2024步步高考二轮数学新教材讲义专题五　第1讲　计数原理与概率11.docx

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1、2024步步高考二轮数学新教材讲义第1讲计数原理与概率考情分析1.主要考查两个计数原理、排列、组合的简单应用，时常与概率相结合，以选择题、填空题为主.2.二项式定理主要考查通项公式、二项式系数等知识，近几年也与函数、不等式、数列交汇考查.3.概率重点考查古典概型、条件概率、全概率公式的基本应用考点一排列与组合问题核心提炼解决排列、组合问题的一般过程：(1)认真审题，弄清楚要做什么事情；(2)要做的事情是需要分步还是分类，还是分步分类同时进行，确定分多少步及多少类；(3)确定每一步或每一类是排列(有序)问题还是组合(无序)问题，元素总数是多少及取出多少元素例1(1)(2023信阳模拟)直上九天问

2、苍穹，天宫六人绘新篇.2023年5月30日神舟十六号发射成功，神十五与神十六乘组航天员在太空会师，6名航天员分两排合影留念，若从神十五和神十六每组的3名航天员中各选1人站在前排，后排的4人要求同组的2人必须相邻，则不同的站法有()A72种 B144种C180种 D288种(2)(多选)(2023重庆模拟)教育部发布了中国高考报告2023，为让学生对高考有所了解，某学校拟在一周内组织数学、英语、语文、物理、化学的5位该学科的骨干教师进行“中国高考报告2023”的相应学科讲座，每天一科，连续5天则下列结论正确的是()A从5位教师中选2位的不同选法共有20种B数学不排在第一天的不同排法共有96种C数

3、学、英语、语文排在都不相邻的三天的不同排法共有12种D物理排在化学的前面(可以不相邻)的排法共有120种规律方法排列、组合问题的求解方法与技巧(1)合理分类与准确分步；(2)排列、组合混合问题要先选后排；(3)特殊元素优先安排；(4)相邻问题捆绑处理；(5)不相邻问题插空处理；(6)定序问题除法处理；(7)“小集团”排列问题先整体后局部；(8)正难则反，等价转化跟踪演练1(1)(2023新高考全国)某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有_种(用数字作答)(2)(多选)(2023白银模拟)小许购买了一套

4、五行文昌塔摆件(如图)，准备一字排开摆放在桌面上，下列结论正确的有()A不同的摆放方法共有120种B若要求“水塔”和“土塔”不相邻，则不同的摆放方法共有36种C若要求“水塔”和“土塔”不相邻，则不同的摆放方法共有72种D若要求“水塔”和“土塔”相邻，且“水塔”不摆两端，则不同的摆放方法共有36种考点二二项式定理核心提炼1求二项展开式中特定项或项的系数问题的思路：(1)利用通项公式将Tk1项写出并化简(2)令字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)，解出k.(3)代回通项公式即得所求2对于两个因式的积的特定项问题，一般对某个因式用通项公式，再结合因式相乘，分类讨论求解

5、例2(1)(2023湖北八市联考)已知二项式(2xa)n的展开式中只有第4项的二项式系数最大，且展开式中含x3项的系数为20，则实数a的值为_(2)(多选)(2023临沂模拟)已知(12x)2 023a0a1xa2x2a2 023x2 023，则下列结论中正确的是()Aa1a2a3a2 0232Ba1a2a3a4a2 022a2 023132 023Ca12a23a32 023a2 0234 046D|a1|a2|a2 023|32 023规律方法二项式(ab)n的通项公式Tk1Cankbk(k0,1,2，n)，它表示的是二项式的展开式的第k1项，而不是第k项；其中C是二项式展开式的第k1项的

6、二项式系数，而二项式的展开式的第k1项的系数是字母幂前的常数，要区分二项式系数与系数跟踪演练2(1)(2023龙岩质检)在(1x)3的展开式中，x的系数为()A12 B12 C6 D6(2)(多选)(2023宿迁模拟)设(2x1)6a0a1(x1)a2(x1)2a6(x1)6，则下列结论中正确的是()Aa0a1a2a3a4a5a636Ba2a3100Ca1，a2，a3，a6中最大的是a2D当x7时，(2x1)6除以16的余数是1考点三概率核心提炼1古典概型的概率公式P(A).2条件概率公式设A，B为两个随机事件，且P(A)0，则P(B|A).3全概率公式设A1，A2，An是一组两两互斥的事件，

7、A1A2An，且P(Ai)0，i1,2，n，则对任意的事件B，有P(B)(Ai)P(B|Ai)例3(1)(多选)(2023新高考全国)在信道内传输0,1信号，信号的传输相互独立发送0时，收到1的概率为(01)，收到0的概率为1；发送1时，收到0的概率为(01)，收到1的概率为1.考虑两种传输方案：单次传输和三次传输单次传输是指每个信号只发送1次；三次传输是指每个信号重复发送3次收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码；三次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译码(例如，若依次收到1,0,1，则译码为1)()A采用单次传输方案，若依次发送1,0,1，则依次收到1,0,1的

8、概率为(1)(1)2B采用三次传输方案，若发送1，则依次收到1,0,1的概率为(1)2C采用三次传输方案，若发送1，则译码为1的概率为(1)2(1)3D当00.5时，若发送0，则采用三次传输方案译码为0的概率大于采用单次传输方案译码为0的概率(2)(多选)现有来自某校高三年级的3袋专项计划审核表，第一袋有4名男生和2名女生的高校专项审核表，第二袋有5名男生和3名女生的国家专项审核表，第三袋有3名男生和2名女生的地方专项审核表现从3袋中随机选择一袋，再从中随机抽取1份审核表，设Ai“抽到第i袋”(i1,2,3)，B“随机抽取一份，抽到女生的审核表”，则()AP(A1)P(A2)P(A3)BP(B

9、|A1)CP(A2B)DP(B)规律方法求概率的方法与技巧(1)古典概型用古典概型概率公式求解(2)条件概率用条件概率公式及全概率公式求解(3)根据事件间关系，利用概率的加法、乘法公式及对应事件的概率公式求解跟踪演练3(1)(2023青岛模拟)将四位数2 023的各个数字打乱顺序重新排列，则所组成的不同四位数(含原来的四位数)中两个2不相邻的概率为()A. B. C. D.(2)(多选)(2023黄冈调研)1990年9月，Craig FWhitaker给Parade杂志“Ask Marilyn”专栏提了一个问题(著名的蒙提霍尔问题，也称三门问题)，在蒙提霍尔游戏节目中，事先在三扇关着的门背后放

10、置好奖品，然后让游戏参与者在三扇关着的门中选择一扇门并赢得所选门后的奖品，游戏参与者知道其中一扇门背后是豪车，其余两扇门背后是山羊，作为游戏参与者当然希望选中并赢得豪车，主持人知道豪车在哪扇门后面假定你初次选择的是1号门，接着主持人会从2,3号门中打开一道后面是山羊的门则以下说法正确的是()A你获得豪车的概率为B主持人打开3号门的概率为C在主持人打开3号门的条件下，2号门有豪车的概率为D在主持人打开3号门的条件下，若主持人询问你是否改选号码，则改选2号门比保持原选择获得豪车的概率更大第2讲随机变量及其分布考情分析离散型随机变量的分布列、均值、方差和概率的计算问题常常结合在一起进行考查，重点考查

11、超几何分布、二项分布及正态分布，以解答题为主，中等难度考点一分布列的性质及应用核心提炼离散型随机变量X的分布列为Xx1x2xixnPp1p2pipn则(1)pi0，i1,2，n.(2)p1p2pn1.(3)E(X)x1p1x2p2xipixnpn.(4)D(X)x1E(X)2p1x2E(X)2p2xnE(X)2pn.(5)若YaXb，则E(Y)aE(X)b，D(Y)a2D(X)例1(1)(多选)(2023台州模拟)已知下表为离散型随机变量X的分布列，其中ab0，则下列说法正确的是()X012Pa A.ab1 BE(X)2bCD(X)有最大值 DD(X)有最小值(2)已知随机变量的分布列如表所示

12、，当E()时，D(21)_.012Pab规律方法分布列性质的两个作用(1)利用分布列中各事件概率之和为1的性质可求参数的值及检查分布列的正确性(2)随机变量X所取的值分别对应的事件是两两互斥的，利用这一点可以求随机变量在某个范围内的概率跟踪演练1(1)(多选)已知某项试验成功率是失败率的2倍，若用随机变量X描述一次试验的成功次数，E(X)，D(X)分别为随机变量的均值和方差，则()AP(X0) BE(2X)CD(X) DD(3X1)3(2)(多选)(2023温州模拟)随机变量X的分布列如表所示，则D(bX)的最大值为()X123Pa2baA. B.C. D.考点二随机变量的分布列核心提炼1二项

13、分布一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p(0p1)，用X表示事件A发生的次数，则X的分布列为P(Xk)Cpk(1p)nk，k0,1,2，n.E(X)np，D(X)np(1p)2超几何分布一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品，从N件产品中随机抽取n件(不放回)，用X表示抽取的n件产品中的次品数，则X的分布列为P(Xk)，km，m1，m2，r.其中n，N，MN*，MN，nN，mmax0，nNM，rminn，ME(X)n.考向1相互独立事件例2(2023济南模拟)某校举行“学习二十大，奋进新征程”知识竞赛，知识竞赛包含预赛和决赛(1)下表为某10位同学预赛成绩：得分9

14、39495969798人数223111求该10位同学预赛成绩的第75百分位数和平均数；(2)决赛共有编号为A，B，C，D，E的5道题，学生甲按照A，B，C，D，E的顺序依次作答，答对的概率依次为，各题作答互不影响，若累计答错两道题或五道题全部答完则比赛结束，记X为比赛结束时学生甲已作答的题数，求X的分布列和均值_考向2超几何分布例3(2023安阳模拟)不负青山，力换“金山”，民宿旅游逐渐成为一种热潮，山野乡村的民宿深受广大旅游爱好者的喜爱某地区结合当地资源，按照“山上生态做减法、山下产业做加法”的思路，科学有序发展环山文旅康养产业，温泉度假小镇、环山绿道、农家乐提档升级、特色民宿群等一批生态产

15、业项目加快实施为了在节假日接待好游客，该地旅游局对本地区各乡村的普通型民宿和品质型民宿进行了调研，随机抽取了10家乡村民宿，统计得到各家的房间数如下表：民宿甲乙丙丁戊己庚辛壬癸普通型民宿19541713189201015品质型民宿61210111091285(1)若旅游局随机从乙、丙2家各选2间民宿进行调研，求选出的4间均为普通型民宿的概率；(2)从这10家中随机抽取4家民宿，记其中普通型民宿的房间不低于17间的有X家，求X的分布列和均值_考向3二项分布例4(2023焦作模拟)全国家庭教育宣传周期间，为进一步促进家校共育，某校举行“家教伴成长，协同育新人”主题活动，最终评出了8位“最美家长”，

16、其中有6位妈妈，2位爸爸，学校准备从这8位“最美家长”中每次随机选出一人做家庭教育经验分享(1)若每位“最美家长”最多做一次家庭教育经验分享，记第一次抽到妈妈为事件A，第二次抽到爸爸为事件B，求P(A)和P(B)；(2)现需要每天从这8位“最美家长”中随机选1人，连续4天分别为低年级、中年级、高年级和全体教师各做1场经验分享，1天只做1场，且人选可以重复，记这4天中爸爸做经验分享的天数为X，求X的分布列和均值_规律方法求随机变量X的均值与方差的方法及步骤(1)理解随机变量X的意义，写出X可能的全部取值；(2)求X取每个值时对应的概率，写出随机变量X的分布列；(3)由均值和方差的计算公式，求得均

17、值E(X)，方差D(X)；(4)若随机变量X的分布列为特殊分布列(如：两点分布、二项分布、超几何分布)，可利用特殊分布列的均值和方差的公式求解跟踪演练2(1)(多选)(2023泉州模拟)下列说法正确的有()A某学校有2 023名学生，其中男生1 012人，女生1 011人，现选派10名学生参加学校组织的活动，记男生的人数为X，则X服从超几何分布B若随机变量X的均值E(X)2 023，则E(X1)2 023C若随机变量X的方差D(X)2，则D(2X2 023)8D随机变量XB(2 023,0.5)，则P(X1 010)P(X1 011)(2)某地为了深入了解学生在“自由式滑雪”和“单板滑雪”两项

18、活动的参与情况，在该地随机选取了10所学校进行研究，得到如下数据：在这10所学校中随机选取3所来调查研究，求这3所学校参与“自由式滑雪”都超过40人的概率；“单板滑雪”参与人数超过45的学校可以作为“基地学校”，现在从这10所学校中随机选出3所，记X为选出可作“基地学校”的学校个数，求X的分布列和均值；现在有一个“单板滑雪”集训营，对“滑行、转弯、停止”这3个动作技巧进行集训，且在集训中进行了多轮测试规定：在一轮测试中，这3个动作中至少有2个动作达到“优秀”，则该轮测试记为“优秀”在集训测试中，小明同学每个动作达到“优秀”的概率均为，每个动作互不影响且每轮测试互不影响如果小明同学在集训测试中要

19、想获得“优秀”的次数的均值达到不少于5次，那么理论上至少要进行多少轮测试？_考点三正态分布核心提炼解决正态分布问题的三个关键点(1)对称轴x.(2)样本标准差.(3)分布区间：利用3原则求概率时，要注意利用，分布区间的特征把所求的范围转化为3的特殊区间例5(1)(多选)(2023运城模拟)已知某校高二男生的身高X(单位：cm)服从正态分布N(175,16)，且P(2X2)0.954 5，则()A该校高二男生的平均身高是175 cmB该校高二男生身高的方差为4C该校高二男生中身高超过183 cm的人数超过总数的3%D从该校高二男生中任选一人，身高超过180 cm的概率与身高不超过170 cm的概

20、率相等(2)已知随机变量服从正态分布，有下列四个命题：甲：P(a1)P(a2)；乙：P(a)0.5；丙：P(a1)P(a1)；丁：P(a13a)P(a4a)若这四个命题中有且只有一个是假命题，则该假命题为()A甲 B乙 C丙 D丁规律方法利用正态曲线的对称性研究相关概率问题，涉及的知识主要是正态曲线关于直线x对称，及曲线与x轴之间的面积为1，注意下面三个结论的灵活运用：(1)对任意的a，有P(Xa)(2)P(Xx0)1P(Xx0)(3)P(aXb)P(Xb)P(Xa)跟踪演练3(1)教育部教育考试院给使用新高考卷的吉林、黑龙江、安徽、云南命制了一套四省联考题，测试的目的是教考衔接，平稳过渡假如

21、某市有40 000名考生参加了这次考试，其数学成绩X服从正态分布，总体密度函数为f(x)，且P(70X120)0.9，则该市这次考试数学成绩超过120分的考生人数约为()A4 000 B3 000 C2 000 D1 000(2)(2023哈尔滨模拟)现实世界中的很多随机变量遵循正态分布例如反复测量某一个物理量，其测量误差X通常被认为服从正态分布若某物理量做n次测量，最后结果的误差XnN，要控制|Xn|的概率不大于0.002 7，至少要测量的次数为(参考数据：P(3X3)0.997 3)()A141 B128 C288 D512第2讲随机变量及其分布考情分析离散型随机变量的分布列、均值、方差和

22、概率的计算问题常常结合在一起进行考查，重点考查超几何分布、二项分布及正态分布，以解答题为主，中等难度考点一分布列的性质及应用核心提炼离散型随机变量X的分布列为Xx1x2xixnPp1p2pipn则(1)pi0，i1,2，n.(2)p1p2pn1.(3)E(X)x1p1x2p2xipixnpn.(4)D(X)x1E(X)2p1x2E(X)2p2xnE(X)2pn.(5)若YaXb，则E(Y)aE(X)b，D(Y)a2D(X)例1(1)(多选)(2023台州模拟)已知下表为离散型随机变量X的分布列，其中ab0，则下列说法正确的是()X012Pa A.ab1 BE(X)2bCD(X)有最大值 DD(

23、X)有最小值(2)已知随机变量的分布列如表所示，当E()时，D(21)_.012Pab规律方法分布列性质的两个作用(1)利用分布列中各事件概率之和为1的性质可求参数的值及检查分布列的正确性(2)随机变量X所取的值分别对应的事件是两两互斥的，利用这一点可以求随机变量在某个范围内的概率跟踪演练1(1)(多选)已知某项试验成功率是失败率的2倍，若用随机变量X描述一次试验的成功次数，E(X)，D(X)分别为随机变量的均值和方差，则()AP(X0) BE(2X)CD(X) DD(3X1)3(2)(多选)(2023温州模拟)随机变量X的分布列如表所示，则D(bX)的最大值为()X123Pa2baA. B.

24、C. D.考点二随机变量的分布列核心提炼1二项分布一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p(0p1)，用X表示事件A发生的次数，则X的分布列为P(Xk)Cpk(1p)nk，k0,1,2，n.E(X)np，D(X)np(1p)2超几何分布一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品，从N件产品中随机抽取n件(不放回)，用X表示抽取的n件产品中的次品数，则X的分布列为P(Xk)，km，m1，m2，r.其中n，N，MN*，MN，nN，mmax0，nNM，rminn，ME(X)n.考向1相互独立事件例2(2023济南模拟)某校举行“学习二十大，奋进新征程”知识竞赛，知识竞赛包含预赛

25、和决赛(1)下表为某10位同学预赛成绩：得分939495969798人数223111求该10位同学预赛成绩的第75百分位数和平均数；(2)决赛共有编号为A，B，C，D，E的5道题，学生甲按照A，B，C，D，E的顺序依次作答，答对的概率依次为，各题作答互不影响，若累计答错两道题或五道题全部答完则比赛结束，记X为比赛结束时学生甲已作答的题数，求X的分布列和均值_考向2超几何分布例3(2023安阳模拟)不负青山，力换“金山”，民宿旅游逐渐成为一种热潮，山野乡村的民宿深受广大旅游爱好者的喜爱某地区结合当地资源，按照“山上生态做减法、山下产业做加法”的思路，科学有序发展环山文旅康养产业，温泉度假小镇、环

26、山绿道、农家乐提档升级、特色民宿群等一批生态产业项目加快实施为了在节假日接待好游客，该地旅游局对本地区各乡村的普通型民宿和品质型民宿进行了调研，随机抽取了10家乡村民宿，统计得到各家的房间数如下表：民宿甲乙丙丁戊己庚辛壬癸普通型民宿19541713189201015品质型民宿61210111091285(1)若旅游局随机从乙、丙2家各选2间民宿进行调研，求选出的4间均为普通型民宿的概率；(2)从这10家中随机抽取4家民宿，记其中普通型民宿的房间不低于17间的有X家，求X的分布列和均值_考向3二项分布例4(2023焦作模拟)全国家庭教育宣传周期间，为进一步促进家校共育，某校举行“家教伴成长，协同

27、育新人”主题活动，最终评出了8位“最美家长”，其中有6位妈妈，2位爸爸，学校准备从这8位“最美家长”中每次随机选出一人做家庭教育经验分享(1)若每位“最美家长”最多做一次家庭教育经验分享，记第一次抽到妈妈为事件A，第二次抽到爸爸为事件B，求P(A)和P(B)；(2)现需要每天从这8位“最美家长”中随机选1人，连续4天分别为低年级、中年级、高年级和全体教师各做1场经验分享，1天只做1场，且人选可以重复，记这4天中爸爸做经验分享的天数为X，求X的分布列和均值_规律方法求随机变量X的均值与方差的方法及步骤(1)理解随机变量X的意义，写出X可能的全部取值；(2)求X取每个值时对应的概率，写出随机变量X的分布列；(3)由均值和方差的计算公式，求得均值E(X)，方差D(X)；(4)若随机变量X的分布列为特殊分布列(如：两点分布、二项分布、超几何分布)，可利用特殊分布列的均值和方差的公式求解跟踪演练2(1)(多选)(2023泉州模拟)下列说法正确的有()A某学校有2 023名学生，其中男生1 012人，女生1 011人，现选派10名学生参加学校组织