星云二月线上调研2024届高三数学考试试题含答案.pdf

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1、数学试题 第 1 页（共 4 页）绝密启用前2024 届高中毕业生星云二月线上调研考试数学注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1已知集合2|log|1MxxZ，3|0Nx xx，则MN A 1,1B 1,0,1C 2,1

2、,1D 2,1,0,12若1iz ，则2zzA1i B13i C1iD13i3某车间有两条生产线分别生产5号和7号两种型号的电池，总产量为8000个质检人员采用分层抽样的方法随机抽取了一个样本容量为60的样本进行质量检测，已知样本中5号电池有45个，则估计7号电池的产量为A6 000个B5000个C3000个D2 000个4在ABC中，3C，13AB，5ACBC，则ABC的面积为A3B2 3C3 3D4 353名同学从散打、跆拳道、击剑和太极拳四门课程中任选一门学习，则仅有跆拳道未被选中的概率为A38B227C332D8276已知函数()f x的定义域为R，设()e()xg xf x设甲：()

3、f x是增函数，乙：()g x是增函数，则A甲是乙的充分条件但不是必要条件B甲是乙的必要条件但不是充分条件C甲是乙的充要条件D甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件数学试题 第 2 页（共 4 页）7已知函数()sin2cos2f xxax，将()f x的图象向左平移6个单位长度，所得图象与曲线()yf x关于原点对称，则a A33B33C3D38新材料是现代高新技术的基础和先导，亦是提升传统产业技术能级的关键某科研小组研发的新材料水滴角测试结果如图所示（水滴角可看作液、固、气三相交点处气液两相界面的切线与液固两相交线所成的角），圆法和椭圆法是测量水滴角的常用方法，即将水滴轴截面看成圆或者椭圆

4、（长轴平行于液固两相交线）的一部分 设圆法和椭圆法测量所得水滴角分别为1，2，则附：椭圆22221(0)xyabab上一点00(,)xy处的切线方程为00221x xy yabA12B12C12D1和2的大小关系无法确定二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分。9在正四棱台1111ABCDABC D中，11122ABABAA，则A直线1AA与11C D所成的角为60B平面11AAD D与平面11BBC C的夹角为60C1AA 平面1C BDD1AA 平面1ABD10 设F为

5、双曲线22:2C xy的右焦点，O为坐标原点 若圆22()4xym交C的右支于A，B两点，则AC的焦距为2 2B22|OAOB为定值C|OAOB的最大值为4D|FAFB的最小值为2122空气固体材料水数学试题 第 3 页（共 4 页）11已知数列na：1，1，2，1，3，5，1，4，7，10，其中第1项为1，接下来的2项为1，2，接下来的3项为1，3，5，再接下来的4项为1，4，7，10，依此类推，则A2021aB2(1)222n nannC存在正整数m，使得ma，1ma，2ma成等比数列D有且仅有3个不同的正整数m，使得12156mmmaaa三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共

6、15 分。12若tan2，则1cos21cos213已知函数()(1e)xf xx，点(,)m n在曲线()yf x上，则()()f mf n的取值范围是14在四面体ABCD中，ABBC，BCCD，3ABCD，6AD，则四面体ABCD体积的最大值为四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15（13 分）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩 形，平 面PAB 平 面ABCD，2AB，2PAPBAD（1）证明：PCBD；（2）求PC与平面PAD所成角的正弦值16（15 分）设F为抛物线2:4C yx的焦点，P为C的准线与x轴的交点，且直线l过点P

7、（1）若l与C有且仅有一个公共点，求l的方程；（2）若l与C交于A，B两点，且4FA FB ，求FAB的面积DPCAB数学试题 第 4 页（共 4 页）17（15 分）记nS，nT分别为数列na，nb的前n项和已知nSn为等比数列，11nnbb，3228aS，3315ST（1）求na，nb的通项公式；（2）求数列nna b的前2n项和18（17 分）正态分布与指数分布均是用于描述连续型随机变量的概率分布对于一个给定的连续型随机变量X，定义其累积分布函数为()()F xP Xx已知某系统由一个电源和并联的A，B，C三个元件组成，在电源电压正常的情况下，至少一个元件正常工作才可保证系统正常运行，电

8、源及各元件之间工作相互独立（1）已知电源电压X（单位：V）服从正态分布(40,4)N，且X的累积分布函数为()F x，求(44)(38)FF；（2）在数理统计中，指数分布常用于描述事件发生的时间间隔或等待时间已知随机变量T（单位：天）表示某高稳定性元件的使用寿命，且服从指数分布，其累积分布函数为00()1104ttG tt，（）设120tt，证明：1212(|)()P TtTtP Ttt；（）若第n天元件A发生故障，求第1n 天系统正常运行的概率附：若随机变量Y服从正态分布2(,)N，则(|)0.682 7P Y，(|2)0.9545P Y，(|3)0.997 3P Y19（17 分）已知函数

9、2()()exf xxa（1）讨论()f x的单调性；（2）设1x，2x分别为()f x的极大值点和极小值点，记11(,()A xf x，22(,()B xf x（）证明：直线AB与曲线()yf x交于另一点C；（）在（）的条件下，判断是否存在常数(,1)()n nnN，使得|ABBC若存在，求n；若不存在，说明理由附：ln20.693，ln51.609数学试题参考答案 第 1 页（共 5 页）绝密启用前2024 届高中毕业生星云二月线上调研考试数学试题参考答案命题人：星云数学命题组（浮云星空）FiddieFara审题人：FiddieRara涛哥陈明徐老师KramL排版、制作：KramL一、选

10、择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。1A2B3D4A5C6D7B8A二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分。9ACD10BCD11ABD三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。124131,0e144273（143）四、解答题：共 77 分。15解：（1）取AB的中点O因为PAPB，所以POAB因为平面PAB 平面ABCD，且平面PAB 平面ABCDAB，所以PO 平面ABCD因为BD 平面ABCD，所以POBD因为tantanBOA

11、DBCOABDBCAB，所以BCOABD，因此COBD因为POCOO，所以BD 平面POC又因为PC 平面POC，所以PCBDDPCABxyzO数学试题参考答案 第 2 页（共 5 页）（2）以O为坐标原点，OA 的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角Oxyz由题设得(1,0,0)A，(0,0,1)P，(1,2,0)D，(1,2,0)C，(1,0,1)PA ，(0,2,0)AD ，(1,2,1)PC 设(,)x y zn是平面PAD的法向量，则00ADAD，nn即200yxz，可取(1,0,1)n所以2cos,2|PCPCPC nnn因此PC与平面PAD所成角的正弦值为2216解：（1）由

12、题设得(1,0)P，(1,0)F若l与y轴垂直，此时:0l y 与C只有一个交点(0,0)若l与y轴不垂直，设:1l xmy由241yxxmy，得2440ymy因为l与C有且仅有一个公共点，所以216160m，故1m 此时l的方程为1xy或1xy 综上，l的方程为0y，10 xy 或10 xy（2）由（1）得216160m，即21m 设211(,)4yAy，222(,)4yBy，则124yym，124y y 因为4FA FB ，所以221212(1)(1)444yyy y，整理可得22121212()()3141642y yyyy y ，代入可得23m 所以FAB的面积2212121211|2

13、()416164 222FABSPFyyyyy ym 数学试题参考答案 第 3 页（共 5 页）17解：（1）由题设得332228aSSS，即32232SS因此nSn的公比为2，于是1121nnSSn，即112nnSnS又因为24S，所以2114SS，即12nnSn当1n 时，111aS当2n时，12212(1)2(1)2nnnnnnaSSnnn所以2(1)2()nnann N又因为233212S，312311Tbbbb，所以3311315STb，因此12b ，21b 因为1121nnnnbbbb，所以2nnbb因此na的通项公式为2(1)2nnan，nb的通项公式为21nnbn，为奇数，数，

14、为偶（2）设21 2122nnnnncaba b，由（1）得2322121 212242(21)24nnnnnnnncaba bnn，所以nna b的前2n项和2121 2122111141()43nnnnnkkkkkkkkkkkka baba bc18解：（1）由题设得(3842)0.682 7PX，(3644)0.9545PX，所以(44)(38)(44)(38)(4044)(3840)1(0.682 70.9545)0.81862FFP XP XPXPX（2）（）由题设得121221121122211221212112121222112()()()(|)()()1()1()441()1(

15、)4()()(|)(|)1()1()()4ttttttP TtTtP TtP TtTtP TtP TtP TtG tP TtP TttP TtG tP TttP TtP TtTtP TtTtttG tP Tttt ，所以1212(|)()P TtTtP Ttt数学试题参考答案 第 4 页（共 5 页）（）由（）得1(1|)(1)1(1)1(1)4P TnTnP TP TG ，所以第1n 天元件B，C正常工作的概率均为14为使第1n 天系统仍正常工作，元件B，C必须至少有一个正常工作，因此所求概率为2171(1)41619解：（1）2()2()e()e(2)()exxxfxxaxaxaxa令()

16、0fx得2xa或xa当(,2)(,)xaa 时，()0fx；当(2,)xaa时，()0fx 所以()f x在(,2)a，(,)a 单调递增，在(2,)aa单调递减（2）由（1）得12xa，2xa（）直线AB的方程为()(2)()()(2)f af ayf axaaa，即22e()ayxa 由2()2e()ayf xyxa，得2()()e2e0 xaxaxa设2()()e2exag xxa，则()e()e(1)exxxg xxaxa令()0g x得1xa当(,1)xa 时，()0g x；当(1,)xa时，()0g x 所以()f x在(,1)a单调递减，在(1,)a 单调递增因为(2)0g a，

17、2(1)(2e)e0ag a，2()2e0ag a，所以()g x有且仅有2个零点2a，0 x，其中0(1,)xaa这表明方程2()()e2e0 xaxaxa的解集为02,ax a，即直线AB与曲线()yf x交于另一点C，且C的横坐标为0 x（）由（）得020()e2exaax，即00ln()()ln22axax假设存在常数(,1)()n nnN，使得|ABBC，则00(2)2aaaxax，所以02xa，代入可得2ln20数学试题参考答案 第 5 页（共 5 页）设2()ln2h xxx，则22()xh xx令()0h x得2x 当(1,2)x时，()0h x；当(2,)x时，()0h x所以()h x在(1,2)单调递减，在(2,)单调递增因为(1)0h，3(4)2ln220.71.502h，8(5)ln51.61.605h，所以存在唯一的(4,5)，使得()0h此时022200ln2222()()e2ee2e22e(e2e)e(2)0axaaaag xxa 因此，存在常数(,1)()n nnN，使得|ABBC，且4n