高三数学开学摸底考01（新高考专用）-2023-2024学年高中下学期开学摸底考试卷含解析.docx

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1、高三数学开学摸底考01（新高考专用）-2023-2024学年高中下学期开学摸底考试卷2024届高三下学期开学摸底考01（新高考专用）数 学（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。1若全集 ，则（）ABC

2、D2设复数对应的点在第四象限，则复数对应的点在（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限3记是等差数列的前项和，则“是递增数列”是“是递增数列”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件4函数在上单调递减，则实数取值范围是（）ABCD5北京时间2023年2月10日0时16分，经过约7小时的出舱活动，神舟十五号航天员费俊龙、邓清明、张陆密切协同，圆满完成出舱活动全部既定任务，出舱活动取得圆满成功.载人飞船进入太空需要搭载运载火箭，火箭在发射时会产生巨大的噪声，用声压级来度量声音的强弱，定义声压级，其中大于0的常数是听觉下限阈值，是实际声压.声压级的单位为分贝，声压的

3、单位为帕.若人正常说话的声压约为，且火箭发射时的声压级比人正常说话时的声压级约大，则火箭发射时的声压约为（）ABCD6已知为锐角，若，则（）ABCD7如图，已知双曲线的左右焦点分别为，过的直线与分别在第一二象限交于两点，内切圆半径为，若，则的离心率为（）ABCD8设，则（）ABCD二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9袋子中有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取5次，每次取一个球记录每次取到的数字，统计后发现这5个数字的平均数为2，方差小于1，则（

4、）A可能取到数字4B中位数可能是2C极差可能是4D众数可能是210英国著名物理学家牛顿用“作切线”的方法求函数零点.如图，在横坐标为的点处作的切线，切线与轴交点的横坐标为；用代替重复上面的过程得到；一直下去，得到数列，叫作牛顿数列.若函数且，数列的前项和为，则下列说法正确的是（）AB数列是递减数列C数列是等比数列D11如图，在棱长为1的正方体中，P为棱CC1上的动点(点P不与点C，C1重合)，过点P作平面分别与棱BC，CD交于M，N两点，若CPCMCN，则下列说法正确的是（ ）AA1C平面B存在点P，使得AC1平面C存在点P，使得点A1到平面的距离为D用过点P，M，D1的平面去截正方体，得到的

5、截面一定是梯形12已知是定义在R上的函数，且不恒为0，为奇函数，为偶函数，为的导函数，则（）ABC的图象关于直线对称D第II卷（非选择题）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13已知的展开式中的常数项为240，则 14若为坐标原点，过点的直线与函数的图象交于两点，则 15设函数，且函数在恰好有5个零点，则正实数的取值范围是 16如图，在直三棱柱中，若为空间一动点，且，则满足条件的所有点围成的几何体的体积为 ；若动点在侧面内运动，且，则线段长的最小值为 四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17（10分）（2023安徽校联考一模）已知数列满足，且

6、点在直线上(1)求数列的通项公式；(2)数列前项和为，求能使对恒成立的（）的最小值18（12分）在中，角所对的边分别为，已知.(1)求的大小；(2)若，直线分别交于两点，且把的面积分成相等的两部分，求的最小值.19（12分）2023年11月，世界首届人工智能峰会在英国举行，我国因为在该领域取得的巨大成就受邀进行大会发言.为了研究不同性别的学生对人工智能的了解情况，我市某著名高中进行了一次抽样调查，分别抽取男女生各50人作为样本.设事件“了解人工智能”，“学生为男生”，据统计.(1)根据已知条件，填写下列列联表，是否有把握推断该校学生对人工智能的了解情况与性别有关？了解人工智能不了解人工智能合计

7、男生女生合计(2)现从所抽取的女生中利用分层抽样的方法抽取人，再从这人中随机选取人赠送科普材料，求选取的人中至少有人了解人工智能的概率；将频率视为概率，从我市所有参与调查的学生中随机抽取人科普材料，记其中了解人工智能的人数为，求随机变量的数学期望和方差参考公式：常用的小概率值和对应的临界值如下表：0.1500.1000.0500.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.82820（12分）如图，为圆锥的顶点，是圆锥底面的圆心，为底面直径，是底面的内接正三角形，且，是线段上一点(1)若平面，求；(2)当为何值时，直线与平面所成角的正弦

8、值最大？21（12分）已知圆，点，P是圆M上的动点，线段PN的中垂线与直线PM交于点Q，点Q的轨迹为曲线C(1)求曲线C的方程；(2)，点E、F（不在曲线C上）是直线上关于x轴对称的两点，直线、与曲线C分别交于点A、B（不与、重合），证明：直线AB过定点22（12分）已知函数.(1)若，证明：当时，；(2)求所有的实数，使得函数在上单调.2024届高三下学期开学摸底考01（新高考专用）数 学（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改

9、动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。1若全集 ，则（）ABCD【答案】C【分析】直接根据集合的包含关系逐一判断.【详解】，则，A错误，B错误，C正确，或，D错误.故选：C.2设复数对应的点在第四象限，则复数对应的点在（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限【答案】B【分析】由的周期性化简，计算后判断所求复数对应点的象限.【详解】由复数对应的点在第四象限，则设，由得，由，得复数对应的点在第二象限.故

10、选：B.3记是等差数列的前项和，则“是递增数列”是“是递增数列”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【答案】C【分析】根据等差数列的求和公式可得，即可充要条件的定义求解.【详解】若是递增数列，则公差，所以，故，所以为递增数列，若为递增数列，则，则，故，所以是递增数列，故“是递增数列”是“是递增数列”的充要条件，故选：C4函数在上单调递减，则实数取值范围是（）ABCD【答案】A【分析】求出函数的定义域，结合复合函数单调性得到答案.【详解】的定义域是，令，其在定义域上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，由复合函数的单调性可知，.故选：A.5北京时间2023年2月

11、10日0时16分，经过约7小时的出舱活动，神舟十五号航天员费俊龙、邓清明、张陆密切协同，圆满完成出舱活动全部既定任务，出舱活动取得圆满成功.载人飞船进入太空需要搭载运载火箭，火箭在发射时会产生巨大的噪声，用声压级来度量声音的强弱，定义声压级，其中大于0的常数是听觉下限阈值，是实际声压.声压级的单位为分贝，声压的单位为帕.若人正常说话的声压约为，且火箭发射时的声压级比人正常说话时的声压级约大，则火箭发射时的声压约为（）ABCD【答案】D【分析】根据给定的模型，列出火箭发射时的声压级和人正常说话时的声压级表达式，联立求解即可.【详解】令人正常说话时的声压级为，火箭发射时的声压级为，则，而人正常说话

12、的声压，火箭发射时的声压为，于是，两式相减得，解得，所以火箭发射时的声压约为.故选：D6已知为锐角，若，则（）ABCD【答案】D【分析】由诱导公式求出，再由倍角公式求.【详解】由诱导公式可得，由倍角公式有，所以，由为锐角，则.故选：D7如图，已知双曲线的左右焦点分别为，过的直线与分别在第一二象限交于两点，内切圆半径为，若，则的离心率为（）ABCD【答案】D【分析】根据双曲线定义和几何性质，结合圆的切线长定理与余弦定理即可求解.【详解】设，内切圆圆心为，内切圆在上的切点分别为，则，由及双曲线的定义可知，故四边形是正方形，得，于是，故，所以，于是，在中，由余弦定理可得，从而，所以.故选：D.8设，

13、则（）ABCD【答案】A【分析】易得，构造函数，利用导数判断出函数的单调性，再根据函数的单调性即可比较的大小关系，即可得解.【详解】，令，则，令，则，当时，单调递减，当时，单调递增，所以，所以在上单调递增，所以，即，所以.综上，.故选：A二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9袋子中有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取5次，每次取一个球记录每次取到的数字，统计后发现这5个数字的平均数为2，方差小于1，则（）A可能取到数字4B中位数可能是2C极差可能

14、是4D众数可能是2【答案】BD【分析】对于AC：根据题意结合平均数、方差和极差的定义分析判断；对于BD：举例说明即可.【详解】设这5个数字为，对于A：若取到数字4，不妨设为，则，可得，可知这4个数中至少有2个1，不妨设为，则这5个数字的方差，不合题意，故A错误；对于C：因为这5个数字的平均数为2，这5个数字至少有1个1，不妨设为，若极差是4，这最大数为5，不妨设为，则这5个数字的平均数，则，可知这3个数有2个1，1个2，此时这5个数字的方差，不合题意，故C错误；对于BD：例如2，2，2，2，2，可知这5个数字的平均数为2，方差为0，符合题意，且中位数是2，众数是2，故BD正确；故选：BD.10

15、英国著名物理学家牛顿用“作切线”的方法求函数零点.如图，在横坐标为的点处作的切线，切线与轴交点的横坐标为；用代替重复上面的过程得到；一直下去，得到数列，叫作牛顿数列.若函数且，数列的前项和为，则下列说法正确的是（）AB数列是递减数列C数列是等比数列D【答案】ACD【分析】求导得切点处的切线方程，即可令0判断A,根据对数的运算，结合等差等比数列的定义即可判断BC，根据等比求和公式即可求解D.【详解】，所以在点处的切线方程为：，令0，得，故A正确.，故，即，所以数列是以1为首项，2为公比的等比数列，故B错误，C正确，所以，D正确.故选ACD.11如图，在棱长为1的正方体中，P为棱CC1上的动点(点

16、P不与点C，C1重合)，过点P作平面分别与棱BC，CD交于M，N两点，若CPCMCN，则下列说法正确的是（ ）AA1C平面B存在点P，使得AC1平面C存在点P，使得点A1到平面的距离为D用过点P，M，D1的平面去截正方体，得到的截面一定是梯形【答案】ACD【分析】连接，首先证明平面，然后由平面可判断A，由平面可判断B，由点A1到平面的距离的取值范围为可判断C，过点P，M，D1的平面去截正方体得到的截面是四边形，可判断D.【详解】连接因为，所以，所以又平面，平面，所以平面同理可证，平面又，、平面，所以平面平面易证平面，所以平面，A正确又平面，所以与平面相交，不存在点P，使得平面，B不正确.因为，

17、点到平面的距离为所以点A1到平面的距离的取值范围为又，所以存在点P，使得点A1到平面的距离为，C正确.因为，所以，所以用过点P，M，D1的平面去截正方体得到的截面是四边形又，且，所以截面为梯形，D正确故选：ACD12已知是定义在R上的函数，且不恒为0，为奇函数，为偶函数，为的导函数，则（）ABC的图象关于直线对称D【答案】ABD【分析】根据已知可得的图象关于对称、关于直线对称，利用对称性可得的周期可判断A；对两边求导可判断B；根据，可判断CD.【详解】为奇函数，则的图象关于对称.又为偶函数，则的图象关于直线对称，所以，可得，则的周期为4，对A，令得，故A选项正确；对B，又，则的图象关于对称，则

18、，令，则，故B正确；对C，因为，则的图象关于直线对称，故C错误；又，所以， 由以上可知，函数的周期为4，则，故D正确.故选：ABD.第II卷（非选择题）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13已知的展开式中的常数项为240，则 【答案】3【分析】利用二项式展开式的通项公式及给定的常数项求出值.【详解】的展开式的通项，令得，令，无解，所以的展开式中的常数项为，所以.故答案为：314若为坐标原点，过点的直线与函数的图象交于两点，则 【答案】4【分析】首先得出是函数图象的对称中心，所以，然后由数量积的坐标运算公式计算即可.【详解】因为，所以是函数图象的对称中心，则为线段的中点，可得，则故

19、答案为：4.15设函数，且函数在恰好有5个零点，则正实数的取值范围是 【答案】【分析】先化简为，当时，得到.若函数在恰好有5个零点，只需函数在区间上恰有5条对称轴结合正弦函数的图象可建立，求解即可.【详解】，令，得，因为函数在恰好有5个零点，所以函数在上恰有5条对称轴当时，令，则在上恰有5条对称轴，如图：所以，解得16如图，在直三棱柱中，若为空间一动点，且，则满足条件的所有点围成的几何体的体积为 ；若动点在侧面内运动，且，则线段长的最小值为 【答案】 【分析】根据球的体积公式即可求解空1，根据球的截面圆性质，结合线面垂直以及点到圆上的最小距离即可求解空2.【详解】由可得点的轨迹为以为圆心，以为

20、半径的球面，所以围成的球的体积为，过作，由，则由等面积法可得,由于在直三棱柱中，平面 平面故,由于平面，故平面，由于平面，故,所以,由于到平面的距离和点到平面的距离相等，均为，又，所以点的轨迹为以为圆心，以为半径的球与侧面的截面圆，该截面圆的半径为,圆心为,且满足，因此点的最小距离为，故，故答案为：，四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17（10分）（2023安徽校联考一模）已知数列满足，且点在直线上(1)求数列的通项公式；(2)数列前项和为，求能使对恒成立的（）的最小值【答案】(1) (2)5【分析】（1）根据等差数列的通项公式求得结果；（2）根据裂项

21、相消求得，并结合不等式恒成立得出结果.【详解】（1）由点在直线上得，所以数列是以首项为，公差为2的等差数列，故，即（2），所以，要使对恒成立，即，又，所以的最小值为518（12分）在中，角所对的边分别为，已知.(1)求的大小；(2)若，直线分别交于两点，且把的面积分成相等的两部分，求的最小值.【答案】(1) (2)【分析】（1）方法一由边化角结合正弦展开式求得；方法二由余弦定理求得；（2）先用三角形面积公式得出，再结合基本不等式求出最小值.【详解】（1）方法一：由已知，即，又.方法二：，即.（2），.在中，当且仅当时上式等号成立，的最小值为.19（12分）2023年11月，世界首届人工智能峰会

22、在英国举行，我国因为在该领域取得的巨大成就受邀进行大会发言.为了研究不同性别的学生对人工智能的了解情况，我市某著名高中进行了一次抽样调查，分别抽取男女生各50人作为样本.设事件“了解人工智能”，“学生为男生”，据统计.(1)根据已知条件，填写下列列联表，是否有把握推断该校学生对人工智能的了解情况与性别有关？了解人工智能不了解人工智能合计男生女生合计(2)现从所抽取的女生中利用分层抽样的方法抽取人，再从这人中随机选取人赠送科普材料，求选取的人中至少有人了解人工智能的概率；将频率视为概率，从我市所有参与调查的学生中随机抽取人科普材料，记其中了解人工智能的人数为，求随机变量的数学期望和方差参考公式：

23、常用的小概率值和对应的临界值如下表：0.1500.1000.0500.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828【详解】（1）因为，所以了解人工智能的女生为，了解人工智能人数为，则了解人工智能的男生有人，结合男生和女生各有人，填写列联表为：了解人工智能不了解人工智能合计男生401050女生302050合计7030100则，故没有把握推断该校学生对人工智能的了解情况与性别有关.（2）解：由题意可知，所抽取的名女市民中，了解人工智能的有人，不了解人工智能的有人，所以，选取的人中至少有人了解人工智能的概率为；由列联表可知，抽到了解人工

24、智能的学生的频率为，将频率视为概率，所以，从我市高中生中任意抽取一人，恰好抽到了解人工智能学生的概率为，由题意可知，所以，.20（12分）如图，为圆锥的顶点，是圆锥底面的圆心，为底面直径，是底面的内接正三角形，且，是线段上一点(1)若平面，求；(2)当为何值时，直线与平面所成角的正弦值最大？【答案】(1)(2)当时，直线与平面所成角的正弦值最大.【分析】（1）通过勾股定理列方程，化简求得.（2）建立空间直角坐标系，利用利用向量法求得直线与平面所成角的正弦值，结合基本不等式求得时，此正弦值最大.【详解】（1），所以，解得， 由于三角形是等边三角形，圆是其外接圆，是圆的直径，所以垂直平分，在三角形

25、中，由正弦定理得，则，由于平面，所以，由于，所以三角形是等腰直角三角形，所以,所以.（2）由（1）得，设，结合圆锥的几何性质，建立如图所示空间直角坐标系，设，则，设平面的法向量为，则，故可设，设直线与平面所成角为，则，由于，当且仅当时等号成立，所以，即当时，直线与平面所成角的正弦值最大.21（12分）已知圆，点，P是圆M上的动点，线段PN的中垂线与直线PM交于点Q，点Q的轨迹为曲线C(1)求曲线C的方程；(2)，点E、F（不在曲线C上）是直线上关于x轴对称的两点，直线、与曲线C分别交于点A、B（不与、重合），证明：直线AB过定点【答案】(1)(2)证明见解析【分析】（1）根据得到曲线C是以M、

26、N为焦点的双曲线，从而求出轨迹方程；（2）方法一：设，联立双曲线方程，得到两根之和，两根之积，设，表达出直线、，从而得到的纵坐标，由对称得到，根据得到，从而得到，整理后得到方程，结合两根之和，两根之积，得到，求出答案；方法二：设，表达出直线、，求出两点坐标，表达出直线AB方程，令，求出定点坐标；方法三：先得到，根据E、F关于x轴对称，得到，从而得到，再利用齐次化进行求解，得到定点坐标.【详解】（1）连接，则，故，所以曲线C是以M、N为焦点的双曲线，设C的方程为，则，解得，所以曲线C的方程为（2）设，直线，令得，直线，令得，因为E、F关于x轴对称，所以，所以，因为，所以，所以，将代入得，所以，所

27、以，由得，解得且，所以，所以，所以，即，因为直线AB不过点，所以，所以，直线过定点22（12分）已知函数.(1)若，证明：当时，；(2)求所有的实数，使得函数在上单调.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）设（），对求导，设（），对求导，讨论与的大小，可得，即可证明；（2）先求出为奇函数，要使函数在上单调，只要函数在上单调，解法1：对求导，由解出实数，即可得出答案；解法2：讨论，和结合零点存在性定理即可得出答案.【详解】（1）设（），则，设（），则，显然所以在上单调递增，故，所以.则在上单调递增，所以，因此（2）解法1：因为，所以为奇函数.要使函数在上单调，只要函数在上单调.又.因为，所以函数在只能单调递减，由，解得.下证当时，在上单调.由于是奇函数，只要在单调，因为，所以在单调递减.解法2：因为，所以为奇函数.要使函数在上单调，只要函数在上单调.又.（）若，即时，所以函数在上单调递减，所以满足题意；（）若，则，故，所以由零点存在定理得存在，使得当时，当时，所以在单调递增，在单调递减，因此不合题意；（）若，则，故，所以由零点存在定理得存在，使得当时，当时，所以在单调递减，在单调递增，因此不合题意；因此所求实数的取值范围是.