【Syx】数学归纳法第1课时课件 2023--2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册.pptx

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1、数学归纳法数学归纳法第第1课时课时导入新课导入新课问题1在数列的学习过程中，我们已经用归纳的方法得出了一些结论，例如等差数列an的通项公式ana1（n1）d等，但并没有给出严格的数学证明，那么，对于这类与正整数n有关的问题，我们怎样证明它对每一个正整数n都成立呢？导入新课导入新课问题2已知数列an满足a11，an1 （nN*），计算a2，a3，a4，猜想其通项公式，并证明你的猜想把a31代入，可得a4也等于1看上去这个数列的每一项都是1，由此猜想，该数列的通项公式就是an1（nN*）令n1，就有a2把a11代入，可得a21同理，令n2，就有a3把a21代入，可得a31导入新课导入新课问题3该如

2、何证明这个猜想呢？一般来说，与正整数n有关的命题，当n比较小时可以逐个验证但当n较大时，验证起来会很麻烦尤其是我们这里要证明n取所有正整数都成立，这是一个无限的问题，逐一验证是不可能的，我们无法用常规方法严格证明因此，我们很有必要寻求一种新的方法，这种方法能让我们通过有限个步骤的推理，证明n取所有正整数时命题都成立导入新课导入新课问题4能使所有多米诺骨牌全部倒下的条件是什么？通过对视频的观察，归纳使所有骨牌都能倒下的条件有两个：（2）任意相邻的两块骨牌，前一块倒下一定能导致后一块倒下（1）第一块骨牌倒下；导入新课导入新课追问追问1：条件（1）的作用是什么？如果第一块骨牌不倒，那么后面的骨牌自然

3、也不会倒所以第一块骨牌倒下，给所有骨牌倒下提供了基础，这个条件必不可少导入新课导入新课追问追问2：条件（2）的作用是什么？若骨牌间距过大，导致前一块骨牌无法推倒后一块骨牌，那就不能使所有骨牌都倒下可以看出，条件（2）实际上是给出了一个递推关系：第k块骨牌倒下，能推出第k1块骨牌倒下假设有无限多块骨牌，我们可以想象前一块推倒后一块的动作将永远进行下去也就是说，无论有多少块骨牌，只要保证这两个条件都成立，那么所有骨牌一定可以全部倒下这就是骨牌原理导入新课导入新课追问追问3：证明猜想“数列an的通项公式是an1”与多米诺骨牌游戏有相似性吗？你能类比多米诺骨牌游戏解决这个问题吗？a11a21a31由a

4、11及递推关系由a21及递推关系导入新课导入新课通过以上类比、迁移的过程，我们找到了“通过有限个步骤的推理，证明n取所有正整数时命题都成立”的方法这个方法，就叫做数学归纳法新知探究新知探究u数学归纳法数学归纳法一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：（1）（归纳奠基）证明当nn0（n0N*）时命题成立；（2）（归纳递推）以“当nk（kN*，kn0）时命题成立”为条件，推出“当nk1时命题也成立”只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立，这种证明方法称为数学归纳法特别地，当n01时，命题就对从1开始的正整数成立，也就是对所有正整数都成立新知探究新知探究追

5、问追问1：数学归纳法中的两个步骤都必要吗？解答：解答：第一步是命题递推的基础，确定了nn0时命题成立，nn0成为后面递推的出发点，没有它，递推就成为无源之水就好比多米诺骨牌，只有推倒其中一块骨牌，后面的骨牌才有可能倒我们把第一步称为是归纳奠基而第二步是命题递推的依据，即确认一种递推关系，好比是多米诺骨牌游戏中，如果第k块骨牌倒下，那么要保证第k1块骨牌也能倒下，新知探究新知探究追问追问1：数学归纳法中的两个步骤都必要吗？再加之k的任意性，即保证了骨牌倒下去的传递性类似地，借助第二步，命题成立的范围就能从正整数n0开始，向后一个数接一个数地无限传递到n0以后的每一个正整数，从而完成证明所以，我们

6、把第二步称为是归纳递推“归纳奠基”和“归纳递推”这两个步骤缺一不可只有把两步的结论结合起来，才能断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立新知探究新知探究追问追问2：数学归纳法的两个步骤之间有什么关系？如果我们记P（n）是一个关于正整数n的命题第一步验证了当nn0时结论成立，第二步是证明一种递推关系，实际上是要证明一个新命题：若P（k）（kN*，kn0）为真，完成这两步，就有P（n0）真，P（n01）真P（k）真，P（k1）真结论就是P（n）为真，从而完成证明即P（n0）为真则P（k1）也为真需要注意的是，第二步实际上就是从P（k）推出P（k1）：P（k）P（k1）新知探究新知探究追问追问3：如

7、何理解P（k）P（k1）的意义？这个关系所关注的不是P（k）和P（k1）是否分别成立，而是命题“若P（k）为真，则P（k1）也为真”是否成立，它强调的是这二者之间是否有递推关系初步应用初步应用例用数学归纳法证明：如果an是一个公差为d的等差数列，那么ana1（n1）d对任何nN*多成立（1）当n1时，左边a1，右边a10da1，（2）假设当nk（kN*）时式成立，根据等差数列的定义，有ak1akd，于是ak1akd，就是ak1a1（k1）dd，所以ak1a1（k1）1d，所以nk1时式也成立所以式成立即aka1（k1）d，即ak1a1（k1）1d，由（1）（2）可知，式对任何nN*都成立初步应

8、用初步应用注意点：注意点：用数学归纳法证明恒等式时，应关注以下三点：（1）弄清n取第一个值n0时等式两端项的情况；（2）弄清从nk到nk1等式两端增加了哪些项，减少了哪些项；（3）证明nk1时结论也成立，要设法将待证式与归纳假设建立联系，并朝nk1证明目标的表达式变形课堂练习课堂练习练习：练习：教科书P47练习1、2归纳小结归纳小结你能说出数学归纳法的步骤是怎样的吗？数学归纳法每一步的作用是什么？数学归纳法适用于哪类数学证明问题？作业布置作业布置作业：作业：教科书P51习题4.4 1、21目标检测目标检测D某个命题与正整数n有关，如果当nk（kN）时命题成立，那么可推得当nk1时命题也成立，现

9、已知当n5时该命题不成立，那么可推得（）A当n6时该命题成立C当n4该命题成立B当n6时该命题不成立D当n4时该命题不成立解析：解析：由题意知：n4时成立，因为原命题与逆否命题等价，可考虑逆否命题，即：当n5时不成立，则n4时也不成立可推出n5时该命题成立，2目标检测目标检测C用数学归纳法证明1aa2an1（a1，nN*），在验证n1成立时，左边计算所得的项是（）A1C1aa2B1aD1aa2a3解析：解析：当n1时，左边1aa111aa2，故C正确3目标检测目标检测C用数学归纳法证明123（2n1）（n1）（2n1）时，从“nk”到“nk1”，左边需增添的代数式是（）A（2k1）（2k2）C

10、（2k2）（2k3）B（2k1）（2k1）D（2k2）（2k4）解析：解析：当nk时，左边是共有2k1个连续自然数相加，所以当nk1时，左边共有2k3个连续自然数相加，即123（2k1）（2k2）（2k3）所以左边需增添的代数式是（2k2）（2k3）即123（2k1），故选C4目标检测目标检测用数学归纳法证明：15913（4n3）2n2n（nN）证明：证明：（1）当n1时，左边1，右边1，命题成立（2）假设nk（k1，kN）时，命题成立，即15913（4k3）2k2k（kN）则当nk1时，2k23k1所以当nk1时，命题成立15913（4k3）（4k1）2k2k（4k1）2（k1）2k1综合（1）（2）可知，原命题成立再再 见见