山西省太原市2023-2024学年高三上学期1月期末学业诊断数学试卷含答案.pdf

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1、山西省太原市2023-2024学年高三上学期1月期末学业诊断数学试卷2023-20242023-2024 学年第一学期高三年级期末学业诊断数学试卷学年第一学期高三年级期末学业诊断数学试卷参考答案及评分标准参考答案及评分标准一一.单项单项选择题：选择题：CBABCCAA二二.多项多项选择题：选择题：9.B D10A C11.A C D12.A B D三三.填空题填空题:13.xy214.2515.316.3e四四.解答题：解答题：17.解：（1）设na的公差为d，由题意得，)2(37,3111dadada,2,11da)(12*Nnnan；2 分当1n时，则1322111bbS，11b，当2n时

2、，则13211nnbS，113322nnnnbbSS，13nnbb，nb是以1为首项，3为公比的等比数列，)(3*1Nnbnn；5 分（2）由（1）得)(3)12(*1Nnnbacnnnn，6 分nnncccccT13211223)12(3)32(353311nnnn，nnnnnT3)12(3)32(3533313132，-得nnnnT3)12()3333(212132，)(13)1(*NnnTnn.10 分18.解：（1）由题意得3323sin21aADBADaSABC，6a2 分DCBD2，4BD，2CD，12cos2222ADBBDADBDADAB，32 AB，4 分232cos222B

3、DABADBDABB，1800B，30B；6 分（2）由题意得CDBD，)(21ACABAD，22)(41ACABAD)2(4122ACABACAB4)cos2(4122BACbcbc，2822cb，6cosBACbc，40cos2222BACbccba，102a，8 分33sin21BACbcSABC，36sinBACbc，12bc，#QQABDQAEogigQBBAAAhCAwV4CAKQkAEAAKoOBAAIIAAACQFABAA=#522)(222bccbcb，132cb，11 分)1310(2cba，ABC的周长为)1310(2.12 分19.（1）证明：四边形ABCD是正方形，A

4、DAB，ABSA，AADSA，AB平面SAD，ABSD，2 分同理可证BCSD，BBCAB，SD平面ABCD，5 分四棱锥ABCDS 是一个“阳马”；6 分（2）由（1）得SD平面ABCD，ADSD，23SA，3AB，3SD，以点D为原点，DA，DC，DS所在的直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，由题意可得)0,0,0(D，)0,0,3(A，)0,3,3(B，)0,3,0(C，)3,0,0(S，ECAE，)0,13,13(E，设),(111zyxm 是平面SAE的一个法向量，则，SAmACm,，033,0331111zxyx令11z，则，1,111yx，)1,1,1(m，

5、8 分设),(222zyxn 是平面SDE的一个法向量，则，DEnSDn,，01313,03222yxz令12y，则，0,22zx，)0,1,(n，|,cosnmnmnm15301312，31，10 分)0,43,49(E，4103)43()49(22DE，SD平面ABCD，直线SE与底面ABCD所成角的正切值为5102DESD.12 分20.解：（1）设iA“第i天选择米饭套餐”（2,1i），则iA“第i天选择面食套餐”，根据题意32)(1AP，31)(1AP，且31)|(12AAP，32)|(12AAP，由全概率公式，得)(2AP)|()(121AAPAP)|()(121AAPAP9432

6、313132；4 分（2）（i）设nA“第n天选择米饭套餐”（,2,1n），DBCASEyzx#QQABDQAEogigQBBAAAhCAwV4CAKQkAEAAKoOBAAIIAAACQFABAA=#则)(nnAPP，nnPAP1)(，31)|(1nnAAP，32)|(1nnAAP，5 分由全概率公式，得)(1nAP)|()(1nnnAAPAP)|()(1nnnAAPAP3231nP，即32311nnPP，)21(31211nnPP，7 分61211P，21nP是以61为首项，31为公比的等比数列；8 分（ii）由（i）可得)()31(6121*1NnPnn，10 分当n为大于 1 的奇数时

7、，952714)31(6121)31(612121nnP；当n为正偶数时，9521)31(61211nnP.12 分21.解：（1）由题意得)0,2(pF，)0,2(pD，设直线AB的方程为)(2Rtptyx，),(11yxA，),(22yxB，由pxyptyx2,22得0222ptpyy,tpyy221，221pyy，3 分)1(44)()(2221221221tpyyyyyy，DAB面积222211|21ptpyyDFSDAB，当0t时，DABS取最小值2p，2 p，抛物线C的方程为xy42；6 分（2）由（1）得抛物线xyC4:2，假设存在定点),(00yxP，设直线l的方程为)(2(5

8、Rmymx，),(),(4433yxNyxM，则0403,yyyy，由xyymx4),2(52得0)52(442mmyy,myy443，)52(443myy，8 分PNPM，0PNPM，PNPM)(0403xxxx)(0403yyyy)()(161040320242023yyyyyyyy，016)(4304320yyyyyy，0)4()2(4200ymy，10 分#QQABDQAEogigQBBAAAhCAwV4CAKQkAEAAKoOBAAIIAAACQFABAA=#当020y时，即1,200 xy时，PNPM 恒成立，存在定点)2,1(P.12 分22.解：（1）当1k时，1ln)(xxx

9、f，),0(x，则1ln)(xxf，1 分令0)(xf，则ex10；令0)(xf，则ex1，)(xf在)1,0(e上单调递减，在),1(e上单调递增，3 分)(xf在ex1处取得最小值eef11)1(；4 分（2）当1k时，则011ln)(xxxf，显然成立；5 分当1k时，原不等式等价于1lnxxxxk，6 分令1ln)(xxxxxg，1x，则2)1(2ln)(xxxxg，7 分令2ln)(xxxh，1x，则01)(xxxh，)(xh在),1(上单调递增，03ln1)3(h，0)2ln1(2)4(h，)4,3(0 x，0)(0 xh，即02ln00 xx，00ln2xx，8 分当),1(0 xx时，0)(xh，0)(xg，)(xg在),1(0 x上单调递减，当),(0 xx时，0)(xh，0)(xg，)(xg在),(0 x上单调递增，9 分)(xg在0 xx 处取得最小值为0000001ln)(xxxxxxg，10 分00)(xxgk，且)4,3(0 x，11 分综上，实数k的最大整数值为3.12 分注：以上各题其它解法请酌情赋分注：以上各题其它解法请酌情赋分.#QQABDQAEogigQBBAAAhCAwV4CAKQkAEAAKoOBAAIIAAACQFABAA=#