浙江名校协作体2024届高三下学期开学适应性考试数学试题含答案.pdf

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1、 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 2023 学年第二学期浙江省名校协作体适应性试题学年第二学期浙江省名校协作体适应性试题 高三年级数学学科高三年级数学学科 考生须知：考生须知：1.本卷满分本卷满分 150 分，考试时间分，考试时间 120 分钟；分钟；2.答题前，在答题卷指定区域填写学校、班级、姓名、试场号、座位号及准考证号；答题前，在答题卷指定区域填写学校、班级、姓名、试场号、座位号及准考证号；3.所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效；所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效；4.考试结束后，只需上交答题卷。考试结束后，只需上交答题卷。选择题部分选择题部分 一、选

2、择题：本大题共一、选择题：本大题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。项是符合题目要求的。1.已知集合2340Mx xx=的一条渐近线，则该双曲线的半焦距为（）A.6 B.2 6 C.2 2 D.4 2 4.已知a，b是两个不共线的单位向量，(),cab=+R，则“0且0”是“()0cab+”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 5.函数()1lnf xaxx=+的图象不可能是（）A.B.C.D.6.如图，将正四棱台切割成九个部分，

3、其中一个部分为长方体，四个部分为直三棱柱，四个部分为四棱锥.已知每个直三棱柱的体积为 3，每个四棱锥的体积为 1，则该正四棱台的体积为（）学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 A.36 B.32 C.28 D.24 7.在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为()2231xy+=，且圆C与x轴交于M，N两点，设直线l的方程为()0ykx k=，直线l与圆C相交于A，B两点，直线AM与直线BN相交于点P，直线AM、直线BN、直线OP的斜率分别为1k，2k，3k，则（）A.1232kkk+=B.1232kkk+=C.1232kkk+=D.123kkk+=8.已知直线BC垂直单位圆O

4、所在的平面，且直线BC交单位圆于点A，1ABBC=，P为单位圆上除A外的任意一点，l为过点P的单位圆O的切线，则（）A.有且仅有一点P使二面角BlC 取得最小值 B.有且仅有两点P使二面角BlC 取得最小值 C.有且仅有一点P使二面角BlC 取得最大值 D.有且仅有两点P使二面角BlC 取得最大值 二、选择题：本题共二、选择题：本题共 3 小题，每小题小题，每小题 6 分，共分，共 18 分分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求要求.全部选对的得全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分分.9.一个盒

5、子里装有除颜色外完全相同的四个小球，其中黑球有两个，编号为 1，2；红球有两个，编号为 3，4，从中不放回的依次取出两个球，A表示事件“取出的两球不同色”，B表示事件“第一次取出的是黑球”，C表示事件“第二次取出的是黑球”，D表示事件“取出的两球同色”，则（）A.A与D相互独立 B.A与B相互独立 C.B与D相互独立 D.A与C相互独立 10.已知函数()f x，()g x的定义域均为R，且()()25f xgx+=，()()47g xf x=.若2x=是()g x的对称轴，且()24g=，则（）A.()f x是奇函数 B.()3,6是()g x的对称中心 C.2 是()f x的周期 D.()

6、221130kg k=11.在平面直角坐标系中，将函数()f x的图象绕坐标原点逆时针旋转()090后，所得曲线仍然是某个函数的图象，则称()f x为“旋转函数”.那么（）A.存在90旋转函数 B.80旋转函数一定是70旋转函数 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 C.若()1g xaxx=+为45旋转函数，则1a=D.若()exbxh x=为45旋转函数，则2e0b 非选择题部分非选择题部分 三、填空题：本大题共三、填空题：本大题共 3 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 15 分。把答案填在答题卡中的横线上。分。把答案填在答题卡中的横线上。12.()622xxy

7、y+的展开式中42x y的系数为_.（用数字作答）13.已知F为抛物线C：24yx=的焦点，直线xt=与C交于A，B，AF与C的另一个交点为D，BF=与C的另一个交点为E.若ABF与DEF的面积之比为 4，则t=_.14.设严格递增的整数数列1a，2a，20a满足11a=，2040a=.设f为12aa+，23aa+，1920aa+这 19 个数中被 3 整除的项的个数，则f的最大值为_，使得f取到最大值的数列 na的个数为_.四、解答题：本大题共四、解答题：本大题共 5 小题，共小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15.（13

8、 分）如图，在三棱锥ABCD中，AB 平面BCD，平面ABC 平面ABD，ACAD=，ABBD=.（1）证明：BCBD；（2）求二面角ACDB的余弦值.16.（15 分）记ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知3A=，2a=.（1）若sinsin2sinBCA+=，求ABC的面积；（2）若3sinsin4BC=，求b.17.（15 分）设02x；（3）若tan2sin0 xxax+，求实数a的取值范围.学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 18.（17 分）设离散型随机变量X和Y有相同的可能取值，它们的分布列分别为()kkP Xax=，()kkP Yay=，0kx

9、，0ky，1k=，2，n，111nnkkkkxy=.指标()D XY可用来刻画X和Y的相似程度，其定义为()1lnnkkkkxD XYxy=.设(),XB n p，01p.（1）若(),YB n q，01q，()f t 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 单调递增，当(2,2t时，()0ft=.所以(0,2t，当2t=时，()f t取最大值，没有最小值，即当2t=时tan取最大值，从而取最大值.由对称性知当2t=时，对应P点有且仅有两个点，所以有且仅有两点P使二面角BlC 取得最大值.二、选择题：本题共二、选择题：本题共 3 小题，每小题小题，每小题 6 分，共分，共 18

10、 分分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求要求.全部选对的得全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分分.9.BCD 10.BD 11.ACD 10.对于 A，因为2x=是()g x的对称轴，所以()()22gxg x=+，又因为()()25f xgx+=，所以()()25fxgx+=，故()()f xfx=，即()f x为偶函数，故 A 错误；对于 B，因为()()47g xf x=，所以()()47g xf x+=，又因为()()25f xgx+=，联立得()()2412gxg x+=，所以()y

11、g x=的图像关于点()3,6中心对称，故 B 正确；对于 C，因为()()25f xgx+=，()24g=，则()045f+=，即()01f=；因为()()47g xf x=，则()427f=，即()23f=，则()()223ff=；显然()()20ff，所以 2 不是()f x的周期，故 C 错误；对于 D，因为2x=是()g x的对称轴，所以()()62gxg x=，又因为()()2412gxg x+=，即()()612g xgx+=，则()()212g xg x+=，所以()()212g xg x+=，所以()()22g xg x+=，即()()4g xg x=+，所以()g x周期为

12、 4，因为()g x周期为 4，对称中心为()3,6，所以()36g=，当4x=时，代入()()47g xf x=，即()()407gf=，所以()48g=，所以()()408gg=，又2x=是()g x的对称轴，所以()()136gg=，所以()()2215646864130kg k=+=，故 D 正确.三、填空题：本大题共三、填空题：本大题共 3 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 15 分。把答案填在答题卡中的横线上。分。把答案填在答题卡中的横线上。12.40 13.2 14.18 25270 四、解答题：本大题共四、解答题：本大题共 5 小题，共小题，共 77 分。解答应写出文

13、字说明、证明过程或演算步骤。分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15.（13 分）证（1）依题意，AB 面BCD，又因为ABBCB=，且BC 面BCD，所以ABBC，同理可得ABBD，因为面ABC 面BCD，面ABC 面ABDAB=，BD 面BCD，且BDAB，所以BD 面ABC，学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 因为BC 面ABC，所以BCBD.解（2）方法 1取CD中点M，并联结AM、BM.（方法 1）因为ACAD=，所以AMCD，由勾股定理可知2222BCACABADABBDAB=.因为BCBD=，所以BMCD；则根据二面角定义可知AMB是二面角ACDB的一

14、个平面角，且由图可知AMB为锐角.又因为AB 面BCD，同理（1）可知ABBM，设ABa=，可得22BMa=，所以tan2AMB=，即二面角ACDB的余弦值为33.方法 2由（1）可知，AB、BC、BD三者两两相互垂直，故以点B为坐标原点，分别以BC、BD、BA 的方向为x、y、z轴的正方向，建立空间直角坐标系.（方法 2）由勾股定理可知2222BCACABADABBDAB=.设(),0,0BCa=，则()0,0BDa=，则易得平面BCD的一个法向量可以是()10,0,1n=，学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 而(),0,ACaa=，()0,ADaa=，故可得平面ACD的

15、一个法向量可以是()21,1,1n=.设二面角ACDB的一个平面角为，且由图可知为锐角.则123coscos,3n n=，即二面角ACDB的余弦值为33.16.（15 分）（1）在ABC中，由正弦定理2sinsinsinabcRABC=可知：sinsin2sinBCA+=可化为：2222bcaRRR+=故可得：2bca+=，代入可得：4bc+=所以()222216bcbcbc+=+=，故22162bcbc+=（*）在ABC中，由余弦定理可得：222cos2bcaAbc+=代入数据和（*）式可得：4bc=所以三角形面积为：1sin32SA bc=故三角形ABC的面积为3.（2）因为ABC+=且3

16、A=，故23BC+=代入可得：23sinsin34BB=因此31133sincossinsincos22224BBBBB=化简可得：3sin34B=情况一：当7cos34B=时，所以可得：sinsin33BB=+，化简可得：321sin8B+=学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 在ABC中，由正弦定理可得：37sinsin2abBA+=情况二：当7cos34B=时，同理可得：321sin08B=故b的值为372+.17.（15 分）（1）116（2）证明：先证当02x.令()sinm xxx=，则()1 cos0m x=在02x=，即当02x.要证tan2sinxxxx，只

17、需证明()tan2sinxxxx，即证tan2sin30 xxx+令()tan2sin3xxxx=+，0,2x，则()()()232222cos12cos112cos3cos12cos30coscoscosxxxxxxxxx+=+=.（或322112cos33coscos30coscosxxxxx+=）当且仅当cos1x=时等号成立，而0cos1x 在()x在0,2上单调递增，()()00 x=，即tan2sin30 xxx+当02x.（3）令()tan2sinf xxxax=+，0,2x，则()00f=，()212coscosfxxax=+，学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限

18、公司 令costx=，则t在0,2x上单调递减，()0,1t，()()212fxg ttat=+，而()3220g tt=+，3a符合题意；（II）当30a时，()00f，存在00,2x使得()00fx=当()00,xx时，()0fx，()f x递减，此时()0f x，()g p单调递增.而102g=，所以()fp在10,2为负数，在1,12为正数，()fp在10,2单调递减，在1,12单调 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 递增，()D XY的最小值为3ln3ln22.（3）当0 x 时，ln1xx，所以11ln1xx，即1ln1xx.故()()11111ln10nnn

19、nnkkkkkkkkkkkkkkkxyD XYxxxyxyyx=，当且仅当对所有的k，kkxy=时等号成立.19.（17 分）（1）E的离心率45e=；（2）证明过程略；（3）PMN面积的取值范围是720,5.#QQABJQwQogAoAAIAAAhCQwn4CgKQkACCCAoGgEAMoAIAyQFABAA=#QQABJQwQogAoAAIAAAhCQwn4CgKQkACCCAoGgEAMoAIAyQFABAA=#QQABJQwQogAoAAIAAAhCQwn4CgKQkACCCAoGgEAMoAIAyQFABAA=#QQABJQwQogAoAAIAAAhCQwn4CgKQkACCCAoGgEAMoAIAyQFABAA=#QQABJQwQogAoAAIAAAhCQwn4CgKQkACCCAoGgEAMoAIAyQFABAA=#QQABJQwQogAoAAIAAAhCQwn4CgKQkACCCAoGgEAMoAIAyQFABAA=#