动脉中脉搏波传播分析中文版.docx

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1、动脉中脉搏波传播分析摘 要依据血管可简化为弹性管及组织对血管壁的约束，争论脉搏波在血管中的传播规律，同时分析了血液粘性、血管壁弹性模量、管径对波的传播的影响。通过对考虑血液粘性和不考虑血液粘性的结果比较，我们最终觉察血液的粘性对脉搏波的传播的影响不能被无视，并且当弹性系数增大时，传播速度增大，血流的压力值增高；血管直径减小时，血流压力也增高，脉搏波速度增大。这些结果也有助于我们利用脉搏波的信息来分析和关心诊断一些人体疾病的病因。引 言由于占位性病变会引起血管的几何构成和力学性质的变化，这种变化必 然导致脉搏波传播特性的变异。 20 世纪 50 年月之后，越来越多的人争论这一现象。假设人们能在无

2、创的状况下通过脉搏波信号准确识别出病变引，这无疑是对医学的一项了不起的奉献。然而我们要到达此目的，就必需了解脉搏波在动脉系统里的传播规律。当血液在血管中流淌时，血压、血流速度、流量以及血管的直径等都随时间作周期性变化，波形格外简单。脉搏波是心脏的搏动沿动脉血管和血流向外周传播而形成的，因此其传播速度取决于动脉的弹性、管腔的大小、血液的密度和粘性等，特别是与动脉管壁的弹性、口径和厚度亲热相关。试验觉察动脉血管的弹性越大即顺应性越大，则脉搏波的传播速度越小；且通常沿主动脉到大动脉、再到较小动脉，脉搏波的传播速度越来越大。长期以来，人们对脉搏波速度的争论做了大量的工作。脉搏波速度的定量描述最早是由英

3、国医生和物理学家ThomasYoung于1808年得出的 见文献 1，在论血液的运动 1808年 一文中，他首先论述了脉搏传播的速度和动脉血管弹性的关系。 Euler在 1755年、Korteweg在1878年、Lambert在 1958年分别提出了非线性分布参数模型， 分析脉搏波在动脉中传播的非线性特性，解释说明白动脉中类似枪击的声音，分析了动脉中冲击波的形成和传播。 脉搏波传播的近代分析是从 20 世纪 50 年月才开头的， 在 20世纪 50 70年月， 最有代表性的争论者有 Womersley 、McDonald 、Bergel 、Fung等，他们建立了动脉管段中脉搏波的线性化模型，

4、进展了 Windkessel模型，在此根底上争论了动脉中脉波流淌的传播规律。国内很多学者也在动脉中脉搏波的传播上做了大量争论。1998年，王英晓、吴望一等人 首次在心脏和血管动力结合的根底上， 争论了人体体动脉中有压力和流量的脉搏波的传播； 2023年，姚大康等人 争论了血液粘弹性对脉搏波的影响，分析了血液粘弹性对脉搏波的波速和衰减的影响；2023年，谢官模等人建立了非线性血流脉搏波在动脉内传播的理论模型。为了分析其定性规律，我们在本文中作肯定的简化，首先无视血液的粘性，使其线性化求得它的普遍规律，再在此根底上争论血液粘性对脉搏波传播的影响。假设血液为牛顿流体，则血液流淌听从 Navier-S

5、tokes 方程。争论动脉中血液流淌非线性的困难是由于描述血液运动的 Navier-Stokes 方程中存在着非线性的迁移加速度，这给方程的求解带来很大的困难。首先分析非线性项中迁移加速度项对流淌特性带来的影响，再分析方程中的粘性项对血液流淌特性带来的影响。1 迁移加速度对流淌特性的影响1.1 压力波传播方程无视运动方程中的粘性项，我们假设血液是无粘性的抱负流体，并认为它的流淌是一维的；同时假定动脉血管是薄壁的Hooke弹性体，即在自然状态下等截面均匀的半径为R 的弹性管。则血液在动脉中的流淌规律满足方程 3：抖S +Su = 0(1)抖tx抖u + uu = - 1r(2)抖xxrx式中，

6、u(x, t)为血液的密度， p(x, t) 为血液压力， r 为血液的密度， x, t 分别是坐标与时间变量，S (x, t)为血管平均截面积，它随不同坐标与时间 而变。定义应力与应变的关系如下式：e = 2p (r - R) = r - Rr2p RRs= Eerr式中 E 为血管壁的弹性模量。因此截面：S = pr2 = p R2 (1- 2e )r式 2可变化为：2抖er ue u+ 2r= 0(3)抖txx1.2 血管壁运动方程通常，血管在内压力 p 作用下 假设外压为零，径向应力远小于轴向应力和周向应力，因此可以无视不计。而且血管受结缔组织约束，轴向应变、 应力都很小，在血液的压力

7、作用下，血管主要是径向扩张。对血管壁周向应 力与内压 p 的关系进展分析， 考虑内压作用下处于平衡状态的动脉管段血管壁的运动方程。 Womersley将动脉管四周的结缔组织看作一层密度均匀的附加层，并引进血管壁的有效厚度：r rhH = h(1+1 1 1 )r Rhw式中 r , r11和 h 分别表示血管四周附加层的密度、 半径、厚度，r1，R 和 h ，w分别表示血管壁的密度、半径、厚度。实际上，引进血管壁有效厚度意味着有质量附加在血管壁上，但这局部并不参与血管壁的径向弹性变形。仅考虑血管截面积受血液压力的变化，而轴向运动在四周组织约束下很小，可以被无视。管壁的运动方程为： 2 rhr

8、HR+ s= p(4)w t2r R应用应力与应变的关系，将式 4简化为： 2er=1p -Ee(5) t2r HRr R2rww方程235为争论应变运动的根本方程式。变量作如下变换，令：2e = e ”- 1，Et = t ”， x =rHREHE2 H R2wx ”， u =u ” ， p =p ”rrrR2wrr R00我们可以得到：抖e ”r+e ”u ”r= 0(6)抖t ”x ”抖u ” + u ”u ” = -p ”(7)抖t ”x ”x ” 2e”2r t” = p + 1- e”(8)r1.3 方程求解承受微小扰动法求解上述方程。将e ” = 1+ l 2nern，u ” =

9、 l 2nun，p ” = l 2n pn代入式 6 8，并只取 的有关项，我们可以得到线性化方程组：抖e1 +抖t ”抖u1 =抖t ”u1 = 0(9)x ”p1(10)x ” 2e1 = p - e(11) t ”21消去 r , u111便得如下四阶微分方程式：抖4e12e+1 -2u1 = 0(12)抖t ”2x ”2抖x ”2t ”2同样，依据 Womersley 理论可设应变波传播形式为：- 1jw(t ”- x ”e = Ae1c* = Ae j (wt ”- kx ”) , j =(13)1bwc* = (-j)- 1 称为复波速度，与流速 c 具有一样的量纲；k =+ jb

10、 cwc将式(13) 代入式(12) 可得脉搏波的色散关系为 :k 2w2 - k 2 + w2 = 0,k 211(14)w = ()21+ k 2= k -k 32故式(14) 说明在应变波沿血管传播方向的传播过程中，存在色散，较高频率谐波的相速度明显高于较低频率谐波。所以应变波的传播方程为 :e = Ae1轾 1 3j 犏犏(k- 2 k )t ”- kx”(15)臌wwwc式中 e- jkx ” = e- j ( c + b )x ” = e- b x ”e- j ( x) 。”其中，虚部代表圆频率 w 的谐波的c波数，它说明白波的空间周期性，相当于在谐波传播过程中空间上相隔单位距离的

11、两点之间的相位差。2 粘性项对脉搏波传播的影响分析粘性项对脉搏波传播的影响，可略去血液惯性项，血液流淌的根本方程简化为 :抖u = -1p + g (抖2u +1u )(16)抖trx抖r 2rr式中 g = h 为血液的运动粘度。r依据不考虑血液粘性时波的传播方程 (15) 可设: p = p0e j (wt- kx) 。则在此激励下，血液流淌速度为 : u =f (r)e j (wt- kx ) 。 化简得:f ”+ 1 f ”+ j3w =jkp0(17)rr这是虚构量的 Bessel 方程，其解为：J (j3wr )0J (j3w)0轾c犏0f (r) = 犏+ p k犏臌0wp所以，

12、血液流淌速度为：J (j3wr )0J (j3w)0轾犏p k犏u =f (r)e j (kx- wt ) =c犏0臌+0e j (wt- kx)(18)wr将式(18) 作同样变量的代换，代入式 (9) e (f (r)e j (w ”t ”- k ” x ”)1 += 0(19)抖t ”x ”ErR2w式中 w = w ”， k ” =r HRwk 。解得： r0e ” =f (r)e j1(w”t ”- k ” x ”+ p )2w”(20)依据布满粘性液体的弹性管在轴向强极限约束下有:w1- m2c1-F10k = w + jb =c其中 F32J (aj 2 )=1， c =。 m

13、为泊松比， Womersley 数 a = R。103aj 2 J03(aj 2 )wEh2rRwnw1- m2 c由上式可知，在考虑血液粘性时 k 除与血管的弹性模量、泊松比、血管半径、血管密度、管壁厚度、血液粘性等物性参数有关，还与波的频率有关。当Womersley 数趋向无穷大时， F10趋向 0，则 k =。从以上分析说明， 无论是考虑血液粘性与否， 脉搏波的传播都与传播系数有关，传播系数可通过肯定的医学手段测得。 因此 可以通过传播系数对波的传播进展具体分析。2.1 结果分析将原参数代回 e1， e ” ，得:1t- kr0r HRx1轾1轾3j 犏(k-k 3 )E臌犏臌e = A

14、e j 犏(k- 2 k )t ”- kx ”1= Ae 犏 2r R2ww(21a)1轾3轾臌犏Ae j 犏(k-k )t ”- kx ”2f (R)Ej 犏(k-1 k 3 )E t- kr 0x+ pe” =1=e 犏臌 2w ”wrR2wr R2wr HR2w(21b)脉搏波的传播速度与人体的多种生理病理因素有关，下面我们结合所得方程分析最直接、最重要的几种因素。(a) 不考虑血液粘度(b) 考虑血液粘度图 1不同 k 值对波传播的影响从图 1 可见随着系数 k 的增大，在考虑血管粘性时波的振幅减小， 而不考虑血液粘性时，传播过程中振幅不变。高频率波的波幅降低说明血液粘性使波动产生能量

15、损耗，频率越高损耗越大。2.2 动脉管壁的弹性动脉弹性是形成脉搏波的物理根底，图2(a) 图中看出不考虑粘性时，弹性模量对波幅无影响，波幅完全重合。当考虑血液粘性时，从脉搏速度公式（21） 及图 2 (b) 以下图可以看出，当动脉壁的弹性模量增大时，脉搏波的速度将增大。表现在临床上，通常随着年龄的增长或其他缘由引起血管变硬、 弹性模量增大，波幅增大，压力增大，则脉搏波的传播速度明显变大。例如，资料说明 20 岁左右的年轻人脉搏波平均速度为6.1m/s ， 而 80 多岁的老人脉搏波速度可达 8.5m/s ， 而压力增加值是递增的。说明随血管的弹性模量的增大， 血管可承受的压力有一极大值。由式

16、21及图 3 可知，不考虑粘性时，波幅没有变化，考虑粘性时当动脉血管半径 R 变小时，压力波幅增大，脉搏波的传播速度会变大。表现在临床上，成年人随着年龄增大或者动脉粥样硬化等引起的动脉管腔变窄，动脉压增高。从波速传播公式分析得出，血液的粘性使脉搏波的传播有相位上的延迟。(a) 不考虑血液粘度(b) 考虑血液粘度图 2弹性模量变化对波传播的影响(血液运动粘度为 0.04 ，血管半径为 1.2cm)(a) 不考虑血液粘度(b) 考虑血液粘度图 3不同血管半径对波传播的影响结 论总之，脉搏波的传播速度主要取决于动脉管的物理特性和几何特性，尤其是动脉管壁的弹性特性。除上述因素之外，脉搏波速度还受到血液

17、密度、粘度、泊松比以及四周组织对管壁的约束等多种因素的影响，而且这些因素又与人体其他生理病理因素亲热相关， 这使得脉搏波的传播规律更具简单性。结果分析说明，无论是考虑血液粘性还是不考虑血液粘性，使相应频率的波幅在考虑血液粘性时有所减小。这些结果将有助于利用脉搏波的信息来分析和关心诊断一些人体疾病的病因。参考文献1 Okada M. possible determinants of pulse-wave velocity in vivoJ. IEEE Ttans Biomed eng,1988,35(5):357-361.2 Shalak R,keller S R,Secomb T W. Mec

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