2024届山东名校考试联盟高三下学期开学考试数学试题含答案.pdf

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1、 学科网（北京）股份有限公司 机密机密启用前启用前 试卷类型试卷类型 A 山东名校考试联盟山东名校考试联盟 高三年级下学期开学联考高三年级下学期开学联考 数学试题数学试题2024.2 注意事项：注意事项：1答卷前，考生务必将答卷前，考生务必将自己自己的考生号、姓名、考点学校、考场号及座位号填写在答题卡上的考生号、姓名、考点学校、考场号及座位号填写在答题卡上 2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需要改回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号回答非选择题时，将答案写在答题卡上写在本动，

2、用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号回答非选择题时，将答案写在答题卡上写在本试卷上无效试卷上无效 3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回 一、单选题：本题共一、单选题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的符合题目要求的 1二项式4(32)x+的展开式中常数项为（）A4 B8 C16 D32 2欧拉公式cosisinie=+（e是自然对数的底数，i 是虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉提出的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的

3、关系已知iiez=，则z=（）A1 B2 C2 D2 2 3已知非零向量,a b 满足ab=，且23aba+=，则a与b夹角为（）A6 B3 C23 D56 4已知函数()()2ln1f xxax=+是定义在R上的奇函数，则实数a的值是（）A1 B1 C2 D2 5已知数列 na是以1a为首项，q为公比的等比数列，则“()110aq”是“na是单调递减数列”的（）A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 6若曲线()exf x=在1x=处的切线与曲线()lng xxa=+也相切，则a=（）A12 B1 C32 D2 7已知点P是直线:40l xy+=上一动点，过点

4、P作圆22:(1)(1)1Cxy+=的两条切线，切点分别 学科网（北京）股份有限公司 为,A B，则PA PB 的服小值为（）A0 B1 C2 D2 8已知双曲线2222:1(0,0)xyCabab=的左、右焦点分别为12,F F O为原点，以12F F为直径的圆与双曲线交于点P，且224tan7POF=，则双曲线C的离心率为（）A2 B3 C4 D.5 二、选择题：本题共二、选择题：本题共 3 小题，每小题小题，每小题 6 分，共分，共 18 分在每个小题给出的选项中，有多项符合题分在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得目要求全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的

5、得分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分分 9进入冬季哈尔滨旅游火爆全网，下图是 2024 年 1 月 1日到 1月 7 日哈尔滨冰雪大世界和中央大街日旅游人数的折线图，则（）A中央大街日旅游人数的极差是 1.2 B冰雪大世界日旅游人数的中位数是 2.3 C冰雪大世界日旅游人数的平均数比中央大街大 D冰雪大世界日旅游人数的方差比中央大街大 10已知函数()()sin0,2f xx=+的部分图像如图所示，则（）A2=B6x=是()f x图象的一条对称轴 C()()()210fxaf xa+=在0,2x上有两个不相等的解，则1 1,2 2a D已知函数()()21sin2g xf xx=+，当

6、()g x取最大值时，2 39sin213x=11 在 长 方 体1111ABCDA B C D中，12,1,ABAAADE=为11A B的 中 点，点P满 足 学科网（北京）股份有限公司 1(01)DPDB=，则（）A若M为1A D的中点，则三棱锥PBEM体积为定值 B存在点P使得APBE C当23=时，平面PBC截长方体1111ABCDA BC D所得截面的面积为5 D若Q为长方体1111ABCDA BC D外接球上一点，23=，则3QEQP+的最小值为14 三、填空题：本题共三、填空题：本题共 3 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 15 分分 12从 2，3，4，5，6，7，8

7、 中任取两个不同的数，事件A为“取到的两个数的和为偶数”，事件B为“取到的两个数均为偶数”，则()P B A=_ 13已知ABC的内角,A B C所对的边分别为,a b c，已知()()1cos2cosbAaB+=，2bc=，则ABC外接圆的半径为_ 14已知函数()lnf xa xx=，若不等式()e2eaxxxf x+恒成立，则实数a的取值范围为_ 四、解答题：本题共四、解答题：本题共 5 小题，共小题，共 77 分解答应写出文字说明、证明过程或演算分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤步骤 15（13 分）已知数列 na满足111,2nnaaan+=+（1）求数列 na的通项公式；（2

8、）()(1)1nnnban=+，求数列 nb的前2n项和2nS 16（15 分）甲、乙两人进行乒乓球比赛，比赛采用五局三胜制（一方先胜三局即获胜，比赛结束），每一局比赛中两人都要决出胜负，不出现平局，且甲获胜的概率为(01)pp ，所以PA PB 的最小值 0 故选：A 8【解析】解法一：由题意得，1212190,22F PFOPOFPOFPFO=，222tan24tantan271tanPOF=，所以13tantan4PFO=，即2134PFPF=，又122PFPFa=，所以128,6PFaPFa=在12PFF中，由勾股定理得：学科网（北京）股份有限公司 222(8)(6)(2)aac+=，

9、解得225e=，所以双曲线C的离心率为 5 解法二：点P一定在右支上，不妨设点P在第一象限，由于224tan7POF=，所以724,2525ccP，一定满足22221xyab=，即222272425251ccab=，化简得，22222249576625b ca ca b=，结合222cab=+，整理得，42244926256250ca ca+=，同除4a得，424926256250ee+=，解得，225e=或22549e=（舍），所以双曲线C的离心率为 5，故选：C 二、多项选择题：本题共二、多项选择题：本题共 3 小题，每小题小题，每小题 6 分，共分，共 18 分，在每小题给出的四个选项中

10、，有多项分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对的得符合题目要求全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分分 题号 9 10 11 答案 BC ABD ACD 10【解析】对于 A：因为周期,0T=，所以2=对于 B：代入2,13得4sin13+=，所以()43232kk+=+Z，则()26kk=+Z，因 为2，所 以6=，则()sin 26f xx=+，其 对 称 轴 为()126xkk=+Z，所以6x=是()f x的对称轴 对于 C：因为()()()210fxaf xa+=，所以()1f x=或()f xa=，因为0,2x

11、，所以令72,666tx=+，所以sin1t=或sinta=有两个解，结合sinyt=的图象，1y=与sinyt=有一个交点，12y=与sinyt=有一个交点，共两个交点，所以12a=符合题意，答案错误 对于 D：()311132 39131sin2cos2sin2cos2244413134g xxxxx=+=+，令2 3913cos,sin1313=，所以()()131sin 244g xx=+学科网（北京）股份有限公司 所以当()222xkk+=+Z时取到最大值，此时2 39sin2sin 2cos213xk=+=答案：ABD 11【解析】对于 A：因为M为1A D的中点，E为11A B的

12、中点，所以1DBEM，所以1DB面BEM，则P到面BEM的距离为定值，所以体积为定值 对于 B：AP在平面11ABB A的投影为1AB，由三垂线定理得，若APBE，则1ABBE，因为四边形11ABB A为正方形，所以1AB与BE不垂直，所以 B 错 对于 C：平面PCD与平面1B CD重合，平面1B CD与平面11DCB A重合，所以延长CP会与11A B有交点，因为123DPDB=，所以延长CP与11A B交于点E，取11C D中点F，则平面PBC截长方体1111ABCDA B C D所得截面为矩形BCFE，所以面积为5对于 D：长方体1111ABCDA BC D外接球球心为1B D中点，半

13、径为132,23DPDB=，由阿氏球得，在直线1B D上必存在一点N，使得3QPQN=，此时点N在1DB延长线上，且满足13B N=，以D为原点，建系如图，13,6DBDN=所以12DNDB=，则()4,2,4N，因为()1,1,2E，所以minmin(3)()14QEQPQEQNNE+=+=答案：ACD 三、填空题：本题共三、填空题：本题共 3 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 15 分分 1223；132 33；140,e 13【解析】解法一：由正弦定理得，()()sin1cossin2cosBAAB+=，化简得，sinsin cos2sinsin cosBBAAAB+=，所以(

14、)sinsin cossin cossinsinsinsin2sinBBAABBABBCA+=+=+=由正弦定理得2bca+=，因为2bc=，所以ABC为正三角形，学科网（北京）股份有限公司 由24 32,2sinsinsin3sin3abcRRABC=，所以ABC外接圆的半径2 33 解法二：由余弦定理得，2222221222bcaacbbabcac+=，化简得2bca+=，因为2bc=，所以ABC为正三角形，由2sinsinsinabcRABC=，得24 323sin3R=，所以ABC外接圆的半径为2 33 14【解析】只需保证2ln10eeaaxxxx 恒成立 令()2ln1g xxx=

15、，则()g x在()0,2上递减，在()2,+上递增，当x +时()(),322ln30g xg+=，使得()00g x=又()10g=，故01eaxx或0eaxxx恒成立 又当x +时0eaxx，则0eaxxx不恒成立，于是01eaxx恒成立 当0a 时，lna xx，若01x时，则lnxax恒成立，求导可得0ea 综上所述，实数a的取值范围为0,e 四、解答题：本题共四、解答题：本题共 5 小题，共小题，共 77 分解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15【解析】因为12nnaan+=+，所以()121nnaan=+，()122122,2,n

16、naanaa=+=+累加得：()211212nnnaann=+=+，学科网（北京）股份有限公司 经检验1n=时符合，所以21nann=+【注：丢捕对1n=的检监不扣分】（2）因为()(1)1nnnban=+，所以()22(1)11(1)nnnbnnnn=+=，所以222222221234(21)(2)12322nSnnnnn=+=+=+【注：此处没有使用并项法求和，而是使用不完全归纳法得出规律求和，不扣分】16【解析】（1）记A表示甲以3:2获胜，则前 4 局两人比分为2:2平，第 5 局甲获胜，所以()22242121633381P AC=；【注：浸有列出式子，直接给出答束，扣 3 分】（2

17、）X的可能取值为 3，4，5()31211324P XC=，()4122313428P XCC=，()5122413528P XCC=，故()133333454888E X=+=；【注：1不列出分布列的格，不扣分；2没有单独给出随机变童的取值，后面求概时有体现，不扣分；3每一个概值的计算只有结来没有式子，各和 1 分；4数学期望只有结果，没有式子，和 1 分；5结果没有化成最简分数，不扣分】17【解析】（1）证明：连接AC，过A做BC的垂线交BC于点F，所以1BF=，因为2AB=，所以3AF=，又因为3FC=，所以2 3AC=，所以90BAC=，所以ABAC【注：其他方法证得ABAC，同样得分

18、】因为PA 面,ABCD AC 面ABCD，所以ACPA，PA与AB交于点A，所以AC 面PAB，因为AC 面PAC，所以面PAB 面PAC【注：1此处铁少AC 面PAB，直接得面PAB 面PAC，扣 1 分；学科网（北京）股份有限公司 2证得PA 面ABCD后建系，由两平面的法向量重直得两平面垂直也同样得分】（2）延长,BA CD交于点E，因为E 面PAB，且E 面PCD，所以El，PE即为面PAB与面PCD的交线，以A为原点建系如图：()()()()0,2,0,2 3,0,0,0,2,0,0,0,2BCEP，()()()0,2,2,2 3,0,2,0,2,2PBPCPE=，设面PCB的方向

19、量为(),nx y z=，则2202 320yzxz=，取()1,3,3n=，设直线l与平面PCB的夹角为，所以 4 342sin|cos,72 27PE nPE nPE n=所以直线l与平面PCB夹角的正弦值为427 解法二：延长,BA CD交于点E，因为E 面PAB，且E 面PCD，所以El，PE即为面PAB与面PCD的交线 如图建立空间直角坐标系：()()()()2,0,0,0,2 3,0,2,0,0,0,0,2,BCEP 所以()()()2,0,2,0,2 3,2,2,0,2PBPCPE=，学科网（北京）股份有限公司 设面PCB的方向量为(),nx y z=，则2202 320 xzy

20、z=，取()3,1,3n=，设直线l与平面PCB的夹角为，所以4 342sincos,72 27PE nPE nPE n=，所以直线l与平面PCB夹角的正弦值为427 解法三：延长,BA CD交于点E，因为E 面PAB，且E 面PCD，所以El，PE即为面PAB与面PCD的交线 做AFBC于点F，连接PF，因为PA 面ABCD，由三垂线定理可知：BCPF 在RtPAF中，3,2AFPA=，所以7PF=设点E到平面PBC的距离为h，由E PBCP BCEVV=，得4 217h=，因为PA 面ABCD，所以在RtPAE中，2 2PE=设PE与平面PBC得夹角为，则42sin7hPE=，所以直线l与

21、平面PCB夹角的正弦值为427 学科网（北京）股份有限公司 18【解析】（1）由题意可知()()ln1F xaxx=+，则()F x的定义域为()1,+，()1111axaFxaxx+=+当0a 时，()101Fxax=时，若()11111,01aaxaxFxaax+=+，则()F x在11,1a上单调递减，在11,a+上单调递增 综上所述，当0a 时，()F x在()1,+上单调递减；当0a 时，()F x在11,1a上单调递减，在11,a+上单调递增【注：1丢接0a=的情况，扣 1 分；2单调区间未用区间表示，共扣 1 分】（2）（）函数()()111 ln 1ln 2g xxxx=+，则

22、()412ln2ln3ln3g=，()13342lnlnlnln2243g=，故()()120gg=（）函数()g x的定义域为()(),10,+若存在m，使得曲线()yg x=关于直线xm=对称，则()(),10,+关于直线xm=对称，所以12m=由()()111ln 1ln 211gxxxx=+()211211121lnlnlnln1lnlnln1111xxxxxxxxxxxxxxxxx+=+()()1211lnlnxxxg xxx+=+=可知曲线()yg x=关于直线12x=对称【注：1由（）的计算结果猜想得出对称轴为直线12x=，也得 2 分；2只要出理()()1gxg x=或1122

23、gxgx+=或两者做差等于 0 等式子，即得 2 分；没有最后一句结论，不扣分】学科网（北京）股份有限公司 19【解析】（1）由题意可知()2,1A，求导得2xy=，则切线A B 的方程为1,yxB=为切线A B 与y轴的交点，则点B的坐标为()0,1【注：求导正确得 1 分；正确求解点C或A处的切线得 1 分；正确求得点B的坐标得 1 分】（2）设222312123,444xxxA xB xC x，则抛物线在点A处的切线B C 的方程为21124xxyx=，同理可得切线A C 的方程为22224xxyx=，【注：得由其中一条切线方程即可得 1 分】联立可得交点1212,24xxx xC+同理

24、可得23233131,2424xxx xxxx xAB+【注：得由其中 1 个顶点的坐标即可得 1 分】设垂心H的坐标为(),x y，则2331122233112444,2222ACB Hx xx xx xyxkkxxxxxxx=+由A CB H 可知312314122ACB Hx xyxkkxxx=+，即12323124x x xxx yxx+=+【注：由现解之积为1，即得 1 分】同理可得12331224x x xxx yxx+=+两式相减可得()3223xxyxx=，即1y=因此垂心H在定直线1y=上【注：出理定直线1y=，即得 1 分】学科网（北京）股份有限公司（3）直线AB的方程为2

25、12121221,1444xxx xxxyxABxx+=+，点233,4xC x到直线AB的距离为()()213233123231122121244414 144x xx xxx xxxxxdxxxx+=+，则三角形ABC的面积()()()112131321128SAB dxxxxxx=再由切线B C 的方程为223233131111212,24242424xxx xxxx xxxxxx xyxABC+=可知223111213211122222xxxxxxB Cxx+=+=+，点2323,24xxx xA+到直线B C 的距离为()()2121323121312221144414 122x x

26、x xx xxxxxxdxx+=+，则外切三角形A B C 的面积()()()2221313211216SB Cdxxxxxx=故()()()()()()21313212213132182116xxxxxxSSxxxxxx=因此三角形ABC与外切三角形A B C 的面积之比为定值 2 解法二：因为222312123,444xxxA xB xC x，所以()()22223121213111224444ABCxxxxSABACxxxx=()()()31213218xxxxxx=学科网（北京）股份有限公司 由得232331311212,242424xxx xxxx xxxx xABC+所以312313122312,2424x xx xxxx xx xxxA BA C=12233 123132111222442A B Cx xx xx xx xxxxxSA BA C =()()()312132116xxxxxx=所以2ABCA B CSS=