2024届高考数学专项立体几何大题含答案.pdf

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1、1立体几何大题立体几何大题1.空间中的平行关系（1）线线平行（2）线面平行的判定定理：平面外一直线与平面内一直线平行，则线面平行（3）线面平行的性质定理若线面平行，经过直线的平面与该平面相交，则直线与交线平行（4）面面平行的判定定理判定定理1：一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面，则面面平行判定定理2：一个平面内有两条相交直线分别于另一个平面内两条相交直线平行，则面面平行（5）面面平行的性质定理性质定理1：两平面互相平行，一个平面内任意一条直线平行于另一个平面性质定理2：两平面互相平行，一平面与两平面相交，则交线互相平行6.空间中的垂直关系（1）线线垂直（2）线面垂直的判定定理一直线与

2、平面内两条相交直线垂直，则线面垂直（3）线面垂直的性质定理性质定理1：一直线与平面垂直，则这条直线垂直于平面内的任意一条直线性质定理2：垂直于同一个平面的两条直线平行（4）面面垂直的判定定理一个平面内有一条直线垂直于另一个平面，则两个平面垂直(或：一个平面经过另一个平面的垂线，则面面垂直)（5）面面垂直的性质定理两平面垂直，其中一个平面内有一条直线与交线垂直，则这条直线垂直于另一个平面6.异面直线所成角cos=cos a,b=|ab|a|b|=|x1x2+y1y2+z1z2|x12+y12+z12x22+y22+z22(其中(090)为异面直线a,b所成角，a,b分别表示异面直线a,b的方向向

3、量)7.直线AB与平面所成角，sin=AB m|AB|m|(m为平面的法向量).8.二面角-l-的平面角cos=mn|m|n|(m，n为平面，的法向量).9.点B到平面的距离d=|AB n|n|(n为平面的法向量，AB是经过面的一条斜线，A).2024届高考数学专项立体几何大题含答案2模拟训练模拟训练一、解答题一、解答题1(2222 2323下 湖南 二模)如图，在直三棱柱ABC-ABC中，ABC=120,AB=BC=2,AC=BB，点D为棱BB的中点，AE=13AC(1)求DE的长度；(2)求平面CDE与平面BDE夹角的余弦值2(2222 2323下 绍兴 二模)如图，在多面体ABCDE中，

4、DE平面BCD,ABC为正三角形，BCD为等腰Rt,BDC=90,AB=2,DE=2.(1)求证：AEBC；(2)若AE平面BCD，求直线BE与平面ABC所成的线面角的正弦值.33(2222 2323 张家口 三模)如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，侧面BB1C1C为菱形，CBB1=60，AB=BC=2，AC=AB1=2.(1)证明：平面ACB1平面BB1C1C；(2)求平面ACC1A1与平面A1B1C1夹角的余弦值.4(2222 2323 湛江 二模)如图1，在五边形ABCDE中，四边形ABCE为正方形，CDDE，CD=DE，如图2，将ABE沿BE折起，使得A至A1处，且A1BA1D(1

5、)证明：DE平面A1BE；(2)求二面角C-A1E-D的余弦值45(2222 2323下 长沙 三模)如图，在多面体ABCDE中，平面ACD平面ABC，BE平面ABC，ABC和ACD均为正三角形，AC=4，BE=3，点F在AC上.(1)若BF平面CDE，求CF；(2)若F是AC的中点，求二面角F-DE-C的正弦值.6(2222 2323下 湖北 二模)如图，S为圆锥的顶点，O是圆锥底面的圆心，ABC内接于O,ACBC,AC=BC=3 22，AM=2MS,AS=3,PQ为O的一条弦，且SB平面PMQ.(1)求PQ的最小值；(2)若SAPQ，求直线PQ与平面BCM所成角的正弦值.57(2222 2

6、323 深圳 二模)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA平面ABCD,PA=AD=2AB，点M是PD的中点.(1)证明：AMPC；(2)设AC的中点为O，点N在棱PC上(异于点P，C)，且ON=OA，求直线AN与平面ACM所成角的正弦值.8(2222 2323下 温州 二模)已知三棱锥D-ABC中，BCD是边长为3的正三角形，AB=AC=AD,AD与平面BCD所成角的余弦值为33(1)求证：ADBC；(2)求二面角D-AC-B的平面角的正弦值69(2222 2323下 浙江 二模)如图，四面体ABCD,ADCD,AD=CD,AC=2,AB=3,CAB=60，E为AB上的点，且

7、ACDE,DE与平面ABC所成角为30，(1)求三棱锥D-BCE的体积；(2)求二面角B-CD-E的余弦值.10(2222 2323下 襄阳 三模)如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，侧面BB1C1C为矩形，BAC=90，AB=AC=2，AA1=4，A1在底面ABC的射影为BC的中点N，M为B1C1的中点.(1)求证：平面A1MNA平面A1BC；(2)求平面A1B1BA与平面BB1C1C夹角的余弦值.711(2222 2323 唐山 二模)如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，ABC是等边三角形，侧面ACC1A1底面ABC，且AA1=AC，AA1C1=120，M是CC1的中点(1)证明：A1

8、CBM(2)求二面角A1-BC-M的正弦值12(2222 2323下 盐城 三模)如图，该几何体是由等高的半个圆柱和14个圆柱拼接而成，点G为弧CD的中点，且C，E，D，G四点共面.(1)证明：平面BDF平面BCG；(2)若平面BDF与平面ABG所成二面角的余弦值为155，且线段AB长度为2，求点G到直线DF的距离.813(2222 2323下 江苏 三模)如图，圆锥DO中，AE为底面圆O的直径，AE=AD，ABC为底面圆O的内接正三角形，圆锥的高DO=18，点P为线段DO上一个动点.(1)当PO=3 6 时，证明：PA平面PBC；(2)当P点在什么位置时，直线PE和平面PBC所成角的正弦值最

9、大.14(2222 2323下 镇江 三模)如图，四边形ABCD是边长为2的菱形，ABC=60，四边形PACQ为矩形，PA=1，从下列三个条件中任选一个作为已知条件，并解答问题(如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分).BP,DP与平面ABCD所成角相等；三棱锥P-ABD体积为33；cosBPA=55(1)平面PACQ平面ABCD；(2)求二面角B-PQ-D的大小；(3)求点C到平面BPQ的距离.915(2222 2323下 江苏 一模)在三棱柱ABC-A1B1C1中，平面A1B1BA平面ABC，侧面A1B1BA为菱形，ABB1=3，AB1AC，AB=AC=2，E是AC的中点.(1)求证：

10、A1B平面AB1C；(2)点P在线段A1E上(异于点A1，E)，AP与平面A1BE所成角为4，求EPEA1的值.16(2222 2323下 河北 三模)如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是菱形，其对角线AC,BD交于点O，且PO平面ABCD,OC=1,OD=OP=2,M是PD的中点，N是线段CD上一动点(1)当平面OMN平面PBC时，试确定点N的位置，并说明理由；(2)在(1)的前提下，点Q在直线MN上，以PQ为直径的球的表面积为214以O为原点，OC,OD,OP 的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系O-xyz，求点Q的坐标1017(2222 2323 汕头 三模)如图，

11、圆台O1O2的轴截面为等腰梯形A1ACC1，AC=2AA1=2A1C1=4,B为底面圆周上异于A,C的点.(1)在平面BCC1内，过C1作一条直线与平面A1AB平行，并说明理由；(2)若四棱锥B-A1ACC1的体积为2 3，设平面A1AB平面C1CB=l,Ql，求 CQ的最小值.18(1919 2020下 临沂 二模)如图，在RtABC中，B为直角，AB=BC=6，EFBC，AE=2，沿EF将AEF折起，使AEB=3，得到如图的几何体，点D在线段AC上(1)求证：平面AEF平面ABC；(2)若AE平面BDF，求直线AF与平面BDF所成角的正弦值1119(2222 2323下 广州 三模)如图，

12、四棱锥P-ABCD的底面为正方形，AB=AP=2，PA平面ABCD，E,F分别是线段PB,PD的中点，G是线段PC上的一点.(1)求证：平面EFG平面PAC；(2)若直线AG与平面AEF所成角的正弦值为13，且G点不是线段PC的中点，求三棱锥E-ABG体积.20(2222 2323下 长沙 一模)斜三棱柱ABC-A1B1C1的各棱长都为2，A1AB=60，点A1在下底面ABC的投影为AB的中点O(1)在棱BB1(含端点)上是否存在一点D使A1DAC1？若存在，求出BD的长；若不存在，请说明理由；(2)求点A1到平面BCC1B1的距离1221(2222 2323下 长沙 三模)如图，三棱台ABC

13、-A1B1C1，ABBC，ACBB1，平面ABB1A1平面ABC，AB=6,BC=4，BB1=2，AC1与A1C相交于点D，AE=2EB，且DE平面BCC1B1.(1)求三棱锥C-A1B1C1的体积；(2)平面A1B1C与平面ABC所成角为，CC1与平面A1B1C所成角为，求证：+=4.22(2222 2323 衡水 一模)如图所示，A,B,C,D四点共面，其中BAD=ADC=90，AB=12AD，点P,Q在平面ABCD的同侧，且PA平面ABCD，CQ平面ABCD.(1)若直线l平面PAB，求证：l平面CDQ；(2)若PQAC，ABP=DAC=45，平面BPQ平面CDQ=m，求锐二面角B-m-

14、C的余弦值.1323(2222 2323下 湖北 三模)已知平行六面体(底面是平行四边形的四棱柱)ABCD-A1B1C1D1的各条棱长均为2，且有AA1D1=AA1B1=D1A1B1=60(1)求证：平面AA1C1C平面A1B1C1D1；(2)求直线B1D与平面AA1C1C所成角的正弦值24(2222 2323下 武汉 三模)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，PA平面ABCD，PA=AB=2，E为线段PB的中点，F为线段BC上的动点.(1)求证：平面AEF平面PBC；(2)求平面AEF与平面PDC夹角的最小值.1425(2222 2323下 黄冈 三模)如图1，在四边形ABC

15、D中，BCCD，AECD,AE=BE=2CD=2,CE=3将四边形AECD沿AE折起，使得BC=3，得到如图2所示的几何体(1)若G为AB的中点，证明：DG平面ABE；(2)若F为BE上一动点，且二面角B-AD-F的余弦值为63，求EFEB的值26(2222 2323 德州 三模)图1是直角梯形ABCD，ABCD，D=90，AD=3，AB=2，CD=3，四边形ABCE为平行四边形，以BE为折痕将BCE折起，使点C到达C1的位置，且AC1=6，如图2(1)求证：平面BC1E平面ABED；(2)在线段BE上存在点P使得PA与平面ABC1的正弦值为365，求平面BAC1与PAC1所成角的余弦值152

16、7(2222 2323 山东 二模)如图，在四棱锥P-ABCD中，PA平面ABCD，ABCD，ABBC，PA=AB=BC=2，CD=4(1)证明：ADPC；(2)若M为线段PB的靠近B点的四等分点，判断直线AM与平面PDC是否相交？如果相交，求出P到交点H的距离，如果不相交，说明理由28(2222 2323 黄山 三模)如图，在直角梯形ABCD中，ADBC，ADCD，四边形CDEF为平行四边形，对角线CE和DF相交于点H，平面CDEF平面ABCD，BC=2AD，DCF=60，G是线段BE上一动点(不含端点)(1)当点G为线段BE的中点时，证明：AG平面CDEF；(2)若AD=1,CD=DE=2

17、，且直线DG与平面CDEF成45角，求二面角E-DG-F的正弦值1629(2222 2323 菏泽 三模)已知在直三棱柱ABC-A1B1C1中，其中AA1=2AC=4,AB=BC,F为BB1的中点，点E是CC1上靠近C1的四等分点，A1F与底面ABC所成角的余弦值为22(1)求证：平面AFC平面A1EF；(2)在线段A1F上是否存在一点N，使得平面AFC与平面NB1C1所成的锐二面角的余弦值为2 77，若存在，确定点N的位置，若不存在，请说明理由30(2222 2323 福州 三模)如图，在三棱锥P-ABC中，PA底面ABC，PA=2，AB=AC=1，将PAB绕着PA逆时针旋转3到PAD的位置

18、，得到如图所示的组合体，M为PD的中点.(1)当BAC为何值时，该组合体的体积最大，并求出最大值；(2)当PC平面MAB时，求直线PC与平面PBD所成角的正弦值.1731(2222 2323 福州 二模)如图1，在ABC中，AB=AC=2,BAC=23,E为BC的中点，F为AB上一点，且EFAB.将BEF沿EF翻折到BEF的位置，如图2.(1)当AB=2 时，证明：平面BAE平面ABC；(2)已知二面角B-EF-A的大小为4，棱AC上是否存在点M，使得直线BE与平面BMF所成角的正弦值为1010？若存在，确定M的位置；若不存在，请说明理由.32(2222 2323 三明 三模)如图，平面五边形

19、ABCDE由等边三角形ADE与直角梯形ABCD组成，其中ADBC，ADDC，AD=2BC=2，CD=3，将ADE沿AD折起，使点E到达点M的位置，且BM=a.(1)当a=6 时，证明ADBM并求四棱锥M-ABCD的体积；(2)已知点P为棱CM上靠近点C的三等分点，当a=3时，求平面PBD与平面ABCD夹角的余弦值.1833(2222 2323 宁德 一模)如图在平行四边形ABCD中，AEDC，AD=4，AB=3，ADE=60，将ADE沿AE折起，使平面ADE平面ABCE，得到图所示几何体(1)若M为BD的中点，求四棱锥M-ABCE的体积VM-ABCE；(2)在线段DB上，是否存在一点M，使得平

20、面MAC与平面ABCE所成锐二面角的余弦值为2 35，如果存在，求出DMDB的值，如果不存在，说明理由34(2222 2323 龙岩 二模)三棱柱ABC-A1B1C1中，ABAC，AB=AC=2，侧面A1ACC1为矩形，A1AB=23，三棱锥C1-ABC的体积为2 33(1)求侧棱AA1的长；(2)侧棱CC1上是否存在点E，使得直线AE与平面A1BC所成角的正弦值为55？若存在，求出线段C1E的长；若不存在，请说明理由1935(2222 2323下 浙江 二模)如图，在多面体ABC-A1B1C1中，AA1BB1CC1，AA1平面A1B1C1，A1B1C1为等边三角形，A1B1=BB1=2，AA

21、1=3，CC1=1，点M是AC的中点(1)若点G是A1B1C1的重心，证明；点G在平面BB1M内；(2)求二面角B1-BM-C1的正弦值36(2222 2323下 浙江 三模)如图，三棱台ABC-A1B1C1中，A1C1=4，AC=6，D为线段AC上靠近C的三等分点.(1)线段BC上是否存在点E，使得A1B平面C1DE，若不存在，请说明理由；若存在，请求出BEBC的值；(2)若A1A=AB=4，A1AC=BAC=3，点A1到平面ABC的距离为3，且点A1在底面ABC的射影落在ABC内部，求直线B1D与平面ACC1A1所成角的正弦值.2037(2222 2323下 苏州 三模)如图，在三棱锥P-

22、ABC中，ABC是边长为6 2 的等边三角形，且PA=PB=PC=6，PD平面ABC，垂足为D,DE平面PAB，垂足为E，连接PE并延长交AB于点G.(1)求二面角P-AB-C的余弦值；(2)在平面PAC内找一点F，使得EF平面PAC，说明作法及理由，并求四面体PDEF的体积.38(2222 2323 沧州 三模)如图，该几何体是由等高的半个圆柱和14个圆柱拼接而成.C,E,D,G在同一平面内，且CG=DG.(1)证明：平面BFD平面BCG；(2)若直线GC与平面ABG所成角的正弦值为105，求平面BFD与平面ABG所成角的余弦值.2139(2323 2424上 永州 一模)如图所示，在四棱锥

23、P-ABCD中，底面ABCD为矩形，侧面PAD为正三角形，且AD=2AB=4,M、N分别为PD、BC的中点，H在线段PC上，且PC=3PH(1)求证：MN平面PAB；(2)当AMPC时，求平面AMN与平面HMN的夹角的余弦值40(2222 2323 潍坊 三模)如图，P为圆锥的顶点，O是圆锥底面的圆心，AC为底面直径，ABD为底面圆O的内接正三角形，且边长为3，点E在母线PC上，且AE=3，CE=1(1)求证：PO平面BDE；(2)求证：平面BED平面ABD(3)若点M为线段PO上的动点当直线DM与平面ABE所成角的正弦值最大时，求此时点M到平面ABE的距离1立体几何大题立体几何大题1.空间中

24、的平行关系（1）线线平行（2）线面平行的判定定理：平面外一直线与平面内一直线平行，则线面平行（3）线面平行的性质定理若线面平行，经过直线的平面与该平面相交，则直线与交线平行（4）面面平行的判定定理判定定理1：一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面，则面面平行判定定理2：一个平面内有两条相交直线分别于另一个平面内两条相交直线平行，则面面平行（5）面面平行的性质定理性质定理1：两平面互相平行，一个平面内任意一条直线平行于另一个平面性质定理2：两平面互相平行，一平面与两平面相交，则交线互相平行6.空间中的垂直关系（1）线线垂直（2）线面垂直的判定定理一直线与平面内两条相交直线垂直，则线面垂直（

25、3）线面垂直的性质定理性质定理1：一直线与平面垂直，则这条直线垂直于平面内的任意一条直线性质定理2：垂直于同一个平面的两条直线平行（4）面面垂直的判定定理一个平面内有一条直线垂直于另一个平面，则两个平面垂直(或：一个平面经过另一个平面的垂线，则面面垂直)（5）面面垂直的性质定理两平面垂直，其中一个平面内有一条直线与交线垂直，则这条直线垂直于另一个平面6.异面直线所成角cos=cos a,b=|ab|a|b|=|x1x2+y1y2+z1z2|x12+y12+z12x22+y22+z22(其中(090)为异面直线a,b所成角，a,b分别表示异面直线a,b的方向向量)7.直线AB与平面所成角，sin

26、=AB m|AB|m|(m为平面的法向量).8.二面角-l-的平面角cos=mn|m|n|(m，n为平面，的法向量).9.点B到平面的距离d=|AB n|n|(n为平面的法向量，AB是经过面的一条斜线，A).2模拟训练模拟训练一、解答题一、解答题1(2222 2323下 湖南 二模)如图，在直三棱柱ABC-ABC中，ABC=120,AB=BC=2,AC=BB，点D为棱BB的中点，AE=13AC(1)求DE的长度；(2)求平面CDE与平面BDE夹角的余弦值【答案】(1)393(2)34【分析】(1)在ABC中，用余弦定理可得到AC=2 3，在ABE中，用余弦定理可得BE=2 33，即可求得DE=

27、DB2+BE2=393；(2)以B为原点，分别以BE,BC,BB所在的直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系，求出平面CDE与平面BDE的法向量，即可求解【详解】(1)因为在直三棱柱ABC-ABC中，ABC=120,AB=BC=2，在ABC中，由余弦定理得cosABC=AB2+BC2-AC22ABBC=22+22-AC2222=-12，解得AC=2 3，则AE=13AC=2 33，在ABE中，由余弦定理得cosBAE=AB2+AE2-BE22ABAE=22+2 332-BE2222 33=32，解得BE=2 33，又AC=BB=2 3，所以BD=12BB=3，因为BB平面ABC，BE平面ABC，

28、所以BBBE，在直角三角形DBE中，DE=DB2+BE2=(3)2+2 332=393；(2)因为AE=BE=2 33，所以ABE=BAE=30，则CBE=ABC-ABE=120-30=90，则BE,BC,BB两两互相垂直，以B为原点，分别以BE,BC,BB所在的直线为x,y,z轴建立如下图所示的空间直角坐标系：则点C 0,2,0,D 0,0,3,E2 33,0,0，则CD=0,-2,3,CE=2 33,-2,0，3设平面CDE的法向量为n=x,y,z，由nCD=x,y,z 0,-2,3=-2y+3z=0nCE=x,y,z2 33,-2,0=2 33x-2y=0，得z=2 33yx=3y，令y

29、=3，得平面CDE的一个法向量为n=3,3,2；平面BDE的一个法向量为m=0,1,0设平面CDE与平面BDE夹角的大小为，则cos=mnmn=0,1,0 3,3,214=34，故平面CDE与平面BDE夹角的余弦值为342(2222 2323下 绍兴 二模)如图，在多面体ABCDE中，DE平面BCD,ABC为正三角形，BCD为等腰Rt,BDC=90,AB=2,DE=2.(1)求证：AEBC；(2)若AE平面BCD，求直线BE与平面ABC所成的线面角的正弦值.【答案】(1)证明见解析(2)63【分析】(1)由线面垂直的性质定理和判定定理即可证明；(2)法一：由分析可知，EBH就是直线BE与平面A

30、BC所成的线面角，设AFD=，当90时，求出EH,BE，即可得出答案；法二：建立空间直角坐标系，求出直线BE的方向向量与平面ABC的法向量，由线面角的向量公式代入即可得出答案.【详解】(1)设F为BC中点，连接AF,EF，则由ABC为正三角形，得AFBC；DE平面BCD，且BCD为等腰直角三角形，计算可得：BE=CE=2,EFBC.EFAF=F,EF,AF面AEF，于是BC面AEF，AE面AEF，从而BCAE.(2)法一：由(1)可知，过点E作EHAF，垂足为H，则EBH就是直线BE与平面ABC所成的线面角.当AE平面BCD时，可得A到平面BCD的距离为2.设AFD=，所以AFsin=2，可得

31、sin=63，4当90时，FO=1，此时O在DF的延长线上，作EHAF，由于AODE为矩形，可得AE=DO=2,AEOD，可得sinEAH=63，可得EH=2 63.于是sinEBH=EHBE=63.法二：建立如图坐标系，可得F 0,0,0,B 1,0,0，C-1,0,0,D 0,1,0,E 0,1,2,A 0,a,b由AF=3，解得a2+b2=3，又AE平面BCD，令n=0,0,1，可得AB n=0，解得b=2,a=1.当a=1时A,E重合，所以a=-1，此时A 0,-1,2.不妨设平面ABC的法向量为m=x,y,z，则CB m=0CA m=0 代入得x-y+2z=02x=0，令z=1，则y

32、=2，所以m=0,2,1.由于BE=-1,1,2，不妨设所成角为，则sin=cos BE,m|=63.3(2222 2323 张家口 三模)如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，侧面BB1C1C为菱形，CBB1=60，AB=BC=2，AC=AB1=2.(1)证明：平面ACB1平面BB1C1C；(2)求平面ACC1A1与平面A1B1C1夹角的余弦值.【答案】(1)证明见解析；(2)57.【分析】(1)利用面面垂直的判定定理进行证明；(2)利用垂直关系建立空间直角坐标系，用向量法进行求解.【详解】(1)如图，连接BC1，交B1C于O，连接AO.因为侧面BB1C1C为菱形，所以B1CBC1，且O为B

33、C1的中点.又AC=AB1=2，故AOB1C.又AB=BC=2，且CBB1=60，所以CO=1,BO=3，所以AO=AC2-CO2=1.又AB=2，所以AB2=BO2+AO2，所以AOBO.因为BO,CB1平面BB1C1C，BOCB1=O，所以AO平面BB1C1C.又AO平面ACB1，所以平面ACB1平面BB1C1C.5(2)由(1)知，OA,OB,OB1两两互相垂直，因此以O为坐标原点，OB,OB1,OA所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz，则A(0,0,1)，B(3,0,0)，C(0,-1,0)，C1(-3,0,0).故CC1=(-3,1,0)，CA=(0

34、,1,1)，CB=(3,1,0).设n=(x1,y1,z1)为平面ACC1A1的一个法向量，则有nCC1=0nCA=0，即-3x1+y1=0y1+z1=0，令x1=1，则n=(1,3,-3).设m=(x2,y2,z2)为平面ABC的一个法向量，则有mCA=0mCB=0，即y2+z2=03x2+y2=0，令x2=1，则m=(1,-3,3).因为平面A1B1C1平面ABC，所以m=(1,-3,3)也是平面A1B1C1的一个法向量.所以 cos=nmnm=1-3-37 7=57.所以平面ACC1A1与平面A1B1C1夹角的余弦值57.4(2222 2323 湛江 二模)如图1，在五边形ABCDE中，

35、四边形ABCE为正方形，CDDE，CD=DE，如图2，将ABE沿BE折起，使得A至A1处，且A1BA1D(1)证明：DE平面A1BE；(2)求二面角C-A1E-D的余弦值【答案】(1)证明见解析(2)63【分析】(1)由已知易得DEBE，即可证明线面垂直；(2)建立空间直角坐标系，用坐标公式法求解即可【详解】(1)由题意得BEC=CED=4，BED=2，DEBE，因为ABAE，则A1BA1E，6又A1BA1D，A1EA1D=A1,A1E,A1D面A1ED，所以A1B面A1ED，又DE面A1ED，则DEA1B，又DEBE，A1BBE=B，A1B平面A1BE，BE平面A1BE，所以DE平面A1BE

36、(2)取BE的中点O，可知BE=2CD,OE=CD，由DEBE，且CDDE可得OECD，所以四边形OCDE是平行四边形，所以CODE，则CO平面A1BE，设BE=2，以点O为坐标原点，OB,OC,OA1所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系，如图，则A1(0,0,1),E(-1,0,0),B(1,0,0),C(0,1,0),D(-1,1,0)，EA1=(1,0,1),EC=(1,1,0),ED=(0,1,0)，设平面A1EC的一个法向量为n1=(x1,y1,z1)，则n1 EA1=0n1 EC=0，即x1+z1=0 x1+y1=0，取x1=1，则n1=(1,-1,-1)，设平面A1ED的一个法向量

37、为n2=(x2,y2,z2)，则n2 E1A=0n2 ED=0，即x2+z2=0y2=0，取x2=1，则n2=(1,0,-1)，所以cos n1,n2=n1 n2 n1 n2=63，由图可知，二面角C-A1E-D为锐角，所以面角C-A1E-D的余弦值为635(2222 2323下 长沙 三模)如图，在多面体ABCDE中，平面ACD平面ABC，BE平面ABC，ABC和ACD均为正三角形，AC=4，BE=3，点F在AC上.(1)若BF平面CDE，求CF；(2)若F是AC的中点，求二面角F-DE-C的正弦值.【答案】(1)CF=1(2)8517【分析】(1)记AC中点为M，连接DM、BM，依题意可得

38、DMAC，根据面面垂直的性质得到DM平面ABC，如图建立空间直角坐标系，求出平面CDE的法向量，设F a,0,0，a 2,-2，依题意可得BF n=0求出a的值，即可得解；(2)依题意点F与点M重合，利用空间向量法计算可得.【详解】(1)记AC中点为M，连接DM、BM，ACD为正三角形，AC=4，则DMAC，且DM=2 3.因为平面ACD平面ABC，平面ACD平面ABC=AC，DM平面ACD，7所以DM平面ABC，又ABC为正三角形，所以BMAC，所以BM=2 3，如图建立空间直角坐标系，则B 0,2 3,0，C-2,0,0，D 0,0,2 3，E 0,2 3,3，所以CD=2,0,2 3，C

39、E=2,2 3,3，设平面CDE的法向量为n=x,y,z，则nCD=2x+2 3z=0nCE=2x+2 3y+3z=0，令x=3，则z=-3，y=-32，则n=3,-32,-3，设F a,0,0，a-2,2，则BF=a,-2 3,0，因为BF平面CDE，所以BF n=3a+-2 3-32+0-3=0，解得a=-1，所以F为CM的中点，此时CF=1.(2)若F是AC的中点，则点F与点M重合，则平面FDE的一个法向量可以为m=1,0,0，设二面角F-DE-C为，显然二面角为锐角，则cos=mnm n=332+-322+-32=651，所以sin=1-cos2=1-6512=8517，所以二面角F-

40、DE-C的正弦值为8517.6(2222 2323下 湖北 二模)如图，S为圆锥的顶点，O是圆锥底面的圆心，ABC内接于O,ACBC,AC=BC=3 22，AM=2MS,AS=3,PQ为O的一条弦，且SB平面PMQ.8(1)求PQ的最小值；(2)若SAPQ，求直线PQ与平面BCM所成角的正弦值.【答案】(1)2 2(2)3010【分析】(1)作出辅助线，找到符合要求的PQ，并利用垂径定理得到最小值；(2)在第一问基础上，得到当PQ取得最小值时，SAPQ，并建立空间直角坐标系，利用空间向量求解线面角.【详解】(1)过点M作MHSB交AB于点H，过点H作PQAB，此时满足SB平面PMQ，由平面几何

41、知识易知，PQ=2 r2-d2，当弦心距d最大时，d=OH，弦长最短，即PQ取得最小值，因为AM=2MS,AS=3，所以AH=2HB，因为ACBC,AC=BC=3 22，由勾股定理得AB=3 222=3，故AH=2,HB=1，连接OQ，则OQ=32，由勾股定理得HQ=OQ2-OH2=94-14=2，所以PQ=2HQ=2 2；(2)连接OS，则OS平面ACB，因为PQ平面ACB，故OSPQ，而SAPQ，OSSA=S，所以PQ平面AOS，即有PQAB.以O为坐标原点，过点O且平行PQ的直线为x轴，OB所在直线为y轴，OS所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，则P-2,12,0,Q2,12,0,B 0

42、,32,0,C32,0,0,M 0,-12,3，设平面BCM的法向量为m=x,y,z，则mCB=x,y,z-32,32,0=-32x+32y=0mMB=x,y,z 0,2,-3=2y-3z=0，令x=1，则y=1,z=2 33，故m=1,1,2 33，设直线PQ与平面BCM所成角的大小为，则sin=cos PQ,m=PQ mPQ m=2 2,0,0 1,1,2 332 2 1+1+43=3010.9故直线PQ与平面BCM所成角的正弦值为3010.7(2222 2323 深圳 二模)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA平面ABCD,PA=AD=2AB，点M是PD的中点.(1)证

43、明：AMPC；(2)设AC的中点为O，点N在棱PC上(异于点P，C)，且ON=OA，求直线AN与平面ACM所成角的正弦值.【答案】(1)证明见解析(2)1510【分析】(1)由等腰三角形的性质可得AMPD，由面面垂直的性质可得CD平面PAD，则CDAM，所以由线面垂直的判定可得AM平面PCD，从而可得结论；(2)以AB,AD,AP所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系，利用空间向量求解即可.【详解】(1)证明：因为PA=AD，点M是PD的中点，所以AMPD.因为PA平面ABCD,PA平面PAD，所以平面PAD平面ABCD，因为四边形ABCD为矩形，所以CDAD，因为平面PAD平面ABCD

44、=AD，CD平面ABCD，所以CD平面PAD，所以CDAM，因为PDCD=D，PD,CD平面PCD，所以AM平面PCD，因为PC平面PCD，所以AMPC.(2)解：由题意可得AB,AD,AP两两垂直，设AB=1，如图，以AB,AD,AP所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系，则A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,2,0),D(0,2,0),P(0,0,2)，因为点M是PD的中点，所以M 0,22,22，10所以AM=0,22,22,AC=1,2,0，设平面ACM的法向量为n=x,y,z，则AM n=22y+22z=0AC n=x+2y=0，令y=-1可得x=2,z=1，所以平面A

45、CM的一个法向量n=2,-1,1.PC=1,2,-2，设N xN,yN,zN,PN=PC=,2,-2(01)，即 xN,yN,zN-2=,2,-2，所以N,2,2-2.又O12,22,0,ON=OA=32，所以-122+2-222+(2-2)2=34，化简得52-7+2=0，解得=25或=1(舍去).所以AN=25,2 25,3 25，设直线AN与平面ACM所成的角为，则sin=nAN n AN=3 252+1+1 425+825+1825=1510，所以直线AN与平面ACM所成角的正弦值为1510.8(2222 2323下 温州 二模)已知三棱锥D-ABC中，BCD是边长为3的正三角形，AB

46、=AC=AD,AD与平面BCD所成角的余弦值为33(1)求证：ADBC；(2)求二面角D-AC-B的平面角的正弦值【答案】(1)证明见解析(2)2 23【分析】(1)取BC的中点E，连接AE,DE，证明BC平面ADE，即可得证；(2)取正三角形BCD的中心O，连接OA，从而可得OA平面BCD，则ODA即为AD与平面BCD所成角的平面角，进而可得AB=AC=AD=3，取AC中点为H，连接DH,BH，则DHAC,BHAC，故BHD即为二面角D-AC-B的平面角，解BDH即可得解.【详解】(1)取BC的中点E，连接AE,DE，因为AB=AC，所以AEBC，11因为BCD是边长为3的正三角形，所以DE

47、BC，又AEDE=E,AE,DE平面ADE，所以BC平面ADE，因为AD平面ADE，所以ADBC；(2)取正三角形BCD的中心O，连接OA，则点O在DE上，且OD=23DE，由AB=AC=AD，BCD是正三角形，得三棱锥A-BCD为正三棱锥，则OA平面BCD，故ODA即为AD与平面BCD所成角的平面角，又AD与平面BCD所成角的余弦值为33，所以ODAD=33223AD=33，即AB=AC=AD=3，即三棱锥A-BCD是正四面体，取AC中点为H，连接DH,BH，则DHAC,BHAC，故BHD即为二面角D-AC-B的平面角，在BDH中，BH=DH=3 32,BD=3，则cosBHD=BH2+DH

48、2-BD22BHDH=274+274-923 323 32=13，所以sinBHD=1-cos2BHD=2 23，所以二面角D-AC-B的平面角的正弦值2 239(2222 2323下 浙江 二模)如图，四面体ABCD,ADCD,AD=CD,AC=2,AB=3,CAB=60，E为AB上的点，且ACDE,DE与平面ABC所成角为30，(1)求三棱锥D-BCE的体积；(2)求二面角B-CD-E的余弦值.【答案】(1)答案见解析；(2)答案见解析【分析】(1)取AC中点F，可证明AC平面DEF，得平面ABC平面DEF，DE在平面ABC内的射影就是直线EF，DEF是DE与平面ABC所成的角，即DEF=

49、30，由正弦定理求得FDE，有两个解，在FDE=60时可证DF平面ABC，在FDE=120时，取FE中点H证明DH平面ABC，然后由棱锥体积公式计算体积；(2)建立如图所示的空间直角坐标系，用空间向量法求二面角【详解】(1)取AC中点F，连接FE,FD，因为AD=CD，所以DFAC，又ACDE，DEDF=D，DE,DF平面DEF，所以AC平面DEF，而FE平面DEF，所以ACFE，由已知AF=1，BAC=60，所以EF=3，AE=2，BE=1，12由AC平面DEF，AC平面ABC得平面ABC平面DEF，因此DE在平面ABC内的射影就是直线EF，所以DEF是DE与平面ABC所成的角，即DEF=3

50、0，AD=CD,AC=2，因此DF=12AC=1，在DEF中，由正弦定理EFsinFDE=DFsinDEF得1sin30=3sinFDE，sinFDE=32，FDE为DEF内角，所以FDE=60或120，SABC=12ABACsinBAC=1232sin60=3 33，SCBE=BEBASABC=3-233 32=32，若FDE=60，则DFE=90，即DFFE，ACFE=F，AC,FE平面ABC，所以DF平面ABC，VD-BCE=13SBCEDF=13321=36；若FDE=120，则DFE=30，DF=DE=1，取EF中点H，连接DH，则DHEF，因为平面ABC平面DEF，平面ABC平面D