山东省淄博市2023-2024学年高二上学期期末教学质量检测数学试题含答案.pdf

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1、山东省淄博市2023-2024学年高二上学期期末教学质量检测数学试题高二数学试题 第1页（共8页）参照秘密级管理启用前 20232024 学年度第一学期高二教学质量检测 数学参考答案 一单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1C；2B；3B；4A；5B；6B；7D；8A。二多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0分 9AD；10BC；11ABC；12BCD。三填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共

2、20 分 1335；142310 xy+=；15135；1632 四解答题：本题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明证明过程或演算步骤 17（10 分）解：（1）1111MNMAACC N=+2 分 12133BAACCB=+()1221333ABAAACABAC=+1122333ABAAAC=+，4 分 又AB a=，ACb=，1AAc=，122=333MNabc+5 分（2）因为11ABACAA=，1abc=90BAC=，0a b =6 分 高二数学试题 第2页（共8页）1160BAACAA=，12a cb c=，7 分()221229MNabc=+()2221114444899a

3、bca ba cb c=+=，9 分 113MN=10 分 18（12 分）解：（1）过点(1,3)且与直线320 xy+=垂直的直线方程为：32 3yx=+1 分 由32 32yxyx=+=+，得圆心(2,0)C 2 分 半径22(1 2)(30)2r=+=3 分 所以圆C的标准方程是：()2224xy+=，4 分（2）解法一：由题意知l的斜率一定存在且不等于 0，设直线l：()2yk x=，即20kxyk=，点C到 l的距离2222411kkkdkk=+，6 分 则弦长为222222164 1222 4211kkMNrdkk=+8 分 因为12MNCSMN d=，所以22244 2314

4、121kkkk+=+，化简得42551610kk+=，解得215k=或2111k=高二数学试题 第3页（共8页）所以55k=或1111k=，10 分 所以直线l的方程为520 xy=或1120 xy=12 分 方法二：由题意知l的斜率一定存在且不等于 0，设直线l：2xty=+，且点()11,M x y，()22,N xy，联立方程()22224xtyxy=+=，整理得22(1)8120tyty+=，所以()22644810tt=+，即23t，且121222812,11tyyy ytt+=+6 分 则：1212MNCBCMBCNBSyyCSS=2221212221648832()4211tty

5、yy ytt=+=+8 分 因为4 23MNCS=，所以22834 231tt=+，化简得4216550tt+=，解得25t=或211t=，所以5t=或11t=，10 分 所以直线l的方程为520 xy=或1120 xy=12 分 19（12 分）解证：（1）当它们与椭圆相交时，设交点为()11C xy，()22D xy，中点()H xy，所以22112222149149xyxy，2 分 高二数学试题 第4页（共8页）作差得，()()()()1212121294x xx xy yy y=+-+-，整理得()()()()121212129422x xy yy yx x=+-+-4 分 即3942

6、xy=，即320 xy+=因此这组直线与椭圆相交时，这些直线被椭圆截得的线段的中点在同一条直线320 xy+=上.6 分（2）由题意知，该条直线为：352yx=+，7 分 设交点为()33A xy，()44D xy，将直线352yx=+代入椭圆方程22149xy得，21812 5160 xx+=，由韦达定理得：342 53xx+=，3489xx=9 分 221212313 2081314424993ABxxx x 所以线段133AB 12 分 20（12 分）解：（1）记“甲通过笔试”为事件1A，“甲通过面试”为事件2A，“甲获得录取”为事件A；“乙通过笔试”为事件1B，“乙通过面试”为事件2

7、B，“乙获得录取”为事件B则由题意，得 12125233(),(),(),()6354P AP AP BP B=，笔试和面试是否“通过”是独立的，所以12525()()()639P AP A P A=，2 分 12339()()()5420P BP B P B=，4 分 高二数学试题 第5页（共8页）因为59920，即()()P AP B，所以甲获得录取的可能性大 6 分（2）记“甲乙两人中至少有一人获得录取”为事件C，则由题意，得()()()()P CP ABP ABP AB=+8 分()()()()()()P A P BP A P BP A P B=+10 分 59595934119209

8、2092045=+=所以甲乙两人中至少有一人获得录取的概率为3445 12 分 21（12 分）解证：（1）设ACBDO=，连结EO，矩形ACEF中M是线段EF的中点，O是线段AC的中点，所以/EMAO，EMAO=，所以OAME为平行四边形，1 分 故/AMEO，2 分 又AM 平面BDE，EO 平面BDE，所以/AM平面BDE；3 分（2）由题意，正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，面ABCD面ACEFCA=，ECAC，EC 面ACEF，所以EC 面ABCD，4 分 以CD为x轴，CB为y轴，CE为z轴，建立如图所示空间直角坐标系，5 分 因为2AB=，1AF=，M是线段EF的中

9、点，高二数学试题 第6页（共8页）则()2,0,0D，()2,2,0A，()0,2,0B，()0,0,1E，()2,2,1F，22,122M，显然面ADF的一个法向量为()1,0,0p=，6 分 设面BDF的法向量为(),qx y z=，则()2,2,0BD=，()0,2,1DF=，则00q DFq BD=，可知20220yzxy+=，令1x=，则1y=，2z=，则面BDF的一个法向量为()1,1,2q=，7 分 设平面ADF与平面BDF夹角为，所以11coscos,1 22p q=，8 分 所以平面ADF与平面BDF夹角的大小为3.9 分（3）因为点P在线段AC上，而()2,2,0CA=，设

10、CPCA=，其中0,1，则()2,2,0CP=，从而P()2,2,0，且()2,2,Ft，于是()22,22,PFt=，高二数学试题 第7页（共8页）而()0,2,BEt=，由PFBE知0PF BE=，即()22 10t+=，11 分 由于0,1，所以()22 12t=，解得2t，故t的最大值为2.12 分 22（12 分）解证：（1）由题意得2ca=，1 分 2243:1Cab=，2 分 解得23a=，29b=，212c=所以22:139xyC=3 分（2）设点()11,M x y，()22,N xy 若直线MN斜率存在时，设直线MN的方程为ykxm=+（3k ），代入22:139xyC=消

11、去y并整理得()2223290kxkmxm=，可得：12223kmxxk+=，212293mx xk=，5 分 因为AMAN，所以0AM AN=，即()()()()121222330 xxyy+=根据11ykxm=+，22ykxm=+，代入整理可得：()()()221 2121322 370kx xkmkxxmm+=，所以()()22222921322 37033mkmkkmkmmkk+=，高二数学试题 第8页（共8页）整理得22823 360mkkmm+=，即()42 3230mkmk+=，得42 3mk=+或23mk=+，7 分 代入ykxm=+得42 3ykxk=+或23ykxk=+整理

12、得()2 34yk x=+或()32yk x=所以过定点(4 2 3)，或(23)，（舍）.8 分 若直线斜率不存在时，设为xt=，代入22:139xyC=得()239M tt，()239N tt，-因为AMAN，所以0AM AN=，即()()()()22223933930tttt+=解得2280tt+=，即4t=或2t=（舍）所以4t=所以过定点()4 2 3，.9 分 综上，直线MN过定点()4 2 3P ，.10 分 直线MN过定点()4 2 3P ，所以39AP=.又因ADMN，即ADDP.所以点D在以线段AP为直径的圆上运动，取线段AP的中点为3 3(1,)2Q，则13922DQAP=11 分 所以存在定点Q，使得DQ为定值 12 分