山东省名校考试联盟2023-2024学年高三下学期开学考试数学试题含答案.pdf

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1、机密机密启用前启用前试卷类型试卷类型 A山东名校考试联盟山东名校考试联盟高三年级下学期开学联考高三年级下学期开学联考数学试题数学试题2024.2注意事项：注意事项：1答卷前，考生务必将答卷前，考生务必将自己自己的考生号、姓名、考点学校、考场号及座位号填写在答题卡上的考生号、姓名、考点学校、考场号及座位号填写在答题卡上2回答选择题时回答选择题时，选出每小题答案后选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需要改如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号回答非选择题时，将答案写在答题卡上写在本动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号回答非选择题

2、时，将答案写在答题卡上写在本试卷上无效试卷上无效3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回一一、单选题单选题：本题共本题共 8 小题小题，每小题每小题 5 分分，共共 40 分分在每小题给出的四个选项中在每小题给出的四个选项中，只有一项是只有一项是符合题目要求的符合题目要求的1二项式4(32)x 的展开式中常数项为（）A4B8C16D322欧拉公式cosisinie（e是自然对数的底数，i 是虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉提出的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关系已知iiez，则z（）A1B2C2D2 23已知非零向量,a b 满足

3、ab，且23aba，则a与b夹角为（）A6B3C23D564已知函数 2ln1f xxax 是定义在R上的奇函数，则实数a的值是（）A1B1C2D25已知数列 na是以1a为首项，q为公比的等比数列，则“110aq”是“na是单调递减数列”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件6若曲线 exf x 在1x 处的切线与曲线 lng xxa也相切，则a（）A12B1C32D27已知点P是直线:40l xy上一动点，过点P作圆22:(1)(1)1Cxy的两条切线，切点分别为,A B，则PA PB 的服小值为（）A0B1C2D28已知双曲线2222:1(0,0)xyCa

4、bab的左、右焦点分别为12,F F O为原点，以12F F为直径的圆与双曲线交于点P，且224tan7POF，则双曲线C的离心率为（）A2B3C4D.5二二、选择题选择题：本题共本题共 3 小题小题，每小题每小题 6 分分，共共 18 分分在每个小题给出的选项中在每个小题给出的选项中，有多项符合题有多项符合题目要求全部选对的得目要求全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分分9进入冬季哈尔滨旅游火爆全网，下图是 2024 年 1 月 1日到 1月 7 日哈尔滨冰雪大世界和中央大街日旅游人数的折线图，则（）A中央大街日旅游人数的极差是 1.2

5、B冰雪大世界日旅游人数的中位数是 2.3C冰雪大世界日旅游人数的平均数比中央大街大D冰雪大世界日旅游人数的方差比中央大街大10已知函数 sin0,2fxx的部分图像如图所示，则（）A2B6x是 fx图象的一条对称轴C 210fxaf xa在0,2x上有两个不相等的解，则1 1,2 2a D已知函数 21sin2g xfxx，当 g x取最大值时，2 39sin213x 11 在 长 方 体1111ABCDA BC D中，12,1,ABAAADE为11A B的 中 点，点P满 足1(01)DPDB ，则（）A若M为1A D的中点，则三棱锥PBEM体积为定值B存在点P使得APBEC当23时，平面P

6、BC截长方体1111ABCDA BC D所得截面的面积为5D若Q为长方体1111ABCDA BC D外接球上一点，23，则3QEQP的最小值为14三、填空题：本题共三、填空题：本题共 3 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 15 分分12从 2，3，4，5，6，7，8 中任取两个不同的数，事件A为“取到的两个数的和为偶数”，事件B为“取到的两个数均为偶数”，则P B A _13已知ABC的内角,A B C所对的边分别为,a b c，已知1cos2cosbAaB，2bc，则ABC外接圆的半径为_14已知函数 lnf xa xx，若不等式 e2eaxxxf x恒成立，则实数a的取值范围为_

7、四、解答题：本题共四、解答题：本题共 5 小题，共小题，共 77 分解答应写出文字说明、证明过程或演算分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤步骤15（13 分）已知数列 na满足111,2nnaaan（1）求数列 na的通项公式；（2）(1)1nnnban，求数列 nb的前2n项和2nS16（15 分）甲、乙两人进行乒乓球比赛，比赛采用五局三胜制（一方先胜三局即获胜，比赛结束），每一局比赛中两人都要决出胜负，不出现平局，且甲获胜的概率为(01)pp（1）若23p，求甲以3:2获胜的概率；（2）若12p，求比赛结束时，比赛局数X的分布列及数学期望17 （15 分）已 知 四 棱 锥,PABCD

8、 PA平 面ABCD，四 边 形ABCD为 梯 形，ADBC，24,2BCADABDCPA（1）证明：平面PAB 平面PAC；（2）平面PAB与平面PCD的交线为l，求直线l与平面PCB夹角的正弦值18（17 分）已知函数 ln1fxx（1）讨论函数 F xaxf xaR的单调性；（2）设函数 1111g xxffxx（）求 12gg的值；（）证明：存在实数m，使得曲线 yg x关于直线xm对称19（17 分）已知抛物线2:4,W xy A B C是W上不同的三点，过三点的三条切线分别两两交于点,A B C，则称三角形A B C 为抛物线的外切三角形（1）当点C的坐标为2,1,B为坐标原点，且

9、BABC时，求点B的坐标；（2）设外切三角形A B C 的垂心为H，试判断H是否在定直线上，若是，求出该定直线；若不是，请说明理由；（3）证明：三角形ABC与外切三角形A B C 的面积之比为定值山东名校考试联盟山东名校考试联盟2024 年年 2 月高三年级下学期开学考数学试题月高三年级下学期开学考数学试题参考答案参考答案一一、单项选择题单项选择题：本题共本题共 8 小题小题，每小题每小题 5 分分，共共 40 分分，在每小题给出的四个选项中在每小题给出的四个选项中，只有一只有一项是符合题目要求的项是符合题目要求的题号12345678答案CACBBDAD6【解析】由题意得，exf x 在1x

10、处的切线为eyx，设该直线与曲线 lng xxa相切的切点为00001,ln,exxagxx，所以01ex，所以切点1,1ea在直线exy 上，所以2a，故选：D7【解析】圆22:(1)(1)1Cxy的圆心为1,1半径为 1，点C到直线:40l xy的距离1 1422d 解法一：2|1PAPBPC，设2APB，则在RtPAC中，1sinACPCPC，所以222coscos212sin1APBPC ，所以222cos11PA PBPA PBAPBPCPC2223PCPC，因为min2PC，所以22min23PCPC，所以PA PB 的最小值 0解法二：当CPl时，APB取得最大值2，此时0PA

11、PB 取得最小值 0，其他位置0PA PB ，所以PA PB 的最小值 0故选：A8【解析】解法一：由题意得，1212190,22F PFOPOFPOFPFO，222tan24tantan271tanPOF，所以13tantan4PFO，即2134PFPF，又122PFPFa，所以128,6PFaPFa在12PFF中，由勾股定理得：222(8)(6)(2)aac，解得225e，所以双曲线C的离心率为 5解法二：点P一定在右支上，不妨设点P在第一象限，由于224tan7POF，所以724,2525ccP，一定满足22221xyab，即222272425251ccab，化简得，2222224957

12、6625b ca ca b，结合222cab，整理得，42244926256250ca ca，同除4a得，424926256250ee，解得，225e 或22549e（舍），所以双曲线C的离心率为 5，故选：C二二、多项选择题多项选择题：本题共本题共 3 小题小题，每小题每小题 6 分分，共共 18 分分，在每小题给出的四个选项中在每小题给出的四个选项中，有多项有多项符合题目要求全部选对的得符合题目要求全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分分题号91011答案BCABDACD10【解析】对于 A：因为周期,0T，所以2对于 B：代入2,1

13、3得4sin13，所以43232kk Z，则26kk Z，因 为2，所 以6，则 sin 26f xx，其 对 称 轴 为126xkk Z，所以6x是 fx的对称轴对于 C：因为 210fxaf xa，所以 1f x 或 f xa，因为0,2x，所以令72,666tx，所以sin1t 或sinta有两个解，结合sinyt的图象，1y 与sinyt有一个交点，12y 与sinyt有一个交点，共两个交点，所以12a 符合题意，答案错误对于 D：311132 39131sin2cos2sin2cos2244413134g xxxxx，令2 3913cos,sin1313，所以 131sin 244g

14、 xx所以当222xkk Z时取到最大值，此时2 39sin2sin 2cos213xk答案：ABD11【解析】对于 A：因为M为1A D的中点，E为11A B的中点，所以1DBEM，所以1DB面BEM，则P到面BEM的距离为定值，所以体积为定值对于 B：AP在平面11ABB A的投影为1AB，由三垂线定理得，若APBE，则1ABBE，因为四边形11ABB A为正方形，所以1AB与BE不垂直，所以 B 错对于 C：平面PCD与平面1BCD重合，平面1BCD与平面11DCB A重合，所以延长CP会与11A B有交点，因为123DPDB ，所以延长CP与11A B交于点E，取11C D中点F，则平

15、面PBC截长方体1111ABCDA BC D所得截面为矩形BCFE，所以面积为5对于 D：长方体1111ABCDA BC D外接球球心为1B D中点，半径为132,23DPDB ，由阿氏球得，在直线1B D上必存在一点N，使得3QPQN，此时点N在1DB延长线上，且满足13B N，以D为原点，建系如图，13,6DBDN所以12DNDB，则4,2,4N，因为1,1,2E，所以minmin(3)()14QEQPQEQNNE答案：ACD三、填空题：本题共三、填空题：本题共 3 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 15 分分1223；132 33；140,e13【解析】解法一：由正弦定理得，s

16、in1cossin2cosBAAB，化简得，sinsin cos2sinsin cosBBAAAB，所以sinsin cossin cossinsinsinsin2sinBBAABBABBCA由正弦定理得2bca，因为2bc，所以ABC为正三角形，由24 32,2sinsinsin3sin3abcRRABC，所以ABC外接圆的半径2 33解法二：由余弦定理得，2222221222bcaacbbabcac，化简得2bca，因为2bc，所以ABC为正三角形，由2sinsinsinabcRABC，得24 323sin3R，所以ABC外接圆的半径为2 3314【解析】只需保证2ln10eeaaxxxx

17、 恒成立令 2ln1g xxx，则 g x在0,2上递减，在2,上递增，当x 时 ,322ln30g xg，故存在03x，使得00g x又 10g，故01eaxx或0eaxxx恒成立又当x 时0eaxx，则0eaxxx不恒成立，于是01eaxx恒成立当0a 时，若0 x，显然不成立；当0a 时，满足题意；当0a 时，lna xx，若01x，显然成立；若1x 时，则lnxax恒成立，求导可得0ea综上所述，实数a的取值范围为0,e四、解答题：本题共四、解答题：本题共 5 小题，共小题，共 77 分解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤15【解析】因为1

18、2nnaan，所以121nnaan，122122,2,nnaanaa累加得：211212nnnaann，经检验1n 时符合，所以21nann【注：丢捕对1n 的检监不扣分】（2）因为(1)1nnnban，所以22(1)11(1)nnnbnnnn ，所以222222221234(21)(2)12322nSnnnnn 【注：此处没有使用并项法求和，而是使用不完全归纳法得出规律求和，不扣分】16【解析】（1）记A表示甲以3:2获胜，则前 4 局两人比分为2:2平，第 5 局甲获胜，所以 22242121633381P AC；【注：浸有列出式子，直接给出答束，扣 3 分】（2）X的可能取值为 3，4，

19、531211324P XC，4122313428P XCC，5122413528P XCC，故133333454888E X；【注：1不列出分布列的格，不扣分；2没有单独给出随机变童的取值，后面求概时有体现，不扣分；3每一个概值的计算只有结来没有式子，各和 1 分；4数学期望只有结果，没有式子，和 1 分；5结果没有化成最简分数，不扣分】17【解析】（1）证明：连接AC，过A做BC的垂线交BC于点F，所以1BF，因为2AB，所以3AF，又因为3FC，所以2 3AC，所以90BAC，所以ABAC【注：其他方法证得ABAC，同样得分】因为PA 面,ABCD AC 面ABCD，所以ACPA，PA与A

20、B交于点A，所以AC 面PAB，因为AC 面PAC，所以面PAB 面PAC【注：1此处铁少AC 面PAB，直接得面PAB 面PAC，扣 1 分；2证得PA 面ABCD后建系，由两平面的法向量重直得两平面垂直也同样得分】（2）延长,BA CD交于点E，因为E面PAB，且E面PCD，所以El，PE即为面PAB与面PCD的交线，以A为原点建系如图：0,2,0,2 3,0,0,0,2,0,0,0,2BCEP，0,2,2,2 3,0,2,0,2,2PBPCPE ，设面PCB的方向量为,nx y z，则2202 320yzxz，取1,3,3n，设直线l与平面PCB的夹角为，所以4 342sin|cos,7

21、2 27PE nPE nPE n 所以直线l与平面PCB夹角的正弦值为427解法二：延长,BA CD交于点E，因为E面PAB，且E面PCD，所以El，PE即为面PAB与面PCD的交线如图建立空间直角坐标系：2,0,0,0,2 3,0,2,0,0,0,0,2,BCEP所以2,0,2,0,2 3,2,2,0,2PBPCPE ，设面PCB的方向量为,nx y z，则2202 320 xzyz，取3,1,3n ，设直线l与平面PCB的夹角为，所以4 342sincos,72 27PE nPE nPE n ，所以直线l与平面PCB夹角的正弦值为427解法三：延长,BA CD交于点E，因为E面PAB，且E

22、面PCD，所以El，PE即为面PAB与面PCD的交线做AFBC于点F，连接PF，因为PA 面ABCD，由三垂线定理可知：BCPF在RtPAF中，3,2AFPA，所以7PF 设点E到平面PBC的距离为h，由E PBCP BCEVV，得4 217h，因为PA 面ABCD，所以在RtPAE中，2 2PE 设PE与平面PBC得夹角为，则42sin7hPE，所以直线l与平面PCB夹角的正弦值为42718【解析】（1）由题意可知 ln1F xaxx，则 F x的定义域为1,，1111axaFxaxx当0a 时，101Fxax，则 F x在1,上单调递减；当0a 时，若 11111,01aaxaxFxaax

23、；若 111,01axaxFxax，则 F x在11,1a上单调递减，在11,a上单调递增综上所述，当0a 时，F x在1,上单调递减；当0a 时，F x在11,1a上单调递减，在11,a上单调递增【注：1丢接0a 的情况，扣 1 分；2单调区间未用区间表示，共扣 1 分】（2）（）函数 111 ln 1ln 2g xxxx，则 412ln2ln3ln3g，13342lnlnlnln2243g ，故 120gg（）函数 g x的定义域为,10,若存在m，使得曲线 yg x关于直线xm对称，则,10,关于直线xm对称，所以12m 由111ln 1ln 211gxxxx 211211121lnln

24、lnln1lnlnln1111xxxxxxxxxxxxxxxxx 1211lnlnxxxg xxx可知曲线 yg x关于直线12x 对称【注：1由（）的计算结果猜想得出对称轴为直线12x ，也得 2 分；2只要出理 1gxg x 或1122gxgx或两者做差等于 0 等式子，即得 2 分；没有最后一句结论，不扣分】19【解析】（1）由题意可知2,1A，求导得2xy，则切线A B 的方程为1,yxB为切线A B 与y轴的交点，则点B的坐标为0,1【注：求导正确得 1 分；正确求解点C或A处的切线得 1 分；正确求得点B的坐标得 1 分】（2）设222312123,444xxxA xB xC x，

25、则抛物线在点A处的切线B C 的方程为21124xxyx，同理可得切线A C 的方程为22224xxyx，【注：得由其中一条切线方程即可得 1 分】联立可得交点1212,24xxx xC同理可得23233131,2424xxx xxxx xAB【注：得由其中 1 个顶点的坐标即可得 1 分】设垂心H的坐标为,x y，则2331122233112444,2222ACB Hx xx xx xyxkkxxxxxxx由A CB H 可知312314122ACB Hx xyxkkxxx，即12323124x x xxx yxx【注：由现解之积为1，即得 1 分】同理可得12331224x x xxx y

26、xx两式相减可得3223xxyxx，即1y 因此垂心H在定直线1y 上【注：出理定直线1y ，即得 1 分】（3）直线AB的方程为212121221,1444xxx xxxyxABxx，点233,4xC x到直线AB的距离为213233123231122121244414 144x xx xxx xxxxxdxxxx，则三角形ABC的面积112131321128SAB dxxxxxx再由切线B C 的方程为223233131111212,24242424xxx xxxx xxxxxx xyxABC可知223111213211122222xxxxxxB Cxx，点2323,24xxx xA到直线

27、B C 的距离为2121323121312221144414 122x xx xx xxxxxxdxx，则外切三角形A B C 的面积2221313211216SB Cdxxxxxx 故21313212213132182116xxxxxxSSxxxxxx因此三角形ABC与外切三角形A B C 的面积之比为定值 2解法二：因为222312123,444xxxA xB xC x，所以22223121213111224444ABCxxxxSABACxxxx 31213218xxxxxx由得232331311212,242424xxx xxxx xxxx xABC所以312313122312,2424x xx xxxx xx xxxA BA C 12233 123132111222442A B Cx xx xx xx xxxxxSA BA C 312132116xxxxxx所以2ABCA B CSS