2024步步高二轮数学新教材讲义专题一　第1讲　函数的图象与性质.docx

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1、2024步步高二轮数学新教材讲义第1讲函数的图象与性质考情分析1.函数的图象与性质是高考考查的重点和热点，主要考查函数的定义域与值域、分段函数、函数图象的识别与应用以及函数性质(单调性、奇偶性、周期性、对称性)的综合应用，难度属于中等及以上.2.此部分内容多以选择题、填空题的形式出现，有时在压轴题的位置，多与导数、不等式、创新性问题相结合命题 考点一函数的概念与表示核心提炼1复合函数的定义域(1)若f(x)的定义域为m，n，则在f(g(x)中，由mg(x)n解得x的范围即为f(g(x)的定义域(2)若f(g(x)的定义域为m，n，则由mxn得到g(x)的范围，即为f(x)的定义域2分段函数分段

2、函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，值域等于各段函数值域的并集例1(1)(2023南昌模拟)已知函数f(x)的定义域为(1，)，则函数F(x)f(2x3)的定义域为()A(2,3 B(2,3C2,3 D(0,3答案A解析由题可知，20且a1，若函数f(x)的值域是5，)，则a的取值范围是()A，) B(1，)C(1， D(，)答案C解析由于函数f(x)(a0且a1)的值域是5，)，故当x2时，满足f(x)7x5.若a1，f(x)3logax在它的定义域上为增函数，当x2时，由f(x)3logax5，得logax2，loga22，1a.若0a1，f(x)3logax在它的定义域上为减函数，f

3、(x)3logax3loga23，不满足f(x)的值域是5，)综上可得10，故C不是“M函数”；D中，f(x)x22x(x1)211，其值域不关于原点对称，故D不是“M函数”考点二函数的图象核心提炼1作函数图象有两种基本方法：一是描点法；二是图象变换法，其中图象变换有平移变换、伸缩变换、对称变换2利用函数图象可以判断函数的单调性、奇偶性，作图时要准确画出图象的特点例2(1)(2023宁波十校联考)函数f(x)ln |x|cos的图象可能为()答案A解析因为函数f(x)ln |x|cosln |x|sin 2x，定义域为(，0)(0，)，且f(x)ln |x|sin(2x)ln |x|sin 2

4、xf(x)，所以函数f(x)为奇函数，图象关于原点对称，故排除选项B，D；当x(0,1)时，ln |x|0，所以f(x)ln |x|sin 2x0，故排除选项C.(2)(多选)(2023吉安模拟)已知函数f(x)若x1x2x3x4，且f(x1)f(x2)f(x3)f(x4)，则下列结论正确的是()Ax1x24Bx3x41C1x44D0x1x2x3x44答案AB解析函数f(x)的图象如图所示，设f(x1)f(x2)f(x3)f(x4)t，则0t4，则直线yt与函数yf(x)的图象的4个交点横坐标分别为x1，x2，x3，x4，对于A，函数yx24x的图象关于直线x2对称，则x1x24，故A正确；对

5、于B，由图象可知|log2x3|log2x4|，且0x31x4，所以log2x3log2x4，即log2(x3x4)0，所以x3x41，故B正确；当x0时，f(x)x24x(x2)244，由图象可知log2x4(0,4)，则1x416，故C错误；由图象可知4x12，所以x1x2x3x4x1(4x1)x4x1(x12)24(0,4)，故D错误规律方法(1)确定函数图象的主要方法是利用函数的性质，如定义域、奇偶性、单调性等，特别是利用一些特殊点排除不符合要求的图象(2)函数图象的应用主要体现为数形结合思想，借助于函数图象的特点和变化规律，求解有关不等式恒成立、最值、交点、方程的根等问题跟踪演练2(

6、1)(2022全国乙卷)如图是下列四个函数中的某个函数在区间3,3的大致图象，则该函数是()Ay ByCy Dy答案A解析对于选项B，当x1时，y0，与图象不符，故排除B；对于选项D，当x3时，ysin 30，与图象不符，故排除D；对于选项C，当0x时，0cos x1，故y1，与图象不符，所以排除C.故选A.(2)已知函数f(x)则下列图象错误的是()答案D解析当1x0时，f(x)2x，表示一条线段，且线段经过(1,2)和(0,0)两点当0x1时，f(x)，表示一段曲线函数f(x)的图象如图所示f(x1)的图象可由f(x)的图象向右平移一个单位长度得到，故A正确；f(x)的图象可由f(x)的图

7、象关于y轴对称后得到，故B正确；由于f(x)的值域为0,2，故f(x)|f(x)|，故|f(x)|的图象与f(x)的图象完全相同，故C正确；很明显D中f(|x|)的图象不正确考点三函数的性质核心提炼1函数的奇偶性(1)定义：若函数的定义域关于原点对称，则有f(x)是偶函数f(x)f(x)f(|x|)；f(x)是奇函数f(x)f(x)(2)判断方法：定义法、图象法、奇偶函数性质法(如奇函数奇函数是偶函数)2函数单调性判断方法：定义法、图象法、导数法3函数的周期性若函数f(x)满足f(xa)f(xa)或f(x2a)f(x)，则函数yf(x)的周期为2|a|.4函数图象的对称中心和对称轴(1)若函数

8、f(x)满足关系式f(ax)f(ax)2b，则函数yf(x)的图象关于点(a，b)对称(2)若函数f(x)满足关系式f(ax)f(bx)，则函数yf(x)的图象关于直线x对称考向1单调性与奇偶性例3(2023泰安模拟)已知奇函数f(x)在R上是减函数，g(x)xf(x)，若ag(log25.1)，bg(3)，cg(20.8)，则a，b，c的大小关系为()Aabc BcbaCbca Dba0时，f(x)0时，g(x)f(x)xf(x)，因为f(x)0，f(x)0，所以g(x)log25.1log24220.8，所以g(3)g(log25.1)g(20.8)，即baf(2x)的解集为()A.(6，

9、)B(，1)C.D.答案D解析函数f(x2)为偶函数，f(x2)f(x2)，即f(2x)f(2x)，函数f(x)的图象关于直线x2对称，又函数f(x)的定义域为R，在区间(，2上单调递减，函数f(x)在区间(2，)上单调递增，由f(x1)f(2x)得|(x1)2|2x2|，解得x.(2)(多选)已知函数f(x)，g(x)的定义域为R，g(x)为g(x)的导函数，g(x)为偶函数且f(x)g(x)2，f(x)g(4x)2，则下列结论正确的是()Ag(x)为奇函数 Bf(2)2Cg(2)2 Df(2 022)2答案ABD解析g(x)为偶函数，g(x)g(x)，g(x)g(x)，即g(x)为奇函数，

10、故A正确；又f(x)g(x)2，f(x)g(4x)2，令x2，则解得f(2)2，g(2)0，故B正确，C错误；f(x)g(4x)2，f(x4)g(x)2，又g(x)为奇函数，则f(x4)g(x)2，又f(x)g(x)2，f(x4)f(x)，故f(x)是以4为周期的周期函数，f(2 022)f(2)2，故D正确专题强化练一、单项选择题1(2023台州质检)已知函数f(x)同时满足性质：f(x)f(x)；当x1，x2(0,1)时，0，则函数f(x)可能为()Af(x)x2 Bf(x)xCf(x)cos 4x Df(x)ln(1|x|)答案D解析f(x)f(x)说明f(x)为偶函数，x1，x2(0,

11、1)，f(4)，排除A.4(2023天津)函数f(x)的图象如图所示，则f(x)的解析式可能为()Af(x)Bf(x)Cf(x)Df(x)答案D解析由题图知，函数图象关于y轴对称，其为偶函数，且f(2)f(2)0时，0，即C中的函数图象在(0，)上函数值为正，排除，故选D.5(2023新高考全国)设函数f(x)2x(xa)在区间(0,1)上单调递减，则a的取值范围是()A(，2 B2,0)C(0,2 D2，)答案D解析函数y2x在R上是增函数，而函数f(x)2x(xa)在区间(0,1)上单调递减，则函数yx(xa)2在区间(0,1)上单调递减，因此1，解得a2，所以a的取值范围是2，)6(20

12、23大庆模拟)已知函数f(x)若f(2a1)10，则实数a的取值范围是()A.B.C.D.答案D解析因为f(2a1)10f(2a1)1.当2a11时，f(2a1)ln(2a1)11a.当02a11，即a1时，f(2a1)1恒成立当2a10，即a0，又f(1)1，f(2)4，故f(x)0在xN*上恒成立，且f(x)在xN*上单调递增，所以满足f(n)n(nN*)仅有f(1)1，即n仅有1个8(2023西安模拟)已知函数f(x)及其导函数f(x)定义域均为R，记函数g(x)f(x)，若函数f(x)的图象关于点(3,0)中心对称，g为偶函数，且g(1)2，g(3)3，则g(k)等于()A672 B6

13、74 C676 D678答案D解析因为f(x)的图象关于点(3,0)中心对称，所以f(x3)f(x3)，则f(x)f(x6)，所以f(x)f(x6)，即g(x)g(x6)，所以g(x3)g(x3)，所以函数g(x)的图象关于直线x3对称又g为偶函数，所以gg，则gg，所以g(x)的图象关于直线x对称，所以g(x3)ggg(x)，所以g(x)的周期为T3.由gg，得g(2)g(1)2.又g(3)3，所以g(1)g(2)g(3)1.故g(k)g(1)g(2)g(3)674g(1)g(2)6744678.二、多项选择题9(2023大同模拟)十九世纪德国数学家狄利克雷提出了“狄利克雷函数”D(x)它在

14、现代数学的发展过程中有着重要意义，若函数f(x)x2D(x)，则下列函数f(x)的函数值可能是()A3 B2 C1 D0答案ABD解析由题意可知f(x)x2D(x)所以f(1)1210，f()()22，f()()23，而f(x)1无解10已知函数f(x)关于函数f(x)的结论正确的是()Af(x)的定义域为RBf(x)的值域为(，4C若f(x)2，则x的值是Df(x)1的解集为(1,1)答案BC解析函数f(x)的定义域是2，)，故A错误；当2x1时，f(x)x2的值域为0,4，当x1时，f(x)x2的值域为(，1，故f(x)的值域为(，4，故B正确；当x1时，令f(x)x22，无解，当2x1时

15、，令f(x)x22，得到x，故C正确；当2x1时，令f(x)x21，解得1x1，当x1时，令f(x)x21，故f(x)f(2x)成立的x的取值范围是_答案解析显然f(x)是偶函数，当x0时，f(x)excos x，f(x)exsin x，当00，当x2时，exe2，sin x，所以f(x)0，所以f(x)在(0，)上单调递增，在(，0)上单调递减所以当f(x1)f(2x)时，有|x1|2x|，解得1x0，且a1)与对数函数ylogax(a0，且a1)互为反函数，其图象关于yx对称，它们的图象和性质分0a1两种情况，着重关注两种函数图象的异同例1(1)已知log2alog2b0(a0且a1，b0

16、且b1)，则函数f(x)x与g(x)logbx的图象可能是()答案B解析log2alog2b0，即为log2ab0，即有ab1，当a1时，0b1，函数f(x)x与g(x)logbx均为减函数，四个图象均不满足；当0a1时，b1，函数f(x)x与g(x)logbx均为增函数，排除A，C，D，在同一坐标系中的图象只能是B.(2)(2023六盘水质检)设a0.70.8，b0.80.7，clog0.80.7，则a，b，c的大小关系为()Abca BacbCcab Dcba答案D解析由对数函数的性质，可得clog0.80.7log0.80.81，又由指数函数的性质，可得1b0.80.70.80.8，由幂

17、函数yx0.8在(0，)上单调递增，可得0.80.80.70.8a，所以1ba，所以log0.80.70.80.70.70.8，即cba.规律方法(1)指数函数、对数函数的图象与性质受底数a的影响，解决与指数函数、对数函数有关的问题时，首先要看底数a的取值范围(2)基本初等函数的图象和性质是统一的，在解题中可相互转化跟踪演练1(1)(多选)(2023惠州模拟)若6a2,6b3，则()Aab1 B.1Cab Dbalog221，故B正确；选项C，因为a0，b0，ab，所以ablog661，所以ba，故D错误(2)(2023邯郸模拟)不等式10x6x3x1的解集为_答案1，)解析由10x6x3x1

18、，可得xxx1.令f(x)xxx，因为yx，yx，yx均在R上是减函数，则f(x)在R上是减函数，且f(1)1，所以f(x)f(1)，即x1.故不等式10x6x3x1的解集为1，)考点二函数的零点核心提炼判断函数零点个数的方法(1)利用函数零点存在定理判断(2)代数法：求方程f(x)0的实数根(3)几何法：对于不易求根的方程，将它与函数yf(x)的图象联系起来，利用函数的性质找出零点或利用两个函数图象的交点求解在利用函数性质时，可用求导的方法判断函数的单调性考向1函数零点个数的判断例2(2023全国甲卷)函数yf(x)的图象由函数ycos的图象向左平移个单位长度得到，则yf(x)的图象与直线y

19、x的交点个数为()A1 B2 C3 D4答案C解析因为ycos向左平移个单位长度所得函数为ycoscossin 2x，所以f(x)sin 2x，而yx显然过与(1,0)两点，作出yf(x)与yx的大致图象如图所示，考虑2x，2x，2x，即x，x，x处f(x)与yx的大小关系，当x时，fsin1，y1；当x时，fsin 1，y1.所以由图可知，f(x)与yx的交点个数为3.考向2求参数的值或范围例3若关于x的方程exa|x|恰有两个不同的实数解，则实数a_.答案e解析如图，显然a0.当x0时，由单调性得方程exax有且仅有一解因此当x0时，方程exax只有一解即yax与yex相切，yex，令ya

20、得xln a，故当xln a时，exax，得eln aaln a，即aaln a，从而ae，故当ae时，yax与函数yex相切，此时方程exax有一解，若方程exa|x|恰有两个不同的解，则ae.规律方法利用函数零点的情况求参数值(或取值范围)的三种方法跟踪演练2(1)函数f(x)的零点个数为()A1 B2 C3 D4答案B解析当x0时，f(x)2x3x4在(0，)上单调递增且f(0)f(1)0，f(x)在(0,1)上有唯一零点；当x0时，令x22x0，解得x2(舍x0)，故f(x)共有2个零点(2)(2023九江模拟)函数f(x)4sinx|x1|的所有零点之和为_答案6解析令f(x)0，得

21、4sin x|x1|，令g(x)4sin x，h(x)|x1|，可知g(x)的周期T4，对称轴为x12k，kZ，且h(x)的对称轴为x1，易得4sin 4|51|，4sin4|31|，作出g(x)4sin x和h(x)|x1|的图象如图所示因为g(x)与h(x)有6个交点，所以f(x)在3,5上存在6个零点，因为g(x)和h(x)的函数图象关于x1对称，则f(x)零点关于x1对称，所以f(x)的所有零点之和为616.考点三函数模型及其应用核心提炼解函数应用题的步骤(1)审题：缜密审题，准确理解题意，分清条件和结论，理清数量关系(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用

22、数学知识，建立相应的数学模型(3)求模：求解数学模型，得出数学结论(4)反馈：将得到的数学结论还原为实际问题的意义例4(1)某纯净水制造厂在净化水的过程中，每增加一次过滤可使水中杂质减少50%，若要使水中杂质减少到原来的5%以下，则至少需要过滤(参考数据：lg 20.301 0)()A2次 B3次C4次 D5次答案D解析设经过n(nN*)次过滤后，水中杂质减少到原来的5%以下，则n5%，即nlg 21，解得n4.3，故至少需要过滤5次(2)(多选)(2023新高考全国)噪声污染问题越来越受到重视用声压级来度量声音的强弱，定义声压级Lp20lg，其中常数p0(p00)是听觉下限阈值，p是实际声压

23、下表为不同声源的声压级：声源与声源的距离/m声压级/dB燃油汽车106090混合动力汽车105060电动汽车1040已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10 m处测得实际声压分别为p1，p2，p3，则()Ap1p2 Bp210p3Cp3100p0 Dp1100p2答案ACD解析因为Lp20lg随着p的增大而增大，且60,90，50,60，所以，所以p1p2，故A正确；由Lp20lg，得p，因为40，所以p3100p0，故C正确；假设p210p3，则 ，所以10，所以20，不可能成立，故B不正确；因为1，所以p1100p2，故D正确易错提醒构建函数模型解决实际问题的失分点(1)不能选择相应

24、变量得到函数模型(2)构建的函数模型有误(3)忽视函数模型中变量的实际意义跟踪演练3(1)(2023合肥模拟)Malthus模型是一种重要的数学模型某研究人员在研究一种细菌繁殖数量N(t)与时间t的关系时，得到的Malthus模型是N(t)N0e0.46t，其中N0是tt0时刻的细菌数量，e为自然对数的底数若t时刻细菌数量是t0时刻细菌数量的6.3倍，则t约为(ln 6.31.84)()A2 B3 C4 D5答案C解析由题意得，N(t)N0e0.46t6.3N0，即e0.46t6.3，则0.46tln 6.31.84，得t4.(2)金针菇采摘后会很快失去新鲜度，甚至腐烂，所以超市销售金针菇时需

25、要采取保鲜膜封闭保存已知金针菇失去的新鲜度h与其采摘后时间t(天)满足的函数解析式为hmln(ta)(a0)若采摘后1天，金针菇失去的新鲜度为40%，采摘后3天，金针菇失去的新鲜度为80%.那么若不及时处理，采摘下来的金针菇在多长时间后开始失去全部新鲜度(已知1.414，结果取一位小数)()A4.0天 B4.3天C4.7天 D5.1天答案C解析由已知相除得2，ln(3a)2ln(1a)，(1a)23a，因为a0，故解得a1，设t天后开始失去全部新鲜度，则mln(t1)1，又mln(11)0.4，所以，2ln(t1)5ln 2ln 32，(t1)232，t1441.4145.656，t4.656

26、4.7.专题强化练一、单项选择题1已知幂函数yf(x)的图象过点(8,2)，则f(9)的值为()A2 B3 C4 D9答案B解析设幂函数为f(x)xa，图象过点(8,2)，故f(8)8a2，故a，f(x)，f(9)3.2(2023南昌模拟)已知alog40.4，blog0.40.2，c0.40.2，则()Acab BcbaCbca Dacb答案C解析因为alog40.4log0.40.41，0c0.40.2ca.3(2023威海模拟)已知2a9，log83b，则等于()A. B2 C6 D9答案C解析因为2a9，所以alog29log2322log23，又blog83log23，所以6.4.已

27、知函数yloga(xc)(a，c为常数，其中a0，a1)的图象如图所示，则下列结论成立的是()Aa1，c1 Ba1,0c1 C0a1 D0a1,0c1答案D解析由题图可知函数为减函数，结合yloga(xc)可知0a1，当x1时，loga(1c)1，c0，当x0时，logac0，0c1，故0c1.5(2023银川模拟)函数f(x)log2xx2m在区间(2,4)上存在零点，则实数m的取值范围是()A(，18) B(5，)C(5,18) D(18，5)答案D解析由函数零点存在定理可知，若函数f(x)log2xx2m在区间(2,4)上存在零点，显然函数为增函数，只需满足f(2)f(4)0，即(m5)(m18)0，解得18m5，所以实数m的取值范围是(18，5)6(2023天津模拟)设正实数a，b，c分别满足2a，log2b，log3