2024步步高二轮数学新教材讲义专题二　第1讲　三角函数的图象与性质.docx

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1、2024步步高二轮数学新教材讲义第1讲三角函数的图象与性质考情分析1.高考对此部分的命题主要集中于三角函数的定义、图象与性质，主要考查图象的变换、函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性，常与三角恒等变换交汇命题.2.主要以选择题、填空题的形式考查，难度为中等或偏下 考点一三角函数的运算核心提炼1同角关系：sin2cos21，tan .2诱导公式：在，kZ的诱导公式中“奇变偶不变，符号看象限”例1(1)(2023南宁模拟)在平面直角坐标系中，角与的顶点在原点，始边与x轴非负半轴重合，它们的终边关于原点对称，且sin ，则sin()_.答案解析由题意，角与的顶点在原点，终边构成一条直线，所以2k，k

2、Z，所以sin()sin(22k)sin(2)sin 22sin cos ，又sin ，所以cos ，所以sin()2sin cos 2.(2)(2023巴中模拟)勾股定理，在我国又称为“商高定理”，最早的证明是由东汉末期数学家赵爽在为周髀算经作注时给出的，他利用了勾股圆方图，此图被称为“赵爽弦图”“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和中间的一个小正方形组成的大正方形图案(如图所示)，若小正方形与大正方形的面积之比为，则“赵爽弦图”里的直角三角形中最小角的正弦值为()A. B. C. D.答案D解析设大正方形的边长1，直角三角形中最小的角为，则中间小正方形的边长为cos sin ，由题意可得(

3、cos sin )2，显然0sin 0，所以cos sin ，又cos2sin22cos sin ，所以2cos sin ，所以(cos sin )2cos2sin22cos sin ，即cos sin ，联立，解得sin .二级结论(1)若，则sin 0，tan 67.(2)已知2coscos()，则sin 2cos 2_.答案解析2coscos()，2sin cos ，tan ，sin 2cos 2.考点二三角函数的图象核心提炼由函数ysin x的图象变换得到yAsin(x)(A0，0)图象的步骤例2(1)(2023海东模拟)为了得到函数f(x)sin的图象，只需将函数g(x)cos 2x

4、的图象()A向左平移个单位长度B向右平移个单位长度C向左平移个单位长度D向右平移个单位长度答案B解析因为sinsincos，所以f(x)cos，故为了得到f(x)的图象，只需将g(x)的图象向右平移个单位长度(2)(多选)如图是函数ysin(x)的部分图象，则sin(x)等于()Asin BsinCcos Dcos答案BC解析由函数图象可知，则|2，所以排除A；不妨令2，当x时，y1，22k(kZ)，解得2k(kZ)，即函数的解析式为ysinsincossin.而coscos.所以排除D，选BC.规律方法由三角函数的图象求解析式yAsin(x)B(A0，0)中参数的值(1)最值定A，B：根据给

5、定的函数图象确定最值，设最大值为M，最小值为m，则MAB，mAB，解得B，A.(2)T定：由周期的求解公式T，可得.(3)特殊点定：代入特殊点求，一般代入最高点或最低点，代入中心点时应注意是上升趋势还是下降趋势跟踪演练2(1)把函数yf(x)图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数ysin的图象，则f(x)等于()Asin BsinCsin Dsin答案B解析方法一函数yf(x)图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到yf(2x)的图象，再把所得曲线向右平移个单位长度，应当得到yf的图象，根据已知得到了函数ysin的图象，所以fsin，令

6、t2，则x，x，所以f(t)sin，所以f(x)sin.方法二由已知的函数ysin逆向变换，第一步，向左平移个单位长度，得到ysinsin的图象；第二步，图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到ysin的图象，即为yf(x)的图象，所以f(x)sin.(2)(2023鞍山模拟)函数f(x)Acos(x)的部分图象如图所示，将函数f(x)的图象向左平移1个单位长度后得到函数g(x)的图象，则g等于()A. B. C. D1答案D解析由图象可知，A2，1(1)2，得T8，所以，所以f(x)2cos，又因为点(1,0)在函数f(x)的图象上，所以2cos0，所以2k，kZ，即2k，kZ

7、，又|0，0)的性质(1)单调性：由2kx2k(kZ)可得单调递增区间，由2kx2k(kZ)可得单调递减区间(2)对称性：由xk(kZ)可得对称中心；由xk(kZ)可得对称轴(3)奇偶性：当k(kZ)时，函数yAsin(x)为奇函数；当k(kZ)时，函数yAsin(x)为偶函数例3(1)(2023全国乙卷)已知函数f(x)sin(x)在区间单调递增，直线x和x为函数yf(x)的图象的两条相邻对称轴，则f等于()A B C. D.答案D解析因为直线x和x为函数yf(x)的图象的两条相邻对称轴，所以，不妨取0，则T，2，由题意知，当x时，f(x)取得最小值，则22k，kZ，则2k，kZ，不妨取k0

8、，则f(x)sin，则fsin.(2)(多选)(2023佛山模拟)已知函数f(x)3sin(2x)的初相为，则下列结论正确的是()A函数f(x)的图象关于直线x对称B函数f(x)的一个单调递减区间为C若把函数f(x)的图象向右平移个单位长度得到函数g(x)的图象，则g(x)为偶函数D函数f(x)在区间上的值域为答案AB解析由题意知，所以f(x)3sin.对于选项A，因为f3，所以函数f(x)的图象关于直线x对称，故A项正确；对于选项B，由2k2x2k，kZ，得kxk，kZ，则当k1时，函数f(x)的一个单调递减区间为，故B项正确；对于选项C，把函数f(x)的图象向右平移个单位长度得到函数g(x

9、)3sin3sin 2x的图象，所以g(x)为奇函数，故C项错误；对于选项D，因为x，所以2x，所以sin1，所以3sin3，即函数f(x)在区间上的值域为，故D项错误规律方法研究三角函数的性质，首先化函数为f(x)Asin(x)h的形式，然后结合正弦函数ysin x的性质求f(x)的性质，此时有两种思路：一种是根据ysin x的性质求出f(x)的性质，然后判断各选项；另一种是由x的值或范围求得tx的范围，然后由ysin t的性质判断各选项跟踪演练3(1)(2023广州模拟)已知函数f(x)sin(2x)，0，若f(x)恒成立，则f(x)的单调递增区间为()A.(kZ)B.(kZ)C.(kZ)

10、D.(kZ)答案D解析因为f(x)恒成立，所以f(x)max1，即sin1，所以2k或2k，kZ，所以2k或2k，kZ，又0，且2x，根据函数f(x)在区间上的最大值为7，最小值为3，得2b，即b0)图象的任意两条对称轴，且|x1x2|的最小值为，则f(x)的单调递增区间是()A.，kZB.，kZC.，kZD.，kZ答案B解析直线xx1，xx2是函数f(x)sin图象的任意两条对称轴，且|x1x2|的最小值为，即T，解得2，即f(x)sin，令2x，kZ，解得x，kZ，f(x)的单调递增区间是，kZ.5(2023全国甲卷)设甲：sin2sin21，乙：sin cos 0，则()A甲是乙的充分条

11、件但不是必要条件B甲是乙的必要条件但不是充分条件C甲是乙的充要条件D甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件答案B解析甲等价于sin21sin2cos2，等价于sin cos ，所以由甲不能推导出sin cos 0，所以甲不是乙的充分条件；由sin cos 0，得sin cos ，平方可得sin2cos21sin2，即sin2sin21，所以由乙可以推导出甲，则甲是乙的必要条件6(2023沈阳模拟)已知向量m，n，函数f(x)mn，若x，使不等式f(x)a10成立，则实数a的最大值为()A B3 C2 D1答案C解析由题设，f(x)sinsincossin2sin，若x，则x，故sin，所以f(

12、x)2，1，因为x，使不等式f(x)a10成立，只需f(x)maxa1即可，所以a11，即a2，故a的最大值为2.7(2023怀化模拟)设0，若函数y2cos的图象向右平移个单位长度后与函数y2sin的图象重合，则的最小值是()A. B. C. D.答案C解析函数y2cos的图象向右平移个单位长度后，得到y2cos的图象，与函数y2sin2sin2cos图象重合，则2k，kZ，解得10k，kZ，0，当k0时，取到最小值，此时.8我国第一高楼上海中心大厦的阻尼器减震装置，被称为“定楼神器”，如图1.由物理学知识可知，某阻尼器的运动过程可近似为单摆运动，其离开平衡位置的位移y(m)和时间t(s)的

13、函数关系为ysin(t)(0，|)，如图2.若该阻尼器在摆动过程中连续三次到达同一位置的时间分别为t1，t2，t3(0t1t2t3)，且t1t22，t2t35，则1分钟内阻尼器由其他位置摆动经过平衡位置的次数最多为()A19 B20 C40 D41答案C解析因为t1t22，t2t35，t3t1T，所以T3，又T，所以，则ysin，由0t60，则t40，所以1分钟内阻尼器由其他位置摆动经过平衡位置的次数最多，等价于1分钟内ysin0的次数最多，等价于区间，40内包含k(kZ)的次数最多，又|，则区间，40内包含了0，2，3，39或，2，3，40，所以区间，40内包含k(kZ)的次数最多为40.二

14、、多项选择题9为了得到函数f(x)sin的图象，只需将函数g(x)sin x的图象()A所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再将所得图象向右平移个单位长度B所有点的横坐标伸长到原来的3倍，纵坐标不变，再将所得图象向右平移个单位长度C向右平移个单位长度，再将所得图象所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变D向右平移个单位长度，再将所得图象所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变答案AC解析将函数g(x)sin x的图象所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再将所得图象向右平移个单位长度，可以得到函数f(x)sin的图象，A正确；将函数g(x)sin x的图象所有点的横坐标伸长到原来的3倍，纵坐

15、标不变，再将所得图象向右平移个单位长度，可以得到函数f(x)sin的图象，B不正确；将函数g(x)sin x的图象向右平移个单位长度，再将所得图象所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，可以得到函数f(x)sin的图象，C正确；将函数g(x)sin x的图象向右平移个单位长度，再将所得图象所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，可以得到函数f(x)sin的图象，D不正确10(2023烟台模拟)已知函数f(x)sin xcos x，则()Af(x)的最小正周期为Bf(x)在上单调递增C直线x是f(x)图象的一条对称轴Df(x)的图象可由ysin x的图象向左平移个单位长度得到答案BC解析f(x)

16、sin xcos x可化为f(x)sin，则函数f(x)sin的最小正周期为2，A错误；当0x时，x，因为函数ysin x在上单调递增，所以函数f(x)在上单调递增，B正确；当x时，x，所以直线x是f(x)图象的一条对称轴，C正确；函数ysin x的图象向左平移个单位长度得到函数g(x)sin的图象，D错误11(2023黄山模拟)若，则tan(kZ)的值可能是()A. B. C2 D3答案CD解析由余弦的二倍角公式知，sin (cos sin )，得5tan 5tan233tan2，即2tan25tan 30，解得tan 或tan 3，当k2m(mZ)时，tantantan ，当k2m1(mZ

17、)时，tantantan，所以当tan 时，tan或tan2(kZ)，当tan 3时，tan3或tan(kZ)12(2023张家口模拟)已知函数f(x)|sin x|cos|x|，则下列结论正确的有()Af(x)为偶函数Bf(x)的最小值为Cf(x)在区间上单调递增D方程f(x)在区间0,4内的所有根的和为8答案ACD解析对于A项，f(x)的定义域为R，f(x)|sin(x)|cos|x|sin x|cos|x|f(x)，故A正确；对于B项，由cos(x)cos x得cos|x|cos x，所以f(x)|sin x|cos x，又因为f(x2)|sin(x2)|cos(x2)|sin x|co

18、s xf(x)，所以函数f(x)是以2为周期的周期函数，所以f(x)|sin x|cos xkZ，即f(x)kZ，故函数f(x)的图象如图所示则f(2k)1，所以函数f(x)的最小值为1，故B错误；对于C项，方法一如图，当x时，函数f(x)在上单调递增，故C正确；方法二当x时，f(x)sin xcos xcos，因为x，函数ycos x在上单调递增，所以函数f(x)在上单调递增，故C正确；对于D项，由图象可知，方程f(x)在区间0,4上有四个不相等的实数根，设x1x2x3x4，则2，所以x1x2x3x48，故D正确三、填空题13(2023西安模拟)已知sin2()cos，0|，则_.答案解析由

19、题知sin2sin ，所以sin 或sin 0，又因为0|0，cos 0，又因为tan ，则cos 2sin ，且cos2sin24sin2sin25sin21，解得sin 或sin (舍去)，所以sin cos sin 2sin sin .15(2023新高考全国)已知函数f(x)sin(x)，如图，A，B是直线y与曲线yf(x)的两个交点，若|AB|，则f()_.答案解析设A，B，由|AB|可得x2x1，由sin x可知，x2k，kZ或x2k，kZ，由图可知，x2(x1)，即(x2x1)，所以4.因为fsin0，所以k，kZ，即k，kZ.所以f(x)sin，kZ，所以f(x)sin或f(x

20、)sin，又因为f(0)0,00，所以3，解得，可得f(x)2sin，由f()0，即sin0，可得()k，kZ，解得k，kZ，又由02，所以C45，B180604575，又BAD30，所以ADB75，即ADAB2.考向2解三角形中的最值与范围问题例3(2023大连模拟)从下列条件中选择一个条件补充到题目中：S(b2c2a2)，其中S为ABC的面积；sin Ccos C.在ABC中，角A，B，C对应边分别为a，b，c，_.(1)求角A；(2)若D为边AB的中点，CD2，求bc的最大值解(1)选，由余弦定理得，b2c2a22bccos A，又Sbcsin A，所以bcsin A2bccos A，得

21、tan A，因为0A，所以A.选，因为，由正弦定理得，整理得b2c2a2bc，由余弦定理得cos A，因为0A，所以A.选，因为sin Ccos C，由正弦定理得sin Ccos C，即sin Csin Acos Csin Asin Csin B，又因为ACB，所以sin Bsin(AC)sin Acos Csin Ccos A，所以sin Csin Asin Ccos Asin C，因为0C，所以sin C0，所以sin Acos A2sin1，因为0A，所以Aa2，所以4a1)，两次观测时镜子间的距离为a m，人的“眼高”为h m，则建筑物的高度为()A. m B. mC. m D. m答

22、案A解析设建筑物的高度为x，如图所示，由HGFDEF，得EF，由ABCDEC，得，所以haxa1xa2，即x(a1a2)ha，解得x(m)(2)(2023济南模拟)山东省科技馆新馆目前成为济南科教新地标(如图1)，其主体建筑采用与地形吻合的矩形设计，将数学符号“”完美嵌入其中，寓意无限未知、无限发展、无限可能和无限的科技创新如图2，为了测量科技馆最高点A与其附近一建筑物楼顶B之间的距离，无人机在点C测得点A和点B的俯角分别为75，30，随后无人机沿水平方向飞行600米到点D，此时测得点A和点B的俯角分别为45和60(A，B，C，D在同一铅垂面内)，则A，B两点之间的距离为_米答案100解析由题

23、意，DCB30，CDB60，所以CBD90，所以在RtCBD中，BCCD300(米)，又DCA75，CDA45，所以CAD60，在ACD中，由正弦定理得，所以AC200(米)，在ABC中，ACBDCADCB753045，由余弦定理得AB2AC2BC22ACBCcosACB(200)2(300)22200300150 000，所以AB100(米)规律方法解三角形实际问题的步骤跟踪演练3(1)(2023湖州、衢州、丽水质检)喜来登月亮酒店是浙江省湖州市地标性建筑，某学生为测量其高度，在远处选取了与该建筑物的底端B在同一水平面内的两个测量基点C与D，现测得BCD45，BDC105，CD100米，在点

24、C处测得酒店顶端A的仰角ACB28，则酒店的高度约是()(参考数据：1.4，2.4，tan 280.53)A91米 B101米C111米 D121米答案B解析由题设CBD30，在BCD中，又sinBDCsin 105sin(6045)sin 60cos 45cos 60sin 45，所以BC50()米，所以ABBCtanACB50()tan 28101(米)(2)(2023广州模拟)海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞，若要测量如图所示的蓝洞的口径A，B两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点C，D，测得CD35 m，ADB13

25、5，BDCDCA15，ACB120，则A，B两点间的距离为_ m.答案35解析因为ADB135，BDCDCA15，所以ADC150，所以DAC15，所以ADCD35，又因为ACB120，所以BCD135，CBD30，在BCD中，由正弦定理得，即，解得BD35，在ABD中，由余弦定理得AB2AD2BD22ADBDcosADB352(35)223535，解得AB35，所以A，B两点间的距离为35 m.专题强化练一、单项选择题1(2023汕头模拟)在ABC中，已知C45，b，c2，则角B为()A30 B60C30或150 D60或120答案A解析在ABC中，由正弦定理可得sin B，又因为cb，可得CB，即0B45，所以B30.2(2023芜湖模拟)记ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若acos Abcos(AC)0，则ABC为()A等腰三角形B直角三角形C等腰直角三角形D等腰或直角三角形答案D解析由acos Abcos(A