数学02（新题型）-2024年1月新“九省联考”考后提升卷含解析.docx

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1、2024年1月“九省联考”考后提升卷高三数学（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.现有一组数据：，则这组数据的第85百分位数是( )A652B668C671D6742.已知椭圆的上顶点、右顶点、左焦点恰好是等腰三角

2、形的三个顶点，则椭圆C的离心率为( )ABCD3.已知为数列的前项和，且满足，则（ ）A B C D 4.已知，为异面直线，直线与，都垂直，则下列说法不正确的是( )A若平面，则，B存在平面，使得，C有且只有一对互相平行的平面和，其中，D至少存在两对互相垂直的平面和，其中，5.某学校举办运动会，径赛类共设100米200米400米800米1500米5个项目，田赛类共设铅球跳高跳远三级跳远4个项目.现甲、乙两名同学均选择一个径赛类项目和一个田赛类项目参赛，则甲、乙的参赛项目有且只有一个相同的方法种数等于( )A70B140C252D5046.在棱长为1的正方体中，在侧面（含边界）内运动，在底面（含

3、边界）内运动，则下列说法不正确的是（ ）A 若直线与直线所成角为30，则点的轨迹为圆弧B 若直线与平面所成角为30，则点的轨迹为双曲线的一部分C 若，则点的轨迹为线段D 若到直线的距离等于到平面的距离，则点的轨迹为抛物线的一部分7.已知角的终边上一点的坐标为，则的值为( )A0BCD8.已知，分别为双曲线：的左，右焦点，点P为双曲线渐近线上一点，若，则双曲线的离心率为（ ）A B C D 2二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分9.将函数的图象向左平移个单位长度，再将图象上所有点的横坐标变为原来

4、的倍（纵坐标不变），得到的图象，则（ ）A 函数是偶函数B x是函数的一个零点C 函数在区间上单调递增D 函数的图象关于直线对称10.已知z1与z2是共扼复数，以下四个命题一定是正确的是（）ABCD11.已知定义在上的函数满足，且为奇函数，则下列说法一定正确的是（ ）A 函数的周期为B 函数的图象关于对称C 函数为偶函数D 函数的图象关于对称三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分12.已知集合，若，且，则实数的取值范围是_13.甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为，侧面积分别为和，体积分别为和若，则 14.已知数列满足，,则的前项积的最大值为 四、解答题：本题共5小题，

5、共77分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤15（13分）设函数，已知曲线在点处的切线与直线垂直（1）求a的值；（2）求的单调区间；16（15分）为倡导公益环保理念，培养学生社会实践能力，某中学开展了旧物义卖活动，所得善款将用于捐赠“圆梦困境学生”计划.活动共计50多个班级参与，1000余件物品待出售.摄影社从中选取了20件物品，用于拍照宣传，这些物品中，最引人注目的当属优秀毕业生们的笔记本，已知高三1，2,3班分别有的同学有购买意向.假设三个班的人数比例为6：7:8(1)现从三个班中随机抽取一位同学：(i)求该同学有购买意向的概率；(ii)如果该同学有购买意向，求此人来自2班的概率；(2)

6、对于优秀毕业生的笔记本，设计了一种有趣的“掷骰子叫价确定购买资格”的竞买方式：统一以0元为初始叫价，通过掷骰子确定新叫价，若点数大于2，则在已叫价格基础上增加1元更新叫价，若点数小于3，则在已叫价格基础上增加2元更新叫价；重复上述过程，能叫到10元，即获得以10元为价格的购买资格，未出现叫价为10元的情况则失去购买资格，并结束叫价.若甲同学已抢先选中了其中一本笔记本，试估计其获得该笔记本购买资格的概率(精确到0.01).17（15分）如图，在多面体中，底面为菱形，平面，且为棱的中点，为棱上的动点.（1）求二面角的正弦值；（2）是否存在点使得平面？若存在，求的值；否则，请说明理由.18（17分）

7、与x轴不垂直的直线交抛物线T:于M、N两点，F为抛物线的焦点，线段MN的垂直平分线交x轴于点E(3,0),已知O0(0,0),Q(4,0)且有(1)求抛物线T的方程：(2)过F的直线交抛物线T于A、B两点，延长AQ、BQ分别交抛物线T于C、D;G、H分别为AB、CD的中点，求的最小值.19（17分）对于无穷数列an，设集合A=x|x=an,n1若A为有限集，则称数列an为“T数列”(1)已知数列an满足a1=2,an+1=11an，判断an是否为“T数列”，并说明理由；(2)设函数y=f(x)的表达式为f(x)=3|x+1|x+2|，数列an满足an+1=fan若an为“T数列”，求首项a1的

8、值；(3)设an=cos(tn)若数列an为“T数列”，求实数t的取值集合2024年1月“九省联考”考后提升卷高三数学（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.现有一组数据：，则这组数据的第85百分位数是( )A.65

9、2B.668C.671D.674【答案】C【解析】【分析】根据百分位数的定义，求得，即可确定第85百分位数为第11个数，可得答案.【详解】由题意这组数共12个，则，将这组数据从小到大排列，故这组数据的第85百分位数为第11个数，即671，故选：C2.已知椭圆的上顶点、右顶点、左焦点恰好是等腰三角形的三个顶点，则椭圆C的离心率为( )A.B.C.D.2.【答案】D【解析】易知等腰三角形的三边为;则即有,解得e,故选：D.3.已知为数列的前项和，且满足，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由题，当时，当时，进而分奇偶性讨论得，为正偶数，为正奇数，再求和即可.【详解】解：因为，

10、所以，当时，解得，当时，所以，当为偶数时，故，为正奇数；当为奇数时，即，故，为正偶数；所以，故选：A4.已知，为异面直线，直线与，都垂直，则下列说法不正确的是( )A.若平面，则，B.存在平面，使得，C.有且只有一对互相平行的平面和，其中，D.至少存在两对互相垂直的平面和，其中，【答案】A【分析】由线面关系判断ABD；由线面垂直判定判断C；【详解】对于A，如下图所示，在正方体中取为，为，为，平面为平面，则，故A错误；对于B，在正方体中取为，为，为，平面为平面，此时，故B正确；对于C，由线面垂直的判定可知，过直线且与垂直的平面只有一个，过直线且与垂直的平面只有一个，则有且只有一对互相平行的平面和

11、，其中，故C正确；对于D，在正方体中取为，为，为，此时平面平面，平面平面，即至少存在两对互相垂直的平面和，其中，故D正确；故选：A.5.某学校举办运动会，径赛类共设100米200米400米800米1500米5个项目，田赛类共设铅球跳高跳远三级跳远4个项目.现甲、乙两名同学均选择一个径赛类项目和一个田赛类项目参赛，则甲、乙的参赛项目有且只有一个相同的方法种数等于( )A.70B.140C.252D.504【答案】B【分析】由分类加法、分步乘法计数原理以及排列组合的计算即可得解.【详解】由题意若甲、乙的相同的参赛项目为径赛类项目，则有种选法，他们再分别从田赛类项目中各选一个（互不相同）即可，这时候

12、有种选法，所以此时满足题意的选法有，由题意若甲、乙的相同的参赛项目为田赛类项目，则有种选法，他们再分别从径赛类项目中各选一个（互不相同）即可，这时候有种选法，所以此时满足题意的选法有，综上所述，甲、乙的参赛项目有且只有一个相同的方法种数等于种.故选：B6.在棱长为1的正方体中，在侧面（含边界）内运动，在底面（含边界）内运动，则下列说法不正确的是（ ）A. 若直线与直线所成角为30，则点的轨迹为圆弧B. 若直线与平面所成角为30，则点的轨迹为双曲线的一部分C. 若，则点的轨迹为线段D. 若到直线的距离等于到平面的距离，则点的轨迹为抛物线的一部分【答案】C【解析】【分析】画出正方体，根据各选项的不

13、同条件对图形进行分析并运算即可得出轨迹问题的结论.【详解】直线与直线所成角即为，在中，故在以为圆心，为半径的圆落在侧面内的圆弧上，A正确；过作于点（如图），设，直线与平面所成角即为，在中，从而，故点的轨迹为双曲线的一部分，故B正确；在中，从而，故在以为圆心，为半径的圆落在底面内的圆弧上，C错误；到直线的距离等于到平面的距离，即到点的距离等于到直线的距离，故点的轨迹为抛物线的一部分，故D正确.故选：C.7.已知角的终边上一点的坐标为，则的值为( )A.0B.C.D.【答案】B【分析】根据三角函数的定义求出，再根据两角和的正切公式展开代入化简求解.【详解】角的终边上一点的坐标为所以，则，故选：B8

14、.已知，分别为双曲线：的左，右焦点，点P为双曲线渐近线上一点，若，则双曲线的离心率为（ ）A. B. C. D. 2【答案】B【解析】【分析】由题可得，然后利用二倍角公式结合条件可得，然后根据离心率公式即得.【详解】因为，为的中点，所以，所以，又， ，所以，所以.故选：B.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分9.将函数的图象向左平移个单位长度，再将图象上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），得到的图象，则（ ）A. 函数是偶函数B. x是函数的一个零点C. 函数在区间上单调递增D. 函数的

15、图象关于直线对称【答案】BCD【解析】【分析】首先求出的解析式，然后根据正弦函数的性质逐一判断即可.【详解】将函数的图象向左平移个单位长度，可得，再将图象上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），可得，对于A选项，令，则，故函数不是偶函数，A不正确；对于B选项，因为，故是函数的一个零点，B正确；对于C选项，当时，所以函数在区间上单调递增，C正确；对于D选项，因为对称轴满足，解得，则时，所以函数的图象关于直线对称，D正确.故选：BCD.10.已知z1与z2是共扼复数，以下四个命题一定是正确的是（）ABCD【答案】BC【分析】设，分别求出，得到A不正确；根据复数的运算，可得B正确；根据，可得C正

16、确；根据复数的除法运算，可得D不一定正确，即可求解【详解】设，则，所以A不正确；又由，所以，所以B正确；由，所以C正确；由不一定是实数，所以D不一定正确.故选：BC11.已知定义在上的函数满足，且为奇函数，则下列说法一定正确的是（ ）A. 函数的周期为B. 函数的图象关于对称C. 函数为偶函数D. 函数的图象关于对称【答案】BC【解析】【分析】由得函数的一个周期，由是奇函数得函数的对称中心，两条件结合得函数的奇偶性.【详解】由，得，将代入，即，所以函数的一个周期为7，A项错误；由是奇函数得，因为和，所以，即，所以的图象关于中心对称，B项正确，D项错误；因为，所以，将代入，得，即函数为偶函数，C

17、项正确.故选：BC.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分12.已知集合，若，且，则实数的取值范围是_【答案】【解析】【分析】先解分式不等式，即可得出集合，再由，且，即可求出实数的取值范围.详解】由可得：，解得：，所以，因为，且，所以.故答案为：.13.甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为，侧面积分别为和，体积分别为和若，则 【答案】【分析】设母线长为，甲圆锥底面半径为，乙圆锥底面圆半径为，根据圆锥的侧面积公式可得，再结合圆心角之和可将分别用表示，再利用勾股定理分别求出两圆锥的高，再根据圆锥的体积公式即可得解.【详解】解：设母线长为，甲圆锥底面半径为，乙圆锥底面圆半径为

18、，则，所以，又，则，所以，所以甲圆锥的高，乙圆锥的高，所以.14.已知数列满足，,则的前项积的最大值为 【答案】1【分析】先通过递推关系推出数列的周期为，然后个数为一组，分别计算的表达式后进行研究.【详解】由可知，亦可得：，两式相除得：，即，所以数列是以为周期的周期数列，由得：.记数列的前项积为，结合数列的周期性，当，则，记，为了让越大，显然需考虑为偶数，令，结合指数函数的单调性，则，即；类似的，.综上所述，的前项积的最大值为.四、解答题：本题共5小题，共77分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤15（13分）设函数，已知曲线在点处的切线与直线垂直（1）求a的值；（2）求的单调区间；【答案】

19、（1）2 （2）答案见解析 【解析】【分析】（1）利用导数几何意义可得关于a的方程，解方程即可得出答案；（2）对求导，分和讨论的正负，即可求出的单调性；【小问1详解】的定义域为， ， 由于直线的斜率为，. 6分【小问2详解】， 当时，在R上单调递增；当时，令有，当时，单调递减，当时，单调递增.综上所述：，的单调递增区间为R，的单调减区间为，的单调增区间为. 13分【点睛】关键点点睛：本题考查导数的几何意义、求单调区间和利用导数求解恒成立问题；本题求解恒成立问题的关键是将恒成立问题转化为求函数的最值.16（15分）为倡导公益环保理念，培养学生社会实践能力，某中学开展了旧物义卖活动，所得善款将用于

20、捐赠“圆梦困境学生”计划.活动共计50多个班级参与，1000余件物品待出售.摄影社从中选取了20件物品，用于拍照宣传，这些物品中，最引人注目的当属优秀毕业生们的笔记本，已知高三1，2,3班分别有的同学有购买意向.假设三个班的人数比例为6：7:8(1)现从三个班中随机抽取一位同学：(i)求该同学有购买意向的概率；(ii)如果该同学有购买意向，求此人来自2班的概率；(2)对于优秀毕业生的笔记本，设计了一种有趣的“掷骰子叫价确定购买资格”的竞买方式：统一以0元为初始叫价，通过掷骰子确定新叫价，若点数大于2，则在已叫价格基础上增加1元更新叫价，若点数小于3，则在已叫价格基础上增加2元更新叫价；重复上述

21、过程，能叫到10元，即获得以10元为价格的购买资格，未出现叫价为10元的情况则失去购买资格，并结束叫价.若甲同学已抢先选中了其中一本笔记本，试估计其获得该笔记本购买资格的概率(精确到0.01).【答案】(1)(i)(2)0.75.【分析】(1)设事件“该同学有购买意向”,事件“该同学来自i班”(i=1,2,3).根据全概率公式即可求解,根据条件概率公式即可求解(2)由题意可得每次叫价增加1元的概率为,每次叫价增加2元的概率为.设叫价为元的概率为,叫价出现元的情况只有下列两种：叫价为元，且骰子点数大于2，其概率为叫价为元，且骰子点数小于3，其概率为.于是得到,构造等比数列,结合累加法可求解。【详

22、解】(1)(i)设事件A=“该同学有购买意向”，事件Bi=“该同学来自i班”由题意可知,所以，由全概率公式可得 8分(2)由题意可得每次叫价增加1元的概率为,每次叫价增加2元的概率为.设叫价为元的概率为,叫价出现元的情况只有下列两种：叫价为元，且骰子点数大于2，其概率为叫价为元，且骰子点数小于3，其概率为于是得到,易得由于于是当时,数列是以首项为公比为的等比数列,故.于是=$于是，甲同学能够获得笔记本购买资格的概率约为0.75. 15分【点睛】关键点睛：第二问中关键是设叫价为元的概率为,利用叫价为元是在叫价为元的基础上再叫价1元或在叫价为(元的基础上再叫价2元，从而确定与的关系，再结合数列中的

23、构造法和累加法即可求解.17（15分）如图，在多面体中，底面为菱形，平面，且为棱的中点，为棱上的动点.（1）求二面角的正弦值；（2）是否存在点使得平面？若存在，求的值；否则，请说明理由.【答案】（1）；（2）存在，.【解析】【分析】（1）连接交于点，作平面，以为原点建立空间直角坐标系，利用面面角的向量求法求解即得.（2）利用（1）中信息，假定存在符合条件的点，利用空间位置关系的向量证明求解即得.【小问1详解】连接交于点，由四边形为菱形，得，过点作平面，显然直线两两垂直，以为原点，直线分别为建立空间直角坐标系，由平面，得，又，且，则，设平面，平面的法向量分别为，则，取，得，则，取，得，设二面角的

24、大小为，则，因此，所以二面角的正弦值为. 8分【小问2详解】存在符合题意，且.理由如下：令，而，棱中点，则，若平面，而平面的法向量，则，即，因此，解得，即，则，所以在点使得平面，. 15分18（17分）与x轴不垂直的直线交抛物线T:于M、N两点，F为抛物线的焦点，线段MN的垂直平分线交x轴于点E(3,0),已知O0(0,0),Q(4,0)且有(1)求抛物线T的方程：(2)过F的直线交抛物线T于A、B两点，延长AQ、BQ分别交抛物线T于C、D;G、H分别为AB、CD的中点，求的最小值.【答案】（1)(2)【解析】(1)设M,N,由抛物线定义可知,又线段MN的垂直平分线交x轴于点E(3,0),故|

25、ME|=|NE|,即(=2因为,所以(,即,则有,即抛物线T的方程为. 7分 （2）设代入得,则有,所以,故设C(,D(,则解得,同理，,所以H点的横坐标为H点的纵坐标为,所以,有, 9分记,故,当时，=0,当时，,易求得取直线OG、OH的方向向量分别为,故cos 13分 当时，,当时，函数在区间上单调递减，最小值为,所以当时，取到最小值为 17分19（17分）对于无穷数列an，设集合A=x|x=an,n1若A为有限集，则称数列an为“T数列”(1)已知数列an满足a1=2,an+1=11an，判断an是否为“T数列”，并说明理由；(2)设函数y=f(x)的表达式为f(x)=3|x+1|x+2

26、|，数列an满足an+1=fan若an为“T数列”，求首项a1的值；(3)设an=cos(tn)若数列an为“T数列”，求实数t的取值集合【解题思路】（1）根据a1=2,an+1=11an，计算即可；（2）f(x)min=f(1)=1，当x1时，f(x)=2x+1x，分a1=1，a11两种情况讨即可；（3）当t为有理数时，必存在pZ+,qZ，使得t=qp，则an+2p=cosqp(n+2p) =cosqpn+2q=cosqpn=an，因此集合A=x|x=an,nN中元素个数不超过2p，为有限集；t为无理数时，用反证法证明aman解决即可.【解答过程】（1）因为a1=2,an+1=11an，所以

27、a2=112=1,a3=11+1=12,a4=1112=2,a5=112=1， 所以A=x|x=an,nN=1,12,2，所以an是“T数列”； 5分（2）由题知，f(x)=3|x+1|x+2|=2x+1x14x52x12x1x1时，f(x)=2x+1x()，因此当a1=1时，a2=fa1=1,a3=fa2=1,，即an=1,nN，此时an为“T数列”，当a11时，a2=fa11，由()得a3=fa2a21,a4=fa3a31，.，因此an+1an,an显然不是“T数列”；综上，a1=1； 9分（3）当t为有理数时，必存在pZ+,qZ，使得t=qp，则an+2p=cosqp(n+2p) =cosqpn+2q=cosqpn=an，因此集合A=x|x=an,nN中元素个数不超过2p，为有限集；当t为无理数时，对任意m,nN,mn，下用反证法证明aman，若am=an，即costn=costm，则tn=tm+2k或tn=tm+2k，其中kZ，则t=2knmQ或t=2kn+mQ，矛盾，所以aman，因此集合A=x|x=an,nN必为无限集；综上，t的取值集合是全体有理数，即tQ 17分