专题06 圆锥曲线大题-【考前100天之新高考风向标】备战2024年新高考数学重点专题二轮冲刺复习模考真题演练（新教材新高考）含解析.docx

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1、专题06 圆锥曲线大题-【考前100天之新高考风向标】备战2024年新高考数学重点专题二轮冲刺复习模考真题演练（新教材新高考）专题06 圆锥曲线大题解题秘籍1.利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤：（1）设直线方程，设交点坐标为、；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算；（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式；（5）代入韦达定理求解2.若直线与圆雉曲线相交于，两点，由直线与圆锥曲线联立，消元得到（）则：则：弦长或圆锥曲线弦长万能公式（硬解定理）设直线方程为: y=kx+b (特殊情况要对 k 进行讨论), 圆锥曲线

2、的方程为: fx,y=0, 把直线方程代入曲线方程, 可化为 ax2+bx+c=0a0或ay2+by+c=0,a0, 设直线和曲线的两交点为 Ax1,y1,Bx2,y2, 求根公式为x=bb24ac2a(1) 若消去 y, 得ax2+bx+c=0a0则弦长公式为:AB=x1x22+y1y22=1+k2x1x2=1+k2b+b24ac2abb24ac2a=1+k2a(2) 若消去 x,得ay2+by+c=0a0则弦长公式为:AB=x1x22+y1y22=1+1k2y1y2=1+1k2b+b24ac2abb24ac2a=1+1k2a3. 处理定点问题的思路：（1）确定题目中的核心变量（此处设为），

3、（2）利用条件找到与过定点的曲线的联系，得到有关与的等式，（3）所谓定点，是指存在一个特殊的点，使得无论的值如何变化，等式恒成立，此时要将关于与的等式进行变形，直至找到，若等式的形式为整式，则考虑将含的式子归为一组，变形为“”的形式，让括号中式子等于0，求出定点；若等式的形式是分式，一方面可考虑让分子等于0，一方面考虑分子和分母为倍数关系，可消去变为常数.4. 处理定值问题的思路：联立方程，用韦达定理得到、（或、）的形式，代入方程和原式化简即可.模拟训练一、解答题1（2223下无锡三模）已知，为椭圆上三个不同的点，满足，其中.记中点的轨迹为.(1)求的方程；(2)若直线交于，两点，交于，两点，

4、求证：.2（2223深圳二模）已知椭圆的离心率，且点在椭圆上.(1)求椭圆的方程；(2)若经过定点的直线与椭圆交于两点，记椭圆的上顶点为，当直线的斜率变化时，求面积的最大值.3（2223下河北一模）已知抛物线的焦点为F，直线与C交于A，B两点，当时，.(1)求抛物线C的方程；(2)若直线与抛物线C交于M，N两点，证明：由直线，直线及y轴围成的三角形为等腰三角形.4（2223下河北三模）已知椭圆，其焦距为，连接椭圆的四个顶点所得四边形的面积为6(1)求椭圆的标准方程；(2)已知点，过点作斜率不为0的直线交椭圆于不同两点，求证：直线与直线所成的较小角相等5（2223下浙江二模）已知双曲线的左、右顶

5、点分别为A，B，过点的直线l交双曲线于P，Q两点（不与A，B重合），直线，分别与y轴交于M，N两点(1)记直线，的斜率分别为，求；(2)记，的面积分别为，当时，求直线l的方程6（2223下长沙二模）已知双曲线的左、右顶点分别为A1，A2，动直线l：与圆相切，且与双曲线左、右两支的交点分别为（，），（，）(1)求k的取值范围；(2)记直线P1A1的斜率为k1，直线P2A2的斜率为k2，那么是定值吗？证明你的结论7（2223下浙江三模）已知双曲线为其左右焦点，点为其右支上一点，在处作双曲线的切线.(1)若的坐标为，求证：为的角平分线；(2)过分别作的平行线，其中交双曲线于两点，交双曲线于两点，求和

6、的面积之积的最小值.8（2223宁德二模）在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率，椭圆的右焦点到直线的距离(1)求椭圆的方程(2)已知，是椭圆上的两个不同的动点，以线段为直径的圆经过坐标原点试判断圆与直线的位置关系并说明理由9（2223厦门一模）已知圆：，点，是圆上任意一点，线段的垂直平分线和半径相交于(1)求动点的轨迹的方程；(2)经过点和的圆与直线：交于，已知点，且、分别与交于、.试探究直线是否经过定点.如果有，请求出定点；如果没有，请说明理由.10（2223下湖北三模）已知分别为椭圆的左、右焦点，点是椭圆C上一点(1)求椭圆C的方程；(2)设是椭圆C上且处于第一象限的动点，直线与椭圆C分别

7、相交于两点，直线，相交于点N，试求的最大值11（2223下武汉三模）已知椭圆过点，左焦点为(1)求椭圆C的方程；(2)设直线与椭圆C交于A，B两点，点M为椭圆C外一点，直线，分别与椭圆C交于点C，D（异于点A，B），直线，交于点N，求证：直线的斜率为定值12（2223下黄冈三模）如图，双曲线的中心在原点，焦点到渐近线的距离为，左、右顶点分别为曲线是以双曲线的实轴为长轴，虚轴为短轴，且离心率为的椭圆，设在第一象限且在双曲线上，直线交椭圆于点，直线与椭圆交于另一点(1)求椭圆及双曲线的标准方程；(2)设与轴交于点，是否存在点使得（其中为点的横坐标），若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由13（

8、2223下长沙二模）已知圆是圆上任意一点，线段的垂直平分线与半径相交于点，当点运动时，点的轨迹为曲线(1)求曲线的方程；(2)过点的直线与曲线相交于点，与轴相交于点，过点的另一条直线与相交于两点，且的面积是面积的倍，求直线的方程14（2223下长沙三模）已知椭圆E：的左、右焦点分别为,焦距与短轴长均为4. 设过F2的直线l交E于M,N,过M,N分别作E在点M,N上的两条切线,记它们的交点为P,MN的中点为Q.(1)证明：O,P,Q三点共线；(2)过F1作平行于l的直线分别交PM,PN于A,B,求的取值范围.参考结论：点T(,)为椭圆()上一点,则过点T(,)的椭圆的切线方程为.15（2223下

9、长沙三模）已知P为圆C：上一动点，点，线段PN的垂直平分线交线段PC于点Q(1)求点Q的轨迹方程；(2)点M在圆上，且M在第一象限，过点M作圆的切线交Q点轨迹于A，B两点，问的周长是否为定值？若是，求出定值；若不是，说明理由.16（2324上永州一模）已知点A为圆上任意一点，点的坐标为，线段的垂直平分线与直线交于点(1)求点的轨迹的方程；(2)设轨迹E与轴分别交于两点（在的左侧），过的直线与轨迹交于两点，直线与直线的交于，证明：在定直线上17（2223下广州三模）已知椭圆：的左、右焦点为，离心率为，为椭圆上的一点，且的内切圆半径最大值为.(1)求椭圆的方程；(2)直线：交椭圆于，两点，的角平分

10、线所在的直线与直线交于点，记直线的斜率为，试问是否为定值，若是定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由.18（2223广州三模）直线经过点且与抛物线交于两点(1)若，求抛物线的方程；(2)若直线与坐标轴不垂直，证明：的充要条件是19（2223唐山二模）已知椭圆，连接E的四个顶点所得四边形的面积为4，是E上一点(1)求椭圆E的方程；(2)设斜率为的直线与椭圆E交于A，B两点，D为线段的中点，O为坐标原点，若E上存在点C，使得，求三角形的面积20（2223秦皇岛二模）已知双曲线实轴的一个端点是，虚轴的一个端点是，直线与双曲线的一条渐近线的交点为.(1)求双曲线的方程；(2)若直线与曲线有两个不同的

11、交点是坐标原点，求的面积最小值.21（2223沧州三模）已知为圆：上任一点，且满足.(1)求动点的轨迹的方程；(2)直线：与轨迹相交于，两点，与轴交于点，过的中点且斜率为的直线与轴交于点，记，若，求的取值范围.22（2223下南京二模）已知拋物线和圆(1)若抛物线的准线与轴相交于点，是过焦点的弦，求的最小值；(2)已知，是拋物线上互异的三个点，且点异于原点若直线，被圆截得的弦长都为2，且，求点的坐标23（2223下苏州三模）已知点是圆上一动点，点，线段的垂直平分线交线段于点.(1)求动点的轨迹方程；(2)定义：两个离心率相等的圆锥曲线为“相似”曲线.若关于坐标轴对称的曲线与曲线相似，且焦点在同

12、一条直线上，曲线经过点.过曲线上任一点作曲线的切线，切点分别为，这两条切线分别与曲线交于点（异于点），证明：.24（2223下江苏三模）已知椭圆E：，椭圆上有四个动点A，B，C，D，AD与BC相交于P点.如图所示.(1)当A，B恰好分别为椭圆的上顶点和右顶点时，试探究：直线AD与BC的斜率之积是否为定值？若为定值，请求出该定值；否则，请说明理由；(2)若点P的坐标为，求直线AB的斜率.25（2223下常州一模）已知椭圆：的短轴长为，离心率为(1)求椭圆的方程；(2)过点的动直线与椭圆相交于不同的两点，在线段上取点，满足，证明：点总在某定直线上26（2223下浙江二模）已知双曲线的左、右焦点分别

13、为，且到的一条渐近线的距离为.(1)求的方程；(2)过的左顶点且不与轴重合的直线交的右支于点，交直线于点，过作的平行线，交直线于点，证明：在定圆上.27（2223茂名三模）已知双曲线的离心率为2.(1)求双曲线的渐近线方程；(2)若双曲线的右焦点为，若直线与的左，右两支分别交于两点，过作的垂线，垂足为，试判断直线是否过定点，若是，求出定点的坐标；若不是，请说明理由.28（2223下温州三模）已知抛物线与双曲线相交于两点是的右焦点，直线分别交于（不同于点），直线分别交轴于两点.(1)设，求证：是定值；(2)求的取值范围.29（2223下浙江二模）已知双曲线的渐近线方程为，左右顶点为，设点，直线分

14、别与双曲线交于两点（不同于）.(1)求双曲线的方程；(2)设的面积分别为，若，求直线方程.（写出一条即可）30（2223三明三模）已知是椭圆的右焦点，为坐标原点，为椭圆上任意一点，的最大值为.当时，的面积为.(1)求椭圆的方程；(2)、为椭圆的左、右顶点，点满足，当与、不重合时，射线交椭圆于点，直线、交于点，求的最大值.31（2223龙岩二模）已知椭圆的左、右焦点分别为，过右焦点的直线交椭圆K于M，N两点，以线段为直径的圆C与圆内切(1)求椭圆K的方程；(2)过点M作轴于点E，过点N作轴于点Q，与交于点P，是否存在直线使得的面积等于？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由32（2223淄

15、博三模）已知双曲线C：的左、右焦点分别为、，焦距为4，右顶点为A，以A为圆心，b为半径的圆与双曲线的一条渐近线相交于R，S两点，且RAS60.(1)求双曲线C的标准方程；(2)已知点M，Q是双曲线C上关于坐标原点对称的两点，其中M位于第一象限，的角平分线记为l，过点M做l的垂线，垂足为E，与双曲线右支的另一交点记为点N，求的最大值.33（2223山东二模）已知抛物线，过点的两条直线、分别交于、两点和、两点当的斜率为时，(1)求的标准方程；(2)设为直线与的交点，证明：点在定直线上34（2223菏泽三模）已知椭圆与直线相交于两点，椭圆上一动点，满足（其中表示两点连线的斜率），且为椭圆的左、右焦点

16、，面积的最大值为(1)求椭圆的标准方程；(2)过点的直线交椭圆于两点，求的内切圆面积的最大值35（2223下武汉三模）已知双曲线：的一条渐近线为，椭圆：的长轴长为4，其中.过点的动直线交于A，B两点，过点的动直线交于M，N两点.(1)求双曲线和椭圆的方程；(2)是否存在定点Q，使得四条直线QA，QB，QM，QN的斜率之和为定值?若存在，求出点Q坐标；若不存在，说明理由.36（2223下湖南二模）已知为双曲线的左右焦点，且该双曲线离心率小于等于，点和是双曲线上关于轴对称非重合的两个动点，为双曲线左右顶点，恒成立(1)求该双曲线的标准方程；(2)设直线和的交点为，求点的轨迹方程37（2223梅州三

17、模）已知双曲线的右焦点，右顶点分别为，点在线段上，且满足，直线的斜率为1，为坐标原点.(1)求双曲线的方程.(2)过点的直线与双曲线的右支相交于，两点，在轴上是否存在与不同的定点，使得恒成立？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.38（2223福州三模）已知M是平面直角坐标系内的一个动点，直线MA与直线垂直，A为垂足且位于第三象限；直线MB与直线垂直，B为垂足且位于第二象限.四边形OAMB(O为原点)的面积为2，记动点M的轨迹为C.(1)求C的方程；(2)点，直线PE，QE与C分别交于P，Q两点，直线PE，QE，PQ的斜率分别为，.若，求PQE周长的取值范围.39（2223德州三模）已知

18、分别为双曲线的左，右焦点，点在上，且双曲线的渐近线与圆相切(1)求双曲线的方程；(2)若过点且斜率为的直线交双曲线的右支于两点，为轴上一点，满足，试问是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由40（2223下烟台三模）已知双曲线的焦距为4，点在上(1)求双曲线的方程；(2)设双曲线的左、右焦点分别为，斜率为且不过的直线与交于点，若为直线斜率的等差中项，求到直线的距离的取值范围专题06 圆锥曲线大题解题秘籍1.利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤：（1）设直线方程，设交点坐标为、；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算；（3）列出韦达定理；（

19、4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式；（5）代入韦达定理求解2.若直线与圆雉曲线相交于，两点，由直线与圆锥曲线联立，消元得到（）则：则：弦长或圆锥曲线弦长万能公式（硬解定理）设直线方程为: y=kx+b (特殊情况要对 k 进行讨论), 圆锥曲线的方程为: fx,y=0, 把直线方程代入曲线方程, 可化为 ax2+bx+c=0a0或ay2+by+c=0,a0, 设直线和曲线的两交点为 Ax1,y1,Bx2,y2, 求根公式为x=bb24ac2a(1) 若消去 y, 得ax2+bx+c=0a0则弦长公式为:AB=x1x22+y1y22=1+k2x1x2=1+k2b+b24ac2abb

20、24ac2a=1+k2a(2) 若消去 x,得ay2+by+c=0a0则弦长公式为:AB=x1x22+y1y22=1+1k2y1y2=1+1k2b+b24ac2abb24ac2a=1+1k2a4. 处理定点问题的思路：（1）确定题目中的核心变量（此处设为），（2）利用条件找到与过定点的曲线的联系，得到有关与的等式，（3）所谓定点，是指存在一个特殊的点，使得无论的值如何变化，等式恒成立，此时要将关于与的等式进行变形，直至找到，若等式的形式为整式，则考虑将含的式子归为一组，变形为“”的形式，让括号中式子等于0，求出定点；若等式的形式是分式，一方面可考虑让分子等于0，一方面考虑分子和分母为倍数关系，

21、可消去变为常数.5. 处理定值问题的思路：联立方程，用韦达定理得到、（或、）的形式，代入方程和原式化简即可.模拟训练一、解答题1（2223下无锡三模）已知，为椭圆上三个不同的点，满足，其中.记中点的轨迹为.(1)求的方程；(2)若直线交于，两点，交于，两点，求证：.【答案】(1)(2)证明见解析【分析】（1）根据向量的坐标计算和椭圆的标准方程即可求解；（2）根据直线和椭圆的方程联立以及中点坐标公式即可求解.【详解】（1）设，则，将代入，得将代入，得，即，又因为且所以，所以，所以的方程为.即的方程为.（2）设中点为，中点为.当垂直轴时，由对称性可得；当不垂直轴时，设，将直线的方程代入，得，所以，

22、所以，即，同理，由此可知.2（2223深圳二模）已知椭圆的离心率，且点在椭圆上.(1)求椭圆的方程；(2)若经过定点的直线与椭圆交于两点，记椭圆的上顶点为，当直线的斜率变化时，求面积的最大值.【答案】(1)(2)16【分析】根据离心率的值和定义可以求出之间的关系式，待定系数法设出椭圆方程后把已知点代入求解即可.设出直线方程后，联立直线和椭圆方程，消元化简后，可得，利用弦长公式求出弦长，再利用点到直线距离公式求出三角形的高，的面积可用直线斜率进行表达，通过换元转化为一元二次函数，求出最值即可.【详解】（1）椭圆的离心率，则，即，所以，椭圆方程为.将点代入方程得，故所求方程为.（2）点在椭圆内，直

23、线的斜率存在，设直线的方程为，由得.设，则.点到的距离.令，则则.因为，所以当时，是所求最大值.3（2223下河北一模）已知抛物线的焦点为F，直线与C交于A，B两点，当时，.(1)求抛物线C的方程；(2)若直线与抛物线C交于M，N两点，证明：由直线，直线及y轴围成的三角形为等腰三角形.【答案】(1)(2)证明见解析【分析】（1）根据直线抛物线方程的联立以及抛物线的定义即可求解；（2）根据直线与抛物线方程的联立以及坐标关系即可求解.【详解】（1）当时，直线，与联立消去y，整理可得， 由得，即.设，可得，所以，由题意可得，准线方程为，根据抛物线的定义可得，所以，解得，满足，所以抛物线C的方程为.（

24、2）直线与联立可得，由得，即或（舍）设，则；直线与联立消去y，整理可得，由得，即或（舍），故，设，则；因为，同理，所以，所以由直线，直线及y轴围成的三角形为等腰三角形.4（2223下河北三模）已知椭圆，其焦距为，连接椭圆的四个顶点所得四边形的面积为6(1)求椭圆的标准方程；(2)已知点，过点作斜率不为0的直线交椭圆于不同两点，求证：直线与直线所成的较小角相等【答案】(1)(2)证明见解析【分析】（1）由题意可得，进而解方程求解即可；（2）设直线的方程为，设，联立直线和椭圆方程，利用韦达定理得到、，转化直线与直线所成的较小角相等为，进而求证即可.【详解】（1）由题意得，解得，所以椭圆的标准方程为

25、.（2）证明：由题意，直线的斜率一定存在，设直线的方程为，设，联立，整理得，所以，即，且，因为直线平行于轴，所以要证直线与直线所成的较小角相等，即证直线的倾斜角互补，即证，下面进行证明：，所以直线与直线所成的较小角相等.5（2223下浙江二模）已知双曲线的左、右顶点分别为A，B，过点的直线l交双曲线于P，Q两点（不与A，B重合），直线，分别与y轴交于M，N两点(1)记直线，的斜率分别为，求；(2)记，的面积分别为，当时，求直线l的方程【答案】(1)见解析(2)或或【分析】（1）设直线的方程为，将其与双曲线的方程联立，得到关于的一元二次方程，再结合韦达定理和直线的斜率公式，计算的值，即可（2）根

26、据可得，根据两点坐标求解直线的方程，进而可得的坐标，结合韦达定理即可代入求值.【详解】（1）由题意知，设直线的方程为，,，联立，得， ，直线的斜率，直线的斜率，为定值（2）设,则，,由于,得，设直线，可得，设直线，可得，所以，所以由得，当时，则，解得，此时直线方程为 当时，则，解得，此时直线方程为故直线方程为或或【点睛】圆锥曲线中求定值的常见求解策略，利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造等量关系，利用直线与曲线的联立，得到韦达定理，以及距离公式，弦长公式，直线方程的交点等关系式，还要注意向量的应用，根据向量的共线得到点的坐标之间的关系，代入等量关系中化简，即可找到解题突破.6（2223下长沙二模

27、）已知双曲线的左、右顶点分别为A1，A2，动直线l：与圆相切，且与双曲线左、右两支的交点分别为（，），（，）(1)求k的取值范围；(2)记直线P1A1的斜率为k1，直线P2A2的斜率为k2，那么是定值吗？证明你的结论【答案】(1)(2)【分析】（1）根据直线与圆相切，可得，联立直线与双曲线，根据可得的范围；（2）根据斜率公式以及韦达定理，将变形化简可得结果.【详解】（1）与圆相切，由，得，故的取值范围为.（2）由已知可得的坐标分别为，又因为，所以，为定值.7（2223下浙江三模）已知双曲线为其左右焦点，点为其右支上一点，在处作双曲线的切线.(1)若的坐标为，求证：为的角平分线；(2)过分别作的

28、平行线，其中交双曲线于两点，交双曲线于两点，求和的面积之积的最小值.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）易得点处的切线方程，根据交轴于点，由判断；（2）过的切线，由时，得到，联立，得到，再由，然后由求解.【详解】（1）解：由题意点处的切线为，所以过点处的切线方程为，交轴于点，则，即，所以为的角平分线；（2）过的切线，当时，即不为右顶点时，即，（或由直线与单支有两个交点，则也可）联立设，则所以又所以，当时，即点为右顶点时，所以，所以的最小值为.8（2223宁德二模）在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率，椭圆的右焦点到直线的距离(1)求椭圆的方程(2)已知，是椭圆上的两个不同的动点，以线段

29、为直径的圆经过坐标原点试判断圆与直线的位置关系并说明理由【答案】(1)(2)圆与直线相切，理由见解析【分析】（1）根据椭圆的离心率公式以及点到直线的距离公式，建立方程，可得答案；（2）设出直线方程，联立可得一元二次方程，写出韦达定理，结合直线与圆相切的性质，可得答案.【详解】（1）设椭圆的右焦点为，因为椭圆的右焦点到直线的距离是，所以，所以又因为离心率，所以，所以，所以椭圆方程为（2）圆与直线相切理由：设，当直线的斜率存在时，设直线的方程为由，得，化简可得：.所以，因为以线段为直径的圆过坐标原点，所以，所以，且，所以圆心到直线的距离当直线的斜率不存在时，由题知，所以，所以，所以圆心到直线的距离

30、综上所述，圆与直线相切9（2223厦门一模）已知圆：，点，是圆上任意一点，线段的垂直平分线和半径相交于(1)求动点的轨迹的方程；(2)经过点和的圆与直线：交于，已知点，且、分别与交于、.试探究直线是否经过定点.如果有，请求出定点；如果没有，请说明理由.【答案】(1)(2)经过定点，定点坐标为【分析】（1）利用椭圆的定义即可求出动点的轨迹的方程；（2）设，直线的方程为：，与椭圆方程联立，根据韦达定理列出，之间的关系，再利用两点式写出直线的方程，求出点，再写出以为直径的圆的方程，根据圆的方程经过点，得到关系式，进而求得为定值，从而得到直线过定点.【详解】（1）如图所示，且，点的轨迹是以，为焦点的椭

31、圆，设椭圆方程，则，.所以点的轨迹方程为：.（2）设直线的方程为：，由，得设，则，.所以，因为直线的方程为：，令，得，所以，同理可得，以为直径的圆的方程为：，即，因为圆过点，所以，得，代入得，化简得，解得或（舍去），所以直线经过定点，当直线的斜率为0时，此时直线与轴重合，直线经过点，综上所述，直线经过定点.10（2223下湖北三模）已知分别为椭圆的左、右焦点，点是椭圆C上一点(1)求椭圆C的方程；(2)设是椭圆C上且处于第一象限的动点，直线与椭圆C分别相交于两点，直线，相交于点N，试求的最大值【答案】(1)(2)【分析】（1）根据椭圆的定义求出，然后根据的关系即可求解；（2）设，得到，将的方程

32、与曲线方程联立，利用韦达定理得到，代入进而利用基本不等式即可求解.【详解】（1）由，得，椭圆C的方程是；（2）设，根据题意设的方程为：，由题意知，将，代入中，整理得，又，同理可得，（当且仅当时取等号）的最大值是11（2223下武汉三模）已知椭圆过点，左焦点为(1)求椭圆C的方程；(2)设直线与椭圆C交于A，B两点，点M为椭圆C外一点，直线，分别与椭圆C交于点C，D（异于点A，B），直线，交于点N，求证：直线的斜率为定值【答案】(1)(2)证明见解析【分析】（1）根据已知过点和椭圆性质即可求解.（2）利用已知求出两点坐标，解设出，然后利用斜率并表示出方程，再表示出直线的斜率即可得出结论.【详解】

33、（1）由已知得，解得，即椭圆C的方程为.（2）由，得，设，则，同理设，则由直线过点得：由直线过点N得：得：同理，由直线过点M得：由直线过点N得：得：得：，进而所以直线的斜率为定值12（2223下黄冈三模）如图，双曲线的中心在原点，焦点到渐近线的距离为，左、右顶点分别为曲线是以双曲线的实轴为长轴，虚轴为短轴，且离心率为的椭圆，设在第一象限且在双曲线上，直线交椭圆于点，直线与椭圆交于另一点(1)求椭圆及双曲线的标准方程；(2)设与轴交于点，是否存在点使得（其中为点的横坐标），若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由【答案】(1)(2)存在，【分析】（1）根据双曲线以及椭圆的几何性质即可求解的值，

34、（2）联立直线与椭圆的方程得到韦达定理，结合坐标运算即可求解.【详解】（1）由已知可设双曲线方程为，椭圆方程，则双曲线的一条渐近线方程为，即，故，即，又，解得，所以双曲线方程：，椭圆方程为：；（2）设，直线，显然，由，又因为在双曲线上，满足，即，所以，即同理直线，由于是直线与椭圆的两个交点，所以,在双曲线上，满足,即可得，所以，若存在，即，而在第一象限，所以，即【点睛】解析几何简化运算的常见方法：（1）正确画出图形，利用平面几何知识简化运算；（2）坐标化，把几何关系转化为坐标运算；（3）巧用定义，简化运算.13（2223下长沙二模）已知圆是圆上任意一点，线段的垂直平分线与半径相交于点，当点运动

35、时，点的轨迹为曲线(1)求曲线的方程；(2)过点的直线与曲线相交于点，与轴相交于点，过点的另一条直线与相交于两点，且的面积是面积的倍，求直线的方程【答案】(1)(2)【分析】（1）根据题意和椭圆的定义即可求解；（2）首先求出直线的方程，以及点的坐标，讨论直线的斜率存在与否，当斜率存在时，设直线的方程为，联立解方程组求出，根据的面积是面积的倍，化简可以得到，进一步求出斜率，从而得出答案.【详解】（1）因为点为线段的垂直平分线与半径的交点，所以，所以，所以点的轨迹是以为焦点，长轴长为4的椭圆，在椭圆中，所以曲线的方程为（2）由已知得，所以直线的方程为，所以点的坐标为当直线的斜率不存在时，或都与已知

36、不符；当直线的斜率存在时，设直线的方程为，由得，易知，则，由的面积是面积的倍可得，化简得，即，又，所以，即，也就是，所以，解得，所以直线的方程为14（2223下长沙三模）已知椭圆E：的左、右焦点分别为,焦距与短轴长均为4. 设过F2的直线l交E于M,N,过M,N分别作E在点M,N上的两条切线,记它们的交点为P,MN的中点为Q.(1)证明：O,P,Q三点共线；(2)过F1作平行于l的直线分别交PM,PN于A,B,求的取值范围.参考结论：点T(,)为椭圆()上一点,则过点T(,)的椭圆的切线方程为.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）先求得椭圆方程,再设的方程为,联立椭圆的方程,并化简切线

37、方程组可得.再设的中点为,证明即可；（2）取中点,根据三角形的性质有四点共线,再结合椭圆的对称性有即可.【详解】（1）由题意,解得,故椭圆的方程为.又,显然的斜率不为0,故设的方程为,则,即,故,.联立过的切线方程,即,相减可得,即,化简可得.代入可得,故.设的中点为,则,故.因为,故,所以三点共线.（2）由作平行于l的直线分别交于,易得,取中点,根据三角形的性质有四点共线,结合椭圆的对称性有,当且仅当时取等号.故.【点睛】方法点睛：根据直线与椭圆的位置关系,结合向量的性质,联立方程利用韦达定理证明三点共线与求取值范围的问题.需要根据题意联立直线与椭圆的方程,利用韦达定理得到P,Q的坐标,再根

38、据三角形与向量的性质转化所求的量从而进行简化求解范围.属于难题.15（2223下长沙三模）已知P为圆C：上一动点，点，线段PN的垂直平分线交线段PC于点Q(1)求点Q的轨迹方程；(2)点M在圆上，且M在第一象限，过点M作圆的切线交Q点轨迹于A，B两点，问的周长是否为定值？若是，求出定值；若不是，说明理由.【答案】(1)(2)的周长为定值【分析】（1）根据垂直平分线性质可知，可得，满足椭圆定义，由此可求得点轨迹方程；（2）设，分别求出，再根据，利用勾股定理分别求出，即可得出结论.【详解】（1）由题意得：圆，则圆心，半径，设中点为，则为线段的垂直平分线，则，所以，所以点轨迹是以为焦点，长轴长为的椭

39、圆，即，则，所以点轨迹方程为：；（2）设，由题意可得，则，故，故，同理可得，因为，所以，同理可得，所以，即的周长为定值.【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种：（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值16（2324上永州一模）已知点A为圆上任意一点，点的坐标为，线段的垂直平分线与直线交于点(1)求点的轨迹的方程；(2)设轨迹E与轴分别交于两点（在的左侧），过的直线与轨迹交于两点，直线与直线的交于，证明：在定直线上【答案】(1)(2)证明见解析【分析】（1）根据题意推出，结合双曲线定义即可求得答案；（2）设出直线l

40、的方程，联立双曲线方程，得到根与系数的关系，表示出直线和的方程，推得，结合根与系数的关系化简，即可证明结论.【详解】（1）由得，其半径为4，因为线段的垂直平分线与直线交于点，故，则,而，故点的轨迹为以为焦点的双曲线，则，故点的轨迹的方程为.（2）证明：由题意知，若直线l斜率为0，则其与双曲线的交点为双曲线的两顶点，不合题意；故直线l的斜率不能为0，故设其方程为，联立，得，故，设，则直线的方程为，直线的方程为，故，则，即，解得，故直线与直线的交点在定直线上.【点睛】难点点睛：本题考查了利用双曲线定义求解双曲线方程以及直线和双曲线的位置关系中的点在定直线上的问题，难点在于证明直线与直线的交点在定直

41、线上，解答时要设直线方程，利用根与系数的关系进行化简，计算过程比较复杂，且大都是关于字母参数的运算，要十分细心.17（2223下广州三模）已知椭圆：的左、右焦点为，离心率为，为椭圆上的一点，且的内切圆半径最大值为.(1)求椭圆的方程；(2)直线：交椭圆于，两点，的角平分线所在的直线与直线交于点，记直线的斜率为，试问是否为定值，若是定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由.【答案】(1)(2)是定值，【分析】（1）判断出的内切圆半径最大时点为椭圆的上（下）顶点，用等面积法列出方程组，解方程组可得；（2）（法一）设直线的倾斜角为，直线的倾斜角为，直线的倾斜角为，则，又在的角平分线所在的直线上，则，

42、计算可得出为定值；（法二）齐次化处理椭圆方程后亦通过，计算可得出为定值.【详解】（1）因为的周长等于为定值，所以内切圆半径最大时，即的面积最大，此时点为椭圆的上（下）顶点可得；又因为，解得，所以椭圆的方程为；（2）（法一）设点由条件可知直线的斜率，设点，由得：所以，（*）由（*）可得由对称性，不妨令点位于第四象限，设直线的倾斜角为，直线的倾斜角为，直线的倾斜角为，当直线、直线的斜率均存在时，则，又在的角平分线所在的直线上，则，可得出，化简得，即，将式代入上式得：，则，解得，（舍去），故直线方程为，令得点，则，故为定值；当直线、直线有一条斜率不存在时，不妨设，此时，所以，直线、直线，设，则，所以

43、（正值舍去），所以，所以；综上所述，为定值.（法二）由条件可知直线的斜率，当直线、直线的斜率均存在时，设直线的斜率为，直线的斜率为，直线的斜率为，设直线：，其中由得即整理得即令，则，其中，为方程的根，所以，由对称性，不妨令点位于第四象限，设直线的倾斜角为，直线的倾斜角为，直线的倾斜角为，则，又在的角平分线所在的直线上，则，由得，代入整理得，则，故（舍去）或者，所以直线的方程为，令得点故，则为定值;当直线、直线有一条斜率不存在时，不妨设，此时，所以，直线、直线，设，则，所以（正值舍去），所以，所以；综上所述，为定值.18（2223广州三模）直线经过点且与抛物线交于两点(1)若，求抛物线的方程；(2)若直线与坐标轴不垂直，证明：的充要条件是【答案】(1)(2)证明见解析【分析】（1）由抛物线经过点，代入求得，即可求得抛