专题5-2 数列递推及通项应用（17题型+解题攻略）-2024年高考数学二轮热点题型归纳与变式演练（新高考通用）含答案.pdf

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1、更多全科试卷，请关注公众号：高中试卷君专题专题 5-2 数列递推及通项应用数列递推及通项应用 目录题型 01 递推基础：等差数列定义型.1题型 02 递推基础：等比数列定义型.2题型 03 累加法求通项.3题型 04 累加法求通项：裂项型.3题型 05 累加法求通项：换元型.4题型 06 累积法求通项.4题型 07 待定系数型等比求通项.5题型 08 分式型求通项.6题型 09 不动点方程求通项.7题型 10 前 n 项和型求通项.8题型 11 前 n 项积型求通项.8题型 12 因式分解型求通项.9题型 13 同除型构造等差数列求通项.10题型 14 同除型构造等比数列求通项.10题型 15

2、 周期数列求通项：分段型.10题型 16 周期数列求通项：三阶型.11题型 17 奇偶各自独立型求通项.12高考练场.12题型题型 01 递推基础：等差数列定义型递推基础：等差数列定义型 【解题攻略】【解题攻略】等差数列的判定方法定义法：“欲证等差，直接作差”，即证 an1an定值；等差中项法：即证 2an1anan2；函数结论法：即 an为一次函数或 Sn为无常数项的二次函数.【典例【典例 1-1】（2024 上山东威海高三统考）已知数列na，对m nN,都有mnm naaa+=，且11a=，则242naaa+=L .【典例【典例 1-2】（2024 上天津高三天津市第一百中学校联考期末）在

3、数列 na中，16a=，且1212nnnanan nn+-+=+，则na=.【变式【变式 1-1】（2023 下全国高三校联考阶段练习）已知数列 na满足11111,3Nnnanaa+=-=，则32aa=，112231nnnaaa aa aaa-=+L .【变式【变式 1-2】（2024 上海南海口高三海南中学校考）在数列na中，12211220,12nnnaaaa+=-=，则专题5-2 数列递推及通项应用（17题型+解题攻略）-2024年高考数学二轮热点题型归纳与变式演练（新高考通用）更多全科试卷，请关注公众号：高中试卷君9a=【变式【变式 1-3】（2023 上四川成都高三校联考阶段练习）

4、已知各项均不为 0 的数列 na满足111nnnaaa+=+，且112a=，则2023a=题型题型 02 递推基础：等比数列定义型递推基础：等比数列定义型 【解题攻略】【解题攻略】等比数列的判定方法：(1)定义法：“欲证等比，直接作比”，即证an1anq(q0 的常数)数列an是等比数列；(2)等比中项法：即证 a2n1anan2(anan1an20，nN*)数列an是等比数列【典例【典例 1-1】（2023河南郑州统考二模）已知正项数列 na的前n项和为nS，且111233nnnnnnaSSSS+=-=+，则2023S=（）A202331-B202331+C2023312+D2022312+

5、【典例【典例 1-2】（2022吉林长春长春吉大附中实验学校校考模拟预测）已知数列 na满足：对任意的 m，*nN，都有mnm na aa+=，且23a=，则20a=（）A203B203C103D103【变式【变式1-1】（2022 上山东日照高三统考）正项数列 na中，1nnaka+=（k 为常数），若2021202220233aaa+=，则222202120222023aaa+的取值范围是（）A3,9B3，9C3,15D3，15【变式【变式 1-2】（2022陕西校联考模拟预测）在数列 na中，11a=，数列11na+是公比为 2 的等比数列，设nS为 na的前n项和，则下列结论错误的是（

6、）A121nna=-B1122nna=+C数列 na为递减数列D378S【变式【变式 1-3】（2022山西吕梁统考一模）已知nS为数列 na的前 n 项和，且11a=，13 2nnnaa+=，则100S=（）A10023-B10022-C10123-D10122-更多全科试卷，请关注公众号：高中试卷君题型题型 03 累加法求通项累加法求通项 【解题攻略】【解题攻略】对于递推公式为 1nnaaf n-=，一般利用累加法求出数列的通项公式；【典例【典例 1-1】已知数列 na满足110a=，12nnaan+-=，则nan的最小值为（）A210-1B112C163D274【典例【典例 1-2】已知

7、数列已知数列 na中，中，11a=，2n 时，时，121nnaan-=+-，na=_.【变式【变式 1-1】（2023 下北京高三北京八中校考）若数列 na满足*111,1Nnnaaann+=+，则通项公式为na=.【变式【变式 1-2】（2022陕西西安西安中学校考模拟预测）已知数列 na满足134a=，121nnaan+-=+，则数列1na的前 100 项和100S=【变式【变式 1-3】（2020 上湖南长沙高三雅礼中学校考阶段练习）设数列 na满足12(1)nnaan+=+，*nN，12a=，则数列(1)nna-的前 50 项和是 题型题型 04 累加法求通项：裂项型累加法求通项：裂项

8、型【解题攻略】【解题攻略】形如：1nnaf na+=的数列的递推公式，采用累乘法求通项；利用累乘法求通项：1a(1)(2)(3).(1)n-1naffff n=-（一定注意，是项积）【典例【典例1-1】（2022北京清华附中高三开学考试（理）已知数列na满足12a=，1(1)(1)(2)nnnanan nn-=+-，则na的通项公式为_【典例【典例 1-2】（2023 上海市南洋模范中学高三阶段练习）数列 nx中，10 x=，111nnnxxnNnn+=+，则数列 nx的通项公式nx=_.【变式【变式1-1】（2023 下北京昌平高三北京市昌平区第二中学校考）已知数列 na满足1111,(2)

9、nnaaan n+=-=+，则5a=（）A75B1712C4730D5140【变式【变式 1-2】（2023 下山东潍坊高三山东省昌乐第一中学校考阶段练习）已知数列 na满足112a=，更多全科试卷，请关注公众号：高中试卷君121nnaann+=+，则 na的通项为（）A11nan=+，1n，NnB312nan=+，1n，NnC312nan=-，1n，NnD312nan=-，1n，Nn【变式【变式 1-3】（2021全国高三专题练习）在数列 na中，12a=，11ln 11nnaannn+=，则na=（）A8aB21 lnnn+-C1lnnn+D2lnnnn+题型题型 05 累加法求通项：换元

10、型累加法求通项：换元型【典例【典例 1-1】（2022全国高三阶段练习（理）已知数列 na满足11(2)32,(1)1nnannaann+=+,数列 na的通项公式为na=_.【典例【典例 1-2】（2021 上陕西西安高三西安市铁一中学校考阶段练习）数列 na满足11a=-，且12(*)1(1)nnaanNnnn n+=+，则22a=()A1B20C21D22【变式【变式 1-1】（2021 上江西吉安高三吉安一中校考开学考试）已知数列 na的首项为1，且*11nnnanan nN+=+，则 na的最小值是（）A12B1C2D3【变式【变式 1-2】（2023全国高三专题练习）已知11a=，

11、且1(2)nnnanna+=+，则数列 na的通项公式为 .【变式【变式 1-3】（2022甘肃白银高三）已知数列 na中，12a=，当2n 时，121 2nnnaan-=+-，设2nnnab=，则数列 nb的通项公式为（）A222nn-+B212nn+-C2232nn-+D2222nn+-.题型题型 06 累积法求通项累积法求通项 【解题攻略】【解题攻略】累乘法：若在已知数列中相邻两项存在：1()(2)nnag n na-=的关系，可用“累乘法”求通项.更多全科试卷，请关注公众号：高中试卷君【典例【典例 1-1】（2023全国高三专题练习）已知数列 nnnabc、满足*11111223341

12、1111112334nnnnnnnnnnnbabccaaccnSnTnbbbbaaan+=-=+=+-NLL，（），（），则下列有可能成立的是（）A若 na为等比数列，则220222022abB若 nc为递增的等差数列，则20222022STC若 na为等比数列，则220222022ab【典例【典例 1-2】（2021全国高三专题练习）已知数列 na中，12a=，211nnnaaa+=-+.记12111nnAaaa=+，12111nnBaaa=则（）A202020201AB+B202020201AB+D2020202012AB-B2D3【变式【变式 1-3】（2021全国高三专题练习）已知数列

13、 na满足1112nnnnaaaa+=-，且11a=，则数列 na的通项公式为（）A21nnan=-B12nna-=C121nan=-D2nan=题型题型 09 不动点方程求通项不动点方程求通项 【解题攻略】【解题攻略】形如n 1axbxcxdnn+=+的递推数列，axbxcxd+=+求不动点方程方程的根，可以分两种情况：（1）、若其中有一个不动点 x0，则01xx-是等差数列（2）、若其中有两个不动点 m，n，则是xmxnnn-等比数列【典例【典例 1-1】（2223 下浦东新）若严格递增数列 na满足1421nnnaaa+-=+，则首项1a的取值范围是（）A1,2B1,4C,11,2-D,

14、1-【典例【典例 1-2】（2223 下开封模拟预测）已知数列 na的前 n 项和为nS，132a=，且12342nnnaan+=+，若不等式1(1)2nnnnS-，22221122112nnnnnnaaaanaa-+-+-=，则2017a=（）A264B364C132D3332【变式【变式1-2】（2020下南宁阶段练习）数列na满足1111,444nnaaa+=-若不等式322121nnaaanaaa+N，都有1100nnaa+-”为真命题的一个0N的值为 .【变式【变式 1-1】（2023北京统考模拟预测）已知数列 na的前 n 项和2*32nSnnn=+N，则数列 na的通项公式为 【

15、变式【变式 1-2】（2023 上北京高三北京市十一学校校考）已知数列 na的前n项和为2log3 2nnS=，则 na的通项公式为 .题型题型 11 前前N项积型求通项项积型求通项 【解题攻略】【解题攻略】前 n 项积型求通项，可以类比前可以类比前 n 项和求通项过程来求数列前项和求通项过程来求数列前 n 项积：项积：1.n=1，得，得 a12.n2时，时，1annnTT-=所以11na ,(n2nnnTTT-=，（=1）【典例【典例 1-1】（2223沈阳三模）记nT数列 na的前 n 项积，已知111nnTa+=，则4T=（）A4B5C7D8【典例【典例 1-2】（2122石嘴山一模）已

16、知na为数列 nb的前 n 项积，若121nnba-=，则数列 na的通项公式na=（）更多全科试卷，请关注公众号：高中试卷君A3 2n-B32n-+C34n-D1 2n-【变式【变式 1-1】（2122 下包头一模）已知na为数列 nS的前 n 项积，若121nnSa-=，则数列 na的前 n 项和nT=（）A21n+B21n-+C2nD2n-【变式【变式 1-2】（2122 上合肥）若数列 na的前n项积217nbn=-，则na的最大值与最小值之和为（）A13-B57C2D73【变式【变式 1-3】（2021广西模拟预测）设数列 na的前 n 项和为nS，已知151120,2nnaaS+=

17、，则数列 na的前 n 项之积nT的最大值为（）A16B32C64D128题型题型 12 因式分解型求通项因式分解型求通项 【解题攻略】【解题攻略】因式分解型求通项经验型：一般情况下，数列次幂比较高（二次型）递推公式，可以考虑因式分解，或者配方型【典例【典例 1-1】（2223 上四川阶段练习）设数列 na的前 n 项和为nS，11a=，0na，且2211(21)(21)(2)nnnnSnSSnSn-=+-，则22nnnaSb=的最大值是（）A2B625512C8132D24364【典例【典例 1-2】（2223 上漳州）若正项数列na满足11a=，221160nnnnaaaa+-=，则222

18、2123naaaa+=（）A41n-B1(41)3n-C21n-D1(21)3n-【变式【变式 1-1】（2021 下衡水）在各项均为正数的数列 na中，nS为前n项和，22111+=+nnnnnanaa a且3ap=，则2016S=.【变式【变式 1-2】（1920 上浙江开学考试）已知正项数列 na满足22112120nnnnnanaana+-=，14a=，则数列 12nann+的前n项和为 更多全科试卷，请关注公众号：高中试卷君题型题型 13 同除型构造等差数列求通项同除型构造等差数列求通项 【解题攻略】【解题攻略】同除型换元形如n 111n 1nn 1nn 1n 1ttmtmbbmmm

19、mnnnnnnnaaaa+=+=+=+，同除，得，换元为，累加法即可。【典例【典例 1-1】（2022 下上饶）在数列na中，若*111,22Nnnnaaan+=+，则数列na的通项公式na=【典例【典例 1-2】（2022 下沈阳）已知数列 na中，12a=,123 2nnnaa+=+,则数列 na的通项公式na=【变式【变式 1-1】（2223 下淄博）已知 na数列满足12a=，1122nnnaa+-=，则数列 na的通项公式为 【变式【变式 1-2】（2223对口高考）已知数列 na中，14a=，且1122nnnaa+-=+（2n，且nN），则数列 na的通项公式为 .题型题型 14

20、同除型构造等比数列求通项同除型构造等比数列求通项 【典例【典例 1-1】（2022唐山二模）数列 na满足132nnnaa+=-，若nN+时，1nnaa+，则1a的取值范围是 【典例【典例 1-2】（2021 上清远阶段练习）若数列 na满足11a=，1162nnnaa+=+，则数列 na的通项公式na=.【变式【变式 1-1】（2019全国高三专题练习）在数列 na中，11a=，1163nnnaa+=+，则数列 na的通项公式为na=_【变式【变式 1-2】.（2021全国高三专题练习）若数列 na满足11a=，1162nnnaa+=+，则数列 na的通项公式na=_.题型题型 15 周期数

21、列求通项：分段型周期数列求通项：分段型 【典例【典例 1-1】（2023 上江苏无锡高三统考开学考试）已知数列 na满足112,02121,12nnnnnaaaaa+=-若135a=，则2023a=（）A15B25C35D45更多全科试卷，请关注公众号：高中试卷君【典例【典例 1-2】（2023 下高三课时练习）数列 na满足1120,21211.2nnnnnaaaaa+=-若167a=，则2011a=（）A67B57C37D17【变式【变式 1-1】（2023 上山东烟台高三统考）在数列 na中，12,123,1nnnnna aaaa+，若125a=，则103a=（）A15B25C45D85

22、【变式【变式 1-2】（2022 上河南鹤壁高三鹤壁高中校考阶段练习）已知数列 na满足12a=，11,11,01nnnnnaaanaa+-=-=，则9a=【答案】24/124【分析】根据数列递推式，判断22na为等差数列，即可求出na的表达式，从而可求得答案.【详解】因为112a=，221221nnaa+-=，所以22na为等差数列，公差为 1，首项为2128a=，故22817nnna=+-=+，所以227nan=+，而0na，故27nan=+，故924a=，故答案为：24更多全科试卷，请关注公众号：高中试卷君【变式【变式 1-3】（2023 上四川成都高三校联考阶段练习）已知各项均不为 0

23、 的数列 na满足111nnnaaa+=+，且112a=，则2023a=【答案】12024/12024-【分析】将111nnnaaa+=+取倒数化简可得1111nnaa+-=，即判断1na为等差数列，即可求得 na的通项公式，即可得答案.【详解】由题意知数列 na满足111nnnaaa+=+，即11nnnaaa+=+，即11111111,nnnnaaaa+=+-=，即1na为首项是112a=，公差为 1 的等差数列，故112(1)11,1nnnnana=+-=+=，故202312024a=，故答案为：12024题型题型 02 递推基础：等比数列定义型递推基础：等比数列定义型 【解题攻略】【解题

24、攻略】等比数列的判定方法：(1)定义法：“欲证等比，直接作比”，即证an1anq(q0 的常数)数列an是等比数列；(2)等比中项法：即证 a2n1anan2(anan1an20，nN*)数列an是等比数列【典例【典例 1-1】（2023河南郑州统考二模）已知正项数列 na的前n项和为nS，且111233nnnnnnaSSSS+=-=+，则2023S=（）A202331-B202331+C2023312+D2022312+【答案】C【分析】将1133nnnnnnSSSS+-=+化简为13nnnSS+-=，再利用和与项的关系可得13nna+=，从而确定数列 na从第二项起，构成以23a=为首项，

25、公比3q=的等比数列，根据等比数列的前n项和公式即可求解.【详解】因为1133nnnnnnSSSS+-=+，所以122133nnnnnnSSSS+-=+，即122133nnnnnnSSSS+-=+，所以1113nnnnnnnSSSSSS+=-，因为数列 na的各项都是正项，即10nnSS+，所以13nnnSS+-=，即13nna+=，所以当2n 时，11333nnnnaa+-=，所以数列 na从第二项起，构成以23a=为首项，公比3q=的等比数列.所以202220222023220231131 331211 32aqSaq-+=+=+=-.故选：C更多全科试卷，请关注公众号：高中试卷君【典例【

26、典例 1-2】（2022吉林长春长春吉大附中实验学校校考模拟预测）已知数列 na满足：对任意的 m，*nN，都有mnm na aa+=，且23a=，则20a=（）A203B203C103D103【答案】C【分析】通过赋值分析可得数列 na是以首项为1a，公比为1a的等比数列，根据题意结合等比数列通项公式运算求解.【详解】对于mnm na aa+=，令1m=，则11nnaa a+=，再令1n=，则2213aa=，可知10a，故数列 na是以首项为1a，公比为1a的等比数列，则1111nnnaaaa-=，102021020113aaa=.故选：C.【变式【变式1-1】（2022 上山东日照高三统考

27、）正项数列 na中，1nnaka+=（k 为常数），若2021202220233aaa+=，则222202120222023aaa+的取值范围是（）A3,9B3，9C3,15D3，15【答案】A【分析】根据递推公式，求出2022311akk=+，然后化简222202120222023aaa+，令12tk tk=+，得到关于t的一个函数，根据函数的性质求其取值即可求解.【详解】因为2021202220233aaa+=，所以2022202220223(0)aakakk+=，所以2022311akk=+，22222222021202220232022221311111aaaakkkkkk+=+=+令

28、12tk tk=+，化简可得222220212022202321911aaatt+=-+，令 2212919 1211ttttft=-=-+，所以 3,9f t 故选：A【变式【变式 1-2】（2022陕西校联考模拟预测）在数列 na中，11a=，数列11na+是公比为 2 的等比数列，设nS为 na的前n项和，则下列结论错误的是（）A121nna=-B1122nna=+C数列 na为递减数列D378S【答案】B【分析】由已知结合等比数列通项公式可求11na+，进而可求na，然后结合单调性定义及数列的求和分别检验各选项即可判断和选择.更多全科试卷，请关注公众号：高中试卷君【详解】因为11a=，

29、数列11na+是公比为 2 的等比数列，则1112 22nnna-+=，所以121nna=-，故 A 正确，B 错误；因为211xyx=-是单调增函数，故1121xyx=-是单调减函数，故数列 na是减数列，故 C 正确；31231171378Saaa=+=+，故 D 正确.故选：B.【变式【变式 1-3】（2022山西吕梁统考一模）已知nS为数列 na的前 n 项和，且11a=，13 2nnnaa+=，则100S=（）A10023-B10022-C10123-D10122-【答案】D【分析】根据递推公式和等比数列的定义，可证明2nna-是等比数列，进而可得21nnna=+-，再根据等比数列的

30、前n项和公式，即可求出结果.【详解】由13 2nnnaa+=得，1122nnnnaa+-=-.又1121a-=-所以2nna-为首项为1-，公比为1-的等比数列，所以21nnna-=-即21nnna=+-，所以 299100129910010022221111=+-+-+-+-LLS1001012 1202212-=+=-.故选：D.题型题型 03 累加法求通项累加法求通项 【解题攻略】【解题攻略】对于递推公式为 1nnaaf n-=，一般利用累加法求出数列的通项公式；【典例【典例 1-1】已知数列 na满足110a=，12nnaan+-=，则nan的最小值为（）A210-1B112C163D

31、274【答案】C【解析】先根据累加法得210nann=-+，进而得101nannn=+-，再结合函数 101f xxx=+-的单调性即可得当3n=时，nan的最小值为163.【详解】解：由12nnaan+-=得12nnaan+-=，所以121nnaan-=-，1222nnaan-=-，2323nnaan-=-，L，322 2aa-=，212 1aa-=，累加上述式子得：121232 11naannnn n-=-+-+-+=-L，更多全科试卷，请关注公众号：高中试卷君所以210nann=-+，2n，检验已知1n=时，210nann=-+满足.故210nann=-+，101nannn=+-，由于函

32、数 101f xxx=+-在区间0,10上单调递减，在10,+上单调递增，又因为*xN，当3n=时，10163133nan=+-=，当4n=时，10114142nan=+-=，所以nan的最小值为163.故选：C.【典例【典例 1-2】已知数列已知数列 na中，中，11a=，2n 时，时，121nnaan-=+-，na=_.【答案】【答案】2n【分析】首先递推公式变形为121nnaan-=-，再利用累加法求和.【详解】当2n 时，121nnaan-=-，213aa-=，325aa-=，437aa-=，121nnaan-=-，这1n-个式子相加得：11321112nnnaann-+-=-+，解得

33、2nan=2n，当1n=时，2111a=成立，所以2nan=.故答案为：2n【变式【变式 1-1】（2023 下北京高三北京八中校考）若数列 na满足*111,1Nnnaaann+=+，则通项公式为na=.【答案】(1)2n n+【分析】根据题意，利用累加法即可求解.【详解】因为*11Nnnaann+=+，所以当2n 时，11232211()()()()nnnnnaaaaaaaaaa-=-+-+-+-+L(1)32 1nn=+-+L(1)2n n+=，当1n=时，11 212a=，满足11a=，所以(1)2nn na+=，故答案为：(1)2n n+.【变式【变式 1-2】（2022陕西西安西安

34、中学校考模拟预测）已知数列 na满足134a=，121nnaan+-=+，则数列更多全科试卷，请关注公众号：高中试卷君1na的前 100 项和100S=【答案】400201【分析】叠加法求解na，再裂项相消法求和即可.【详解】121nnaan+-=+，2n 时，121nnaan-=-2121131212 2 144nnnaaaaaann-=-+-+=-+-+=-（2n），当1n=时134a=也满足上式，214nan=-（*nN）214112412121nannn=-+，（*nN）数列1na的前n项和11111213352121nSnn=-+-+-+142 12121nnn=-=+（*nN）所以

35、数列1na的前 100 项和100400400200 1201S=+故答案为：400201【变式【变式 1-3】（2020 上湖南长沙高三雅礼中学校考阶段练习）设数列 na满足12(1)nnaan+=+，*nN，12a=，则数列(1)nna-的前 50 项和是 【答案】1300【分析】利用累加法可求得数列 na的通项公式(1)nan n=+，再并项求和求解前 50 项和即可.【详解】因为12(1)nnaan+=+，*nN，且12a=，故2n 时，214aa-=，326aa-=，12nnaan-=，累加可得(22)2462(1)32nnnann n+=+=+-，1n=，12a=满足上式，即(1)

36、nan n=+，故(1)nna-的前 50 项和，即25(250)1 22 33 44 549 5050 512 22 42 50213002S+=-+-+-+=+=L故答案为：1300.题型题型 04 累加法求通项：裂项型累加法求通项：裂项型【解题攻略】【解题攻略】形如：1nnaf na+=的数列的递推公式，采用累乘法求通项；利用累乘法求通项：1a(1)(2)(3).(1)n-1naffff n=-（一定注意，是项积）【典例【典例1-1】（2022北京清华附中高三开学考试（理）已知数列na满足12a=，1(1)(1)(2)nnnanan nn-=+-，则na的通项公式为_【答案】(1)nan

37、 n=+更多全科试卷，请关注公众号：高中试卷君【分析】首先根据题意得到111nnaann-=-，即nan是首项为 2，公差为 1 的等差数列，再求通项公式即可.【详解】Q数列na满足12a=，1(1)(1)(2)nnnanan nn-=+-，2n时，111nnaann-=-，121a=，nan是首项为 2，公差为 1 的等差数列，2(1)11nannn=+-=+，(1)nan n=+na的通项公式为(1)nan n=+故答案为：(1)nan n=+【典例【典例 1-2】（2023 上海市南洋模范中学高三阶段练习）数列 nx中，10 x=，111nnnxxnNnn+=+，则数列 nx的通项公式n

38、x=_.【答案】1nnN-【分析】在等式111nnnxxnn+=+两边同时除以1n+，得1111nnxxnnn n+=+，然后利用累加法求出数列nxn的通项公式，由此可得出nx.【详解】在等式111nnnxxnn+=+两边同时除以1n+，得1111nnxxnnn n+=+，即11111nnxxnnnn+-=-+.211122xx-=-，32113223xx-=-，L，11111nnxxnnnn-=-.上述等式全部相加得11111111112231nxnxnnnnn-=-+-+-=-=-L，1nxnnn-=，因此，1nxn=-.故答案为1nnN-.【变式【变式1-1】（2023 下北京昌平高三北

39、京市昌平区第二中学校考）已知数列 na满足1111,(2)nnaaan n+=-=+，则5a=（）A75B1712C4730D5140【答案】C【分析】利用累加法以及裂项求和法求得正确答案.【详解】依题意，111 11(2)22nnaan nnn+-=-+，所以5544332211aaaaaaaaaa=-+-+-+-+111111111123243546=-+-+-+-+11114711225630=+-+=.故选：C.【变式【变式 1-2】（2023 下山东潍坊高三山东省昌乐第一中学校考阶段练习）已知数列 na满足112a=，121nnaann+=+，则 na的通项为（）A11nan=+，1

40、n，NnB312nan=+，1n，Nn更多全科试卷，请关注公众号：高中试卷君C312nan=-，1n，NnD312nan=-，1n，Nn【答案】D【详解】先把21111nnnn=-+，利用累加法和裂项相消法可求答案.【分析】因为121nnaann+=+，所以121111nnaannnn+-=-+，则当2n，*Nn时，213211121123111nnaaaaaann-=-=-=-L，将n1-个式子相加可得1111111112231naannn-+-+-=-=L，因为112a=，则1131122nann=-+=-，当1n=时，1311212a=-=符合上式，所以312nan=-，1n，*Nn，故

41、选：D.【变式【变式 1-3】（2021全国高三专题练习）在数列 na中，12a=，11ln 11nnaannn+=，则na=（）A8aB21 lnnn+-C1lnnn+D2lnnnn+【答案】D【分析】根据11ln1nnaannnn+=+，利用累加法先求出2lnnann=+，进而求得na即可.【详解】由题意得，11ln1nnaannnn+=+，则1ln11nnaannnn-=+-，121ln122nnaannnn-=+-，212ln211aa=+，由累加法得，112lnlnln1121naannnnn-=+-L，即112ln121nannannn-=+-L，则2lnnann=+，所以2lnn

42、annn=+，故选：D题型题型 05 累加法求通项：换元型累加法求通项：换元型【典例【典例 1-1】（2022全国高三阶段练习（理）已知数列 na满足11(2)32,(1)1nnannaann+=+,数列 na的通项公式为na=_.【答案】22313nn+【分析】把11(2)32,(1)1nnannaann+=+化为1212(1)233nnaannnnnn+=+，利用累加法和裂项相消法可求通项公式.更多全科试卷，请关注公众号：高中试卷君【详解】因为1(2)3(1)1nnannann+=+，所以1311nnnaan+=+，两边同时除以23nn+得到1212(1)233nnaannnnnn+=+，

43、整理得到：1112(1)2323nnaannnnnn+-=-+即1112(1)112nnnaannnnn-=-+，累加得到1112(1)3322naannn-=-+即21212(1)3232nannnnn+=-=+，所以221123+133nnnnna+=，其中2n，又1n=时，12a=符合，故数列 na的通项公式为223+13nnna+=，故填22313nn+.【典例【典例 1-2】（2021 上陕西西安高三西安市铁一中学校考阶段练习）数列 na满足11a=-，且12(*)1(1)nnaanNnnn n+=+，则22a=()A1B20C21D22【答案】B【分析】根据题意，将121(1)nn

44、aannn n+=+变形可得12221(1)1nnaannn nnn+-=-+，由累加法分析可得na【详解】根据题意，数列na满足11a=-，且12(*)1(1)nnaanNnnn n+=+，变形可得12221(1)1nnaannn nnn+-=-+，则有，112211()()()112211nnnnnaaaaaaaannnnn-=-+-+-+-2222222()()()(1)112112nnnnn=-+-+-+-=-则2nan=-，故2222220a=-=；故选：B【变式【变式 1-1】（2021 上江西吉安高三吉安一中校考开学考试）已知数列 na的首项为1，且*11nnnanan nN+=

45、+，则 na的最小值是（）A12B1C2D3【答案】B【分析】利用累加法可求得数列 na的通项公式，利用数列 na的单调性即可得解.【详解】因为*11nnnanan nN+=+，设nnbna=，则1nnbbn+-=，所以 1213211 121nnnbbbbbbbbn-=+-+-+-=+-LL12,22n nn-+=，又11b=符合上式，所以122nn nb-+=，则1211222nn nnann-+=+-，故 na的最小值为121aa=.故选：B.【变式【变式 1-2】（2023全国高三专题练习）已知11a=，且1(2)nnnanna+=+，则数列 na的通项公式为 .更多全科试卷，请关注公

46、众号：高中试卷君【答案】2nan=【分析】由已知可得1(1)(2)(1)nnaannn n+-(111)(2)nn-=+，构造(1)nnabn n=+应用累加法求其通项公式，进而可得 na的通项公式.【详解】等式两侧同除(1)(2)n nn+，得1(1)(2)(1)(1)(2)1nnaannn nnn+=+，所以1(1)(2)(1)(1)(2)1nnaannn nnn+-=+(111)(2)nn-=+，令(1)nnabn n=+，所以1(12)1)(1nnbbnn+-=+，则211123bb-=-，323411bb-=-，434511bb-=-，111(1)nnbbnn-=+，累加得：1112

47、(1)nbbn-=+，而11122ab=，故1(1)11nbnnn=+=+-，即(1)1nann nn=+，整理得2nan=.故答案为：2nan=【变式【变式 1-3】（2022甘肃白银高三）已知数列 na中，12a=，当2n 时，121 2nnnaan-=+-，设2nnnab=，则数列 nb的通项公式为（）A222nn-+B212nn+-C2232nn-+D2222nn+-【答案】A【分析】根据递推关系式得到11nnbbn-=-，进而利用累加法可求得结果【详解】Q数列 na中，12a=，当2n 时，121 2nnnaan-=+-，11122nnnnaan-=+-，2nnnab=Q，11nnb

48、bn-=-，且11b=，112211nnnnnbbbbbbbb-=-+-+-+L 21 112121 1122nnnnnn-+-+=-+-+=+=L，故选：A.题型题型 06 累积法求通项累积法求通项 【解题攻略】【解题攻略】累乘法：若在已知数列中相邻两项存在：1()(2)nnag n na-=的关系，可用“累乘法”求通项.【典例【典例 1-1】（2023全国高三专题练习）已知数列 nnnabc、满足*111112233411111112334nnnnnnnnnnnbabccaaccnSnTnbbbbaaan+=-=+=+-NLL，（），（），则下列有可能成立的是（）A若 na为等比数列，则2

49、20222022abB若 nc为递增的等差数列，则20222022STC若 na为等比数列，则220222022ab【答案】B【分析】若 na为等比数列，可得112,2nnnnac-=，进而可得124nnnba-=可判断 AC；若 nc为递增的等差数列，利用累乘法可得1212nnnccbc+=，再利用裂项相消法可得nS=21111nddcc+-，利用累加法可得212nnnand-=+，进而可得3113nTad=-，可判断 BD.【详解】因为11111nnnabccaa+=-，121caa=-，即2112aac=+=，若 na为等比数列，则 na的公比为212aqa=，11112,222nnnn

50、nnnnacaa-+=-=-=，由12nnnnbccb+=，可得1121242nnnnnnbcbc+-=，124nnnba-=，故 AC 错误；若 nc为递增的等差数列，11c=，公差0d，由12nnnnbccb+=则12nnnnbcbc+=，31352244123123nnnnbbcccbbcbbbbcccc+=LL，11211 2nnnbccbc c+=，即1212nnnccbc+=，2111111nnnnncdbccdcc+=-，23423344511111111111111nnnndSbbbbdcccccccc+=+=-+-+-+-LL21111111111nndddccddcd+=-