【Syx】等差数列的前n项和第2课时 2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修二册.pptx

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1、等差数列的前等差数列的前n项和项和第第2课时课时导入新课导入新课问题1等差数列的前n项和公式是什么？若知首项、末项与项数，若知首项、公差与项数，问题2 数列是特殊的函数，那么等差数列前n项和与函数是什么关系呢？不是！当公差为零时，它是关于n的一次型函数具体内容具体内容u等差数列等差数列an的前的前n项和公式与函数的关系项和公式与函数的关系等差数列前n项和公式又可化成式子：当d0，此式可看作二次项系数为 ，一次项系数为a1 ，常数项为零的二次函数式；22它的图象是抛物线 上的一群独立点追问：追问：等差数列an的前n项和是不是可看成是定义域为正整数集或正整数集的子集上的二次函数？具体内容具体内容u

2、等差数列前等差数列前n项和的最值项和的最值（1）在等差数列an中，（2）因为，若d0，则从二次函数的角度看：当d0时，Sn有最小值；当d0时，Sn有最大值；且n取最接近对称轴的自然数时，Sn取到最值初步应用初步应用例1某校新建一个报告厅，要求容纳800个座位，报告厅共有20排座位，从第2排起后一排都比前一排多两个座位问第1排应安排多少个座位？解答解答：设报告厅的座位从第1排到第20排，各排的座位数依次排成一列，构成数列an，其前n项和为Sn根据题意，数列an是一个公差为2的等差数列，且S20800可得：a121，因此，第1排应安排21个座位由S2020a1 2800，初步应用初步应用遇到与正整

3、数有关的应用题时，可以考虑与数列知识联系，建立数列模型等差数列在实际生产生活中也有非常广泛的作用将实际问题抽象为等差数列问题，用数学方法解决数列的问题，再把问题的解回归到实际问题中去，是用数学方法解决实际问题的一般过程需要注意以下两点：（1）抓住实际问题的特征，明确是什么类型的数列模型（2）深入分析题意，确定是求通项公式an，或是求前n项和Sn，还是求项数n初步应用初步应用例2已知等差数列an的前n项和为Sn，若a110，公差d2，Sn是否存在最大值？若存在，求Sn的最大值及取得最大值时n的值；若不存在，请说明理由法1：由d2，由a110，d2，可知，当n6时，an0；所以，S1S2S5S6S

4、7当n6时，an0；当n6时，an0也就是说，当n5或6时，Sn最大得an1an20，得an10（n1）（2）2n12得an1an，所以an是递减数列因为S5 210（51）（2）30，52所以Sn的最大值为30初步应用初步应用例2已知等差数列an的前n项和为Sn，若a110，公差d2，Sn是否存在最大值？若存在，求Sn的最大值及取得最大值时n的值；若不存在，请说明理由法2：因为由a110，d2，所以，当n取与 最接近的整数，112即5或6时，Sn最大，最大值为30SnnO11112初步应用初步应用1在等差数列中，求Sn的最小（大）值的方法：（1）利用通项公式寻求正、负项的分界点，则从第一项起

5、到分界点该项的各项和为最大（小）（2）借助二次函数的图象及性质求最值2寻求正、负项分界点的方法：（1）通过解不等式与解方程得到正、负项的分界点（2）利用到yax2bx（a0）的对称轴距离最近的左侧的一个正数或离对称轴最近且关于对称轴对称的两个整数对应项即为正、负项的分界点例3数列an的前n项和Sn33nn2，初步应用初步应用（1）法一：（公式法）当n2时，anSnSn1342n，又当n1时，a1S1323421满足an342n故an的通项公式为an342n（1）求an的通项公式；（2）问an的前多少项和最大；（3）设bn|an|，求数列bn的前n项和Sn例3数列an的前n项和Sn33nn2，初

6、步应用初步应用（1）法二：（结构特征法）由Snn233n知Sn是关于n的缺常数项的二次型函数，所以an是等差数列，（1）求an的通项公式；（2）问an的前多少项和最大；（3）设bn|an|，求数列bn的前n项和Sn由Sn的结构特征知解得a132，d2，所以an342n例3数列an的前n项和Sn33nn2，初步应用初步应用（2）法一：（公式法）令an0，得342n0，所以n17，故数列an的前17项大于或等于零又a170，故数列an的前16项或前17项的和最大（1）求an的通项公式；（2）问an的前多少项和最大；（3）设bn|an|，求数列bn的前n项和Sn例3数列an的前n项和Sn33nn2，

7、初步应用初步应用由Snn233n的图象可知：当n17时，an0，当n18时，an0，故数列an的前16项或前17项的和最大（1）求an的通项公式；（2）问an的前多少项和最大；（3）设bn|an|，求数列bn的前n项和Sn（2）法二：（函数性质法）由yx233x的对称轴为x 332距离 最近的整数为16，17332例3数列an的前n项和Sn33nn2，初步应用初步应用（3）由（2）知，当n17时，an0；当n18时，an0|a1|a2|an|a1a2anSn33nn2（1）求an的通项公式；（2）问an的前多少项和最大；（3）设bn|an|，求数列bn的前n项和Sn所以当n17时，Snb1b2

8、bn例3数列an的前n项和Sn33nn2，初步应用初步应用当n18时，a1a2a17（a18a19an）（1）求an的通项公式；（2）问an的前多少项和最大；（3）设bn|an|，求数列bn的前n项和SnS17（SnS17）2S17SnSn|a1|a2|a17|a18|an|n233n544初步应用初步应用（1）在等差数列中，求Sn的最大（小）值，其思路是找出某一项，使这项及它前面的项皆取正（负）值或零，而它后面的各项皆取负（正）值，则从第1项起到该项的各项的和为最大（小）由于Sn为关于n的二次函数，也可借助二次函数的图象或性质求解（2）求等差数列an前n项的绝对值之和，关键是找到数列an的正

9、负项的分界点，然后去掉绝对值号，转化为等差数列的求和问题课堂练习课堂练习练习：练习：教科书P24 练习1、2、3、4归纳小结归纳小结等差数列前n项和Sn与二次函数的关系；等差数列前n项和Sn的最值求解作业布置作业布置作业：作业：教科书P25 习题4.2 5、6、7、91目标检测目标检测数列an是首项为23，公差为整数的等差数列，且第六项为正，第七项为负（1）求数列的公差（3）当Sn0时，求n的最大值（2）求前n项和Sn的最大值解答：解答：（1）由已知a6a15d235d0，a7a16d236d0，解得：235 236，（2）d0，又dZ，d4；an是递减数列，又a60，a70，当n6时，Sn取

10、得最大值，S6623 （4）78；6521目标检测目标检测数列an是首项为23，公差为整数的等差数列，且第六项为正，第七项为负（1）求数列的公差（3）当Sn0时，求n的最大值（2）求前n项和Sn的最大值 0 252，所求n的最大值为12又nN*，整理得：n（504n）0，（3）Sn23n （4）0，2目标检测目标检测某抗洪指挥部接到预报，24小时后有一洪峰到达，为确保安全，指挥部决定在洪峰到来之前临时筑一道堤坝作为第二道防线经计算，除现有的参战军民连续奋战外，还需调用20台同型号翻斗车，平均每辆车工作24小时从各地紧急抽调的同型号翻斗车目前只有一辆投入使用，每隔20分钟能有一辆翻斗车到达，一共可调集25辆，那么在24小时内能否构筑成第二道防线？解答：解答：从第一辆车投入工作算起，各车工作时间（单位：小时）依次设为a1，a2，a25由题意可知，此数列为等差数列，且a124，公差d1325辆翻斗车完成的工作量为：而需要完成的工作量为2420480500480，a1a2a2525242512 500，在24小时内能构筑成第二道防线再再 见见