专题5-3数列求和及综合大题归类（17题型+解题攻略）-2024年高考数学二轮热点题型归纳与变式演练（新高考通用）含答案.pdf

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1、更多全科试卷，请关注公众号：高中试卷君专题专题 5-3 数列求和及综合大题归类数列求和及综合大题归类 目录题型 01 等差等比公式法求和.1题型 02 等差、等比、裂项、三角型分组求和.2题型 03 中心对称型倒序求和.3题型 04 难度较大的错位相消求和.4题型 05 奇偶讨论、正负相间型求和.5题型 06 插入数型求和.6题型 07 分段型数列求和.8题型 08 裂项相消型求和.8题型 09 裂项归类：降幂分离型.10题型 10 裂项归类：分子是分母差的线性型.10题型 11 裂项归类：指数等差型裂项.11题型 12 裂项归类：指数与等差“同构”型.12题型 13 正负型裂项：正负基础型.

2、13题型 14 正负型裂项：等差裂和型.14题型 15 正负型裂项：指数裂和型.14题型 16 裂项归类：三角函数型.15题型 17 通项分段求和.16高考练场.17题型题型 01 等差等比公式法求和等差等比公式法求和 【解题攻略】【解题攻略】对于等差等比数列，利用公式法可直接求解等差数列有关公式：(1)通项公式：ana1(n1)d；(2)前 n 项和公式：Snna1n n1 2dna1an2.等比数列有关公式：(1)通项公式：ana1qn1；(2)前 n 项和公式：Snna1，q1，a11qn1qa1anq1q，q 1.【典例【典例 1-1】（2024 上四川自贡高三统考）设 na是等差数列

3、，若12518,26aaa=+=(1)求 na的通项公式；(2)求数列 na的前n项和及其最值【典例【典例 1-2】（2024 上湖北高三湖北省武汉市汉铁高级中学校联考）已知nS是等差数列 na的前n项和，6370,8aaa=+=.(1)求数列 na的通项公式；专题5-3数列求和及综合大题归类（17题型+解题攻略）-2024年高考数学二轮热点题型归纳与变式演练（新高考通用）更多全科试卷，请关注公众号：高中试卷君(2)若0nS 都成立，则称数列 na为 k 级等差数列；(1)已知数列 na为 2 级等差数列，且前四项分别为 2，0，4，3，求89aa+的值；(2)若2sinnannw=+（0w）

4、，且 na是 3 级等差数列，求w的最小正值，及此时数列 na的前 3n 项和3nS；【典例【典例 1-2】（2223 上广安）已知数列 na满足111112,2nnaaa+=-=.等比数列 nb的公比为 3，且1310bb+=.(1)求数列 na和 nb的通项公式；(2)记22nnnacbn=+，求数列 nc的前n项和nT.【变式【变式 1-1】（2324 上成都阶段练习）设nS为数列na的前n项和，且21nnSa=-，*nN(1)求数列na的通项公式；(2)令2231lognnnbaa+=+，*nN，求数列 nb的前n项和nT【变式【变式 1-2】（2324 上盐城）设数列 na的前n项和

5、为nS，且2nSn=n*N(1)求数列 na的通项公式；更多全科试卷，请关注公众号：高中试卷君(2)若数列 nb满足2139bb=，0nb，且212nnnbb b+=，设11(1)nnnnncba a+=+-，求数列 nc的前n项和nT题型题型 03 中心对称型倒序求和中心对称型倒序求和 【解题攻略】【解题攻略】倒序求和如果一个数列，与首末项等距的两项之和等于首末两项之和，可采用把正着写和与倒着写和的两个和式相加，就得到一个常数列的和，这一求和方法称为倒序相加法。比较常见于等差数列，以及具有中心对成的函数型数列求和如果一个数列，与首末项等距的两项之和等于首末两项之和，可采用把正着写和与倒着写和

6、的两个和式相加，就得到一个常数列的和，这一求和方法称为倒序相加法。比较常见于等差数列，以及具有中心对成的函数型数列求和【典例【典例 1-1】（2223全国专题练习）设函数 11 lnxf xx-=+，设11a=，1231,2nnaffffnnnnnn*-=+NL(1)计算 1f xfx+-的值(2)求数列 na的通项公式【典例【典例 1-2】（2122全国专题练习）设1122,A x yB xy是函数 21log21xf xx=+-的图象上任意两点，且1()2OMOAOB=+uuuu ruuu ruuu r，已知点M的横坐标为12(1)求证：M点的纵坐标为定值；(2)若*121.,-=+nnS

7、fffnNnnn且2n 求nS；【变式【变式 1-1】（2021全国课时练习）已知函数 21122f xxx=+，数列 na的前 n 项和为nS，点*,Nnn Sn均在函数 f x的图象上，函数 442xxg x=+.(1)求数列 na的通项公式；(2)求 1g xgx+-的值；(3)令*2021nnabgn=N，求数列 nb的前 2020 项和2020T.【变式【变式 1-2】（2021全国课时练习）已知函数 21122f xxx=+，数列 na的前n项和为nS，点*,nn SnN均在函数 f x的图象上（1）求数列 na的通项公式；（2）若函数 442xxg x=+，令*2021nnabg

8、n=N，求数列 nb的前 2020 项和2020T更多全科试卷，请关注公众号：高中试卷君题型题型 04 难度较大的错位相消求和难度较大的错位相消求和【解题攻略】【解题攻略】错位相减法：形如 anbcnn（等差）（等比），用错位相减法求解错位相减法求数列na的前 n 项和（1）适用条件若na是公差为()0d d 的等差数列，nb是公比为()1q q 的等比数列，求数列anbn的前 n 项和nS（2）基本步骤（3）思维结构结构图示如下思维结构结构图示如下 （4）注意事项在写出nS与nqS的表达式时，应特别注意将两式“错位对齐”，以便下一步准确写出nnSqS-；作差后，应注意减式中所剩各项的符号要变

9、号等差乘等比数列求和，令nnqBAnc+=，可以用错位相减法nnqBAnqBAqBAqBAT)(.)3()2()(32+=1432)(.)3()2()(+=nnqBAnqBAqBAqBAqT-得：123(1)()()(.)+-=+-+nnnq TAB qAnB qA qqq整理得：qqAqBqqAqBqAnTnn)1(1()1(11(212-+-=+更多全科试卷，请关注公众号：高中试卷君（5）万能公式：）万能公式：形如1()(1)nncanbqq-=+的数列求和为()(1)nnSAnB qC q=+，其中1aAq=-，1bABq-=-，CB=-（6）公式秒杀）公式秒杀:()nnSA nB qB

10、=+-(错位相减都可化简为这种形式,对于求解参数A与B,可以采用将前 1 项和与前 2 项和代入式中,建立二元一次方程求解.此方法可以快速求解出结果或者作为检验对错的依据.)【典例【典例 1-1】（2324 上厦门）已知等差数列 na与等比数列 nb满足11a=，35a=，24b=，且2a既是11ab+和33ba-的等差中项，又是其等比中项.(1)求数列 na和 nb的通项公式；(2)记21,21,2nnnnnnka acab nk+=-=，其中Nk*，求数列 nc的前2n项和2nS.【典例【典例 1-2】（2324 上无锡）各项均为正数的数列 na的前n项和记为nS，已知11a=，且1111

11、nnnnSaSa+=+对一切Nn*都成立(1)求数列 na的通项公式；(2)在ka和1ka+之间插入k个数，使这2k+个数组成等差数列，将插入的k个数之和记为kc，其中1,2,kn=L求数列 nc的前n项和【变式【变式 1-1】（2324 上温州）已知数列 na的前项和为,22,NnnnSSan+=-.(1)求数列 na的通项公式.(2)设数列 nb的前项和为11,nT b=，点1,nnTT+在直线112xynn-=+上，1212222nnnbbbPaaa=+L，求nP以及nP的最小值.【变式【变式 1-2】（2324 上丹东）已知数列 na是公差为 1 的等差数列，且123aaa+=，数列

12、nb是等比数列，且1 23412,4bbb abb=-(1)求 na和 nb的通项公式；(2)记21231,2121,2nnnnnnkaacab nk-+=-=-=，其中*kN，求数列 nc的前2n项的和2nS题型题型 05 奇偶讨论、正负相间型求和奇偶讨论、正负相间型求和 【解题攻略】【解题攻略】更多全科试卷，请关注公众号：高中试卷君 正负相间求和：正负相间求和：1.奇偶项正负相间型求和，可以两项结合构成奇偶项正负相间型求和，可以两项结合构成“常数数列常数数列”。2.如果需要讨论奇偶，一般情况下，先求偶，再求奇。求奇时候，直接代入偶数项公式，再加上最后的奇数项通项。如果需要讨论奇偶，一般情况

13、下，先求偶，再求奇。求奇时候，直接代入偶数项公式，再加上最后的奇数项通项。【典例【典例 1-1】（2024 上江苏苏州高三统考）已知等差数列 na的公差为d，且0d，设nS为 na的前项和，数列 nb满足*42nnbSn n=-N.(1)若11,1ad=-=，且，记*nnncab=，求数列 nc的前 20 项和20T.题型题型 08 裂项相消型求和裂项相消型求和 【解题攻略】【解题攻略】常见的裂项相消法求和类型更多全科试卷，请关注公众号：高中试卷君21111=,2 442 2411111111;(2)n(1)1(2n-1)(21)2 2121111 111(3)33311111 11(2)=n

14、2n+42n(2)22 n23m11(,p)mqpnnnnnnn nnnnnnnqpq-=-=-+-+=-+-=-+=+-+“基础原理：基本题型：要求（避免掉如：（）（）分母分解因式:系数不相同就提系数：（）求和化简时坑），要写到：前三后二”，并且一定要强调每项加括号，这样容易观察剩余的是首尾项（或正负项）对应。(1)11 11n nkknnk=-+；（2）1nkn+1nknk=+-；（3）111121212 2121nnnn=-+-+；（4）11122n nn=+11112n nnn-+；分式型：11 11n nkknnk=-+，111121212 2121nnnn=-+-+，1111122

15、112n nnn nnn=-+等；【典例【典例 1-1】（2324 上福州）已知nS是数列 na的前 n 项和，232nnnS+=(1)求数列 na的通项公式(2)设nT为数列11nna a+前 n 项的和，若1nnTa+对一切*nN恒成立，求实数l的最大值【典例【典例 1-2】（2324 上威海阶段练习）设数列 na的前n项和为nS，且26nnSn a=+，616a=(1)求数列 na的通项公式；(2)设数列1nna的前n项和为nT，求证：1368nT恒成立，求实数k的取值范围.【变式【变式 1-2】（2324 上佛山阶段练习）已知数列 na的前n项的和为nS，数列nSn是公差为 1 的等差

16、数列(1)证明：数列 na是公差为 2 的等差数列；更多全科试卷，请关注公众号：高中试卷君(2)设数列11nna a+的前n项的和为nT，若39S=，证明12nT 题型题型 09 裂项归类：降幂分离型裂项归类：降幂分离型 【解题攻略】【解题攻略】分离常数型分式型，如果分子分母都是一次，或者分子二次分母一次，如果不能裂项，可以考虑通过分离常数，把分子次幂降下来。【典例【典例 1-1】（2223 下十堰阶段练习）设 na是正数组成的数列，其前n项和为nS，并且对于所有的正整数n，na与 2 的等差中项等于nS与 2 的等比中项.(1)求数列 na的通项公式；(2)令111N*2nnnnnaabna

17、a+=+，求证：1231nbbbbn+，且2241nnnaaS+=-(1)求 na的通项公式；(2)设1nnnnSba a+=的前 n 项和为nP，求nP(3)记数列1212na+-的前 n 项和为nT，若1nnTtTl-恒成立，求tl-的最小值【变式【变式 1-2】（2324 上南昌阶段练习）已知函数 ln1,Rf xxaxa=-+.(1)若0 x$，使得 0f x 成立，求实数a的取值范围；(2)证明：对任意的2222*22221223341N,e,e112233kkkkk+L为自然对数的底数.题型题型 10 裂项归类：分子是分母差的线性型裂项归类：分子是分母差的线性型 【解题攻略】【解题

18、攻略】分式型分子裂差法如果数列通项满足“分子是分母差的线性关系”即更多全科试卷，请关注公众号：高中试卷君111111f()f(n)a-aaaa-af()11aaaaaannnnnnnnnnnnnnlll+=-形如型，如果（），则可以分子裂差：（）（）【典例【典例 1-1】（2223秦皇岛模拟预测）设等比数列 na的前n项和为nS，数列 nb为等差数列，且公差110,2dab=，3335,ab Sb=.(1)求数列 na的通项公式以及前n项和nS；(2)数列22214nnnb+的前n项和为nT，求证：19nT.【典例【典例 1-2】（2324 上湖北一模）已知正项数列 na的前n项和nS，满足：

19、212nnaS+=(1)求数列 na的通项公式；(2)记21nnnnbS S+=，设数列 nb的前n项和为nT，求证516，求正整数m的最小值【典例【典例 1-2】（2024 上黑龙江哈尔滨高三哈九中校考）已知数列 na的首项14a=，且满足*132Nnnaan+=-.(1)求证：数列1na-为等比数列；(2)记13nnnnbaa+=，求数列 nb的前n项和nS，证明：18nS.【变式【变式1-1】（2024 上湖南长沙高三湖南师大附中校考阶段练习）记nS为正项数列 na的前n项和，且113a=，231nnnSa=-.(1)求数列 na的通项公式；(2)设111nnnnabaS+=-，记数列

20、nb的前n项和为nT，证明：38nT.【变式【变式 1-2】（2023 上江苏南通高三海安高级中学校考阶段练习）已知数列 na的首项11a=，且满足112nnnaa+=，记*212,Nnnnbaan-=+.(1)证明：nb是等比数列；(2)记133nnnnbcbb+=-，证明；数列 nc的前n项和12nS.题型题型 12 裂项归类：指数与等差裂项归类：指数与等差“同构同构”型型 【解题攻略】【解题攻略】指数与等差数列“同构”1111()(1)q111()(1)q()q(1r ncr nc)11qnnnnknb k nbknb k nbknbk nbl+=-+如形如型，可以“仿写”裂差，再通过反

21、解凑配系数（或者直接构造凑配）【典例【典例 1-1】（2223河南三模）已知数列 na的前 n 项和为nS，11a=，122(1)(1)nnnSnSn n+-+=+(1)求数列 na的通项na；(2)设222nnnnabS+=，求数列 nb的前 n 项和nT【典例【典例 1-2】（2324 上合肥阶段练习）在数1和3之间插入n个实数，使得这2n+个数构成递增的等比数列，将这2n+个数的乘积记作nT，令3lognnaT=.(1)求数列 na的通项公式；更多全科试卷，请关注公众号：高中试卷君(2)若111 2nnnnnba a-+=，求数列 nb的前n项和nS.【变式【变式 1-1】（2223 下

22、抚顺模拟预测）已知数列 na的前 n 项和为nS，且*23,NnnnSaa n-+=.(1)求 na的通项公式；(2)记2123111nnnnnabnnaa+-=+-，求数列 nb的前n项和nT.【变式【变式 1-2】（2324 上哈尔滨阶段练习）已知数列 na为等差数列，且2410aa+=，416S=(1)求 na的通项公式；(2)数列 nb满足1113nnnnnbnaa*+=N，数列 nb的前n项和为nS，求证：112nS 题型题型 13 正负型裂项：正负基础型正负型裂项：正负基础型 【解题攻略】【解题攻略】正负相间求和：正负相间求和：1.奇偶项正负相间型求和，可以两项结合构成奇偶项正负相

23、间型求和，可以两项结合构成“常数数列常数数列”。2.如果需要讨论奇偶，一般情况下，先求偶，再求奇。求奇时候，直接代入偶数项公式，再加上最后的奇数项通项。如果需要讨论奇偶，一般情况下，先求偶，再求奇。求奇时候，直接代入偶数项公式，再加上最后的奇数项通项。【典例【典例 1-1】（2223 下德州）已知数列 na为等差数列，数列 nb为正项等比数列，且满足111ab=，221ab=+，541ab=+(1)求数列 na和 nb的通项公式；(2)设21nnnnncba a+-=+，求数列 nc的前2n项和2nS【典例【典例 1-2】（2223 下武汉）设数列 na前 n 项和为nS，11a=，1410n

24、nnnSa aa+=+，1(1)nnnnnba a+-=.(1)求数列 na的通项公式；(2)设数列 nb前 n 项和为nT，问nT是否存在最大值？若存在，求出最大值，若不存在，请说明理由.【变式【变式 1-1】（2223 高三下湖北）已知数列 na的前 n 项和2nSn=.(1)求数列 na的通项公式；(2)设数列 nb满足：*21(N)nnnnbna a+-=，求数列 nb的前 2n 项和2nT.【变式【变式 1-2】设数列设数列 na的前的前n项和为项和为nS，且，且2*1nnnSa SnN-=.（1）求）求1S、2S、3S的值；的值；（2）求出）求出nS及数列及数列 na的通项公式；的

25、通项公式；（3）设）设12*111nnnnbna anN+=-+，求数列，求数列 nb的前的前n项和为项和为nT.更多全科试卷，请关注公众号：高中试卷君题型题型 14 正负型裂项：等差裂和型正负型裂项：等差裂和型 【解题攻略】【解题攻略】正负型等差裂和型111111f()f(n)aaaaa-af()11aaaaaannnnnnnnnnnnnnnnnnlll+=+=形如（-1）型，如果（），则可以分子裂差：（）（-1）（-1）（-1）（）【典例【典例 1-1】（2223 下荆州阶段练习）已知等差数列 na满足212aa=，且1a，32a-，4a成等比数列.(1)求 na的通项公式；(2)设 na

26、，nb的前n项和分别为nS，nT.若 na的公差为整数，且111nnnnSbS+-=-，求nT.【典例【典例 1-2】（2223三明三模）已知数列 na满足12a=，*11220nnnnaa aan+-=N.(1)求数列 na的通项公式；(2)设28141nnnbna=-，nb的前n项和为nS，证明：2415nS-为公比的等比数列，其中第 1 个数为 1，第 2n2 个数为 8，设2lognnaq=(1)证明：数列1na是等差数列；(2)设1tantannnnbaa+=，求数列 nb的前 100 项和100S【典例【典例 1-2】（2223 上芜湖）已知nS是数列 na的前n项和，21nnSn

27、a=+且11a=(1)求 na的通项公式；更多全科试卷，请关注公众号：高中试卷君(2)设00a=，已知数列 nb满足1sin1coscosnnnbaa-=，求 nb的前n项的和nT【变式【变式 1-1】（2023 上安徽高三校联考阶段练习）数列 na各项均为正数，na的前 n 项和记作nS，已知11S=，2120,(2)nnnaaSn-=(1)求 na的通项公式；(2)设1tantannnnbaa+=，求数列 nb的前 2023 项和【变式【变式 1-2】（2023 上湖北武汉高三湖北省武昌实验中学校考阶段练习）已知数列 na中，21a=，设nS为 na前 n 项和，2nnSna=(1)求 n

28、a的通项公式；(2)若1sin1cos1 cos1nnnbaa+=+，求数列 nb的前 n 项和nT题型题型 17 通项分段求和通项分段求和 【典例【典例 1-1】在公差为 2 的等差数列 na中，2214aa a=(1)求数列 na的通项公式；(2)若数列 nb满足5,10,10nnna nbbn-=，求数列 nb的前 20 项和20S【典例【典例 1-2】在公差不为 0 的等差数列 na中，前 n 项和为nS，4421Sa=+，22222645aaaa+=+(1)求数列 na的通项公式；(2)设11b=，1,2,nnnnanbbn+=-+为奇数为偶数，求数列 nb的前 12 项和12T【变

29、式【变式 1-1】（2024 上浙江杭州高三杭州高级中学校考）已知正项数列 na的前n项和为nS，且满足2844nnnSaa=+.(1)求数列 na的通项公式；(2)若11212nnnnban-=为奇数为偶数，nb的前n项和为nT，求2nT.【变式【变式 1-2】（2024 上贵州毕节高三统考）已知递增的等比数列 na满足34a=，且234,2a a a-成等差数列.(1)求 na的通项公式；(2)设1,1,2nnnanban-=为奇数为偶数求数列 nb的前2n项和.更多全科试卷，请关注公众号：高中试卷君 高考练场高考练场1.（2024 上广东深圳高三统考）已知数列 na为等差数列，且479,

30、6aa=-=-.(1)求 na的通项公式；(2)记nS为 na的前n项和，若13nS，求n的最小值.2.（2324 上六安阶段练习）已知首项为 1 的正项等比数列 na，且13a，3a，25a成等差数列(1)求数列 na的通项公式；(2)设31lognnnbaa+=+，求数列 nb的前 n 项和为nT3.（2021 上开封阶段练习）已知函数()21xf xx=+，设数列na满足1()nnaf a+=，且112a=.（1）求数列na的通项公式；（2）若记(21)(1inbfiai=-=，2，3，)n，求数列 ib的前n项和nT.4.（2324 上邢台）已知数列 na的前n项和为nS，且3nnSa

31、+=.(1)求 na的通项公式；(2)数列 nb满足11b=，1221nnbnbn+=+，设数列 nb的前n项和为nT，证明：52nnTa+.5.（2024 上山西晋城高三晋城市第一中学校校考）已知数列 na是各项为正数的数列，前 n 项和记为nS，222nnnaaS+-=，(n*N)，(1)求数列 na的通项公式；(2)设21nnnba=-，n*N，求数列 nb的前 n 项和nT6.（2023上海虹口华东师范大学第一附属中学校考三模）若数列 na满足221nnaap+-=（n 为正整数，p 为常数），则称数列 na为等方差数列，p 为公方差(1)已知数列 ,nnxy的通项公式分别为11,3,

32、nnnxny-=+=判断上述两个数列是否为等方差数列，并说明理由；(2)若数列 na是首项为1，公方差为2 的等方差数列，数列 nb满足2212,1log,2nnnanban+=，且1238mb bbb=L，求正整数 m 的值；(3)在（1）（2）的条件下，若在ky与1ky+之间依次插入数列 2na中的k项构成新数列 1:ncy，222222122334564,ay aay aaay，求数列 nc中前 50 项的和50T7.（2024 上陕西榆林高三统考）已知数列 na满足120a=，11,2,nnnanaan+-=-为奇数为偶数，记nb2na=.(1)求1b，2b；更多全科试卷，请关注公众号

33、：高中试卷君(2)求证：数列 nb是等差数列；(3)求数列 nb的前n项和nS.8.（2324 上河南）对数列 na，记112341nnnSaaaaa-=-+-+-L为数列 na的前 n 项交替和；(1)若2nan=，求 na的前 n 项交替和nS；(2)若数列nb的前 n 项交替和为21nTn=+，求11nnb b+的前 n 项和9.（2223 上全国单元测试）已知数列na满足：2212349N8nnaaan an*+=L，数列 nb满足：1N21nnbnna*=+(1)求数列 na的通项公式；(2)求数列 nb的前n项和nS10.（2023 上天津东丽高三天津市第一百中学校考阶段练习）已知

34、正项数列 na的前n项和为nS，且2*241NnnnaaSn+=-.(1)求数列 na的通项公式；(2)求数列-13nna前 n 项和nB；(3)若21211nnnnabSS-+=，数列 nb的前n项和为nT，求nT的取值范围.11.（2324 上昆明阶段练习）已知数列 na满足1*112,2nnnaaan+=N.(1)求数列 na的通项公式；(2)设222lognnban=-，数列2112nnnnbbb+的前n项和为nS，求证：3182nS.12.（2324 上黔东南阶段练习）已知数列 na满足：11a=，1212nnaan-=+.(1)证明：1na+是等比数列，并求 na的通项公式；(2)

35、令1(1)(32)(1)1nnnnbn na+-+=+，求 nb的前 n 项和nS.13.（2223三明三模）已知数列 na满足12a=，*11220nnnnaa aan+-=N.(1)求数列 na的通项公式；(2)设28141nnnbna=-，nb的前n项和为nS，证明：2415nS-，若23414aaa+=，且2a，31a+，4a分别是等差数列 nb第 1，3，5 项.(1)求数列 na和 nb的通项公式；更多全科试卷，请关注公众号：高中试卷君专题专题 5-3 数列求和及综合大题归类数列求和及综合大题归类 目录题型 01 等差等比公式法求和.1题型 02 等差、等比、裂项、三角型分组求和.

36、3题型 03 中心对称型倒序求和.5题型 04 难度较大的错位相消求和.8题型 05 奇偶讨论、正负相间型求和.12题型 06 插入数型求和.15题型 07 分段型数列求和.18题型 08 裂项相消型求和.21题型 09 裂项归类：降幂分离型.23题型 10 裂项归类：分子是分母差的线性型.26题型 11 裂项归类：指数等差型裂项.28题型 12 裂项归类：指数与等差“同构”型.31题型 13 正负型裂项：正负基础型.34题型 14 正负型裂项：等差裂和型.37题型 15 正负型裂项：指数裂和型.40题型 16 裂项归类：三角函数型.43题型 17 通项分段求和.45高考练场.47 题型题型

37、01 等差等比公式法求和等差等比公式法求和 【解题攻略】【解题攻略】对于等差等比数列，利用公式法可直接求解等差数列有关公式：(1)通项公式：ana1(n1)d；(2)前 n 项和公式：Snna1n n1 2dna1an2.等比数列有关公式：(1)通项公式：ana1qn1；(2)前 n 项和公式：Snna1，q1，a11qn1qa1anq1q，q 1.【典例【典例 1-1】（2024 上四川自贡高三统考）设 na是等差数列，若12518,26aaa=+=(1)求 na的通项公式；(2)求数列 na的前n项和及其最值【答案】(1)220nan=-+(2)数列 na的前n项和为219nn-+，最大值

38、为90，无最小值【分析】（1）先求出公差，再根据等差数列的通项公式即可得解；更多全科试卷，请关注公众号：高中试卷君（2）根据等差数列的前n项和即可求出数列的前n项和，再根据二次函数的性质即可求出最值.【详解】（1）设公差为d，由12518,26aaa=+=，得12536526add+=+=，解得2d=-，所以220nan=-+；（2）设数列 na的前n项和为nS，则218220192nnnSnn-+=-+，函数219ynn=-+的对称轴为192n=，所以910max90nSSS=，无最小值.【典例【典例 1-2】（2024 上湖北高三湖北省武汉市汉铁高级中学校联考）已知nS是等差数列 na的前

39、n项和，6370,8aaa=+=.(1)求数列 na的通项公式；(2)若0nS，求n的最小值.【答案】(1)424nan=-+(2)12【分析】（1）设出数列的公差，利用两个条件列出方程组，求出首项、公差，代入通项公式即得；（2）根据（1）求出的数列基本量易得nS，解不等式0nS 求得n的范围即得.【详解】（1）设数列 na的公差为d，因为60a=，所以 3766328aaadadd+=-+=-=，解得4d=-.所以66424naandn=+-=-+（2）由（1）可知：120a=，所以2204242222nnnSnn+-+=-+.令0nS，得22220nn-+都成立，则称数列 na为 k 级等

40、差数列；(1)已知数列 na为 2 级等差数列，且前四项分别为 2，0，4，3，求89aa+的值；(2)若2sinnannw=+（0w），且 na是 3 级等差数列，求w的最小正值，及此时数列 na的前 3n 项和3nS；【答案】(1)19(2)最小值23，2393nSnn=+，*Nn【分析】（1）利用 2 级等差数列定义即可得数列 na的偶数项和奇数项分别成等差数列，利用等差数列定义即可求得8919aa+=；（2）根据定义可得*332,3,Nnnnaa nna+-+=，再由两角和与差的正弦公式即可得2sin2sincos3nnwww=，解得w的最小正值为23，利用分组求和以及等差数列前n项和

41、公式即可得2393nSnn=+，*Nn.更多全科试卷，请关注公众号：高中试卷君【详解】（1）若数列 na为 2 级等差数列，则222nnnaaa+-+=；即可知数列 na的偶数项和奇数项分别成等差数列，利用等差数列定义可得2428303309aaaa+-=+-=，91314210424aaaa=+-=+=；所以8919aa+=；（2）若 na是 3 级等差数列，则*332,3,Nnnnaa nna+-+=；所以可得2 2sin23sin323sin3nnnnnnwwwww+=+-+-，*Nn；即2sinsin3sin32sincos3nnnnwwwwwww=+-=，解得sin0nw=或cos3

42、1w=；若sin0nw=对于*Nn恒成立，可得Zkkw=，若cos31w=，可得32 Zkkw=，即2 Z3kkw=所以2 ZZ3kkkkww ww w=|，因此w的最小正值为23，此时22sin3nnan=+；由于2 322 312 322sinsinsinsinsin0033333nnn-+=+-+=；所以323136 31nnnaaan-+=-，即可得 2123456231333126 31932nnnnSnnaaaaaaaaann-+=+-=+=，*Nn【典例【典例 1-2】（2223 上广安）已知数列 na满足111112,2nnaaa+=-=.等比数列 nb的公比为 3，且1310

43、bb+=.(1)求数列 na和 nb的通项公式；(2)记22nnnacbn=+，求数列 nc的前n项和nT.【答案】(1)2nan=，13nnb-=(2)113212nn-+【分析】（1）根据数列的递推公式和等比数列的定义即可求出数列通项；（2）根据分组求和与裂项求和法以及等比数列的求和公式即可求出【详解】（1）数列 na满足111112,2nnaaa+=-=，1na是以12为首项，12为公差的等差数列，()nnna=+-=1111222，2nan=，等比数列 nb的公比为 3，且1310bb+=，bb+=11910，,nnbb-=1113（2）1111133(1)221nnnnnacbnn

44、nnn-=+=-+，()()nnTnn-=-+-+-+211111111 3 332231KKnn-=-+-11 3111 3nn=-+113212【变式【变式 1-1】（2324 上成都阶段练习）设nS为数列na的前n项和，且21nnSa=-，*nN更多全科试卷，请关注公众号：高中试卷君(1)求数列na的通项公式；(2)令2231lognnnbaa+=+，*nN，求数列 nb的前n项和nT【答案】(1)12nna-=(2)413(1)32-+=+nnn nT【分析】（1）根据题意分析可知na是以 1 为首项，以 2 为公比的等比数列，结合等比数列的通项公式运算求解；（2）由（1）可得143-

45、=+nnbn，利用分组求和结合等差、等比数列求和公式运算求解.【详解】（1）当1n=时，1121aS=+，则11a=；当2n 时，由21nnSa=-，得1121nnSa-=-，两式相减得12nnaa-=；所以na是以 1 为首项，以 2 为公比的等比数列，所以12nna-=.（2）由（1）可知：221312312log2log 243nnnnnnbaan-+=+=+=+，则 2112331 3 143 243 34-=+=+nnnTbbbbn114 1643 123nn-=+LL143(1)142-+=+-nn n413(1)32-+=+nn n，所以数列 nb的前n项和413(1)32-+=

46、+nnn nT.【变式【变式 1-2】（2324 上盐城）设数列 na的前n项和为nS，且2nSn=n*N(1)求数列 na的通项公式；(2)若数列 nb满足2139bb=，0nb，且212nnnbb b+=，设11(1)nnnnncba a+=+-，求数列 nc的前n项和nT【答案】(1)21nan=-(2)31(3)214nnnTn=-+【分析】（1）由na与nS的关系求通项，注意验证1n=时是否成立；（2）由等比中项形式证明等比数列，求解数列 nb的基本量，再求通项，进而化简nc，再分组求和，分别利用裂项相消法与等比数列求和公式求和即可.【详解】（1）已知2nSn=，n*N，则当2n 时

47、，21(1)nSn-=-，则有221(1)21nnnSSnnna-=-=-=当1n=时，111Sa=，也适合上式，21nan=-（2）0nb，且212nnnbb b+=，211nnnnbbbb+=，数列 nb是等比数列，又2139bb=，公比213aqa=，13 33nnna-=，11(1)nnnnncba a+=+-1(1)3(21)(21)nnnn=+-+111(3)2 2121nnn=-+-+，12nnTccc=+L21111111(3)(3)(3)23352121nnn=-+-+-+-+-+-+LL11(3)1(3)12211(3)nn-=-+-31(3)214nnn=-+题型题型 0

48、3 中心对称型倒序求和中心对称型倒序求和 【解题攻略】【解题攻略】倒序求和更多全科试卷，请关注公众号：高中试卷君如果一个数列，与首末项等距的两项之和等于首末两项之和，可采用把正着写和与倒着写和的两个和式相加，就得到一个常数列的和，这一求和方法称为倒序相加法。比较常见于等差数列，以及具有中心对成的函数型数列求和如果一个数列，与首末项等距的两项之和等于首末两项之和，可采用把正着写和与倒着写和的两个和式相加，就得到一个常数列的和，这一求和方法称为倒序相加法。比较常见于等差数列，以及具有中心对成的函数型数列求和【典例【典例 1-1】（2223全国专题练习）设函数 11 lnxf xx-=+，设11a=

49、，1231,2nnaffffnnnnnn*-=+NL(1)计算 1f xfx+-的值(2)求数列 na的通项公式【答案】(1)2(2)1,11,2nnann=-【分析】（1）直接计算()(1)f xfx+-可得答案；（2）由（1）的计算结果，当2n 时，利用倒序相加法可得答案.【详解】（1）1()(1)1ln1ln21xxf xfxxx-+-=+=-；（2）由题知，当2n 时，1231nnaffffnnnn-=+L，又121nnnafffnnn-=+L，两式相加得1122112nnnnaffffffnnnnnn-=+L21n=-，所以1nan=-，又11a=不符合1nan=-，所以1,11,2

50、nnann=-.【典例【典例 1-2】（2122全国专题练习）设1122,A x yB xy是函数 21log21xf xx=+-的图象上任意两点，且1()2OMOAOB=+uuuu ruuu ruuu r，已知点M的横坐标为12(1)求证：M点的纵坐标为定值；(2)若*121.,-=+nnSfffnNnnn且2n 求nS；【答案】(1)证明见解析；(2)*1(2,N)2nnSnn-=.【分析】（1）利用中点坐标公式的表示，得到121xx=+，然后代入求中点的纵坐标的过程，根据对数运算法则，可以得到常数；（2）利用（1）中所求，当121xx=+时，121yy+=，可以采用倒序相加法，求和即可.