【教案】直线、平面的垂直关系单元教学设计高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册.docx

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1、单元教学设计单元基本信息课程标准模块几何与代数立体几何初步使用教材版本人教A版教材单元名称8.6空间直线、平面的垂直单元课时数5一、单元学习主题分析（体现学习主题的育人价值）主题名称空间直线、平面的垂直主题概述本单元内容的核心是空间直线、平面的垂直，主要包括直线与直线垂直、直线与平面垂直、平面与平面垂直的概念、判定及性质等.本单元内容是前面所学知识的延续和拓展，也是后面继续学习内容的依靠（如空间的角和距离等），起着承上启下的作用.本单元是在平行的基础上继续研究空间直线与平面的另一种特殊位置关系垂直.研究时本着“直观感知-操作确认-思辨论证”的认识过程，继续加强从“一般观念”上的引导，让学生明确

2、“什么是空间直线、平面的垂直？”以及“空间直线、平面的垂直时，直线与平面有什么确定的不变关系”；同时充分类比对空间直线、平面平行关系的研究方式，引导学生研究空间直线、平面之间的垂直关系，研究的对象尽量让学生通过观察、猜想去提出，研究的内容要学生动手探究、类比学习去确定，由此培养学生数学抽象、直观想象、逻辑推理等素养.具体来讲，教学时，可以先回顾前面关于空间直线、平面平行的研究过程：再引导学生类比出空间直线、平面垂直的学习内容：本单元内容按照直线与直线垂直、直线与平面垂直、平面与平面垂直的研究过程展开.对于直线与直线的垂直，首先要定义异面直线所成的角的概念，两条直线垂直包括共面垂直与异面垂直.对

3、于直线与平面的垂直、平面与平面的垂直，主要研究它们的判定定理和性质定理.在经历对经典实例的观察、实验、猜想等合情推理的活动后，概括出直线与直线的垂直、直线与平面的垂直、平面与平面的垂直的概念、判定和性质定理，再对性质定理进行逻辑论证.在学生经历观察、抽象、概括等一系列过程中，培养学生数学抽象、逻辑推理等素养.另外，教学活动中通过观察、思考、探究等方式向学生提出问题，以问题引导学生进行更加主动的思维活动，经历从实际背景中抽象出数学模型，从现实生活空间抽象出几何问题的过程，发展他们的直观想象素养.通过本单元的学习与探究，可进一步完善学生数学知识的认知，更好地培养学生观察能力、动手能力，以及空间想象

4、及推理归纳能力，体会由特殊到一般、类比、归纳、猜想、化归等数学思想方法，增强“平面化”和“以简驱繁”的转化思想，因此学习这部分知识有着举足轻重的意义.主题学情分析经过前面的学习，学生已掌握了两条直线的位置关系，学习了线面平行的判定及性质，有了“通过观察、操作并抽象概括等活动获得数学结论”的体会，有了一定的几何直观能力、推理论证能力等，能较准确的使用图形和数学语言表述几何对象的位置关系；已了解“平行关系”的性质和判定方法；已基本掌握解决空间问题的一般方法“平面化”，具备学习本节课所需的知识.然而，学生的能力发展正处于形象思维向抽象思维的转折阶段，但更注重形象思维，对两个平面的垂直关系还停留在感性

5、的认识阶段，还没有上升到理性认识学生还未能建立起各种垂直关系之间的联系，还没有形成完整的空间知识结构体系，学生内在的知识网络还有待进一步清晰化. 学习条件支持多媒体课件、空间几何体模具、三角板、笔（表示直线）、课本或草稿本（表示平面）等.二、单元学习目标设计（基于标准、分析教材、结合学情，体现素养导向）单元学习目标（1）通过生活中的实例直观感知直线、平面垂直，在此基础上，抽象出空间点、直线、平面的位置关系的定义，发展直观想象素养.（2）从定义和基本事实出发，借助长方体，通过小组合作探究发现直线、平面垂直的判定，并能应用其解决直线、平面垂直的简单问题，提升直观想象和数学归纳的素养，在探究的过程中

6、，感悟和体验“空间问题转化为平面问题”“线面垂直转化为线线垂直”等数学思想，进一步感悟教学中“以简驱繁”的转化思想.（3）从定义和基本事实出发，借助长方体，通过小组合作探究发现、归纳并证明直线、平面垂直的性质定理，并能应用其解决直线、平面垂直的简单问题，提升直观想象和数学归纳的素养.三、各课时学习目标学习目标解析第1课时1.通过长方体模型，发现两条异面直线的位置关系可以用异面直线所成角来刻画，会用所成角的定义将异面直线所成角的问题，转化为同一平面内两条相交直线所成的角，体会把立体图形的问题转化为平面图形问题的思想方法.2.能借助异面直线所成的角定义空间直线与直线垂直，体会从一般到特殊的研究过程

7、.3.会求简单异面直线所成的角，先通过平移作出所求角，再在特殊三角形中求角，发展直观想象、逻辑推理素养.1.能在常见几何体如正方体、长方体中找出两条异面直线中一条或两条的平行线，从而作出异面直线所成的角，并能在初中熟悉的三角形中求出所成角，注意所成角的范围.2.根据异面直线垂直的定义能够判断异面直线垂直，从而可以判断空间两条直线垂直.第2课时1.借助生活中大量的实例，抽象出直线与平面垂直的定义，提升数学抽象素养；2.通过折纸试验，借助定义，概括出直线与平面垂直的判定定理，会用图形语言和符号语言表述定理，并能运用定义和定理进行线面垂直的证明，体会直线与平面垂直的相互转化，提升数学抽象、直观想象和

8、逻辑推理素养；3.了解直线与平面所成的角的定义，并能在简单图形中求出线面所成角，体会空间问题平面化的转化思想.1.能通过实例，类比直线与平面平行的定义方式（线面平行转化为线线平行），抽象出直线与平面垂直的定义，能说出直线与平面垂直的条件和结论；能用“三种语言”表达直线与平面垂直的定义；能利用定义研究点到平面的距离.2.能从直线与平面垂直的定义和基本事实出发，明确判定定理所研究的问题，探究并得出直线与平面垂直的判定定理，能说出判定定理的条件和结论，能用判定定理证明空间基本图形位置关系的简单命题.3.能说出平面的斜线与平面所成角的定义；能解释定义中蕴含的数学思想，能利用定义在简单的情题中求出直线与

9、平面所成的角.第3课时1.能从直线与平面垂直的定义和基本事实出发，明确性质定理所研究的问题.探究并证明直线与平面垂直的性质定理，能说出性质定理的条件和结论，熟悉定理的三种语言的相互转化，体会垂直与平行之间的内在联系.2.能用性质定理证明空间基本图形位置关系的简单命题，发展直观想象、逻辑推理素养.3.能利用直线与平面垂直的作质定理证明与给定平面平行的直线（或平面）上各点到平面的距离相等，并由此给出直线到平面的距离，两个平行平面间的距离的定义.体会化归与转化思想，提升直观想象素养.1.能从直线与平面垂直的定义和基本事实出发，明确性质定理所研究的问题.探究并证明直线与平面垂直的性质定理，能说出性质定

10、理的条件和结论，能用性质定理证明空间基本图形位置关系的简单命题.2.能利用直线与平面垂直的作质定理证明与给定平面平行的直线（或平面）上各点到平面的距离相等，并由此给出直线到平面的距离，两个平行平面间的距离的定义.第4课时1.能通过类比直线与平面垂直、直线与直线垂直的定义过程，构建平面与平面垂直的定义过程，能说出二面角及二面角的平面角概念，能说出定义二面角的平面角的基本原则.2.类比直线与直线垂直的研究过程，能在定义二面角的平面角的基础上，给出两个平面互相垂直的定义，体会有一般到特殊的研究过程.3.类比直线、平面平行关系的判定以及直线与平面垂直的判定，通过直观感知、操作确认、推理论证，合作探究出

11、平面与平面垂直关系的判定方法，领悟研究几何问题的基本思路，提高运用图形语言、符号语言和文字语言表达与交流的能力，培养直观想象、数学抽象和逻辑推理素养.1.学生能通过类比直线与直线垂直的定义过程先研究异面直线所成角，再定义直线与直线垂直，构建平面与平面垂直的定义过程，线学习二面角及二面角的平面角概念，能说出定义二面角的平面角的基本原则.2.学生能在定义二面角的平面角的基础上，给出两个平面互相垂直的定义.3.学生能利用生活经验，借助长方体，归纳出平面与平面垂直的判定定理，能说出定理的条件与结论，并会用三种语言转化，体会垂直的内在联系，无限化有限，由繁入简的学习过程.第5课时1.能在两个平面相互垂直

12、的条件下，探索空间直线、平面之间的相互关系，得出平面与平面垂直的性质，并能进行证明，体会面面垂直与线面垂直的相互转化关系.2.能用已获得的性质定理证明空间基本图形位置关系的简单命题，发展直观想象、逻辑推理素养.1.学生能类比已有的直线、平面位置关系的性质，猜想出平面与平面垂直的性质，并给出证明.2.学生能用平面与平面垂直的判定定理和性质定理证明空间中直线、平面位置关系的简单命题.四、各课时任务设计及学习活动第1课时任务/活动1活动1.复习旧知.通过复习前面所学两条直线位置关系，引入本节新课.建立知识间的联系，提高学生概括、类比推理的能力.任务1.探索异面直线所成的角 通过观察与思考，引入异面直

13、线所成角的定义，提高学生的解决问题、分析问题的能力.通过思考，进一步理解异面直线所成的角，提高学生分析问题、概括能力.任务二：探索异面直线垂直及异面直线所成角的范围是什么？用两条异面直线所成角定义异面直线垂直，进而得到空间两条直线垂直，体会从特殊到一般的研究过程.任务三：典例分析通过例1讲解,让学生理解怎样求两异面直线所成的角,初步掌握依据定义、定理对空间图形进行论证、计算的方法.通过例2讲解,让学生理解怎样证两异面直线垂直,同样转化为同一个平面内的相交直线来证明，体现了解决立体几何问题的重要思想转化思想.任务/活动2任务/活动3第2课时任务/活动1活动1.复习回顾,创设情境通过举例感知生活中

14、直线与平面垂直的位置关系，激发学生学习数学的兴趣.任务一：探索直线与平面垂直的概念通过“具体形象几何图形数学语言”的学习过程，引导学生体会直线与平面垂直定义的合理性.任务二：探究直线与平面垂直的判定通过操作确认，引导自主、合作发现直线和平面垂直的条件；根据直观感知以及已有的经验，进行合情推理，获得判定定理，提高几何直观能力和理性说理能力. 任务三：学以致用，熟练掌握通过例3,进一步强化对直线与平面垂直的判定定理的理解,规范解题过程,初步形成解题思路,引导学生养成用定义、定理思考问题、解决问题的习惯.通过例4，会初步应用直线与平面所成角的定义求角的大小.理解直线与平面所成角的求法，关键是找直线A

15、1B在平面内的射影，进而转化为确定垂足，即研究线面角需要先研究线面垂直，这是研究问题的基本方向.任务/活动2任务/活动3第3课时活动1.复习回顾,温故知新通过复习上节所学，引入本节新课.建立知识间的联系，提高学生概括、类比推理的能力.任务一：发现、证明线面垂直的性质定理通过观察与思考,得到直线与平面平行的性质定理,提高学生的解决问题、分析问题的能力.任务二：探究直线到平面的距离及两平面之间的距离通过例的5讲解，让学生进一步理解直线与平面垂直的性质定理，关键是通过线面垂直性质定理构造一个矩形，体会平行与垂直的关系，为后续引入直线到平面的距离及平面与平面间的距离做好铺垫.通过例题6进一步理解两平行

16、平面间的距离，提高学生解决问题的能力.第4课时教学活动1.二面角平面角及做法探究教学活动2.面面垂直判定的探究通过对实例的直观感知、操作确认、推理论证，可以透过垂直现象、发现本质原因，并用定义去证明垂直成立；2.通过探究活动，训练和提升学生的抽象概括能力、空间想象能力、逻辑推理能力.任务：迁移拓展、学以致用通过例7熟悉判定定理、体会平面与平面的垂直到直线与平面的垂直,再到直线与直线的垂直的空间位置关系的变化,规范格式；例8进一步熟悉转化思想.体现直观想象、数学抽象、逻辑推理的素养的培养.第5课时活动1.复习回顾,温故知新通过回顾面面垂直的定义和判定定理，引入本节新课.建立知识之间的联系，提高学

17、生的概括、类比推理的能力.活动2.观察操作,探索新知学生自己总结定理内容，加深印象，锻炼口头表达能力.学生通过合作探究，自己得出定理的证明过程促使学生深入思考，从定理的证明过程中提炼出证明几何问题的一般思想方法活动3.典例分析,巩固提高由学生小组合作探究完成，加强了交流合作的能力.通过例题学习，让学生进一步理解平面与平面垂直的性质定理的运用，提高学生解决问题的能力，感悟其中蕴含的数学思想，增强学生的应用意识.五、单元学习评价设计（教师或同伴对学生的评价，指向学习目标的达成）（备注：方案1、方案2选择其一）需要评价的活动方案1：针对任务/活动描述活动A名称依据单元学习目标，针对挑战性学习任务/活

18、动，呈现评价内容、评价指标、评价方法和赋值方法等.评价内容选择和评价指标设计时，无需面面俱到，尽可能抓住关键，倡导伴随学习任务/活动的评价.活动A. 在已知条件(1)(2)(3)(4)中任选一个，证明后面的三种垂直（线线、线面、面面）.这里有丰富的线线垂直、线面垂直、面面垂直，通过证明各种垂直的过程来检测单元目标的达成情况，为后续教学提供指导方向.活动B名称活动C名称评价要素方案2：针对单元整体描述评价内容简述单元评价内容评价指标简述针对单元评价内容的关键表现评价方法简述针对单元评价内容或者评价指标的评价方法赋值方法简述针对评价内容或者评价指标的赋值方法与标准五、单元作业设计可以是各课时作业的

19、汇总或者单元学业评价（单元结束后的测试）.单元作业设计需要体现单元学习目标的达成.单元作业设计要关注实践性、综合性及长周期作业.A组1.填空题：（1）过直线外一点，可以作_条直线与已知直线平行；（2）过直线外一点，可以作_条直线与已知直线垂直；（3）过平面外一点，可以作_个平面与已知平面平行；（4）过平面外一点，可以作_个平面与已知平面垂直；（5）过平面外一条直线，可以作_个平面与该平面平行；（6）过平面外一条直线，可以作_个平面与该平面垂直.2.已知直线a,b异面，下列判断正确的是（ ），并画图说明.A.过b的平面不可能与a平行 B.过b的平面不可能与a垂直C.过b的平面有且仅有一个与a平行

20、 D.过b的平面有且仅有一个与a垂直3.下列命题正确的是（ ），并说明理由：A.一直线与一个平面内的无数条直线垂直，则此直线与平面垂直B.两条异面直线不能同时垂直于一个平面C.不存在四个面都是直角三角形的四面体D.若两条斜线段在同一个平面上的投影数量相等，则这两条斜线段的长也相等4.设a,b是两条不同的直线，是两个不同的平面，判断下列命题的正误，并画图说明.（1）若a/ , b,则ab；（2）若a, b,则a/ b；（3）若a,b,则ab；（4）若a,a，则/ .5.设，为两两不重合的平面，l,m,n为两两不重合的直线，判断下列命题的正误，并画图说明理由：（1）若,则/ ;（2）若m,n,m/

21、 ,n/ ，则/ ;（3）若则/ ，l,则l / ;（4）若=l,=m,=n, l / ,则m/ n.6.如图，已知三角形ABC是正三角形，EA,DC都垂直于平面ABC，且EA=BC=2a,DC=a,F,G分别是EB和AB的中点.求证：（1）FG平面ABC； （2）FD/平面ABC. 7.在平面几何里，有勾股定理：“设ABC的两边AB,AC互相垂直，则AB2+AC2=BC2.”拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的侧面面积与底面面积间的关系，可以得到的正确结论是：“设三棱锥A-BCD的三个侧面ABC,ACD,ADB两两相互垂直，则_”.B组1.下列五个正方体图形中，l是正方体的一条对

22、角线，点M,N,P分别为其所在棱的中点，能得出l平面MNP的图形序号是_.2.如图，在圆锥PO中，已知PO=2，圆O的直径AB=2,点C在弧AB上，且CAB=300,点D为AC的中点.（1）证明：AC平面POD（2）求二面角P-AC-O的正弦值.3.如图，已知四棱锥P-ABCD的底面为直角梯形，AD/BC,BCD=90，且PAAB,PDCD.（1）判断CD是否与平面PAD垂直，证明你的结论；（2）证明：平面PAB平面ABCD.4.如果一个四面体的三个面是直角三角形，那么，第四个面可能是：直角三角形；锐角三角形；钝角三角形；等腰三角形；等腰直角三角形；等边三角形. 请写出你认为正确的序号_.5.

23、如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，求证：（1）B1D平面A1C1B；（2）B1D与平面A1C1B的交点H是A1C1B的重心. 6.某厂根据市场需求开发三角花篮支架（如图）.上面为花篮，支架为三根细钢管.考虑到钢管的受力和花篮质量等因素，设计支架应满足：支架高度为108cm，架面是边长为30cm的正三角形，三根细钢管相交处的节点O与架面三角形ABC重心的连线垂直于架面和地面. （1）三只支架与地面所成的角均为60，确定节点O分细钢管上、下两段的比值；（精确到0.01）（2）节点O分细钢管上、下两段之比为1：2，确定细钢管的长度.（精确到0.1cm）拓展性作业：九章算术中将底面为直角三角形

24、且侧棱垂直于底面的三棱柱称为“堑堵”；底面为矩形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥称之为“阳马”；四个面均为直角三角形的四面体称为“鳌臑”.如图，在堑堵中，且.下列说法正确的序号是_.四棱锥为“阳马”;四面体为“鳖臑”;过A点作于点E，过A点作于点F，则面;若，则四面体的外接球体积为.六、反思性教学改进（实施后填写）基于各课时反思性教学改进，汇总形成单元反思性教学改进设想.明确主要经验或者需改进的方面.七、单元教学结构图图示学科核心素养、单元学习目标、核心问题串、学习活动设计、学习评价任务以及课时数的对应关系.垂直关系的相互转化线线平行线线垂直线面垂直面面垂直空间的角异面直线所成的角直线与平面所成的角二面角范围及求法范围及求法范围及求法点到面的距离直线与平面的距离平行平面之间的距离相互之间的转化空间的距离直观想象逻辑推理逻辑推理数学运算空间想象数学运算10学科网（北京）股份有限公司