2024高中数学256个选择题解题公式.pdf

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1、 学科网（北京）股份有限公司 第 1 页 共 30 页 高中数学高中数学 256256 个个选择满分选择满分解题公式解题公式 第一章第一章 集合集合 1 1、有限集合子集个数：子集个数：有限集合子集个数：子集个数：2n个，真子集个数：个，真子集个数：12n个；个；2 2、集合里面重要结论：、集合里面重要结论：ABAAB=；ABABA=；ABAB;ABAB=3 3、同时满足求交集，分类讨论求并集、同时满足求交集，分类讨论求并集 4 4、集合元素个数公式、集合元素个数公式：()()()()n ABn An Bn AB=+5 5、常见的数集：、常见的数集：Z：整数集；：整数集；R：实数集；：实数集；

2、Q：有理数集；：有理数集；N：自然数集；：自然数集；C：复数：复数集；其中正整数集：集；其中正整数集：1,2,3,ZN=6 6、均值不等式：、均值不等式：若若,0a b 时，则时，则2;abab+若若,0a b；2(0)baabab+恒成立恒成立00a (2)(2)若若20axbxc+恒成立恒成立00a；min,()()xI af xaf x。1515、存在性问题：、存在性问题：min,()()xI af xaf x；max,()()xI af xaf x。1616、距离型目距离型目标函数标函数:22()()dxayb=+可行域内的点可行域内的点(,)x y到定点到定点(,)a b的距离；的距

3、离；1717、斜率型目标函数、斜率型目标函数:ybkxa=可行域内的点可行域内的点(,)x y到定点到定点(,)a b的斜率；的斜率；学科网（北京）股份有限公司 第 3 页 共 30 页 1818、线性型目标函数、线性型目标函数:zaxby=+过可行域内的点过可行域内的点(,)x y且斜率为且斜率为ba的的直线截距的直线截距的b倍；倍；1919、p是是q充分不必要条件：充分不必要条件：,pq qp/；则集合关系是：；则集合关系是：pq 2020、p是是q必要不充分条件：必要不充分条件：,qp pq/；则集合关系是：；则集合关系是：qp 2121、p是是q既不充分也不必要条件：既不充分也不必要条

4、件：,pq qp/；则集合关系是：；则集合关系是：,p q无包含关系 2222、p是是q充要条件：充要条件：,pq qp；则集合关系是：；则集合关系是：pq=2323、全称命题及否定形式：、全称命题及否定形式：00:,();:,();PxMp xPxMp x 2424、特称命题及否定形式：、特称命题及否定形式：00:,();:,();PxMp xPxMp x 第二章第二章 函数函数 2 25 5、几个近似值：、几个近似值：21.414,31.732,52.236,3.142,2.718e 2626、指数公式、指数公式 (1)(1)nmnmaa=(2)(2)nnanaan=为偶数为奇数 2727

5、、对数公式、对数公式 (1).(1).NxNaaxlog=(2).(2).NaNa=log (3).(3).NMMNaaaloglog)(log+=(4).(4).NMNMaaaloglog)(log=学科网（北京）股份有限公司 第 4 页 共 30 页(5).(5).MnManaloglog=(6).(6).nana=log (7).(7).1log=aa (8).(8).01log=a (9).loglognmaanbbm=log(10).loglogcacbba=1(11).loglogabba=(12).logloglog1abcbca=2828、函数、函数定义域定义域的求法的求法 (

6、1).(1).分式的分母分式的分母0；(2).(2).偶次方根的被开方数偶次方根的被开方数0；(3).(3).对数函数的真数对数函数的真数0；(4).0(4).0 次幂的底数次幂的底数0；(5).(5).正切函数的自变量正切函数的自变量2k+；(6).(6).满足几个条件时列不等式组的求交集；满足几个条件时列不等式组的求交集；2929、增函数的标志：增函数的标志：任意任意12xx12()()f xf x；3030、减函数的标志：减函数的标志：任意任意12xx；导函数；导函数()0fx：1212()()0f xf xxx；min,()()xD af xaf x 6 61 1、不等式存在性、不等式

7、存在性：min,()()xD af xaf x；max,()()xD af xaf x 6262、不等式相同性：不等式相同性：学科网（北京）股份有限公司 第 9 页 共 30 页 任意任意xD，证明：，证明：()()f xg xmin()()()0()0h xf xg xh x=存在存在xD，证明：，证明：()()f xg xmin()()()0()0h xf xg xh x=6363、不等式相异性：不等式相异性：任意任意12,x xD，证明：，证明：12maxmin()(),()()f xg xxD f xg x 6 64 4、函数有零点、函数有零点minmax()0()0f xf x 6

8、65 5、函数无零点、函数无零点maxmin()0()0f xf x或 6666、抽象函数对数型：、抽象函数对数型：若若()()()f xyf xf y=+，则，则()logaf xx=；6767、抽象函数指数型：、抽象函数指数型：若若()()()f xyf x f y+=，则，则()xf xa=；6868、抽象函数正比型：、抽象函数正比型：若若()()()f xyf xf y+=+，则，则()f xkx=；6969、抽象函数一次型：、抽象函数一次型：若若()fxc=，则，则()f xcxb=+；7 70 0、抽象函数导数型：、抽象函数导数型：若若()()fxf x=，则，则()xf xke=

9、或或()0f x=;7 71 1、指数不等式：、指数不等式：1(0)xexx+=当且仅当时“”成立 7676、对数不等式：、对数不等式：ln1(0)xxx=当且仅当时“”成立 7777、指对综合指对综合不等式：不等式：1ln(1)1(0)ln1xxexxxexxx+=当且仅当时“”成立 学科网（北京）股份有限公司 第 10 页 共 30 页 7878 绝对值绝对值不等式：不等式：ababab+；7979、函数绝对值函数绝对值不等式：不等式：12maxmin()()()()f xf xaf xf xa *80*80、柯西不等式柯西不等式：.向量模型：向量模型：a ba b ；.数字模型：数字模型

10、：222211221212xyxyx xy y+*81*81、伯努利不等式伯努利不等式：(1)(1)1nnnxxnxxnx+101nn *82*82、洛必达法则洛必达法则：()()()()limlimxaxaf xfxg xg x=(当当()0()0f xg x或时使用时使用)8383、恒成立恒成立问题：问题：maxmin(1)()()(2)()()af xaf xaf xaf x思路思路：思路思路 1 1：(1)()()()()0h xf xg xh x=（常规首选方法）（常规首选方法）思路思路 2 2：minmax()()f xg x（思路（思路 1 1 无法完成）无法完成）学科网（北京）

11、股份有限公司 第 11 页 共 30 页 第第 3 3 章章 数列数列 8585、等差数列通项公式等差数列通项公式：1(1)naandknb=+=+(一次函数模型一次函数模型)8686、等差数列通项公式：、等差数列通项公式：211()(1)22nnn aan nSnadAnBn+=+=+(二次函数二次函数模型模型)8787、等比数列通项公式等比数列通项公式：11nnaa q=8888、等比数列通项公式：、等比数列通项公式：11(1)11nnnnaa qaqSAAqqq=8989、等差数列的性质等差数列的性质：若若mnpq+=+，则，则mnpqaaaa+=+9090、等比数列的性质等比数列的性质

12、：若若mnpq+=+，则，则mnpqa aa a=9191、等差中项等差中项：若若,a A b成等差数列，则成等差数列，则2Aab=+9292、等比中项等比中项：若若,a G b成等比数列，则成等比数列，则2Gab=9393、裂项相消法裂项相消法 1 1：若若111(1)1n nnn+=，则有，则有1111nnTnn=+9494、裂项相消法、裂项相消法 2 2：若若1111(2)22n nnn+=，则有，则有1111(1)2212nTnn=+9595、裂项相消法、裂项相消法 3 3：若若111111nnnnaadaa+=，则有，则有11111()nnTd aa+=9696、裂项相消法、裂项相消

13、法 4 4：若若1111(21)(21)22121nnnn+=，则有，则有11(1)221nTn=+9797、分组求和法分组求和法：学科网（北京）股份有限公司 第 12 页 共 30 页 1111111(1)(3)(5)(21)(1 321)()2482242nnnSnn=+=+*98*98、错位相减法求和通式错位相减法求和通式：11 12()1(1)1nnnndq bba b qabTqqq=+9999、自然数的、自然数的平方和平方和：2222(1)(21)1236n nnn+=100100、自然数的、自然数的立方和立方和：223333(1)1234nnn+=101101、去去nS留留na思

14、想：思想：()nnSf a=11()()nnnnSf aSf a+=)()(11nnnafafa=+102102、去去na留留nS思想：思想：()nnaf S=11nnnaSS+=1()nnnSSf S+=第第 4 4 章章 三角函数三角函数 103103、三角函数三角函数的定义：的定义：正弦：正弦：sinyr=；余弦：；余弦：cosxr=；正切：；正切：tanyx=；其中：；其中：22rxy=+104104、诱导公式诱导公式：倍加减名不变倍加减名不变，符号只需看象限；，符号只需看象限；半半加减名要加减名要变变，符号还是看象限。，符号还是看象限。105105、和差和差公式：公式：sin()si

15、ncoscossin=（伞科科伞，符号不反）（伞科科伞，符号不反）cos()coscossinsin=（科科伞伞，符号相反）（科科伞伞，符号相反）学科网（北京）股份有限公司 第 13 页 共 30 页 tantantan()1tantan=（上同下相反）（上同下相反）106106、二倍角二倍角公式：公式：sin22sincos=2222cos2cossin12sin2cos1=22tantan21tan=107107、平方关系平方关系：.22sincos1+=.2(sincos)1 sin2=108108、齐次式求值齐次式求值：.sin2costan23sincos3tan1+=.222sin

16、costansincossincostan1=+109109、辅助角辅助角公式公式:22sincossin().(tan,0)bawxbwxabwxa ba=+=110110、三角函数不等式三角函数不等式：sintanxxx，当，当(0,)2x时恒成立时恒成立;111111、sinyx=单调性单调性：增区间：增区间：2,2,22kk+；减区间：；减区间：32,2,22kk+112112、cosyx=单调性单调性：增区间：增区间：2,2,kk+；减区间：；减区间：2,2,kk+113113、tanyx=单调性单调性：增区间：增区间：,22kk+114114、对称轴对称轴方程：方程：学科网（北京）

17、股份有限公司 第 14 页 共 30 页(1)(1)sinyx=对称轴方程：对称轴方程：2xk=+；(2)(2)cosyx=对称轴方程：对称轴方程：xk=115115、对称中心对称中心：(1)(1)sinyx=对称中心对称中心(),0k ；(2)(2)cosyx=对称中心对称中心,02k+；(3)(3)tanyx=对称中心对称中心,02k；116116、周期性周期性：(1)(1)sinyx=的周期的周期2Tw=；(2)(2)cosyx=的周期的周期2Tw=；(3)(3)tanyx=的周期的周期Tw=；117117、正弦正弦定理：定理：2sinsinsinabcRABC=118118、余弦余弦定

18、理：定理：222222cos2cos2bcaAabcbcAbc+=+222222cos2cos2acbBbacacBac+=+222222cos2cos2abcCcababCab+=+119119、边大角大思想边大角大思想：大角对大边，大边对大角。大角对大边，大边对大角。sinsinabABAB 120120、边变角边变角思想：思想：(1)(1)、公式：、公式：2 sinaRA=；2 sinbRB=；2 sincRC=学科网（北京）股份有限公司 第 15 页 共 30 页(2)(2)、“、“=”两边为边、角”两边为边、角(正弦正弦)同次式；同次式；(3)(3)、正余弦的混合组；、正余弦的混合组

19、；121121、角变边角变边思想：思想：(1)(1)公式：公式：sin2aAR=；sin2aAR=；sin2aAR=(2)(2)“=”两边为边角”两边为边角(正弦正弦)同次式同次式;(3)(3)只有一个余弦只有一个余弦(cos)122122、正弦定理正弦定理使用情况：使用情况：已知条件为：已知条件为：AASAAS、ASAASA、边角同次式、边角同次式、角多用正弦角多用正弦 123123、余弦定理余弦定理使用情况：已知条件为：使用情况：已知条件为：SSSSSS、SASSAS、边的二次式、边的二次式、边多用余弦边多用余弦 124124、三角形两角和三角形两角和关系：关系：sin()sin;cos(

20、)cos;tan()tan.ABCABCABC+=+=+=125125、正弦值正弦值双相等：双相等：若若sinsinABAB=等腰三角形；等腰三角形；126126、正余弦正余弦值相等：值相等：sincos2ABAB=+=直角三角形；直角三角形；222ABAB=+钝角三角形钝角三角形；127127、余弦值余弦值双相等：双相等：coscosAB=AB=等腰三角形等腰三角形；128128、二倍正弦值二倍正弦值相等：相等：学科网（北京）股份有限公司 第 16 页 共 30 页 sin2sin2AB=22AB=等腰三角形；等腰三角形；222ABAB+=+=直角三角形；直角三角形；129129、余弦值正负

21、号余弦值正负号：cos0A锐角三角形；锐角三角形；cos0A=直角三角形；直角三角形；cos0A,则P的轨迹为以12F F为焦点,2a为长轴的椭圆 166166、双曲线双曲线的定义的定义:若12122(2)PFPFaaFF=外切：rRd+=相交：rRdrR+内切：rRd=内含：rRd0 183183、点差法点差法的斜率的斜率公式公式：220022000,b xb xpkkka ya yy=双椭抛 184184、通用通用弦长弦长公式：公式：2212121()4lkxxx x=+,()4)11(212212yyyykl+=185185、圆的弦长圆的弦长公式公式：222lrd=*186*186、焦半

22、径公式（带坐标）焦半径公式（带坐标）：(1)椭圆中：0,MFaex=；(2)双曲线：0,MFexa=(3)抛物线：20pxMF+=*187*187、焦半径公式（倾斜角）焦半径公式（倾斜角）：(1)椭圆中：2(1cos)bae；(2)双曲线：2(1cos)bae；(3)抛物线：1cosp 学科网（北京）股份有限公司 第 23 页 共 30 页*188*188、焦点弦公式（倾斜角）焦点弦公式（倾斜角）：(1)椭圆中：2222(1cos)bae；(2)双曲线：2222(1cos)bae；(3)抛物线：22sinp 189189、抛物线的、抛物线的焦点弦长焦点弦长：21222222sinkplxxpp

23、k+=+=190190、特殊弦长、特殊弦长公式公式：(1)圆的弦长公式：222drl=；(2)抛物线焦点弦长：pxxl+=21 *191*191、焦点弦焦点弦：(1)(1)椭圆中：2222(1cos)bae；(2)双曲线：2222(1cos)bae；(3)抛物线：22sinp 192、焦点三角形面积焦点三角形面积：(1)椭圆中：2tan221bSMFF=；(2)双曲线：2cot221bSMFF=(3)通用面积：sin212121ddSMFF=193193、双曲线的、双曲线的渐近线渐近线方程：方程：xaby=194194、双曲线双曲线的的焦渐距焦渐距为：为：b(虚半轴)195195、椭圆的离心率

24、椭圆的离心率公式：公式：221cbeaa=学科网（北京）股份有限公司 第 24 页 共 30 页 196196、双曲线的离心率双曲线的离心率公式：公式：22211cbekaa=+=+渐 *197*197、圆锥曲线的离心率圆锥曲线的离心率公式公式：1cos1e=+198198、椭圆椭圆、双曲线通径双曲线通径公式：公式：22bPQa=199199、抛物线的通径抛物线的通径公式公式：2PQp=200200、抛物线焦点弦圆：抛物线焦点弦圆：以抛物线焦点弦为直径的圆必与准线相切；201201、抛物线、抛物线焦点弦性质：焦点弦性质：112,AFBFp+=202202、抛物线焦点直线的韦达定理抛物线焦点直线

25、的韦达定理：22212121212222,4pkpx xxxpy ypyykk+=+=+=203203、解析、解析几何中的向量几何中的向量问题：问题：2121yyxxOBOA+=,1212(,)OAOBxx yy+=+204204、向量与夹角向量与夹角问题：问题：(1)AOB钝角0OA OB ;(3)AOB直角（OAOB）0OA OB=2 20 05 5、向量与圆向量与圆的问题：的问题：P与以AB为直径的圆的位置关系：学科网（北京）股份有限公司 第 25 页 共 30 页(1)P在圆内：APB钝角0PA PB ;206206、坐标轴平分角坐标轴平分角问题：问题：12120kkkk=+=2072

26、07、定点与定值定点与定值问题：问题：特殊位置，锁定答案；设而不求，再作验证；208208、均值均值思想：思想：当两个正数变量的和或积为定值时求另一个量的最值，当这两个正数变量相等时，则所求变量取得最值；第第 8 8 章章 概率统计概率统计 209209、频方图的频率频方图的频率 =小矩形面积小矩形面积：iiiinfSydN=；频率=频数/总数 210210、频方图的、频方图的频率之和频率之和：121nfff+=；同时 121nSSS+=；211211、频方图的、频方图的众数众数：最高小矩形底边的中点。212212、频方图的、频方图的平均数平均数：123123nnxx fxfxfxf=+中中中

27、中 123123nnxx Sx Sx Sx S=+中中中中 213213、频方图的、频方图的中位数中位数：从左到右或者从右到左累加，面积等于 0.5 时x的值。学科网（北京）股份有限公司 第 26 页 共 30 页 214214、频方图的、频方图的方差方差：22221212()()()nnsxxfxxfxxf=+中中中 215215、古典概型古典概型公式：公式：()AnP An=216216、几何概型几何概型公式：公式：()AAAAlSVP AlSV=217217、几何概型中面积问题：、几何概型中面积问题：积分问题、双变量问题、线性规划问题 218218、常见的、常见的排列问题排列问题：任职问

28、题、数字问题、排队照相问题、逐个抽取问题 219219、排列公式排列公式：(1)(1)mnAn nnm=+220220、常见的组合问题：、常见的组合问题：产品抽查问题、一次性抽取问题 221221、组合公式组合公式：(1)(1)(1)32 1mnn nnmCm m+=222222、常见、常见排列组合排列组合顺口溜：顺口溜：特殊元素先考虑，特殊位置先安排；先选后排应切记，正难则反间接法；相邻问题捆绑法，相隔问题插孔法；定序问题除阶乘；平均分组除阶乘；223223、均值均值公式公式：nnpxpxpxXE+=2211)(224224、方差方差公式公式：2221122()()()()nnD XxE x

29、pxE xpxE xp=+学科网（北京）股份有限公司 第 27 页 共 30 页 225225、任意事件任意事件概率公式：概率公式：()()()()P ABP AP BP AB=+226226、互斥事件互斥事件概率公式：概率公式：()()()P ABP AP B+=+227227、对立事件对立事件概率公式：概率公式：()1()P AP A=(题目含有“至多、至少等关键词”)228228、条件概率条件概率公式：公式：()()()ABAnP ABP B AP An=229229、独立事件独立事件概率公式：概率公式：()()()P ABP A P B=230230、独立事件的性质、独立事件的性质：若

30、A与B独立，则A与B、A与B、A与B也独立 231231、独立事件至少有一个发生概率公式独立事件至少有一个发生概率公式：()1()P ABP AB+=232232、超几何分布的、超几何分布的概率概率公式：公式：()kn kMN MnNC CP xkC=233233、超几何分布的、超几何分布的均值均值公式：公式：()ME XnN=234234、无放回抽取无放回抽取：一次性抽取超几何分布；逐一抽取独立事件 235235、有放有放回回抽取抽取：等可能性二项分布 236236、二项分布的、二项分布的概率公式概率公式：()(1)kkn knP xkC pp=学科网（北京）股份有限公司 第 28 页 共

31、30 页 237237、二项分布的二项分布的性质：性质：有限性、等可能性、独立性 238238、二项分布的、二项分布的均值与方差均值与方差：()E Xnp=；方差：()(1)D Xnpp=。239239、二项式定理展开式二项式定理展开式：11()()()()nonnkn kknnnnnnaxbC axC axbC axbC b+=+240240、两个系数两个系数：其中()naxb+展开式中第1r+项为：1()rn rrrn rrn rrnnTC axbC ab x+=。(1)、二项式系数：rnC (2)、项的系数：rn rrnC ab 241241、所有、所有二项式系数二项式系数为为2n：01

32、22nnnnnnCCCC+=242242、所有奇数项、偶数项二项式系数为所有奇数项、偶数项二项式系数为12n：024113512;2;nnnnnnnnCCCCCC+=+=243243、展开式系数展开式系数：设230123()nnnaxbaa xa xa xa x+=+的展开式中(1)各项系数和各项系数和：令1x=时，01()nnaaaab+=+(2)奇偶项系数和：奇偶项系数和：令1x=时，0123()naaaaab+=+(将、相加减即可得到)学科网（北京）股份有限公司 第 29 页 共 30 页 第第 9 9 章章 极参方程极参方程 244244、极坐标方程与直角方程互换极坐标方程与直角方程互

33、换：22222,tancos,sin,yxyxxyxy=+=+=245245、极坐标点极坐标点(,)M 的意义的意义：,OMxOM=246246、过原点且倾斜角过原点且倾斜角的直线的直线极坐标方程：极坐标方程：()R=247247、过原点且倾斜角过原点且倾斜角的射线的射线极坐标方程：极坐标方程：=或(0)=248248、极坐标方程为、极坐标方程为()R=的直线上的直线上两点的距离公式两点的距离公式：1212,ABOAOB=249249、圆圆的参数方程：的参数方程：cossinxarybr=+=+（为参数）250250、直线直线的参数方程：的参数方程：cossinxatybt=+=+（t为参数）

34、251251、椭圆椭圆的参数方程：的参数方程：cossinxayb=（为参数）252252、参数方程的意义参数方程的意义：()()xfyg=（为参数）上的任意点P的坐标可表示成：(),()P fg 学科网（北京）股份有限公司 第 30 页 共 30 页 253253、直线参数、直线参数t的意义的意义 1:1:12,PAtPBt=254254、直线参数、直线参数t的意义的意义 2:2:1 2PA PBtt=255255、直线参数、直线参数t的意义的意义 3:3:212121 2()4ABtttttt=+256256、直线参数、直线参数t的意义的意义 4:4:1212121212ttttPAPBtttttt+=+=、同号、异号