专题4-1 向量性质与基本定理应用（14题型+解题攻略）-2024年高考数学二轮热点题型归纳与变式演练（新高考通用）含答案.pdf

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1、更多全科试卷，请关注公众号：高中试卷君专题专题 4-1 向量性质与基本定理应用向量性质与基本定理应用 目录题型 01 向量夹角：模型夹角.1题型 02 向量夹角：坐标型.2题型 03 向量夹角：复合型.3题型 04 向量夹角：恒成立与最值型.3题型 05 投影与投影向量：投影数量.4题型 06 投影与投影向量：投影向量.5题型 07 线性运算：鸡爪基础型.6题型 08 线性运算：四边形.7题型 09 基底：换基底型.8题型 10 基底：两线交点型.8题型 11 基底：面积比值型.10题型 12 基底：赵爽弦图型.10题型 13 数量积最值范围.11题型 14 范围最值型：建系法.12高考练场.

2、13题型题型 01 向量夹角：模型夹角向量夹角：模型夹角【解题攻略】【解题攻略】求平面向量夹角的方法模长型）：定义法：利用向量数量积的定义得cos,a ba bab=r rr rrr，其中两向量,a br r的取值范围是0,p；【典例 1-1】（2022辽宁模拟预测）已知向量ar，br满足33ab=rr，370ab-=rr，则ar，br夹角的余弦值为（）A23B13C13-D23-【典例【典例 1-2】（2022全国高三专题练习）已知,a br r为非零向量，且3|2|,|2|2|ababab=+=-rrrrrr，则ar与br夹角的余弦值为（）A38B316C68D616【变式【变式 1-1】

3、（2022甘肃一模（文）向量ar，br满足3a=r，1=rb，213ab-=rr，则向量ar，br的夹角是（）A6B3C23D56【变式【变式 1-2】（2022广西南宁一模（文）若两个向量abrr、满足|1,6,3aba b=rrrr，则ar与br的夹角是（）专题4-1 向量性质与基本定理应用（14题型+解题攻略）-2024年高考数学二轮热点题型归纳与变式演练（新高考通用）更多全科试卷，请关注公众号：高中试卷君A6pB4C3D2【变式【变式 1-3】（2022广西高三阶段练习（文）已知单位向量ar，br，102bab+=rrr，则ar与br的夹角为（）A30B60C120D150题型题型 0

4、2 向量夹角：坐标型向量夹角：坐标型 【解题攻略】【解题攻略】求平面向量夹角的方法（坐标型）：坐标法：若非零向量()11,ax y=r、()22,bxy=r，则121222221122cos,x xy ya bxyxy+=+r r.【典例【典例 1-1】（2021江西高三阶段练习（理）已知向量,2,()1,axby=-=rr，若22,6ab+=rr，则向量ar与br的夹角为（）A34pB2pC3pD6p【典例【典例 1-2】（2022全国高三专题练习（理）已知,m n为整数，且,1,5m n，设平面向量(,)am n=r与(2,1)br=-的夹角为q，则,2pqp的概率为（）A932B964C

5、425D625【变式【变式 1-1】（2022全国高三专题练习）若向量1,2a=r与321,tbt=-r的夹角为锐角，则 t 的取值范围为（）A4,+B1,4+C1,4-D1,44,4+【变式【变式 1-2】（2022河北衡水市冀州区滏运中学高三）已知点1,2A-，10B,，1,2C-，4,2D，则向量ABuuu r与CDuuu r夹角的余弦值为（）A210B210-C7 210-D7 210【变式【变式 1-3】（2022全国高三专题练习）若1,2al=r，2,1,2b=-r，且ar，br的夹角的余弦值为89，则l等于（）A2B2-C2-或255D2 或255-更多全科试卷，请关注公众号：高

6、中试卷君题型题型 03 向量夹角：复合型向量夹角：复合型 【解题攻略】【解题攻略】复合型向量夹角计算，和简单向量夹角计算一样，多了一个复杂的求分母计算cosa，b ab|a|b|x1x2y1y2x21y21x22y22【典例【典例 1-1】（2022河南光山一中高三阶段练习）已知单位向量ar，br，cr满足32 2abc-=rrr，则br与2ac+rr夹角的余弦值为（）A33-B32-C22-D23-【典例【典例 1-2】（2022四川省成都市新都一中高三）已知cos,1,sinaaa=-r，sin,1,cosbaa=-r，则向量ab+rr与ab-rr的夹角为（）A90B60C30D0【变式【

7、变式 1-1】（2020云南德宏高三（理）已知向量ar，br满足|1a=r，(1,1)b=r，且1a b=r r，则ar与ab+rr夹角的余弦值为（）A55B2 55C55D2 55【变式【变式 1-2】（2022全国高三专题练习）已知向量2,4,2,abm=-rr，若ab+rr与br的夹角为60o，则m=（）A33-B33C2 33-D2 33【变式【变式 1-3】（2022全国高三专题练习（理）已知ar、br、cr均为单位向量，且243abc=+rrr，则ar、cr之间夹角的余弦值为（）A13-B13C14-D14题型题型 04 向量夹角：恒成立与最值型向量夹角：恒成立与最值型【解题攻略】

8、【解题攻略】向量型恒成立：1.通过模计算，转化为函数恒成立。2.通过向量几何意义，转化为图形恒成立【典例【典例 1-1】已知向量ar，br满足3a=r|，1=rb，且对任意的实数 x，不等式axbab+rrrr恒成立，设ar，br的夹角为q，则tanq的值为（）A22B22C2-D2【典例【典例 1-2】设12,e eur uu r为单位向量，满足12121222,3eeaee bee-=+=+ururururururrr，设,a brr的夹角为q，则2cosq的可能取值为（）更多全科试卷，请关注公众号：高中试卷君A1929B2029C2829D3829【变式【变式 1-1】已知向量1,2a=

9、r，2,1bk=-r，kR，ar，br的夹角为q，若存在实数 m，使得cos50bmq-r，则 m 的取值范围是（）A1,2-+B0,+C2,5-D1,2-【变式【变式 1-2】已知平面向量,a br r，满足1a=r，且对任意实数l，有1bal-rr，设br与ba-rr夹角为q，则cosq的取值范围是（）A20,2B30,5C2,12D3,15【变式【变式 1-3】已知单位向量1eur，2euu r的夹角为 60，向量12axeye=+ruruu r，且12x，12y，设向量ar与1eur的夹角为a，则cosa的最大值为（）A64B63C5 714D2 77 题型题型 05 投影与投影向量：

10、投影数量投影与投影向量：投影数量 【解题攻略】【解题攻略】若若11a()xy=，r、22b()xy=，r，则，则a 在 b 方向上的投影为：|a|cos ab|b|12122222x xy yxy+=+【典例【典例 1-1】（2023 下辽宁葫芦岛高三校联考阶段练习）已知向量2,1,2 2,1ab=-rr，则向量ar在向量br上的投影的数量为（）A33B3C13D1【典例【典例 1-2】已知|2a=r，向量ar在向量br上的投影为3，则ar与br的夹角为（）A3B6C23D2【变式【变式1-1】（2024全国模拟预测）已知向量1,3a=r，2,bm=-r，若向量ar在向量br方向上的投影为3-

11、，则m的值为（）A3B3-C2 33-D2 33更多全科试卷，请关注公众号：高中试卷君【变式【变式 1-2】（2023辽宁丹东统考一模）向量2,1a=r，3,4b=-r，则ar在br方向上投影的数量为（）A2 55-B25-C25D2 55【变式【变式 1-3】（2022 上云南昆明高三昆明市第三中学校考期末）已知向量(1,2)a=r，向量(3,4)b=-r，则向量ar在向量br方向上的投影数量为（）A2-B1-C1D2题型题型 06 投影与投影向量：投影向量投影与投影向量：投影向量 【解题攻略】【解题攻略】若若11a()xy=，r、22b()xy=，r，则，则 a 在 b上的上的投影向量：1

12、2122222222a bb|b|x xy yxyxy+=+r rrr（，）【典例【典例 1-1】（2023全国模拟预测）已知向量1,2,1,abll=+=-rr，若abrr，则向量1,2c=r在向量ab+rr上的投影向量为（）A3,1B1,3C1 3,2 2D3 1,2 2【典例【典例 1-2】（2023 上山东高三校联考阶段练习）已知向量1,2,3,1ab=rr，则ar在ab+rr上的投影向量为（）A2 5 4 5,55B8 5 6 5,55C2 4,5 5D8 6,5 5【变式【变式 1-1】（2023广西模拟预测）向量2 3,2a=r在向量1,3b=r上的投影向量为（）A32B3 3,

13、44C3,3D34【变式【变式 1-2】（2023广东东莞市东华高级中学校联考一模）已知(1,3)a=r，(2,5)b=r，则向量ar在向量br上的投影向量为（）A51,2B34 85,29 29C2 4,3 3D2,15【变式【变式 1-3】（2023全国模拟预测）向量1,2a=r，2,1b=-r，那么向量ab-rr在ar上的投影向量为（）A9 18,55B1 2,5 5C6 12,55D36,55-更多全科试卷，请关注公众号：高中试卷君题型题型 07 线性运算：鸡爪基础型线性运算：鸡爪基础型 【解题攻略】【解题攻略】鸡爪型是向量线性运算基础：若 D 点在 BC 线段上，且满足(01)BDB

14、Cll=，0n），若APADAF=+uuu ruuuruuu r，则当31mn+取最小值时，四边形ADPF的面积与ABCV的面积之比等于 12.“赵爽弦图”是我国古代数学的瑰宝，它是由四个全等的直角三角形和一个正方形构成.现仿照赵爽弦图，用四个三角形和一个小平行四边形构成如下图形，其中，E，F，G，H分别是DF，AG，BH，CE的中点，若AGxAByAD=+uuuruuu ruuur，则2xy+等于（）A25B45C1D2 更多全科试卷，请关注公众号：高中试卷君专题专题 4-1 向量性质与基本定理应用向量性质与基本定理应用 目录题型 01 向量夹角：模型夹角.1题型 02 向量夹角：坐标型.3

15、题型 03 向量夹角：复合型.4题型 04 向量夹角：恒成立与最值型.6题型 05 投影与投影向量：投影数量.9题型 06 投影与投影向量：投影向量.10题型 07 线性运算：鸡爪基础型.12题型 08 线性运算：四边形.14题型 09 基底：换基底型.16题型 10 基底：两线交点型.17题型 11 基底：面积比值型.20题型 12 基底：赵爽弦图型.23题型 13 数量积最值范围.26题型 14 范围最值型：建系法.28高考练场.31 题型题型 01 向量夹角：模型夹角向量夹角：模型夹角【解题攻略】【解题攻略】求平面向量夹角的方法模长型）：定义法：利用向量数量积的定义得cos,a ba b

16、ab=r rr rrr，其中两向量,a br r的取值范围是0,p；【典例 1-1】（2022辽宁模拟预测）已知向量ar，br满足33ab=rr，370ab-=rr，则ar，br夹角的余弦值为（）A23B13C13-D23-【答案】A【分析】根据平面向量数量积的运算律及数量积的夹角公式即得.【详解】由370ab-=rr，得226970aa bb-+=rr rr，即1 68170a b-+=r r，所以2a b=r r，所以22cos1 33a ba ba b=r rr rr r故选：A【典例【典例 1-2】（2022全国高三专题练习）已知,a br r为非零向量，且3|2|,|2|2|abab

17、ab=+=-rrrrrr，则ar与br夹角的余弦值为（）A38B316C68D616更多全科试卷，请关注公众号：高中试卷君【答案】B【分析】先将|2|2|abab+=-rrrr两边平方，再结合数量积的运算解出夹角的余弦值即可.【详解】将等式|2|2|abab+=-rrrr两边平方，得22833a bba+=r rrr，即228|cos3|3|a bbaq+=rrrr，将2|3ab=rr代入228|cos3|3|a bbaq+=rrrr，得3cos16q=.故选：B.【变式【变式 1-1】（2022甘肃一模（文）向量ar，br满足3a=r，1=rb，213ab-=rr，则向量ar，br的夹角是（

18、）A6B3C23D56【答案】D【分析】根据平面向量数量积的运算律求出a brr，再根据夹角公式cosa babq=rrrr求出cosq，从而得解；【详解】解：因为3a=r，1=rb，213ab-=rr，所以2213ab-=rr，即224413aa bb-+=rrrr，即224413aa bb-+=rrrr，所以32a b=-rr，设ar与br的夹角为q，则332cos213a babq-=-rrrr，因为0,q，所以56q=；故选：D【变式【变式 1-2】（2022广西南宁一模（文）若两个向量abrr、满足|1,6,3aba b=rrrr，则ar与br的夹角是（）A6pB4C3D2【答案】C

19、【分析】依据向量夹角的余弦公式即可求得ar与br的夹角.【详解】31cos,1 62|a ba ba b=rrrrrr，又,0,rra b则,=3a brr，即ar与br的夹角是3故选：C【变式【变式 1-3】（2022广西高三阶段练习（文）已知单位向量ar，br，102bab+=rrr，则ar与br的夹角为（）A30B60C120D150【答案】C【分析】根据向量的数量积的运算可求得212a bb=-rrr，再利用向量的夹角公式即可求得答案.【详解】因为211022baba bb+=+=rrrrrr，所以212a bb=-rrr，因为ab=rr，所以22112cos,2ba ba ba bb

20、-=-rrrrrrrr，因为,0,a brr，所以,120a b=rr,故选:C更多全科试卷，请关注公众号：高中试卷君题型题型 02 向量夹角：坐标型向量夹角：坐标型 【解题攻略】【解题攻略】求平面向量夹角的方法（坐标型）：坐标法：若非零向量()11,ax y=r、()22,bxy=r，则121222221122cos,x xy ya bxyxy+=+r r.【典例【典例 1-1】（2021江西高三阶段练习（理）已知向量,2,()1,axby=-=rr，若22,6ab+=rr，则向量ar与br的夹角为（）A34pB2pC3pD6p【答案】B【分析】先求出向量,a br r，再用夹角公式求出向量

21、ar与br的夹角.【详解】因为,2,()1,axby=-=rr，且22,6ab+=rr，所以22226xy-=+=得2,4xy=，即(2,1,2,4)ab=-=rr则221 4cos,0a ba ba ba b-+=r rr rr rr r，又,0,a bpr r，所以,2a bp=r r即ar与br的夹角为2p故选：B【典例【典例 1-2】（2022全国高三专题练习（理）已知,m n为整数，且,1,5m n，设平面向量(,)am n=r与(2,1)br=-的夹角为q，则,2pqp的概率为（）A932B964C425D625【答案】D【分析】依题意可得1cos0q-，再根据向量夹角的坐标表示得

22、到不等式，再用列举法列出所有可能结果，再根据古典概型的概率公式计算可得；【详解】解：因为平面向量(,)am n=r与(2,1)br=-的夹角为q，且,2pqp，所以1cos0q-，即222105mnmn-+，所以22520mnmn-+-，因为,m n为整数，且,1,5m n，(,)am n=r，所以ar共有5 525=种可能，又因为20mn-，51n,，所以1m=或2，当1m=时，由22520mnmn-+-，即25520nn-+-，所以2n=或3或4或5，满足题意；当2m=时，由22520mnmn-+-，即220540nn-+r r且ar与br不同向，进而求解即可得答案.【详解】解：ar与br

23、夹角为锐角，则0a br r且ar与br不同向，即1 30tt-+，即14t，由ar，br共线得3222tt-=，得4t=，故1,44,4t+.故选:D.【变式【变式 1-2】（2022河北衡水市冀州区滏运中学高三）已知点1,2A-，10B,，1,2C-，4,2D，则向量ABuuu r与CDuuu r夹角的余弦值为（）A210B210-C7 210-D7 210【答案】B【分析】结合向量坐标运算的余弦夹角公式即可求解.【详解】设ABuuu r与CDuuu r的夹角为q，因为2,2AB=-uuu r，3,4CD=uuu r，所以682cos102 25q-=-故选：B【变式【变式 1-3】（20

24、22全国高三专题练习）若1,2al=r，2,1,2b=-r，且ar，br的夹角的余弦值为89，则l等于（）A2B2-C2-或255D2 或255-【答案】C【分析】根据8cos,9a ba ba b=r rr rr r，解得即可得出答案.【详解】解：因为1,2al=r，2,1,2b=-r，所以2248cos,93 5a ba ba bll-+=+r rr rr r，解得：=l2-或255.故选：C.题型题型 03 向量夹角：复合型向量夹角：复合型 【解题攻略】【解题攻略】复合型向量夹角计算，和简单向量夹角计算一样，多了一个复杂的求分母计算cosa，b ab|a|b|x1x2y1y2x21y21

25、x22y22【典例【典例 1-1】（2022河南光山一中高三阶段练习）已知单位向量ar，br，cr满足32 2abc-=rrr，则br与2ac+rr夹角的余弦值为（）A33-B32-C22-D23-【答案】A【分析】根据ar，br，cr为单位向量，变形后平方可得：13a b=rr，2 23b c=-rr，0a c=r r，利用夹角公式求出br与2ac+rr夹角的余弦值.【详解】更多全科试卷，请关注公众号：高中试卷君ar，br，cr为单位向量.对32 2abc-=rrr两边平方，即22262 2aa bbc-+=rrrrr，可得：13a b=rr；由32 2abc-=rrr可得：2 23acb=

26、+rrr，两边平方，可得：2 23b c=-rr；由32 2abc-=rrr可得：2 23acb-=rrr，两边平方，可得：0a c=r r，所以2222 223acaa cc+=+=rrrr rr12 22(2)2333cos,231322baca bb cb acb acb ac-+=-+rrrrrrrrrrrrrrrr故选：A【典例【典例 1-2】（2022四川省成都市新都一中高三）已知cos,1,sinaaa=-r，sin,1,cosbaa=-r，则向量ab+rr与ab-rr的夹角为（）A90B60C30D0【答案】A【分析】结合空间向量的夹角坐标运算公式以及三角恒等变换化简求出夹角的

27、余弦值，进而可得到结果.【详解】因为cos,1,sinaaa=-r，sin,1,cosbaa=-r，所以cossin,2,sincos+=+-+rrabaaaa，cossin,0,sincosabaaaa-=-rr，设向量ab+rr与ab-rr的夹角为b，则 222222cossincossin20sincossincoscoscossin2sincoscossin0sincos+-+-+-=+-+-+-aaaaaaaabaaaaaaaa2222cossin0sincos62sin222sin2-+-=+-aaaaaa0=，因为0,bp，所以2pb=，故向量ab+rr与ab-rr的夹角为2p，

28、故选：A.【变式【变式 1-1】（2020云南德宏高三（理）已知向量ar，br满足|1a=r，(1,1)b=r，且1a b=r r，则ar与ab+rr夹角的余弦值为（）A55B2 55C55D2 55【答案】B【分析】将向量ar用坐标表示，求得ab+rr的值，结合平面向量数量积定义即可求得ar与ab+rr夹角的余弦值.【详解】设(,)am n=r，ar与ab+rr为q，则221amn=+=r，解得221+=mn，又(1,1)b=r，且1a b=r r，1mn+=，(1,1)abmn+=+rr，22(1)(1)5abmn+=+=rr，()cos2aabaaba aa bq+=+=+=rrrrrr

29、r rr r，即15cos2q=，解得2 5cos5q=.故选：B.【变式【变式 1-2】（2022全国高三专题练习）已知向量2,4,2,abm=-rr，若ab+rr与br的夹角为60o，则m=更多全科试卷，请关注公众号：高中试卷君（）A33-B33C2 33-D2 33【答案】D【分析】先表示出ab+rr的坐标，再根据向量的夹角公式列出关于 m 的方程，解得答案.【详解】由题意得(0,4)abm+=+rr，故2()(4)1cos,2|4|4abbm mab babbmm+=+rrrrr rrrr，解得2 33m=，其中2 33m=-不合题意，舍去，故2 33m=，故选：D【变式【变式 1-3

30、】（2022全国高三专题练习（理）已知ar、br、cr均为单位向量，且243abc=+rrr，则ar、cr之间夹角的余弦值为（）A13-B13C14-D14【答案】C【分析】变形可得出234acb-=rrr，可得出222316acb-=rrr，利用平面向量数量积的运算可求得cos,a cr r的值，即可得解.【详解】依题意，234acb-=rrr，则222316acb-=rrr，即222412916aa ccb-+=rr rrr，即13 12cos,16a c-=r r，解得1cos,4a c=-r r.故选：C.题型题型 04 向量夹角：恒成立与最值型向量夹角：恒成立与最值型【解题攻略】【解

31、题攻略】向量型恒成立：1.通过模计算，转化为函数恒成立。2.通过向量几何意义，转化为图形恒成立【典例【典例 1-1】已知向量ar，br满足3a=r|，1=rb，且对任意的实数 x，不等式axbab+rrrr恒成立，设ar，br的夹角为q，则tanq的值为（）A22B22C2-D2【答案】C【分析】因为对任意实数x，不等式axbab+rrrr恒成立，所以22210 xa bxa b+-rrrr对任意实数x恒成立，0D，即224(21)0a ba brrrr+，结合已知可得cosq的值，解可得sinq的值，进而计算可得答案.【详解】Q对任意实数x，不等式axbab+rrrr恒成立22210 xa

32、bxa b+-rrrr对任意实数x恒成立更多全科试卷，请关注公众号：高中试卷君0D，即224(21)0a ba brrrr+又Qcos3cosa ba bqq=rrrr212cos4(2 3cos1)0qq+，即23cos2 3cos10qq+2(3cos1)0q+，解得3cos3q=-又Q0qp，si n63q=，tanq=2-故选：C.【典例【典例 1-2】设12,e eur uu r为单位向量，满足12121222,3eeaee bee-=+=+ururururururrr，设,a brr的夹角为q，则2cosq的可能取值为（）A1929B2029C2829D3829【答案】C【分析】根

33、据12,e eur uu r为单位向量，设121,0,eex y=uruu r，且221xy+=，得到,a br r的坐标，再根据1222ee-uruu r，得到 x 的范围，然后利用22cosa babq=rrrr求解.【详解】因为12,e eur uu r为单位向量，不妨设121,0,eex y=uruu r，且221xy+=，所以1,3,bax yx y=+=+rr，又因为1222ee-uruu r，所以2222xy-+，化简得314x，所以22cosa babq=rrrr，2222221313xxyxyxy+=，24 14 115353xxxxx+=+，当34x=时，2cosq=282

34、9，故选：C【变式【变式 1-1】已知向量1,2a=r，2,1bk=-r，kR，ar，br的夹角为q，若存在实数 m，使得cos50bmq-r，则 m 的取值范围是（）A1,2-+B0,+C2,5-D1,2-【答案】C【分析】根据cos50bmq-r，可得5cos5mbqr，即cos5a bmqrr，则只要max5a bmr，得5cos5mbqr，又5a=r，所以cos5a bmqr，则max5a bmrr，因为22a bk=-+rr，所以max2a b=rr，故25m.故选：C【变式【变式 1-2】已知平面向量,a br r，满足1a=r，且对任意实数l，有1bal-rr，设br与ba-rr

35、夹角为q，则cosq的取值范围是（）A20,2B30,5C2,12D3,15【答案】D更多全科试卷，请关注公众号：高中试卷君【分析】由题意可设(1,0),(,)abx y=rr，由题意求出21y，根据向量的几何意义找到向量(,)bx y=r对应的点所在的区域，结合向量夹角的含义，找到br与ba-rr夹角q最大时或夹角无限小时的位置，即可求得答案.【详解】由题意可设(1,0),(,)abx y=rr，则(,)baxyll-=-rr由于对任意实数l，有1bal-rr，故22()1xyl-+恒成立，即222210 xxyll-+-对任意实数l恒成立，故22244)0(1xxyD+-=-，即21y ，

36、所以向量(,)bx y=r对应的点位于如图所示的直线1y=外部的阴影区域内（含边界直线1y=），设OAa=uuu rr，OBb=uuu rr，则ABba=-uuu rrr,故ABOq=，不妨假设向量(,)bx y=r对应的点在上部分区域内，则由图可以看到当(,)bx y=r对应的点位于 B 处，即在直线1y=上，且当OBAB=时，q最大，此时2215|1,|1()22OAOBAB=+=uuu ruuu ruuu r，所以22255()()1322coscos555222OBAq+-=，即cosq最小值为35，由图可以看到，当 B 点沿直线1y=向外运动或在阴影部分中向远处运动时，q可以无限趋近

37、于 0，故cos1q，因此cosq的范围是3,15，当 B 点位于直线1y=-上或1y=-下方的区域内时，同理可求得cosq的范围是3,15，故选：D【变式【变式 1-3】已知单位向量1eur，2euu r的夹角为 60，向量12axeye=+ruruu r，且12x，12y，设向量ar与1eur的夹角为a，则cosa的最大值为（）A64B63C5 714D2 77【答案】C【详解】由题意有2212cosxyxxyya+=+，则22222221344cos11xxyyxxyyxxyya+=-+又因为1,22xy，所以24 25cos,7 28a，所以max5 17cos14a=故选：C.更多全

38、科试卷，请关注公众号：高中试卷君题型题型 05 投影与投影向量：投影数量投影与投影向量：投影数量 【解题攻略】【解题攻略】若若11a()xy=，r、22b()xy=，r，则，则a 在 b 方向上的投影为：|a|cos ab|b|12122222x xy yxy+=+【典例【典例 1-1】（2023 下辽宁葫芦岛高三校联考阶段练习）已知向量2,1,2 2,1ab=-rr，则向量ar在向量br上的投影的数量为（）A33B3C13D1【答案】D【分析】根据向量ar在向量br上的投影的数量为a bbr rr即可求解.【详解】由题意可得，3,413ba b=-=rr r，故向量ar在向量br上的投影的数

39、量为313a bb=r rr故选:D.【典例【典例 1-2】已知|2a=r，向量ar在向量br上的投影为3，则ar与br的夹角为（）A3B6C23D2【答案】B【分析】利用平面向量的几何意义，列出方程求出ar与br夹角的余弦值，即可得出夹角大小.【详解】记向量ar与向量br的夹角为q，ar在br上的投影为cos2cosaqq=r.arQ在br上的投影为3，3cos2q=，0,qQ，6q=.故选：B.29.【变式【变式1-1】（2024全国模拟预测）已知向量1,3a=r，2,bm=-r，若向量ar在向量br方向上的投影为3-，则m的值为（）A3B3-C2 33-D2 33【答案】C【分析】利用向

40、量投影求解参数值即可.【详解】由题，向量ar在向量br方向上的投影为22334a bmbm-+=-+rrr，解得2 33m=-故选：C【变式【变式 1-2】（2023辽宁丹东统考一模）向量2,1a=r，3,4b=-r，则ar在br方向上投影的数量为（）更多全科试卷，请关注公众号：高中试卷君A2 55-B25-C25D2 55【答案】B【分析】利用投影数量的定义及向量夹角坐标公式求ar在br方向上投影的数量.【详解】由题设，ar在br方向上投影的数量为222(3)1 42cos,5(3)4a baa bb-+=-+rrrrrr.故选：B【变式【变式 1-3】（2022 上云南昆明高三昆明市第三中

41、学校考期末）已知向量(1,2)a=r，向量(3,4)b=-r，则向量ar在向量br方向上的投影数量为（）A2-B1-C1D2【答案】B【分析】根据向量投影数量公式a bbr rr，代入即可得解.【详解】向量ar在向量br方向上的投影数量为221 32(4)5153(4)a bb+-=-+-r rr，故选：B 题型题型 06 投影与投影向量：投影向量投影与投影向量：投影向量 【解题攻略】【解题攻略】若若11a()xy=，r、22b()xy=，r，则，则 a 在 b上的上的投影向量：12122222211a bb|b|x xy yxyxy+=+r rrr（，）【典例【典例 1-1】（2023全国模

42、拟预测）已知向量1,2,1,abll=+=-rr，若abrr，则向量1,2c=r在向量ab+rr上的投影向量为（）A3,1B1,3C1 3,2 2D3 1,2 2【答案】D【分析】根据向量垂直求出l后，利用向量的坐标运算写出ab+rr的坐标，再根据投影向量的概念即可求解.【详解】依题意得1,2,1,0aba bll=+=-=rrr r，所以120ll+-=，解得1l=，所以2,2,1,1ab=-rr，所以3,1ab+=rr，则向量1,2c=r在向量ab+rr上的投影向量为22223,13 1 1 253 13,1,102 23131cabababab+=+rrrrrrrrr故选：D【典例【典例

43、 1-2】（2023 上山东高三校联考阶段练习）已知向量1,2,3,1ab=rr，则ar在ab+rr上的投影向量为（）A2 5 4 5,55B8 5 6 5,55更多全科试卷，请关注公众号：高中试卷君C2 4,5 5D8 6,5 5【答案】D【分析】先求出ab+rr的坐标，然后利用投影向量的公式求解即可.【详解】由已知4,3ab+=rr，则ar在ab+rr上的投影向量为48 6,54,36555ababababa+=+rrrrrrrrr.故选：D.【变式【变式 1-1】（2023广西模拟预测）向量2 3,2a=r在向量1,3b=r上的投影向量为（）A32B3 3,44C3,3D34【答案】C【

44、分析】由投影向量的定义求ar在br方向上的投影向量.【详解】因为2 3,2a=r，1,3b=r，则2 3 2 34 3a b =+=rr，所以ar在br方向上的投影向量为 24 3cos,1,33,31 3baa ba bbbb=+rrr rrrrrr故选：C【变式【变式 1-2】（2023广东东莞市东华高级中学校联考一模）已知(1,3)a=r，(2,5)b=r，则向量ar在向量br上的投影向量为（）A51,2B34 85,29 29C2 4,3 3D2,15【答案】B【分析】根据题意，由投影向量的定义，代入计算，即可得到结果.【详解】因为(1,3)a=r，(2,5)b=r，则向量ar在向量b

45、r上的数量投影为2 151742529a bb+=+rrr，所以向量ar在向量br上的投影向量为1717134 852,5,29 29292929bb=rr.故选：B【变式【变式 1-3】（2023全国模拟预测）向量1,2a=r，2,1b=-r，那么向量ab-rr在ar上的投影向量为（）A9 18,55B1 2,5 5C6 12,55D36,55-【答案】A【分析】由平面向量的坐标运算、投影向量的计算公式即可求解【详解】因为1,2a=r，2,1b=-r，所以3,3ab-=rr，则ab-rr在ar上的投影向量的模为99 5cos,55abaab aaba-=rrrrrrrrr，则ab-rr在ar

46、上的投影向量为9 59 18,555aa=rr.故选：A更多全科试卷，请关注公众号：高中试卷君题型题型 07 线性运算：鸡爪基础型线性运算：鸡爪基础型 【解题攻略】【解题攻略】鸡爪型是向量线性运算基础：若 D 点在 BC 线段上，且满足(01)BDBCll=，则,1,2,Q xPy，因为45PAQ=，所以45BAPQAD+=，又tan,tan21yxBAPDAQx=，所以tantan21tan451tantan12yxBAPDAQyBAPDAQx+=-，则22yyxx+=-，所以222 24242xyxyxy+=-，解得24 24xy+-，当且仅当22 22xy=-时，等号成立，所以 2,12

47、4 24AP AQyxxy=+-uuu r uuur，则AP AQuuu r uuur的最小值为4 24-.故选：D.【变式【变式 1-3】（2023 春湖南永州高三永州市第一中学校考开学考试）已知ABCV是边长为 4 的等边三角形，P为ABCV所在平面内一点，则PAPBPC+uuu ruuu ruuu r的最小值为（）A8-B6-C4-D2-【答案】B【分析】建立平面直角坐标系，利用平面向量数量积的坐标运算即可求解.【详解】取BC中点O，以O为原点，OC，OA为x，y轴建立如图所示平面直角坐标系，更多全科试卷，请关注公众号：高中试卷君 则2,0B-，2,0C，0,2 3A，设,P x y，则

48、,2 3PAxy=-uuu r，2,PBxy=-uuu r，2,PCxy=-uuu r，所以2,2PBxyPC-+=uuu ruuu r，所以2222,2 32,224 322336PAPBPCxyxyxyyxy+=-=-+=+-uuu ruuu ruuu r，当且仅当0 x=，3y=时等号成立，所以PAPBPC+uuu ruuu ruuu r的最小值为6-，故选：B 高考练场高考练场1.（2023全国高三专题练习）若非零向量ar，br满足ab=rr，2aba-rrr，则向量ar与br的夹角为（）A6B3C23D56【答案】B【分析】依据向量夹角公式即可求得向量ar与br的夹角.【详解】由2a

49、ba-rrr，可得22222cos0abaaa baabab-=-=-=rrrrr rrrrr r，则222cos0aaab-=rrr r，则1cos2ab=r r，又0,ab r r，则=3abr r，故选：B2.（2021北京中国人民大学附属中学朝阳学校高三阶段练习）已知(3,1),(1,3)ab=-=rr，那么,a br r的夹角q=（）A30B60C120D150【答案】D【分析】求出,ab a brrrr，利用数量积的定义即可求出.【详解】Q(3,1),(1,3)ab=-=rr，3 1 132 32,2,aba b=-rrrr，2 33cos2 22a babq-=-rrrr，0,1

50、80qQ，150q=.故选：D.3.（2022山西怀仁市大地学校高中部高三阶段练习）设向量2,0a=r，1,1b=r，则ar与ab-rr夹角的余弦值为（）更多全科试卷，请关注公众号：高中试卷君A0B22C22-D1【答案】B【分析】由向量夹角的坐标运算可直接求得结果.【详解】1,1ab-=-rrQ，22cos,22 2aaba abaab-=-rrrrr rrrr.故选：B.4.已知向量av、bv，满足1=va，|2b=v，若对任意模为 2 的向量cv，均有2 7a cb c+vv vv，则向量av、bv夹角的取值范围是（）A0,3pB,3ppC,6 3p pD20,3p【答案】B【分析】根据