江苏南京师范大学附属中学2024届高三寒假模拟测试数学试题含答案.pdf

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1、 学科网（北京）股份有限公司 2023-2024 学年南京师大附中高三年级寒假模拟测试学年南京师大附中高三年级寒假模拟测试 数 学 2024.2 本试卷共 19 题，满分 150 分，考试时间 120 分钟 注意事项：1答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2请将答案正确填写在答题卡上 第第 I I 卷卷（选择题选择题）一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1已知集合1|i,innAz zn=+N，则A的元素个数为（）A1 B2 C3 D4 2用数学归纳法证明：()111212322nnf n+=+（*nN）的过程中

2、，从nk=到1nk=+时，()1f k+比()f k共增加了（）A1 项 B21k项 C12k+项 D2k项 3已知函数()22f xxaxb=+，若 a，b都是区间0,4内的数，则使得()10f成立的概率是（）A78 B58 C38 D18 4已知正三棱台111ABCABC的上，下底面边长分别为 2 和 6，侧棱长为 4，以下底面顶点A为球心，2 7为半径的球面与侧面11BCC B的交线长为（）A23 B C43 D2 5设13sin0.2,0.16,ln22abc=，则（）Aacb Bbac Ccba Dcab 617 到 19 世纪间，数学家们研究了用连分式求解代数方程的根，并得到连分式

3、的一个重要功能：用其逼近实数求近似值例如，把方程210 xx=改写成11xx=+，将x再代入等式右边得到1111xx=+，继续利用式将x再代入等式右边得到111111xx=+反复进行，取1x=时，由此得到数列1，111+，11111+，1111111+，记作 na，则当n足够大时，na逼近实数152+数列 na的前 2024 项中，满足150.0052na+和2222xyab+=（0,0ab且1）则称1C和2C为相似椭圆己知椭圆222212:1,:(01)4343xyxyCC+=+=时，111ln(1)1xxx+，则（）A19109e98 B11ln91ln1029+C910()9!e D01

4、9222999019CCC()()()e999+，则点P的轨迹与直线yk=（k为常数）有且仅有 2 个公共点.第第 IIII 卷（非选择题）卷（非选择题）学科网（北京）股份有限公司 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.12若事件 A，B 发生的概率分别为()12P A=，()23P B=，且 A 与 B相互独立，则()P AB=13已知集合N 232Mxx=，则M的非空子集的个数是 14如图，在四棱柱1111ABCDABC D中，底面 ABCD为正方形，4AB=，11ABBC=，11BBBD，且二面角111BBDC的正切值为2若点 P在底面 ABCD上运动，点 Q在四棱

5、柱1111ABCDABC D内运动，122DQ=，则1PBPQ+的最小值为 四、解答题:本题共 5 小题,共 77 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.15（13 分）已知函数()lg1f xx=(1)解关于 x的不等式：()1f x 的短轴长为3，右顶点到右焦点的距离为12.(1)求椭圆C的标准方程；(2)如图所示，设点A是椭圆C的右顶点.过点()3,0的直线l与椭圆C相交于不同的两点,E F，且都在x轴的上方.在x轴上是否存在点P，使APEOPF=，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.18（17 分）如图所示，四边形ABCD为正方形，四边形ABFE，CDEF为两个全等的

6、等腰梯形，4AB=，EFAB，2ABEF=，3EAEDFBFC=学科网（北京）股份有限公司 (1)当点N为线段AD的中点时，求证：ADFN；(2)当点N在线段AD上时（包含端点），求平面BFN和平面ADE的夹角的余弦值的取值范围 19（17 分）在平面直角坐标系xOy中，若在曲线1C的方程(),0F x y=中，以(),xy（为非零的正实数）代替(),x y得到曲线2C的方程(),0Fxy=，则称曲线1C、2C关于原点“伸缩”，变换()(),x yxy称为“伸缩变换”，称为伸缩比.（1）已知1C的方程为22194xy=，伸缩比2=，求1C关于原点“伸缩变换”所得曲线2C的方程；（2）射线l的方

7、程22yx=（0 x），如果椭圆1C：221164xy+=经“伸缩变换”后得到椭圆2C，若射线l与椭圆1C、2C分别交于两点AB，且2AB=，求椭圆2C的方程；（3）对抛物线1C：212yp x=，作变换()()11,x yxy，得抛物线2C：222yp x=；对2C作变换()()22,x yxy得抛物线3C：232yp x=，如此进行下去，对抛物线nC：22nyp x=作变换()(),nnx yxy，得1nC+：212nypx+=若11p=，12nn=，求数列np的通项公式np.备选题：20某款游戏预推出一项皮肤抽卡活动，玩家每次抽卡需要花费 10 元，现有以下两种方案方案一：没有保底机制，

8、每次抽卡抽中新皮肤的概率为1p；方案二：每次抽卡抽中新皮肤的概率为2p，若连续 99 次未抽中，则第 100 次必中新皮肤已知2101pp，玩家按照一、二两种方案进行抽卡，首次抽中新皮肤时的累计花费为 X，Y（元）(1)求 X，Y的分布列；(2)求()E X；(3)若1220.02pp=，根据花费的均值从游戏策划角度选择收益较高的方案（参考数据：1000.990.37）学科网（北京）股份有限公司 2023-2024 学年南京师大附中高三年级寒假模拟测试学年南京师大附中高三年级寒假模拟测试 数 学 学 科 参 考 答 案 第第 I I 卷卷（选择题选择题）一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5

9、 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1 2 3 4 5 6 7 8 C D C C D D B B 二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得 6 分，部分选对得部分分，有错选得 0 分.9 10 11 ACD ACD AD 第第 IIII 卷（非选择题）卷（非选择题）三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.12.56 13.7 14.282 四、解答题:本题共 5 小题,共 77 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.15.（1）由题意可知lg111lg1 1

10、xx ，即()0lg1lg2lg1001,100 xx=；（2）因为()()f af b=，所以lg1lg1ab=，不妨设ab，由对数函数的性质可知10ab，设()()()1122,0E x yF xyP m，则2212122224363,3434kkxxx xkk+=+.APEOPF=，()()()()()()122112121233PEPFk xxmk xxmyykkxmxmxmxm+=+=()()()()()()()22221212121272624362363434kkmmx xmxxmkkkkxmxmxmxm+=()()()2222212726722418240.34kkmkmmkk

11、xmxmk+=+11860,3mm=.存在P点满足条件.P点坐标为1,03.18.（1）因为点N为线段AD的中点，且EAED=，所以ADEN，因为EFAB，且四边形ABCD为正方形，故ADAB，所以ADEF，而,ENEFE EN EF=平面EFN，故AD 平面EFN，又FN 平面EFN，所以ADFN；（2）设正方形ABCD的中心为O，分别取,AB BC EF的中点为,P Q S，设点H为线段AD的中点，由（1）知,E F H Q四点共面，且AD 平面EFH，连接OS，OS 平面EFH，故ADOS，又AD平面ABCD，故平面ABCD平面EHQF，且平面ABCD平面EHQFHQ=，学科网（北京）股

12、份有限公司 由题意可知四边形EHQF为等腰梯形，故OSHQ，OS 平面EHQF，故OS 平面ABCD，故以O为坐标原点，,OP OQ OS 为,x y z轴建立空间直角坐标系，因为4AB=，则(2,2,0),(2,2 0)(2 2 0)(2),2,0ABCD，又2ABEF=，故2EF=，设EF到底面ABCD的距离为h，四边形ABFE，CDEF为两个全等的等腰梯形，且EFAB，故()()0,1,0,1,EhFh，又3EAEDFBFC=，故222213,2hh+=，则()()0,1,2,0,1,2EF，()()()()2,1,2,4,0,0,2,1,2,0,4,0AEADBFBA=，设(),0,1

13、,4,4,0ANADBNBAANBAAD=+=+=，设平面BFN的一个法向量为(),nx y z=，则220440n BFxyzn BNxy=+=，令2x=，()2,2,2n=，设平面ADE的一个法向量为(),ma b c=，则40220m ADam AEabc=+=，令1c=，()0,2,1m=，故22223233cos,54855548m nn mmn+=+，令22 5,33 3mm=+，则223cos,321165539mn mmm=+，令13 3,5 2ttm=，则231cos,116325593n mtt=+，学科网（北京）股份有限公司 令()211632593f ttt=+，则()

14、f t在3 3,5 2上单调递增，故当35t=时，()min381525f tf=，当32t=时，()max3182f tf=，故105cos,103n m，即平面BFN和平面ADE的夹角的余弦值得取值范围为105,103 19.（1）由条件得()()2222194xy=，得2C：22194xy=；（2）2C、1C关于原点“伸缩变换”，对1C作变换()(),x yxy（0），得到222221164xyC+=，解方程组()222021164yx xxy=+=得点A的坐标为4 3 2 6,33；解方程组()22222021164yx xxy=+=得B点的坐标为4 3 2 6,33；222 214

15、34 32 62 623333AB=+=，化简后得23840+=，解得12=，223=，因此椭圆2C的方程为2214xy+=或221369xy+=.（3）对nC：22nyp x=作变换()(),nnx yxy得抛物线1nC+：()22nnnypx=，得22nnpyx=，又212nypx+=，1nnnpp+=，即112nnnnpp+=，2313124123212 222nnnnnpppppppppp=，则()()111 2 312122n nnnpp+=，11p=，()1122n nnp=.20.（1）X可取值10,20,30,，Y可取值10,20,1000，当Xk=时，摸球次数为10k，没有抽

16、中新皮肤的概率为11p，学科网（北京）股份有限公司 故()()110111kP Xkpp=，*10kN，()()()1*10229921,990101,1000kkppkP Ykpk=N（2）令()1111nttAtp=，则()()11111nttpAtp=，故()()()()211111111111nnp Apppnp=+，整理得到()()1111111nnpp Anpp=，所以()()11211111nnpnpApp=，若玩家按方案一抽卡，花费k元时抽到皮肤，则抽取次数为10k，而()()110111sP Xspp=，其中*N10s，sk.则()()()101011101011111111

17、0110kksssssE Xspppp=()()101101111101kkpkpp=，因为玩家按方案一抽卡次数无限制，且当n +时，()10110kkp，()10110kp，所以()110E Xp=.（3）1220.02pp=，即120.02,0.01pp=，由（2）可得故()105000.02E X=；若玩家按方案二抽卡，则Y可取值10,20,1000，且()1100.01 0.99iP Yi=，其中10,20,990i=，()9910000.99P Y=，故()()9999111000 0.99100.01 0.99kkE Yk=+，学科网（北京）股份有限公司()99110.10.99kkk=99999921 0.9999 0.990.11000 0.990.010.01=+()9999991000 1 0.99990 0.991000 0.99=+991000990 0.99=0.3710009906300.99 因为()()E XE Y，故选择方案二