【Syx】等差数列的前n项和第1课时课件-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册.pptx

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1、等差数列的前等差数列的前n项和项和第第1课时课时导入新课导入新课问题1据说，200多年前，高斯的算术老师提出了下面的问题：高斯的算法：（1100）（299）（5051）101505050高斯（Gauss，17771855），德国数学家，近代数学的奠基者之一他在天文学、大地测量学、磁学、光学等领域都做出过杰出贡献123100？你准备怎么算呢？导入新课导入新课问题2为什么11002995051呢？这是巧合吗？试从数列角度给出解释新知探究新知探究u等差数列的前等差数列的前n项和项和高斯的算法实际上解决了求等差数列：1，2，3，n，前100项的和问题我们知道：等差数列中，下标和相等的两项和相等设 an

2、n，则a11，a22，a33，如果数列an是等差数列，p，q，s，tN*，可得：a1a100a2a99a50a51且pqst，则apaqasat，新知探究新知探究问题3你能用上述方法计算123101吗？你能计算123n吗？需要对项数的奇偶进行分类讨论当n为偶数时，（1n）（1n）（1n）Sn（1n）2（n1）新知探究新知探究问题3你能用上述方法计算123101吗？你能计算123n吗？需要对项数的奇偶进行分类讨论当n为奇数时，n1为偶数，Sn（1n）2（n1）（1）（1）（1）对于任意正整数n，都有123n 新知探究新知探究问题4不分类讨论能否得到最终的结论呢？Sn123nSnn（n1）（n2）

3、1将上述两式相加，得所以Sn123n2Snn1（n1）2（n2）3（1n）（n1）（n1）（n1）（n1）n（n1）新知探究新知探究问题5上述方法的妙处在哪里？这种方法能够推广到求等差数列an的前n项和吗？（a1an）（a2an1）（a3an2）（ana1）由等差数列的通项公式ana1（n1）d，有2Snn（a1an），Sna1a2a3anSnanan1an2a12Sn（a1an）（a2an1）（a3an2）（ana1）由此得：（公式1）（公式2）新知探究新知探究公式也可以这样证得：设有等差数列an：a1，a2，a3，an，公差为d，前n项和为Sn，则Sna1（a1d）（a12d）a1（n1）

4、d；Snan（and）（an2d）an（n1）d由此得到等差数列an的前n项和的公式新知探究新知探究等差数列的前n项和公式公式的记忆：用上、下底分别为a1、an，高为n的梯形的面积来记忆公式1已知量首项，末项与项数首项，公差与项数选用公式我们可结合梯形的面积公式来记忆等差数列前 n 项和公式：用上、下底分别为a1、an，高为n的梯形的面积来记忆公式1：例1已知数列an是等差数列初步应用初步应用20=50(7+101)2=2700；（1）若a17，a50101，求S50；（2）若a12，a2 ，求S10；52（3）若a1 ，d ，Sn5，求n；1216（1）因为a17，a50101，根据公式 可

5、得（2）因为a12，a2 ，52所以d ，12例1已知数列an是等差数列初步应用初步应用（1）若a17，a50101，求S50；（2）若a12，a2 ，求S10；52（3）若a1 ，d ，Sn5，求n；1216解得n12或n5，所以n12初步应用初步应用等差数列中的基本计算（1）利用基本量求值：等差数列的通项公式和前n项和公式中有五个量a1，d，n，an和Sn这五个量可以“知三求二”一般是利用公式列出基本量a1和d的方程组，解出a1和d，便可解决问题（2）结合等差数列的性质解题：解题时注意整体代换的思想等差数列的常用性质：若mnpq（m，n，p，qN*），则amanapaq，常与求和公式 结合

6、使用初步应用初步应用例2已知一个等差数列an前10项的和是310，前20项的和是1220，由这些条件能确定这个等差数列的首项和公差吗？由题意知，S10310，S201220，所以，由所给的条件可以确定等差数列的首项和公差把它们代入公式初步应用初步应用求数列的基本量的基本方法是构建方程或方程组或运用数列的有关性质进行处理，1“知三求一”：a1，d，n称为等差数列的三个基本量，在通项公式和前n项和公式中，都含有四个量，已知其中的三个可求出第四个2“知三求二”：五个量a1，d，n，an，Sn中可知三求二，一般列方程组求解初步应用初步应用追问追问1：可以计算前30项的和吗？初步应用初步应用追问追问2：

7、S10310，S20S10910，S30S201510，可以发现S10，S20S10，S30S20成等差数列，你能得出什么一般性结论？等差数列an中，前n项的和是Sn，证明如下：因为Smma1 ，则Sm，S2mSm，S3mS2m成等差数列初步应用初步应用追问追问2：S10310，S20S10910，S30S201510，可以发现S10，S20S10，S30S20成等差数列，你能得出什么一般性结论？所以2（2）（32），即，2，32成等差数列初步应用初步应用等差数列中，均匀分段和仍成等差数列，这是等差数列的一个重要性质即等差数列an中，前n项的和是Sn，则Sm，S2mSm，S（k1）mSkm（k

8、N*）仍成等差数列，公差为m2d（m为确定的正整数）例3在等差数列an中，S10100，S10010，求S110初步应用初步应用法一：设该等差数列首项a1，公差d，所以，110=1101+1101092=110例3在等差数列an中，S10100，S10010，求S110初步应用初步应用法二：在等差数列中，S10，S20S10，S30S20，S100S90，S110S100，成等差数列，解得d22S110S100S1010d120，新数列的前10项和原数列的前100项和，10101092 10010，S110110初步应用初步应用对于等差数列中的问题，常用方法是基本量法和利用性质，一般能用性质的

9、，就使用性质比较快捷课堂练习课堂练习练习：练习：教科书P22练习1、2归纳小结归纳小结等差数列前n项和Sn公式的推导倒序相加法；等差数列前n项和Sn公式的记忆与应用；作业布置作业布置作业：作业：教科书P22练习3教科书P24习题4.2 1、3目标检测目标检测A设Sn是等差数列an的前n项和，若a1a3a53，则S5（）A5B7C9D112目标检测目标检测15等差数列an中，S24，S49，则S6_3在一个等差数列中，已知a1010，则S19_4已知等差数列an中，a1 ，d ，Sn15，求n及a123212190小结论：小结论：在等差数列中，Sn是其前n项和，则有S2n1（2n1）an解答：解答：n12，a124再再 见见