山东省青岛第二中学2023-2024高二上学期期末考试数学试题含答案.pdf

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1、高二数学试题第青青岛岛二二中中 2 20 02 23 32 20 02 24 4 学学年年第第一一学学期期期期末末考考试试高高二二试试题题（数数学学）满分 150 分考试时间：120 分钟命题注意事项：1答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息.2请将答案正确填写在答题卡上.一一、单单选选题题：本本题题共共 8 8 小小题题，每每小小题题 5 5 分分，共共 4 40 0 分分在在每每小小题题给给出出的的四四个个选选项项中中，只只有有一一项项是是符符合合题题目目要要求求的的1曲线 1exf x在点1,1处的切线的倾斜角为（）A45B30C60D1352在等差数列 na中，21240aa，则56

2、789aaaaa的值为（）A20B40C60D803圆221:(3)9Cxy与圆222:80Cxyy的公切线条数为（）A1B2C3D44已知双曲线2222:1(0,0)xyCabab的离心率为5，C 的一条渐近线与圆22(2)(3)1xy交于 A，B 两点，则|AB（）A55B2 55C3 55D4 555圆锥曲线具有丰富的光学性质，从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点直线 l：280 xy与椭圆 C：2211612xy相切于点 P，椭圆 C 的焦点为1F，2F，由光学性质可知PBFPAF21（如图），则12FPF的角平分线所在直线的方程为（）A210 xy

3、 B10 xy C210 xy D10 xy 第 1 页，共 2 页6.设ln3a，3ln2b，2ln3c，则a、b、c的大小关系是（）A.abcB.bcaC.cabD.cba7英国物理学家牛顿用“作切线”的方法求函数的零点时，给出的“牛顿数列”在航空航天中应用广泛.若数列 nx满足1nnnnfxxxfx，则称数列 nx为牛顿数列.若 1fxx，数列 nx为牛顿数列，且11x，0nx，数列 nx的前 n 项和为nS，则满足2024nS 的最大正整数 n 的值为（）A10B11C12D138.函数 f x的导函数为()fx,对x R,都有 2 fxf x成立,若ln42f,则不等式 2xfxe的

4、解集是（）A()0,1Bln4,C1,D0,ln4二二、多多选选题题：本本题题共共 4 4 小小题题，每每小小题题 5 5 分分，共共 2 20 0 分分在在每每小小题题给给出出的的选选项项中中，有有多多项项符符合合题题目目要要求求全全部部选选对对的的得得 5 5 分分，部部分分选选对对的的得得 2 2 分分，有有选选错错的的得得 0 0 分分9直线:2220l mxmym，圆22:40C xyx，下列结论正确的是（）A直线l恒过定点1,1B直线l与圆C必有两个交点C直线l与圆C的相交弦长的最大值为2 2D当0m 时，圆C上存在 3 个点到直线l的距离等于 110在直角坐标系xOy中，已知抛物

5、线C：220ypx p的焦点为F，过点F的倾斜角为4的直线l与C相交于A，B两点，且点A在第一象限，OAB的面积是2 2，则（）A2p B9AB C111AFBFD22AF 11设数列 na的前n项和为nS，且2121,lognnnnSaba，则（）A数列 na是等比数列B1(2)nna 高二数学试题第C22222123213nnaaaaDnnab的前n项和为2n212nnnT 12.已知函数 2ln1fxxax,aR,则下列结论正确的是（）A对任意的aR,存在00,x,使得00f xB若1x是 f x的极值点,则 f x在1,x 上单调递减C函数 f x的最大值为1ln 22aD若 f x有

6、两个零点,则e02a三三、填填空空题题：本本题题共共 4 4 小小题题，每每小小题题 5 5 分分，共共 2 20 0 分分.13 记等差数列 na的前n项和为nS，已知130S，570aa，则当nS取最大值时，n的值为14.已知函数 2lnf xxxax,成立使得0)(00 xfx,则实数a的最大值为_.15 设椭圆22122:1xyCab双曲线22222:1xyCmn共焦点1F，2F，离心率分别为1e，2e，其中212ee 设曲线1C，2C在第一、三象限的交点分别为点P，Q，若四边形12FQF P为矩形，则2e 16.若对任意的12,x xm,且12xx,都有122121lnln2xxxx

7、xx成立,则实数 m 的最小值为_.四四、解解答答题题：本本题题共共 6 6 小小题题，共共 7 70 0 分分解解答答应应写写出出必必要要的的文文字字说说明明、证证明明过过程程或或演演算算步步骤骤.17已知 na为等差数列，nb是公比为正数的等比数列，1121322,21,22ababba.(1)求 na和 nb的通项公式；(2)求数列nnab的前 n 项和.18已知抛物线22ypx（0p）的焦点为F，点02,Ay为抛物线上一点，且4AF.(1)求抛物线的方程；(2)不过原点的直线l：yxm与抛物线交于不同两点P，Q，若OPOQ，求m的值.第 2 页，共 2 页19.设函数 21ln(1)2

8、f xxaxa x，(1)若2a，求 f x在1x 处的切线方程；(2)若(1)f是 f x的极大值，求 a 的取值范围.20已知数列 na，若11a，且121nnaa.(1)求证：1na 是等比数列，并求出数列 na的通项公式；(2)若12nnnn ab，且数列21nnb b的前项和为nS，求证：1334nS.21已知函数 2e4 e2xxfxaax（e 为自然对数的底数，e2.71828）.(1)讨论 fx的单调性；(2)证明：当1a 时，7ln4.f xaa22已知点G是圆T：22(2)24xy上一动点（T为圆心），点H的坐标为2,0，线段GH的垂直平分线交线段TG于点R，动点R的轨迹为

9、曲线C(1)求曲线C的方程；(2)A0,2若 点坐标为，过点0,1D且斜率为k的直线l与曲线C交于M，N两点，直线1l为过点D且与AM平行的直线，设1l与直线52y 的交点为Q.证明：直线QN过定点.第 1 页青岛二中 20232024 学年第一学期期末考试高二试题（数学）参考答案：1A【分析】由导数几何意义可得答案.【详解】由题，1e11xfxf，即切线斜率为 1，则切线倾斜角为45.2A【分析】根据等差数列性质计算即可.【详解】在等差数列 na中，因为52167298240aaaaaaa，所以720a，所以 5678959687720aaaaaaaaaaa.3B【分析】求出两圆圆心距离即半

10、径后，可得位置关系，由位置关系可得公切线条数.【详解】由221:(3)9Cxy可知圆心为3,0，半径13r，由222:80Cxyy，即222:416Cxy，则圆心为0,4，半径24r，则两圆圆心距离为22345d，127rr，121rr，故1212rrdrr，即两圆相交，故公切线条数为 2 条.4D【分析】根据离心率得出双曲线渐近线方程，再由圆心到直线的距离及圆半径可求弦长.【详解】由5e，则222222215cabbaaa，解得2ba，所以双曲线的一条渐近线不妨取2yx，共 6 页则圆心(2,3)到渐近线的距离2|2 23|5521d，所以弦长2214 5|22 155ABrd.5A【分析】

11、先求得P点坐标，然后求得12FPF的角平分线所在的直线的方程.【详解】2228022,3311612xyxPxyy，直线l的斜率为12，由于直线1PF，2PF与 l 的夹角相等，则12FPF的角平分线所在的直线的斜率为2，所以所求直线方程为322,210yxxy.故选：A6.【答案】D【解析】【分析】利用函数 2ln xfxx在0,e上的单调性可得到b、c的大小关系，利用对数函数的单调性可得出a、b的大小关系，即可得出结论.【详解】构造函数 2ln xfxx，其中0 x，则 22 1 ln xfxx，当0ex时，()0fx，所以，函数 f x在0,e上单调递增，因为023e，则23ff，即2l

12、n22ln323，即3ln22ln3，所以，bc，因为ln3ln223，所以2ln33ln2，即ab.故cba.7.A【分析】根据题意可证得 nx是等比数列，再结合等比数列的求和公式运算求解.【详解】因为 1fxx，所以 21fxx，则12121nnnnnnnnfxxxxxxfxx，又11x，0nx，所以 nx是首项为11x，公比2q=的等比数列，则122112nnnS，令212024nnS ，则22025n，又因为2xy 在定义域内单调递增，且1011210242025,220482025，所以10n，所以最大正整数 n 的值为 10.8.B【解析】x R,都有 2fxf x成立,102fx

13、fx,令 2=xf xg xe,则于是有 22120 xxfxf xf xgxee,所以 g x在R上单调递增,ln42f,ln41g,不等式 21ln4xg xgfxeg x,ln4x,即不等式 2xfxe的解集是ln4,.故选 B9ABD【分析】利用直线过定点的求解方法求出定点即可判断 A；判断定点与圆的位置关系即可判断直线与圆的位置关系；利用相交弦最长的是直径即可判断 C；利用圆心2,0到直线l的距离为 1，再结合图形即可判断 D.【详解】将直线l的方程化为2220m xyy，令20220 xyy，解得11xy，所以直线l恒过定点1,1，选项 A 正确；圆22:40C xyx的方程化为2

14、224xy，圆心2,0，半径 2，直线l恒过定点1,1到圆心的距离为221 2122，所以定点1,1在圆 C 内，故而直线l与圆C必有两个交点，所以选项 B 正确；直线l与圆C的相交，相交弦最长的是直径，故而相交弦长的最大值为 4，所以选项 C 错误；当0m 时，直线:1l y，圆心2,0到直线l的距离为 1，如图所示，x 轴与圆的两个交点 O、B 到直线l的距离为 1；又因为圆半径为 2，所以直线2x 与圆的交点 A 到直线l的距离为 1，故而圆C上存在 3 个点到直线l距离等于 1，选项 D正确.故选：ABD10AC【分析】根据22sinpAB和点O到直线AB的距离公式结合OAB的面积是2

15、 2可得2p，8AB；由公式112AFBFp，1 cosPAF可得111AFBF，22AF.【详解】由题意得224sin4pABp，设直线l：2pyx即02pxy，则点O到直线AB的距离是2222411pp，所以1242 224pp，得2p，所以8AB，1121AFBFp，2(22)1 cos4PAF，所以 AC 正确，第 3 页故选：AC.11AD【分析】A 选项，根据11,12nnnS naSSn，求出 na是11,2a 为公比的等比数列，A 正确；B 选项，由 A 选项结合得到通项公式；C 选项，先得到 2na是以 1 为首项，4 为公比的等比数列，利用等比数列求和公式求出答案；D 选项

16、，先得到12nnnabn，从而分组求和.【详解】选项 A，由已知21nnSa，当1n 时，可得11a，当2n时，1121nnSa，两式相减得1122nnnnSSaa，即12nnaa，可得数列 na是11,2a 为公比的等比数列，故 A 正确；选项 B，由选项 A 可得112,1nnaaa，故1n1122nnaa，故 B 错误；选项 C，因为222114nnnnaaaa，故数列 2na是以 1 为首项，4 为公比的等比数列，所以222212321441211433nnnnaaaa，故 C 错误；选项 D，因为12n 1log,2nnnnban abn，所以2n1 21211 222nnn nnn

17、T，故 D 正确12.【答案】BD【解析】由题意知：0 x,21122axfxaxxx,当0a 时,()0fx,()f x单增,无最大值,故 C 错误；当0a 时,在10,2a上,()0,()fxf x单增；在1,2a上,()0,()fxf x单减；故max111()()ln222f xfaa,当11ln022a,即e2a 时,()f x无零点,故 A 错误；共 6 页若1x是 f x的极值点,则0a,112xa,故在1,2a单减,B 正确；若 f x有两个零点,则0a,且max111()()ln0222f xfaa,解得e02a,又0 x 时,()f x ,x 时,()f x ,此时 f x

18、有两个零点,D 正确.故选 BD.13.【答案】6【分析】利用等差数列 na前项和公式和等差数列 na数列的对称性，可得到6a 0，70a，从而得出结果.【详解】因为11377137131313022aaaaSa，57602aaa，所以6a 0，70a，na是递减数列，当16n时，0na，当7n 时，0na 当nS取最大值时，n的值为 6故答案为：6.14.【答案】1e【解析】）能成立，则，在（00ln2axxx令 ln xg xx则 221ln11 lnxxxxgxxx,令 0gx有ex,故当0,ex时 0gx,g x单调递增；当e,x时 0gx,g x单调递减,故 maxlne1eeegx

19、g,即实数a的最大值为1e15102【分析】利用椭圆和双曲线的定义得到12,PFPF，再根据122FPF，利用勾股定理求解.【详解】解：如图所示：由椭圆和双曲线的定义得12122,2PFPFa PFPFm，设12,PFs PFt，所以sam，tam，因为122FPF，所以222()()4amamc，即2222amc，得2212112ee，又因为212ee，解得2102e 故答案为：10216.【答案】1e【解析】由12,x xm,且12xx,可得210 xx,则122121lnln2xxxxxx等价于122121lnln2xxxxxx,即121212ln2ln2xxxxxx,所以1221(2)

20、ln(ln)2xxxx,故2121ln2ln2xxxx,令 ln2xfxx,则 21f xf x,因为21xxm,所以 fx在,m 上为单调递减函数,又由 2ln10 xfxx,解得1ex,所以1em,所以实数m的最小值为1e.17(1)*1,2,Nnnnanbn(2)1*2,NnnSnn【分析】（1）直接由等差数列、等比数列的基本量的计算算出公差，公比即可得解.（2）直接由等比数列公式法、错位相减法求和运算即可得解.【详解】（1）由题意设等差数列等比数列的公差公比分别为,0d q，则由题意有223,22 22dqd，解得1,2dq，所以 na和 nb的通项公式分别为1*211,2 22,Nn

21、nnnannbn.（2）设数列nnab的前 n 项和为nS，由（1）可得*1 2,Nnnnabnn，所以122 23 212nnSn，23122 23 21 2nnSn，两式相减得11211141 22 2221 241 221 2nnnnnnSnnn ，所以数列nnab的前 n 项和为1*2,NnnSnn.18(1)28yx(2)8【分析】（1）根据抛物线过点0(2,)Ay，且4AF，利用抛物线的定义求解；（2）设1122(,),(,)P x yQ xy，联立28yxmyx，根据OPOQ，由0OP OQ ，结合韦达定理求解.【详解】（1）由抛物线22(0)ypx p过点0(2,)Ay，且4A

22、F，得2442pp，所以抛物线方程为28yx；（2）由不过原点的直线l：yxm与抛物线交于不同两点P，Q设1122(,),(,)P x yQ xy，联立28yxmyx得22(28)0 xmxm，所以2228464320mmm，所以2m，所以2121282,xxm x xm因为OPOQ，所以0OP OQ ，则2121212121212()()2()0 x xy yx xxmxmx xm xxm，222(82)0mmmm，即280mm，解得0m 或8m ，又当0m 时，直线与抛物线的交点中有一点与原点O重合，不符合题意，故舍去；所以实数m的值为8.第 5 页19.【解析】（1）若2a，则 2lnf

23、 xxxx，所以 121,fxxx，故 10f，又 10f，所以 f x在1x 处的切线方程0y.（2）由题意，从而 1111axxfxaxaxx 当0a 时，10ax ，所以 001fxx，01fxx从而 f x在0,1上单调递增，在1,上单调递减，故1x 是 f x的极大值点，满足题意；当10a 时，11a，所以 001fxx或1xa，101fxxa ，故 f x在0,1上单调递增，在11,a上单调递减，在1,a上单调递增，从而1x 是 f x的极大值点，满足题意；当1a 时，210 xfxx，所以 f x在0,上单调递增，不合题意；当1a 时，101a，所以 100fxxa 或1x，10

24、1fxxa，从而 f x在10,a上单调递增，在1,1a上单调递减，在1,上单调递增，故1x 是 f x的极小值点，不合题意；综上所述，实数 a 的取值范围是1,.20(1)证明见解析，21nna(2)证明见解析【分析】（1）根据等比数列的定义结合递推关系式证明即可得结论，从而根据等比数列的通项公式求得数列 na的通项公式；（2）根据裂项相消法求解数列21nnb b的前项和为nS，再根据nS的单调性求最值即可得结论.【详解】（1）证明：121nnaa，1121 121nnnaaa 共 6 页又1120a ，1na是首项为 2，公比为 2 的等比数列，112 22nnna，21nna；（2）证明

25、：12nnnn ab，且结合（1）得nbn，2111 11222nnb bn nnn，11111111111111112324351122212nSnnnnnn31114212nn，10nnSS，nS是递增数列，又113S，11012nn，1334nS.21.【详解】（1）22 e4 e2e22e1xxxxfxaaa，当0a时，0fx，fx在,上单调递减；当0a 时，由()0fx可得2lnxa，故2lnxa时，()0fx，2lnxa时，()0fx，所以 fx在2,lna上单调递减，在2ln,a上单调递增.（2）由（1）知，min24()ln22ln22lnf xfaaa，只需证422ln22l

26、n7ln4aaaa，即证465ln2ln20aaa，设 465ln2ln2,1g aaaaa，则 2214451aagaaaa，故14a时，()0g x，4a时，()0g x，所以 g a在1,4上递减，在4,上递增，所以 49 12ln23 3ln16g ag，又33e2.716，故 0g a，即465ln2ln20aaa成立，所以原不等式成立.22.【详解】（1）由题意可知：2 62 2RTRHRTRG，所以动点 R 的轨迹是以,T H为焦点、长轴长为2 6的椭圆，6,2,2acb.故C的标准方程为22164xy.（2）设11,M x y，22,N xy，MN：1ykx.联立直线MN与椭圆

27、C的方程可得：2223690kxkx，则122122623923kxxkx xk，所以121223kx xxx，因为112AMDQykkx，则1l：1121yyxx，令52y ，解得11342xxy，所以1135,422xQy，故直线QN的方程为：22212152342yyyxxxxy，根据对称性，直线QN所过的定点在y轴上，不妨令0 x，则222211221122121510532334242xyxx yx yyyxxxx yxy将111ykx，221ykx代入得1212212121111053342kxkxxxxykxxxx所以12122121212121212223182315236239kx xxxxkx xxxykx xxxkx xxxx ，代入122623kxxk，122923x xk得，2222222296231818232329692392323kkxxkkykxkxkk ，故直线QN过定点0,2.