2024届高考数学专项练习圆锥曲线的方程及计算、证明、最值与范围问题含答案.pdf
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1、1圆锥曲线的方程及计算、证明、最值与范围问题圆锥曲线的方程及计算、证明、最值与范围问题1(2023江苏南通模拟)在平面直角坐标系xOy中,已知圆E:(x+2)2+y2=4和定点F(2,0),P为圆E上的动点,线段PF的垂直平分线与直线PE交于点Q,设动点Q的轨迹为曲线C.(1)求曲线C的方程;(2)设曲线 C 与 x 轴正半轴交于点 A,过点 T(t,0)(-1 t 0,b0)过点A(4 2,3),且焦距为10.(1)求C的方程;(2)已知点B(4 2,-3),D(2 2,0),E为线段AB上一点,且直线 DE交C于G,H两点证明:|GD|GE|=|HD|HE|.4已知圆M:(x+2)2+y2
2、=274的圆心为M,圆N:(x-2)2+y2=34的圆心为N,一动圆与圆N内切,与圆M外切,动圆的圆心E的轨迹为曲线C.(1)求曲线C的方程;(2)已知定点P32,0,过点N的直线l与曲线C交于A,B两点,证明:APN=BPN.35在ABC中,A,B的坐标分别是(-2,0),(2,0),点G是ABC的重心,y轴上一点M满足GMAB,且|MC|=|MB|.(1)求ABC的顶点C的轨迹E的方程;(2)直线 l:y=kx+m 与轨迹 E相交于 P,Q 两点,若在轨迹 E上存在点 R,使得四边形 OPRQ 为平行四边形(其中O为坐标原点),求m的取值范围6(2023广东广州二模)已知点F(1,0),P
3、为平面内一动点,以PF为直径的圆与y轴相切,点P的轨迹记为C.(1)求C的方程;(2)过点F的直线l与C交于A,B两点,过点A且垂直于l的直线交x轴于点M,过点B且垂直于l的直线交x轴于点N.当四边形MANB的面积最小时,求直线l的方程4综合测试综合测试1(2023全国甲卷)已知直线x-2y+1=0与抛物线C:y2=2px(p0)交于A,B两点,且|AB|=4 15.(1)求p;(2)设C的焦点为F,M,N为C上两点,MF NF=0,求MNF面积的最小值2(2023新课标卷)在直角坐标系xOy中,点P到x轴的距离等于点P到点 0,12的距离,记动点P的轨迹为W.(1)求W的方程;(2)已知矩形
4、ABCD有三个顶点在W上,证明:矩形ABCD的周长大于3 3.53已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的离心率为32,且过点3,12.(1)求椭圆C的方程;(2)椭圆C与x轴相交于A,B两点,P为椭圆C上一动点,直线PA,PB与直线x=3交于M,N两点,设PMN与PAB的外接圆的半径分别为r1,r2,求r1r2的最小值强化训练强化训练1(2023山东菏泽二模)在平面直角坐标系xOy中,已知点A(-3,0),点P为动点,点Q为线段PA的中点,直线PA与直线OQ的斜率之积为-59.(1)求动点P的轨迹C的方程;(2)设过点F(-2,0)且不与坐标轴垂直的直线 l与C交于M,N两点,线段MN
5、的垂直平分线与 x轴交于点B,若点B的横坐标xB-13,求|MN|的取值范围62(2023唐山二模)已知抛物线C:y2=2px(p0)的焦点为F,A为C上一点,B为准线l上一点,BF=2FA,|AB|=9.(1)求抛物线C的方程;(2)M,N,E(x0,-2)是C上的三点,若kEM+kEN=-43,求点E到直线MN距离的最大值3(2023辽宁实验中学模拟)已知一动圆与圆E:(x+3)2+y2=18外切,与圆F:(x-3)2+y2=2内切,该动圆的圆心的轨迹为曲线C.(1)求曲线C的标准方程;(2)直线l与C交于A,B两点,点P在线段AB上,点Q在线段AB的延长线上,从下面中选取两个作为已知条件
6、,证明另外一个成立P(8,1);|AP|BQ|=|BP|AQ|;Q是直线l与直线x-y-1=0的交点注:如果选择不同的组合分别解答,按第一个解答计分74(2023江苏南通二模)已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(ab0)的离心率为22,焦距为2,过E的左焦点F的直线l与E交于A,B两点,与直线x=-2交于点M.(1)若M(-2,-1),求证:|MA|BF|=|MB|AF|;(2)过点 F 作直线 l 的垂线 m 与 E 相交于 C,D 两点,与直线 x=-2 相交于点 N.求1|MA|+1|MB|+1|NC|+1|ND|的最大值5设A(2,n)是抛物线E:x2=4y上一点,不过点A的直线l交E
7、于M,N两点,F为E的焦点(1)若直线l过点F,求1|FM|+1|FN|的值;(2)设直线AM,AN和直线l的斜率分别为k1,k2和k,若k1+k2=2,求k的值86已知抛物线C:x2=2py(p0)的焦点为F,且F与圆M:x2+(y+4)2=1上点的距离的最小值为4.(1)求p;(2)若点P在M上,PA,PB是C的两条切线,A,B是切点,求PAB面积的最大值1圆锥曲线的方程及计算、证明、最值与范围问题圆锥曲线的方程及计算、证明、最值与范围问题1(2023江苏南通模拟)在平面直角坐标系xOy中,已知圆E:(x+2)2+y2=4和定点F(2,0),P为圆E上的动点,线段PF的垂直平分线与直线PE
8、交于点Q,设动点Q的轨迹为曲线C.(1)求曲线C的方程;(2)设曲线 C 与 x 轴正半轴交于点 A,过点 T(t,0)(-1 t 1)的直线 l 与曲线 C 交于点 M,N(异于点A),直线MA,NA与直线x=t分别交于点G,H.若F,A,G,H四点共圆,求实数t的值解:(1)因为点Q在线段PF的中垂线上,所以|QP|=|QF|,故|QE|-|QF|=|QP|EP|-|QF|=|2|=20,且y1+y2=-6mt3m2-1,y1y2=3t2-33m2-1.因为F,A,G,H四点共圆,所以HAF+HGF=,又HAF+TAH=,所以TAH=TGF,故RtTAHRtTGF,所以|TH|TA|=|T
9、F|TG|,即|TA|TF|=|TH|TG|,所以(1-t)(2-t)=|yG|yH|.又直线AM:y=y1x1-1(x-1),令x=t,得yG=(t-1)y1x1-1,同理,yH=(t-1)y2x2-1,故|yGyH|=(t-1)2y1y2(x1-1)(x2-1)=(t-1)2y1y2(my1+t-1)(my2+t-1)2=(t-1)23t2-33m2-1m23t2-33m2-1+m(t-1)-6mt3m2-1+(t-1)2=(t-1)23(t+1)-(t-1)=3|t2-1|=3(1-t2),其中-1t0,所以k0,则x1+x2=2k2+4k2,x1x2=1.又|AF|=x1+1,|BF|
10、=x2+1,所以|AF|BF|=(x1+1)(x2+1)=x1x2+(x1+x2)+1=4+4k2=4(1+k2)k2,因为OPl,则可设OP的方程为y=kx,联立y=kx,y2=4x,消去y得k2x2-4x=0,解得x=0或x=4k2,所以P4k2,4k,因为直线OP与直线x=1交于点Q,则Q(1,k),故M4+k22k2,4+k22k,所以|OM|2=4+k22k2)2+4+k22k2=(1+k2)(4+k2)24k4,3|PQ|2=4k2-12+4k-k2=(1+k2)(4-k2)2k4,所以4|OM|2-|PQ|2=(1+k2)(4+k2)2k4-(1+k2)(4-k2)2k4=16(
11、1+k2)k2,所以|AF|BF|4|OM|2-|PQ|2=4(1+k2)k216(1+k2)k2)=14.3(2023四省联考)已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)过点A(4 2,3),且焦距为10.(1)求C的方程;(2)已知点B(4 2,-3),D(2 2,0),E为线段AB上一点,且直线 DE交C于G,H两点证明:|GD|GE|=|HD|HE|.解:(1)由题意可得32a2-9b2=1,2 a2+b2=10,故a=4,b=3,所以C的方程为x216-y29=1.(2)证明:设E(4 2,t)(|t|3),G(x1,y1),H(x2,y2),因为双曲线的渐近线方程为y=34
12、x,故当直线DE与渐近线平行时,和双曲线仅有一个交点,此时直线DE的方程为y=34(x-2 2),令x=4 2,则y=3 22,故|t|3 22.则直线DE:y=t2 2(x-2 2)由y=t2 2(x-2 2),x216-y29=1,得(9-2t2)x2+8 2t2x-16t2-144=0,所以x1+x2=8 2t22t2-9,x1x2=16t2+1442t2-9.GD HE-GE DH=(2 2-x1,-y1)(4 2-x2,t-y2)-(4 2-x1,t-y1)(x2-2 2,y2)=2x1x2+2y1y2-6 2(x1+x2)-t(y1+y2)+32=2+t24x1x2-3 24t2+
13、6 2(x1+x2)+4t2+32=4(t2+8)(t2+9)2t2-9-4t2(3t2+24)2t2-9+4t2+32=0,所以GD HE=GE DH,所以|GD|HE|cos0=|GE|DH|cos0,即|GD|GE|=|HD|HE|.4已知圆M:(x+2)2+y2=274的圆心为M,圆N:(x-2)2+y2=34的圆心为N,一动圆与圆N内切,与圆M外切,动圆的圆心E的轨迹为曲线C.(1)求曲线C的方程;4(2)已知定点P32,0,过点N的直线l与曲线C交于A,B两点,证明:APN=BPN.解:(1)如图,设圆E的圆心坐标为(x,y),半径为r,则|EM|=r+3 32,|EN|=r-32
14、,所以|EM|-|EN|=2 3|MN|.由双曲线定义可知,E的轨迹是以M,N为焦点,实轴长为2 3 的双曲线的右支,所以曲线C的方程为x23-y2=1,x3.(2)证明:由题意可知,直线l的斜率不为0,设A(x1,y1),B(x2,y2),直线l的方程为x=my+2,由于直线l与曲线C交于两点,故-3 m0,且x1+x2=-2kmk2+3,x1x2=m2-6k2+3.因为四边形OPRQ为平行四边形,所以线段PQ的中点即为线段OR的中点,所以点R的坐标为(x1+x2,y1+y2),整理得R-2kmk2+3,6mk2+3(m0)由点R在椭圆上,所以-2kmk2+322+6mk2+326=1,整理
15、得2m2=k2+3.将代入得m20恒成立,由得2m23,所以m62或m-62,所以m的取值范围为-,-62 62,+.6(2023广东广州二模)已知点F(1,0),P为平面内一动点,以PF为直径的圆与y轴相切,点P的轨迹记为C.(1)求C的方程;(2)过点F的直线l与C交于A,B两点,过点A且垂直于l的直线交x轴于点M,过点B且垂直于l的直线交x轴于点N.当四边形MANB的面积最小时,求直线l的方程解:(1)设P(x,y),则以PF为直径的圆的圆心为x+12,y2,根据圆与y轴相切,可得x+12=12|PF|=12(x-1)2+y2,化简得y2=4x,所以C的方程为y2=4x.(2)由题意可知
16、,直线l的斜率存在且不为0,设直线l:y=k(x-1),A(x1,y1),B(x2,y2),联立y=k(x-1),y2=4x,消去y,得k2x2-2(k2+2)x+k2=0,所以x1+x2=2(k2+2)k2,x1x2=1,6所以|AB|=x1+x2+2=2(k2+2)k2+2=4k2+4k2,设直线l的倾斜角为,则|AM|=|AF|tan|,|BN|=|BF|tan|,所以|AM|+|BN|=|AF|tan|+|BF|tan|=|AB|tan|=|AB|k|,由题意可知四边形MANB为梯形,所以四边形MANB的面积S=12|AB|(|AM|+|BN|)=|AB|2|k|2=8(k2+1)2|
17、k|3=8(k4+2k2+1)|k|3,设t=|k|0,则S(t)=8(t4+2t2+1)t3=8 t+2t+1t3,所以S(t)=8 1-2t2-3t4=8t4-2t2-3t4=8(t2+1)(t-3)(t+3)t4,令S(t)=0,得t=3,当t3 时,S(t)0,S(t)单调递增,当0t3 时,S(t)0)交于A,B两点,且|AB|=4 15.(1)求p;(2)设C的焦点为F,M,N为C上两点,MF NF=0,求MNF面积的最小值解:(1)设A(xA,yA),B(xB,yB),由x-2y+1=0,y2=2px,可得y2-4py+2p=0,所以yA+yB=4p,yAyB=2p,所以|AB|
18、=(xA-xB)2+(yA-yB)2=5|yA-yB|=5(yA+yB)2-4yAyB=5 16p2-8p=4 15,即2p2-p-6=0,因为p0,解得p=2.(2)因为F(1,0),显然直线MN的斜率不可能为零,设直线MN:x=my+n,M(x1,y1),N(x2,y2),由y2=4x,x=my+n,可得y2-4my-4n=0,所以y1+y2=4m,y1y2=-4n,=16m2+16n0m2+n0,7因为MF NF=0,所以(x1-1)(x2-1)+y1y2=0,即(my1+n-1)(my2+n-1)+y1y2=0,即(m2+1)y1y2+m(n-1)(y1+y2)+(n-1)2=0,将y
19、1+y2=4m,y1y2=-4n代入,得4m2=n2-6n+1,4(m2+n)=(n-1)20,所以n1,且n2-6n+10,解得n3+2 2 或n3-2 2.设点F到直线MN的距离为d,所以d=|1-n|1+m2),|MN|=1+m2|y1-y2|=1+m2 16m2+16n=1+m2 4(n2-6n+1)+16n=2 1+m2|n-1|,所以MNF的面积S=12|MN|d=122 1+m2|n-1|1-n|1+m2)=(n-1)2,而n3+2 2 或n3-2 2,所以当n=3-2 2 时,MNF的面积取得最小值,Smin=(2-2 2)2=12-8 2.2(2023新课标卷)在直角坐标系x
20、Oy中,点P到x轴的距离等于点P到点 0,12的距离,记动点P的轨迹为W.(1)求W的方程;(2)已知矩形ABCD有三个顶点在W上,证明:矩形ABCD的周长大于3 3.解:(1)设P(x,y),则|y|=x2+y-122,两边同时平方,化简得y=x2+14,故W的方程为y=x2+14.(2)证法一:不妨设A,B,D在W上,且ABAD,依题意可设A a,a2+14,易知直线AB,AD的斜率均存在且不为0,则设AB,AD的斜率分别为k和-1k,由对称性,不妨设|k|1,直线AB的方程为y=k(x-a)+a2+14,联立y=x2+14,y=k(x-a)+a2+14,得x2-kx+ka-a2=0,=k
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