（趣味数学）第三讲 分解质因数--2023-2024学年五年级下册数学思维拓展含答案.pdf

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1、教室装饰中的数学问题教室装饰中的数学问题 六一儿童节快要到了，班委的同学聚在一起商量如何装饰教室，班长刘小娟说：“我们剪一些小彩旗吧，最宽的41米，最窄的51米，中间再剪 4 面不同宽度的，肯定非常漂亮。”大家都非常赞同这个建议。这时张山同学问：“那中间的 4 面彩旗分别应该是多宽呢？”小乐说：“我们只要能找出 4 个小于41而大于51的分数来就可以了。”大家想了半天，都说：“这样的太难找了。”这时刘小娟说：“我找到了。”同学们，你们知道刘小娟找到的是哪些数吗？分析：将41和51通分为10025和10020，大于10020小于10025的同分母分数有10021，10022，10023，1002

2、4，所以中间 4 面彩旗的宽度分别是10021米，10022米，10023米，10024米。答案：4 面彩旗的宽度分别是10021米，10022米，10023米，10024米。小试牛刀：同学们看了上面的解决方法，你觉得41和51之间能找到多少个分数？自己动手试一试吧？一个自然数的因数中，为质数的因数叫做这个数的质因数。把一个合数，用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。例如：24=2223，75=355。我们数学课本上介绍的分解质因数，是为求最大公约数和最小公倍数服务的。其实，把一个数分解成质因数相乘的形式，能启发我们寻找解答许多难题的突破口，从而顺利解题。第三讲第三讲 分解质因数分解质因

3、数 板块一：趣味数学 板块二：知识精讲板块二：知识精讲（趣味数学）第三讲 分解质因数-2023-2024学年五年级下册数学思维拓展 【例题【例题 1 1】（老师可以先引入：小明一家四兄弟，大哥叫大毛，二哥叫二毛，三哥叫三毛，那老四叫什么？）大毛、二毛、三毛、小明四个人，他们的年龄一个比一个大2岁，他们四个人年龄的乘积是48384。问他们四个人的年龄各是几岁？【分析】题中告诉我们，48384是四个人年龄的乘积，只要我们把48384分解质因数，再按照每组相差 2 来分成四个数相乘，这四个数就是四个人的年龄了。【详解】4838428337=(223)(27)24(232)=12 14 16 18=，

4、由此得出这四个人的年龄分别是 12岁、14 岁、16 岁、18 岁。答：这四个人的年龄分别是 12 岁、14 岁、16 岁、18 岁。【点睛】由题意可知，这四个数是相差 2 的四个整数。它们的积是偶数，当然这四个数不是奇数，一定是偶数。又因为48384的个位数字不是 0，显然这四个数中，没有个位数字是 0 的，那么这四个数的个位数字一定是 2、4、6、8.又因为41048384，而44838420，所以只有 4 种可能，即33331 33333 111111 30333 101=由于21000mabcd=，故30m，所以()()260nmnmm+=；又2(3)(3)(3)(3)10000nab

5、cd=+，所以100n，故()()2200nmnmn+=且101 33200+，所以101nm+=，33nm=，得34m=，原来的四位数为2341156=练习四练习四 12、7、11、17【分析】如果若干个数的和一定，那么拆的数越多（不能有 1）则积越大，并可推出拆出的数（1 除外）越多，积越大【详解】假设 37 拆成的是五个质数的和，那么最小的五个质数和为 3+5+7+11+13=39，大于 37，所以37 不能拆成五个质数的和不难发现，五个质数中，如有一个为 2 是偶数，剩下的四个必为奇数，而其和为偶数，2 与四个质数的和也必为偶数，37 是奇数，所以不能取从 2 开始的五个最小质数，当取

6、 3、5、7、11、13 这五个质数时和就大于 37 了，所以六个以上质数的和更不可能为 37 假设把 37 拆成是四个不同质数的和，而四个质数中必有一个取 2，否则四个奇数的和为偶数，不可能得到 和为 37，这样剩下三个数的和为 372=35，拆的方法有下列几种：37=2+7+5+23 相对应的积为 27523=1610 37=2+5+11+19 相对应的积为 251119=2090 37=2+5+13+17 相对应的积为 251317=2210 37=2+7+11+17 相对应的积为 271117=2618 37=2+3+13+19 相对应的积为 231319=1482 在这五组不同的拆分

7、方法中，不难发现 271117=2618 的乘积最大，并且我们发现，这四个数是符合条件的相差最小的数，更证明了在和一定的情况下，拆成的数越多（l 除外），越接近，则乘积越大这一经验性常识 这样，把 37 拆成三个不同质数的和两个不同质数的和的乘积均不会大于 2618，所以也不必再试验了 当把 37 拆成 2、7、11、17 这四个数的和时，乘积最大 37=2+7+11+17 271117=2618 答：这几个质数分别为 2、7、11、17 2共有三种分法，即：分成 13 队，每队 110 人；分成 11 队，每队 130 人；分成 10 队，每队 143 人【分析】按题意，每队人数队数=143

8、0，每队人数在 100 至 200 之间，所以问题相当于求 1430 有多少个在 100 至 200 之间的约数为此，先把 1430 分解质因数：1430=251113 从这四个质数中选若干个，使其乘积在 100 到 200 之间，这是每队人数，其余的质因数之积便是队数【详解】解：1430=251113 2511=110，13 2513=130，11 1113=143，25=10 所以共有三种分法，即：分成 13 队，每队 110 人；分成 11 队，每队 130 人；分成 10 队，每队 143 人 36【详解】解法一：由于 a，b 为正整数，要求 a+b 的最小值因此我们可以从最小的正整数

9、开始试验a=1，b=1；a=1，b=2；a=1，b=3a=2，b=1；a=2，b=2；a=2，b=3a=3，b=1；a=3，b=2；a=3，b=3不难得出当 a=3，b=3 时，24a+168b 为 24 的平方，则 a+b 的最小值是 6 解法二：24a+168b=2223（a+7b），又 a，b 为正整数，则 a+7b8，要使 2223（a+7b）是完全平方数，则 a+7b 必有因数 6K，K 是正整数要使 a+b 的值最小，则 K 应该最小因此 K=2，当K=2 时，a+7b=24 即当 a=3，b=3 时，a+b 的值最小是 6，此时 24a+168b 是 24 的平方 【点睛】解法一的弊端是：如果 a+b 的最小值很大，显然这种方法是不太好的