2024步步高考二轮数学新教材讲义专题六　第1讲　直线与圆1.docx

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1、2024步步高考二轮数学新教材讲义第1讲直线与圆考情分析1.求直线的方程，考查点到直线的距离公式，直线间的位置关系，多以选择题、填空题的形式出现，中低难度.2.和圆锥曲线相结合，求圆的方程或弦长、面积等，中高难度考点一直线的方程核心提炼1已知直线l1：A1xB1yC10，直线l2：A2xB2yC20，则l1l2A1B2A2B10，且A1C2A2C10(或B1C2B2C10)，l1l2A1A2B1B20.2点P(x0，y0)到直线l：AxByC0(A，B不同时为零)的距离d.3两条平行直线l1：AxByC10，l2：AxByC20(A，B不同时为零)间的距离d.例1(1)(多选)已知直线l的倾斜

2、角等于30，且l经过点(0,1)，则下列结论中正确的是()A直线l的方程为yx1Bl的一个方向向量为nCl与直线x3y20平行Dl与直线xy20垂直(2)当点M(2，3)到直线(4m1)x(m1)y2m10的距离取得最大值时，m等于()A2 B.C2 D4易错提醒解决直线方程问题的三个注意点(1)利用A1B2A2B10后，要注意代入检验，排除两条直线重合的可能性(2)要注意直线方程每种形式的局限性(3)讨论两直线的位置关系时，要注意直线的斜率是否存在跟踪演练1(1)(多选)下列说法错误的是()A过点A(2，3)且在两坐标轴上的截距相等的直线l的方程为xy5B直线2(m1)x(m3)y75m0必

3、过定点(1,3)C经过点P(1,1)，倾斜角为的直线方程为y1tan (x1)D过(x1，y1)，(x2，y2)两点的所有直线的方程为(x2x1)(yy1)(y2y1)(xx1)(2)若两条平行直线l1：x2ym0(m0)与l2：2xny60之间的距离是2，则mn_.考点二圆的方程核心提炼1圆的标准方程当圆心为(a，b)，半径为r时，其标准方程为(xa)2(yb)2r2.2圆的一般方程x2y2DxEyF0，其中D2E24F0，表示以为圆心，为半径的圆例2(1)已知圆C1：x2y24与圆C2关于直线2xy50对称，则圆C2的标准方程为()A(x4)2(y2)24B(x4)2(y2)24C(x2)

4、2(y4)24D(x2)2(y4)24(2)(2023泉州模拟)已知圆C：x2y2mx2y0关于直线l：(a1)xay10(a1)对称，l与C交于A，B两点，设坐标原点为O，则|OA|OB|的最大值等于()A2 B4 C8 D16规律方法解决圆的方程问题一般有两种方法(1)几何法：通过研究圆的性质、直线与圆、圆与圆的位置关系，进而求得圆的基本量和方程(2)代数法：即用待定系数法先设出圆的方程，再由条件求得各系数跟踪演练2(1)(2023龙岩质检)写出一个与圆x2y21外切，并与直线yx及y轴都相切的圆的方程_(2)(2023福州模拟)已知O1：(x2)2(y3)24，O1关于直线ax2y10对

5、称的圆记为O2，点E，F分别为O1，O2上的动点，EF长度的最小值为4，则a等于()A或 B或C或 D.或考点三直线、圆的位置关系核心提炼1直线与圆的位置关系：相交、相切和相离其判断方法为：(1)点线距离法(2)判别式法：设圆C：(xa)2(yb)2r2，直线l：AxByC0(A2B20)，联立方程组消去y，得到关于x的一元二次方程，其根的判别式为，则直线与圆相离0.2圆与圆的位置关系，即内含、内切、相交、外切、外离考向1直线与圆的位置关系例3(1)(多选)(2023阳泉模拟)已知直线l：ykx2k2(kR)与圆C：x2y22y80.则下列说法正确的是()A直线l过定点(2,2)B直线l与圆C

6、相离C圆心C到直线l距离的最大值是2D直线l被圆C截得的弦长的最小值为4(2)(2023新高考全国)已知直线xmy10与C：(x1)2y24交于A，B两点，写出满足“ABC面积为”的m的一个值为_考向2圆与圆的位置关系例4(1)(2023淄博模拟)“a”是“圆C1：x2y24与圆C2：(xa)2(ya)21有公切线”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件(2)(多选)(2023福建统考)已知O：x2y21，O1：(x2)2y2r2(r0)，则下列说法正确的是()A若r2，两圆的公切线过点(2,0)B若r2，两圆的相交弦长为C若两圆的一个交点为M，分别过点M的

7、两圆的切线相互垂直，则r3D当r3时，两圆的位置关系为内含规律方法直线与圆相切问题的解题策略当直线与圆相切时，利用“切线与过切点的半径垂直，圆心到切线的距离等于半径”建立关于切线斜率的等式，所以求切线方程时主要选择点斜式过圆外一点求解切线段长的问题，可先求出圆心到圆外一点的距离，再结合半径利用勾股定理计算跟踪演练3(1)(2023邯郸模拟)已知直线l：xy50与圆C：x2y22x4y40交于A，B两点，若M是圆上的一动点，则MAB面积的最大值是_(2)(多选)(2023辽阳模拟)已知E：(x2)2(y1)24，过点P(5,5)作圆E的切线，切点分别为M，N，则下列命题中真命题是()A|PM|B

8、直线MN的方程为3x4y140C圆x2y21与E共有4条公切线D若过点P的直线与E交于G，H两点，则当EHG面积最大时，|GH|2第2讲圆锥曲线的方程与性质考情分析高考对这部分知识的考查侧重三个方面：一是求圆锥曲线的标准方程；二是求椭圆的离心率、双曲线的离心率以及渐近线问题；三是抛物线的性质及应用问题考点一圆锥曲线的定义与标准方程核心提炼1圆锥曲线的定义(1)椭圆：|PF1|PF2|2a(2a|F1F2|)(2)双曲线：|PF1|PF2|2a(02a0)的左、右焦点分别为F1，F2，直线l经过F2且与C的右支相交于A，B两点，若|AB|2，则ABF1的周长为()A6 B8 C10 D12(2)

9、(2023南京模拟)已知F为椭圆C：y21的右焦点，P为C上一点，Q为圆M：x2(y3)21上一点，则|PQ|PF|的最大值为()A3 B6C42 D52考点二椭圆、双曲线的几何性质核心提炼1求离心率通常有两种方法(1)求出a，c，代入公式e.(2)根据条件建立关于a，b，c的齐次式，消去b后，转化为关于e的方程或不等式，即可求得e的值或取值范围2与双曲线1(a0，b0)共渐近线bxay0的双曲线方程为(0)考向1椭圆、双曲线的几何性质例2(1)(多选)已知椭圆C：1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆上，则下列说法正确的是()AF1，F2的坐标分别为(2,0)，(2,0)B椭圆的短轴长为

10、10C|PF1|的最小值为1D当P是椭圆的短轴端点时，F1PF2取到最大值(2)(2023东三省四市教研体模拟)已知双曲线C：1(a0)过点(2,1)，则其渐近线方程为_考向2离心率问题例3(2023新高考全国)已知双曲线C：1(a0，b0)的左、右焦点分别为F1，F2.点A在C上，点B在y轴上，则C的离心率为_规律方法(1)在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，结合椭圆(或双曲线)的定义，运用平方的方法，建立与|PF1|PF2|的联系(2)求双曲线渐近线方程的关键在于求或的值，也可将双曲线方程中等号右边的“1”变为“0”，然后因式分解得到跟踪演练2(1)(多选)下列关于双曲线1说法正

11、确的是()A实轴长为6B与双曲线4y29x21有相同的渐近线C焦点到渐近线的距离为4D与椭圆1有同样的焦点(2)(2023衡阳名校协作体模拟)已知椭圆C：1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1作直线l与椭圆相交于M，N两点，MF2N90，且4|F2N|3|F2M|，则椭圆的离心率为()A. B. C. D.考点三抛物线的几何性质及应用核心提炼抛物线的焦点弦的几个常见结论设AB是过抛物线y22px(p0)的焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则(1)x1x2，y1y2p2.(2)|AB|x1x2p.(3)当ABx轴时，弦AB的长最短为2p.例4(1)(多选)(2023常德

12、模拟)已知抛物线y22px(p0)经过点M(1,2)，其焦点为F，过点F的直线l与抛物线交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，设直线OA，OB的斜率分别为k1，k2，则()Ap2 B|AB|4C.4 Dk1k24 (2)(2023南昌模拟)首钢滑雪大跳台是冬奥史上第一座与工业旧址结合再利用的竞赛场馆，它的设计创造性地融入了敦煌壁画中飞天的元素，建筑外形优美流畅，飘逸灵动，被形象地称为雪飞天中国选手谷爱凌和苏翊鸣分别在此摘得女子自由式滑雪大跳台和男子单板滑雪大跳台比赛的金牌雪飞天的助滑道可以看成一个线段PQ和一段圆弧组成，如图所示假设圆弧所在圆的方程为C：(x25)2(y2)2162，若某运

13、动员在起跳点M以倾斜角为45且与圆C相切的直线方向起跳，起跳后的飞行轨迹是一个对称轴在y轴上的抛物线的一部分，如图所示，则该抛物线的轨迹方程为()Ay232(x1) Byx23Cx232(y1) Dx236y4规律方法利用抛物线的几何性质解题时，要注意利用定义构造与焦半径相关的几何图形(如三角形、直角梯形等)来沟通已知量与p的关系，灵活运用抛物线的焦点弦的特殊结论，使问题简单化且减少数学运算跟踪演练3(1)苏州市“东方之门”是由两栋超高层建筑组成的双塔连体建筑(如图1所示)，“门”的内侧曲线呈抛物线形图2是“东方之门”的示意图，已知|CD|30 m，|AB|60 m，点D到直线AB的距离为15

14、0 m，则此抛物线顶端O到AB的距离为()A180 m B200 mC220 m D240 m(2)(多选)已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)是抛物线y28x上过焦点的两个不同的点，O为坐标原点，焦点为F，则()A焦点F的坐标为(4,0)B|AB|x1x24Cy1y28D.第3讲直线与圆锥曲线的位置关系考情分析直线与圆锥曲线的位置关系是高考的必考内容，涉及直线与圆锥曲线的相交、相切、弦长、面积以及中点弦等问题，难度中等考点一弦长问题核心提炼已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的斜率为k(k0)，则|AB|x1x2|，或|AB|y1y2|.例1已知点P在圆O：x2y24上运动，

15、过点P作x轴的垂线段PD，D为垂足，M为线段PD的中点(当点P为圆与x轴的交点时，规定点M与点P重合)(1)求点M的轨迹方程；_(2)经过点作直线l，与圆O相交于A，B两点，与点M的轨迹相交于C，D两点，若|AB|CD|，求直线l的方程_易错提醒(1)设直线方程时，需考虑特殊直线，如直线的斜率不存在、斜率为0等(2)涉及直线与圆锥曲线相交时，0易漏掉(3)|AB|x1x2p是抛物线过焦点的弦的弦长公式，其他情况该公式不成立跟踪演练1已知双曲线C：1(a0，b0)的实轴长为6，左、右焦点分别为F1，F2，点A在双曲线C上，AF2x轴，且|AF1|7. (1)求双曲线C及其渐近线的方程；(2)如图

16、，若过点F1且斜率为k(k0)的直线l与双曲线C及其两条渐近线从左至右依次交于M，P，Q，N四点，且|MN|2|PQ|，求k._考点二面积问题例2(2023合肥模拟)已知双曲线C：1(a0，b0)的左、右焦点分别为F1，F2，A为双曲线C的右支上一点，点A关于原点O的对称点为B，满足F1AF260，且|BF2|2|AF2|.(1)求双曲线C的离心率；(2)若双曲线C过点，过圆O：x2y2b2上一点T(x0，y0)作圆O的切线l，直线l交双曲线C于P，Q两点，且OPQ的面积为2，求直线l的方程_规律方法圆锥曲线中求解三角形面积的方法(1)常规面积公式：S底高(2)正弦面积公式：Sabsin C.

17、(3)铅锤水平面面积公式：过x轴上的定点：Sa|y1y2|(a为x轴上定长)；过y轴上的定点：Sa|x1x2|(a为y轴上定长)跟踪演练2已知椭圆C：1(ab0)的一个焦点为F，且离心率为.(1)求椭圆C的方程；(2)若过椭圆C的左焦点，倾斜角为60的直线与椭圆交于A，B两点，O为坐标原点，求AOB的面积_考点三中点弦问题核心提炼已知A(x1，y1)，B(x2，y2)为圆锥曲线E上两点，AB的中点C(x0，y0)，直线AB的斜率为k.若E的方程为1(ab0)，则k；若E的方程为1(a0，b0)，则k；若E的方程为y22px(p0)，则k.例3(2023呼和浩特模拟)已知抛物线T：y22px(p

18、0)和椭圆C：1，过抛物线T的焦点F的直线l交抛物线于A，B两点，线段AB的中垂线交椭圆C于M，N两点(1)若F恰是椭圆C的焦点，求p的值；(2)若pN*，且MN恰好被AB平分，求OAB的面积_规律方法处理中点弦问题常用的求解方法跟踪演练3(2023萍乡模拟)已知双曲线C：1(a0，b0)的右焦点为F(，0)，且C的一条渐近线经过点D(，1)(1)求C的标准方程；_(2)是否存在过点P(2,1)的直线l与C交于不同的A，B两点，且线段AB的中点为P.若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由_第1讲直线与圆例1(1)ACD由题意知直线l的斜率为tan 30，且过点(0,1)，所以直线l的方

19、程为yx1，方向向量为n(1，k)，A正确，B错误；直线x3y20的斜率为，且不过点(0,1)，故两直线平行，C正确；直线xy20的斜率为，则两直线斜率之积为1，故两直线垂直，D正确(2)C跟踪演练1(1)AC(2)3例2(1)A(2)B圆C：x2y2mx2y0，即2(y1)21，圆心为C，直线l：(a1)xay10，因为a1，所以直线l的斜率不为0，又a(xy)(x1)0，令解得即直线l恒过定点D(1,1)，又圆C关于直线l对称，所以圆心C在直线l上，所以1，解得m2，所以圆C：(x1)2(y1)22，半径r，显然(01)2(01)22，即圆C过坐标原点O(0,0)，因为l与C交于A，B两点

20、，即A，B为直径的两个端点，如图，所以AOB90，所以|OA|2|OB|2|AB|2(2)282|OA|OB|，即|OA|OB|4，当且仅当|OA|OB|2时取等号，所以(|OA|OB|)2|OA|2|OB|22|OA|OB|82|OA|OB|16，即|OA|OB|4，当且仅当|OA|OB|2时取等号，即|OA|OB|的最大值等于4.跟踪演练2(1)(x1)2(y)21或(x1)2(y)21或(x23)2(y2)22112或(x23)2(y2)22112(写出其中一个即可)解析设所求圆的方程为(xa)2(yb)2r2，因为与圆x2y21外切，所以1r，又因为与直线yx及y轴都相切，所以r|a|，所以2|a|ab|，即|2a|ab|，所以2aba或2aab，所以ba或ab，当ba时，因为r|a|，1r，联立得3a22|a|1，解得或r1，所以求得圆的方程为(x1)2(y)21或(x1)2(y)21，当ab时，因为r|a|，1r，联立