件,证明另一个条件成立.S=;k1k2=-;W为原点 O.注:若选择不同的组合分别解答,则按

12、第一个解答计分.22.(12分)(2023浙江湖州、衢州、丽水二模)已知双曲线 C:-y2=1,A是双曲线 C的左顶点,点 P坐标为(4,0).(1)过点 P作 C 的两条渐近线的平行线分别交双曲线 C于 R,S 两点,求直线 RS 的方程.(2)过点 P作直线 l与椭圆 +y2=1 交于点 D,E,直线 AD,AE 与双曲线 C的另一个交点分别是点 M,N.试问:直线 MN 是否过定点?若过定点,请求出该定点坐标;若不过定点,请说明理由.专题检测五 解析几何 1.B 解析 抛物线的焦点坐标为(,0),其到直线 x-y+1=0的距离 d=|-|,解得 p=2(p=-6舍去).2.A 解析 由圆

13、的方程得圆心为(1,1),反射光线恰好平分圆 x2+y2-2x-2y-3=0的圆周,反射光线经过点(1,1).(-5,3)关于 x轴对称的点为(-5,-3),反射光线所在直线经过点(-5,-3),反射光线所在直线方程为-,即 2x-3y+1=0.3.C 解析 直线的倾斜角最大时,直线与圆相切,此时斜率存在,圆 -+y2=1的圆心为 C(,0),半径 r=1.设直线 l 的方程为 y=kx-1,即 kx-y-1=0,直线到圆心的距离为 d=-=1,解得 k=或 k=0,当 k=时,倾斜角最大为 .4.D 解析 由解析式可知,焦点 F(0,1),准线方程为 y=-1,设 M(x1,y1),N(x2

14、,y2),lMN:y=kx+1,则|MF|=y1+1=5,得 y1=4,x1=4.由抛物线的对称性,不妨设点 M在第一象限内,则 M(4,4).联立 得 x2-4kx-4=0,x1x2=-4,即 x2=-1,所以 =4.5.D 解析 由 e=,得 c=a,所以 b=-=2a.所以双曲线 C的渐近线的方程为y=x=2x.由题意知,双曲线 C的一条渐近线与圆(x-2)2+(y-3)2=1交于 A,B两点,所以满足条件的渐近线为y=x=2x.又圆心(2,3)到渐近线 2x-y=0的距离 d=-,圆的半径 r=1,所以|AB|=2 -=2-.故选 D.6.C 解析 因为方程 Ax2+By2+Cxy+D

15、x+Ey+F=0,其中 ABCDEF,所以当 A=B=1C=D=E=0F=-1时,方程为 x2+y2-1=0,即 x2+y2=1,故方程可以是圆的方程;当 A=1B=C=D=0E=-1F=-2时,方程为 x2-y-2=0,即 y=x2-2,故方程可以是抛物线的方程;当 A=2B=1C=D=E=0F=-1时,方程为 2x2+y2-1=0,即 y2+=1,故方程可以是椭圆的标准方程;若方程为双曲线的标准方程,则有 AB0,C=D=E=0,F|v|,故 S=2.9.ABD 解析 直线 l:y=kx+1与 y轴交于点 M,M(0,1),点 M在圆 C:x2+y2=4内部,l与 C恒有公共点,故 A正确

16、;点 M在圆 C:x2+y2=4内部,AMB为钝角,ABM是钝角三角形,故 B正确;点 M到 AB的最大距离,即到圆心的距离,为 1,S ABM 41=2,故 C错误;当 l 被 C截得的弦的长度最小时,圆心到直线 l 的距离最大,且此距离为点 M到圆心的距离,为 1,此时弦长为 2 -=2,故 D正确.故选 ABD.10.BCD 解析 对于 A,抛物线 C的准线方程为 x=-1,故 A错误;对于 B,设点 A(x1,y1),B(x2,y2),设线段 AB的中点为 M(x0,y0),则 两式作差得(y1-y2)(y1+y2)=4(x1-x2),可得 -=1,所以 y1+y2=4,故 y0=2,

17、故 B正确;对于 C,设直线 AB的方程为 y=x+b,联立 可得 x2+(2b-4)x+b2=0,=4(b-2)2-4b20,解得b0)交于点 P,则由 得 P(p,p).因为|OP|=8,所以(p)2+(p)2=64,解得p=6.15.2(答案不唯一,只要 1e 即可)解析 由题意知,双曲线 C的渐近线方程为 y=x,要使直线 y=2x与双曲线 C无公共点,只需 2即可.由 2,得 -4,所以 e25,故 10,当 x=1时,y2=2p,y=.因为 OPOQ,所以 =1,即 2p=1,故抛物线的标准方程为 y2=x.M的方程为(x-2)2+y2=1.(2)由题意可知直线 A1A2,A1A3

18、,A2A3均不平行于 x轴.设点 A1(x1,y1),A2(x2,y2),A3(x3,y3),直线 A1A2的方程为 x-x1=m1(y-y1),直线 A1A3的方程为 x-x1=m2(y-y1),m1m2.因为点 A1在抛物线 C上,所以 x1=,所以直线 A1A2的方程可化为 x-m1y+m1y1-=0,直线 A1A3的方程可化为 x-m2y+m2y1-=0.因为直线 A1A2,A1A3与M 相切,M的圆心坐标为(2,0),半径 r=1,所以 -=1,-=1,所以 m1,m2为方程 -=1的根,即 m1,m2为方程 m2(-1)+m(4y1-2 )+-4 +3=0的根.又 m1m2,所以

19、-10,所以 m1+m2=-,m1m2=-.由-消去 x,得 y2-m1y+m1y1-=0,所以 y1+y2=m1,即 y2=m1-y1.同理,y3=m2-y1.设直线 A2A3的方程为 x=ky+b,由 得 y2-ky-b=0,所以 y2+y3=k,y2y3=-b,所以k=y2+y3=m1+m2-2y1=-,-b=y2y3=(m1-y1)(m2-y1)=m1m2-y1(m1+m2)+-.所以M的圆心到直线 A2A3的距离 d=-|-|(-)-=1=r,故直线 A2A3与M相切.20.解(1)以 O为坐标原点,OD所在直线为 x轴,OA所在直线为 y轴建立平面直角坐标系,图略,由题意 A(0,

20、1),E(0,3).因为OEF=30,所以|OF|=|OE|tan 30=,所以 F(,0),kEF=-,所以直线 EF的方程为 y=-x+3.设|OD|=a,a0,则 D(a,0),所以椭圆的方程为 +y2=1,当 a最大时直线 EF与椭圆相切,则 -整理可得(1+3a2)x2-6 a2x+8a2=0,=(6 a2)2-4(1+3a2)8a2=0,解得 a=(负值舍去).所以椭圆的长半轴长的最大值为 .(2)因为 e=,b=1,a2=b2+c2,所以 a2=4,所以椭圆的方程为 +y2=1.设|OG|=t,00时,有 x1+x2=-,x1x2=-,代入(*)化简,得 m2-km-2k2=0,

21、即(m+k)(m-2k)=0,故 m=-k 或 m=2k.当 m=2k时,y=kx+m=kx+2k,经过点(-2,0),不合题意;当 m=-k时,y=kx+m=kx-k,经过点(1,0),满足题意.因此直线 MN过定点(1,0).专题检测六专题检测六 函数与导数函数与导数 一、选择题:本题共 8小题,每小题 5分,共 40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2023 广东高三学业考试)已知函数 f(x)=若 a=f(),则 f(a)的值是()A.-2 B.-1 C.D.2.(2023 北京,4)下列函数中,在区间(0,+)上单调递增的是()A.f(x)=-ln x B

22、.f(x)=C.f(x)=-D.f(x)=3|x-1|3.(2022 天津,3)函数 f(x)=-的图象为()A B C D 4.(2022 浙江,7)已知 2a=5,log83=b,则 4a-3b=()A.25 B.5 C.D.5.(2023 福建漳州三模)英国物理学家和数学家牛顿曾提出物体在常温环境下温度(单位:)变化的冷却模型.如果物体的初始温度是 1,环境温度是 0,则经过 t min 物体的温度 将满足=0+(1-0)e-kt,其中 k 是一个随着物体与空气的接触情况而定的正常数.现有 90 的物体,若放在 10 的空气中冷却,经过 10 min 物体的温度为 50,则若使物体的温度

23、为 20,需要冷却()A.17.5 min B.25.5 min C.30 min D.32.5 min 6.(2023 全国乙,文 8)若函数 f(x)=x3+ax+2存在 3 个零点,则 a的取值范围是()A.(-,-2)B.(-,-3)C.(-4,-1)D.(-3,0)7.(2023 河北石家庄模拟)若曲线 f(x)=3x2-2与曲线 g(x)=-2-mln x(m0)存在公切线,则实数 m 的最小值为()A.-6e B.-3e C.2 D.6e 8.(2021 全国乙,理 12)设 a=2ln 1.01,b=ln 1.02,c=-1,则()A.abc B.bca C.bac D.cab

24、 二、选择题:本题共 4小题,每小题 5分,共 20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得 5分,部分选对的得 2 分,有选错的得 0 分.9.(2023 山东临沂一模)已知 f(x)=x3g(x)为定义在 R 上的偶函数,则函数 g(x)的解析式可以为()A.g(x)=lg -B.g(x)=3x-3-x C.g(x)=D.g(x)=ln(+x)10.(2023 山东菏泽二模)已知 x1,x2分别是函数 f(x)=ex-和 g(x)=ln x-的零点,则()A.0 x1 B.ln x1+ln x2=0 C.ln x2=1 D.x1+x2 11.(2023 广东汕头二模)已知

25、圆台的上下底面的圆周都在半径为 2的球面上,圆台的下底面过球心,上底面半径为 r(0r2),设圆台的体积为 V,则下列选项中说法正确的是()A.当 r=1时,V=7 B.V 存在最大值 C.当 r 在区间(0,2)内逐渐增大时,V逐渐减小 D.当 r 在区间(0,2)内逐渐增大时,V 先增大后减小 12.(2023 山东滨州二模)函数 y=f(x)在区间(-,+)上的图象是一条连续不断的曲线,且满足 f(3+x)-f(3-x)+6x=0,函数 f(1-2x)的图象关于点(0,1)对称,则()A.f(x)的图象关于点(1,1)对称 B.8是 f(x)的一个周期 C.f(x)一定存在零点 D.f(

26、101)=-299 三、填空题:本题共 4小题,每小题 5分,共 20分.13.(2023 全国甲,理 13)若 f(x)=(x-1)2+ax+sin()为偶函数,则 a=.14.(2023 广东湛江一模)若函数 f(x)=ex-ax2-a 存在两个极值点 x1,x2,且 x2=2x1,则 a=.15.(2023 广东深圳福田中学模拟)已知函数 f(x)=-若 f(x)=m存在四个不相等的实根x1,x2,x3,x4,且 x1x2x3x4,则 x4-(x1+x2)x3的最小值是 .16.(2021 新高考,16)已知函数 f(x)=|ex-1|,x10,函数 f(x)的图象在点 A(x1,f(x

27、1)和点 B(x2,f(x2)的两条切线互相垂直,且分别交 y轴于 M,N 两点,则 的取值范围是 .四、解答题:本题共 6小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(10分)(2023陕西咸阳模拟)已知函数 f(x)=xln x+x3.(1)求曲线 y=f(x)在点(1,f(1)处的切线方程;(2)若 f(x)1对任意的 xm恒成立,求实数 m的取值范围.18.(12分)(2021全国甲,文 20)设函数 f(x)=a2x2+ax-3ln x+1,其中 a0.(1)讨论 f(x)的单调性;(2)若 y=f(x)的图象与 x 轴没有公共点,求 a 的取值范围.19.(1

28、2分)某工厂计划投资一定数额的资金生产甲、乙两种新产品.甲产品的平均成本利润 f(x)(单位:万元)与投资成本 x(单位:万元)满足:f(x)=-b(a,b 为常数,a,bR);乙产品的平均成本利润g(x)(单位:万元)与投资成本 x(单位:万元)满足:g(x)=.已知投资甲产品为 1 万元,10 万元时,获得的利润分别为 5 万元,16.515 万元.(平均成本利润=利润投资成本)(1)求 a,b 的值;(2)若该工厂计划投入 50 万元用于甲、乙两种新产品的生产,每种产品投资不少于 10 万元,问怎样分配这 50万元,才能使该工厂获得最大利润?最大利润为多少万元?(参考数据:ln 102.

29、303,ln 51.609)20.(12分)(2023全国乙,文 20)已知函数 f(x)=(+a)ln(1+x).(1)当 a=-1时,求曲线 y=f(x)在点(1,f(1)处的切线方程;(2)若函数 f(x)在(0,+)单调递增,求 a的取值范围.21.(12分)(2023山东潍坊二模)已知函数 f(x)=ln(x+1)-sin x.(1)若 f(x)在(0,+)上周期为 2,求 的值;(2)当=1时,判断函数 f(x)在*)上零点的个数;(3)已知 f(x)2(1-ex)在 x0,上恒成立,求实数 的取值范围.22.(12分)(2023全国乙,理 21)已知函数 f(x)=()ln(1+

30、x).(1)当 a=-1时,求曲线 y=f(x)在点(1,f(1)处的切线方程.(2)是否存在 a,b,使得曲线 y=f()关于直线 x=b 对称?若存在,求 a,b的值;若不存在,说明理由.(3)若 f(x)在(0,+)存在极值点,求 a 的取值范围.专题检测六 函数与导数 1.D 解析 a=f()=lg =-1,f(a)=f(-1)=2-1=.2.C 解析 因为 y=ln x在(0,+)上单调递增,所以 f(x)=-ln x在(0,+)上单调递减,故 A错误;因为 y=2x在(0,+)上单调递增,y=在(0,+)上单调递减,所以 f(x)=在(0,+)上单调递减,故 B错误;因为 y=在(

31、0,+)上单调递减,所以 f(x)=-在(0,+)上单调递增,故 C正确;因为 f()|-|,f(1)=3|1-1|=30=1,f(2)=3|2-1|=3,显然 f(x)=3|x-1|在(0,+)上不单调,故 D错误.故选 C.3.D 解析 函数 f(x)=-的定义域为x|x0,且 f(-x)=-=-=-f(x),函数 f(x)为奇函数,A选项错误;又当 x1时,f(x)=-=x-,函数单调递增,B选项错误.故选 D.4.C 解析 因为 2a=5,b=log83=log23,即 23b=3,所以 4a-3b=.5.C 解析 由题意得 50=10+(90-10)e-10k,即 e-10k=,k=

32、ln 2,=0+(1-0)-.由 20=10+(90-10)-,得-,即-ln 2=ln =-3ln 2,解得 t=30.若使物体的温度为 20,需要冷却 30 min.6.B 解析 令 f(x)=0,得-ax=x3+2,易知 x0,所以-a=.设 g(x)=,则函数 f(x)存在 3个零点等价于函数 g(x)=的图象与直线 y=-a有三个不同的交点.g(x)=-.当 x1时,g(x)0,函数 g(x)在(1,+)内单调递增,当 x1且 x0时,g(x)3时,函数 g(x)=的图象与直线 y=-a有三个交点,即函数 f(x)有 3个零点,所以a0),所以 6x1=-,所以 m=-6x1x2,所

33、以 6x1=-,所以 x1=0或 x1=2x2-2x2ln x2,因为 m0,所以 x10,所以 x1=2x2-2x2ln x2,所以 m=-6(2x2-2x2ln x2)x2=12 ln x2-12 ,令 h(x)=12x2ln x-12x2(x0),则 h(x)=12x(2ln x-1),所以,当 0 x 时,h(x)时,h(x)0,所以 h(x)在(0,)上单调递减,在(,+)上单调递增,所以 h(x)min=h()=-6e,所以实数 m的最小值为-6e.8.B 解析 a=ln 1.012=ln 1.020 1ln 1.02=b,排除 A,D.令 f(x)=ln(1+x)-(-1),x0

34、,则 f(0.02)=ln 1.02-(-1)=b-c.f(x)=-,当 x0时,1+x=,f(x)0,且 f(x)不恒为 0.f(x)在区间0,+)上单调递减,f(0.02)f(0)=0,即 b-c0bc.令 g(x)=2ln(1+x)-(-1),x0,则 g(0.01)=2ln 1.01-(-1)=a-c.g(x)=-,当 0 xg(0)=0,即 a-c0,ac.综上可得,acb.故选 B.9.BD 解析 因为 f(x)=x3g(x)是偶函数,所以 f(-x)=f(x),即 g(-x)=-g(x),所以 g(x)是定义在 R 上的奇函数.对于 A,定义域为(-1,1),所以不满足题意;对于

35、 B,定义域为 R,g(-x)=3-x-3x=-g(x),符合题意;对于 C,定义域为 R,g(-x)=-g(x),不符合题意;对于 D,定义域为 R,g(-x)=ln(-x),而 g(-x)+g(x)=ln(-x)+ln(+x)=0,即 g(-x)=-g(x),符合题意.故选 BD.10.BCD 解析 令 f(x)=0,得 ,即 x1 =1,x10.令 g(x)=0,得 ln x2=,即 x2ln x2=1,即(ln x2)()=1,x21.记函数 h(x)=xex,x0,则 h(x)=(x+1)ex0,所以函数 h(x)=xex在(0,+)上单调递增,因为 h(x1)=x1 =1,h(),

36、故 A错误;又 h(x1)=x1 =1,h(ln x2)=(ln x2)()=1,所以 x1=ln x2,=x2,所以 ln x1+ln x2=ln(x1x2)=ln(x1 )=ln 1=0,ln x2=x2ln x2=1,故 B,C正确;又 h()1=h(x1),所以 x1 ,得 x1 ,因为 x1x2=1,所以 x1+x2=x1+,且 x1 ,因为 y=x+在区间()上单调递减,所以 x1+2,即 x1+x2 ,故 D正确.故选 BCD.11.BD 解析 设圆台的上底面的圆心为 O1,下底面的圆心为 O,点 A为上底面圆周上任意一点,圆台的高为 h,球的半径为 R,如图所示,则 h=OO1

37、=-,V=(4+r2)-(r2+2r+4)-(0r0;当 r(r2,2)时,f(r)0,即 V0,当 r(r0,2),f(r)0,即 V0,所以 g(-2)=f(1)-6=-5,所以 g(2)=-5=f(5)+6,所以f(5)=-110,故 =2,所以 x1=ln 2,所以 a=.15.2 e 解析 作函数 f(x)=-与 y=m的图象如下,因为 f(x)=m存在四个不相等的实根 x1,x2,x3,x4,且 x1x2x30,x40,且 1-ln x3=-(1-ln x4),则 ln x3+ln x4=2,即 ln(x3x4)=2,得 x3x4=e2,则 x4-(x1+x2)x3=x4+2x32

38、 =2 e,当且仅当 x4=2x3时,即 x3=e,x4=e时,等号成立.16.(0,1)解析 由题意,f(x)=|ex-1|=-则 f(x)=-所以点 A(x1,1-)和点 B(x2,-1),kAM=-,kBN=,所以-=-1,x1+x2=0,所以 AM:y-1+=-(x-x1),M(0,x1-+1),所以|AM|=|x1|,同理|BN|=|x2|,所以 -(0,1).17.解(1)f(x)=ln x+3x2+1,f(1)=4,f(1)=1.则曲线 y=f(x)在点(1,f(1)处的切线方程为 y-1=4(x-1),即 4x-y-3=0.(2)f(x)1,即 ln x+x2-0.令 h(x)

39、=ln x+x2-,由条件可知,h(x)0对任意的 xm恒成立.因为h(x)=+2x+0,所以 h(x)在(0,+)上单调递增.因为 h(1)=0,所以当 x1时,h(x)0,所以 m1.故实数 m的取值范围为1,+).18.解(1)f(x)=a2x2+ax-3ln x+1,x(0,+),f(x)=2a2x+a-.a0,x0,0,当 x()时,f(x)0,函数 f(x)在()上单调递减,在()上单调递增.(2)y=f(x)的图象与 x轴没有公共点,函数 f(x)在(0,+)上没有零点,由(1)可得函数 f(x)在()上单调递减,在()上单调递增,f()=3-3ln =3+3ln a0,ln a

40、-1,a ,即实数 a的取值范围是().19.解(1)由题意知 -(-)整理得-解得 a=5,b=0.(2)设甲产品投资 x万元,乙产品投资(50-x)万元,且 x10,40,由(1)知 f(x)=,则该公司获得的利润(x)=x()+(50-x)-=5ln x+5+2 -,x10,40.则(x)=-在10,40上单调递减,令(x)=0,解得 x=25,当 10 x0,(x)单调递增,当 25x40时,(x)-1且 x0),f(x)=-.f(1)=(-1)ln(1+1)=0,f(1)=-=-ln 2,y=f(x)在点(1,f(1)处的切线方程为 y-f(1)=f(1)(x-1),即(ln 2)x

41、+y-ln 2=0.(2)易知 f(x)不恒为 0.函数 f(x)在(0,+)单调递增,f(x)0在(0,+)恒成立,f(x)=ln(x+1)+aln(x+1),则 f(x)=-,ax2+x-(x+1)ln(x+1)0在(0,+)恒成立.方法一:分离参数,a -在(0,+)恒成立.令 g(x)=-,x0,则 g(x)=-.令 m(x)=-xln(x+1)-2ln(x+1)+2x,x0,则 m(x)=1-ln(x+1)-.令 n(x)=m(x)=1-ln(x+1)-,x0,n(x)=-0,m(x)在(0,+)单调递减,则 m(x)1-ln 1-1=0,则 m(x)在(0,+)单调递减,m(x)0

42、-2ln 1+0=0,即 g(x)在(0,+)单调递减,g(x)0,则 g(x)=2ax+1-ln(x+1)-1=2ax-ln(x+1).x+11,ln(x+1)0.当 a0时,g(x)0,g(x)在(0,+)单调递减,f(x)0时,令 h(x)=2ax-ln(x+1),x0,则 h(x)=2a-.()当 a 时,h(x)0恒成立,g(x)在(0,+)单调递增,g(x)0-ln 1=0,即 g(x)0,g(x)在(0,+)单调递增,g(x)0+0-0=0恒成立,即 f(x)0,f(x)在(0,+)单调递增,符合题意.()当 0a0,得 x -1;令 h(x)0,得 0 x -1,g(x)在(0

43、,-1)单调递减,在(-1,+)单调递增.又当 x(0,-1)时,g(x)0-ln 1=0,即 g(x)在(0,-1)单调递减,当 x(0,-1)时,g(x)0+0-0=0,即 f(x)0在(0,-1)恒成立,f(x)在(0,-1)单调递减,不符合题意.综上所述,a的取值范围为 ,+).21.解(1)由题意,在 x(0,+)上 f(x)=f(x+2),所以 ln(x+1)-sin x=ln(x+1+2)-sin(x+2),即 ln(x+1)-ln(x+1+2)=0在 x(0,+)上恒成立,又 ln(x+1)0,所以 f(x)0,即f(x)在*)上单调递增.又 f()=ln()-10,所以 f(

44、x)在*)上有且仅有一个零点;当 x,+)时,f(x)=ln(x+1)-sin xln(+1)-10,所以 f(x)在,+)上无零点.综上,f(x)在*)上有且仅有一个零点.(3)由 f(x)2(1-ex),即 ln(x+1)-sin x2(1-ex),整理得 2ex-sin x+ln(x+1)-20,令 g(x)=2ex-sin x+ln(x+1)-2,则 g(x)=2ex-cos x+,当 0时,对任意 x0,有 cos x-1,1,又 2ex2,0,所以 g(x)0,此时 g(x)在0,上单调递增,故 g(x)g(0)=0,符合题意.当 0恒成立,即 h(x)=g(x)在0,上单调递增.

45、又g(0)=+1,g()=2e+1+.当+10,即-10时,在0,上有 g(x)0,此时 g(x)在0,上单调递增,g(x)g(0)=0,符合题意.当+10,即 0,即-(+1)(2e+1)-1,由零点存在定理,存在 x0(0,)使 g(x0)=0,故当 x(0,x0)时,g(x)0,所以 g(x)在 x(0,x0)上单调递减,此时g(x0)g(0)=0,不合题意.若 g()0,即-(+1)(2e+1),此时对x0,恒有 g(x)0且不恒为0.即 g(x)在0,上单调递减,所以 g()-1且 x0),f(x)=-.f(1)=(-1)ln(1+1)=0,f(1)=-=-ln 2,y=f(x)在点

46、(1,f(1)处的切线方程为 y-f(1)=f(1)(x-1),即(ln 2)x+y-ln 2=0.(2)f()=(x+a)ln(+1),要使函数有意义,则 +10,解得 x0,函数 f()的定义域关于 x=-对称,若函数 f()的图象关于直线 x=b对称,则 b=-.设 g(x)=f(),由对称的性质可知 g(x)=g(-1-x).g(x)=(x+a)ln(+1),g(-1-x)=(-1-x+a)ln(-+1),则(x+a)ln(+1)=(-1-x+a)ln(-+1),解得 a=,存在 a=,b=-,使函数 f()图象关于直线 x=-对称.(3)由题意,f(x)=(+a)ln(x+1),x0

47、,则 f(x)=-=-ln(x+1)-.设 H(x)=ln(x+1)-,x0,则 H(x)=-.当 a0时,H(x)0,H(x)在(0,+)单调递增,故 H(x)ln 1-0=0,即 f(x)0,f(x)在(0,+)单调递减,f(x)在(0,+)上无极值;当 a 时,H(x)0,H(x)在(0,+)单调递减,故 H(x)0,f(x)在(0,+)单调递增,f(x)无极值;当 0a0,当 x(-2,+)时,H(x)0,H(x)在(0,-2)单调递增,在(-2,+)单调递减,H(-2)=ln(-1)-=ln(1-a)-ln a-2+4a.设(a)=ln(1-a)-ln a-2+4a,0a ,则(a)=-+4=-ln(1-)-ln -2+4 =0,即 H(-2)0.又 H(x)=ln(x+1)-=ln(x+1)-ax-0,则 h(-1)=ln -a(-1)=-a +a=a(+1).设 t=(2,+),G(t)=t3-+1,则 G(t)=3t2-2t 3t2-2t(t2+1)0,故 G(t)在(2,+)单调递减,G(t)8-e4+10,故 h(-1)0,H(-1)0.故存在 x0(-2,-1),使得 H(x0)=0,即存在 f(x0)=0,且 f(x)在 x0两侧异号,故 f(x)在(0,+)上有极值点.综上,满足条件的 a的取值范围为(0,).