专题3-4 解三角形大题综合归类（14题型+解题攻略）-2024年高考数学二轮热点题型归纳与变式演练（新高考通用）含答案.pdf

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1、更多全科试卷，请关注公众号：高中试卷君专题专题 3-4 解三角形大题综合归类解三角形大题综合归类 目录题型 01 正余弦定理基础：正余余正求角(第一问）.1题型 02 正余弦定理基础：分式型求角(第一问）.2题型 03 正余弦定理基础：角度关系证明型(第一问）.3题型 04 正余弦定理基础：正切型求角(第一问）.4题型 05 解三角形最值：角与对边型求面积.5题型 06 解三角形最值：角非对边型求面积.5题型 07 解三角形最值：周长型最值.6题型 08 解三角形最值：长度型最值.7题型 09 解三角形最值：锐角三角形与边系数不等型.7题型 10 解三角形最值：四边形面积最值型.8题型 11

2、三大线：中线（重心）型.9题型 12 三大线：角平分线（内心）型.11题型 13 三大线；高.12题型 14 辅助线型：双三角型.13高考练场.14题型题型 01 正余弦定理基础：正余余正求角正余弦定理基础：正余余正求角(第一问）第一问）【解题攻略】【解题攻略】正余弦定理求角基础：两角和与差的正弦、余弦、正切公式两角和与差的正弦、余弦、正切公式sin()sin cos cos sin(S()正余余正正余余正sin()sin cos cos sin(S()正余余正正角正余余正正角 减减 余角余角cos()cos cos sin sin(C()余余正正偶函数。谁余余正正偶函数。谁 减减 谁谁 无所

3、谓无所谓 cos()=cos()cos()cos cos sin sin(C()对于 sin（）与 cos（）简称为“正余余正，余余正正正余余正，余余正正”恒等变形和化简求角中，有如下经验：1、SinC=Sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB:正用。逆用；见正用。逆用；见 A 与与 B 的正余或者余正，不够，找的正余或者余正，不够，找sinC 拆拆2、边的齐次式，正弦定理转为角的正弦；边的齐次式，正弦定理转为角的正弦；3、cosC=-cos(A+B)=-cosAcosB-sinAsinC【典例【典例 1-1】（2024 上天津西青高三统考）已知ABCV的内角 A，B，C 的对边分

4、别为 a，b，c，且(23)cos3 cosacBbC-=(1)求B；(2)若3b=，sin3sinCA=，求a；专题3-4 解三角形大题综合归类（14题型+解题攻略）-2024年高考数学二轮热点题型归纳与变式演练（新高考通用）更多全科试卷，请关注公众号：高中试卷君(3)若2ba=，求sin 23A-【典例【典例 1-2】（2023山东潍坊统考模拟预测）已知ABCV中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，(coscos)cossin2AaCcAaB=(1)求角A；(2)若D为边BC上一点，且满足ADCD=，2ACDABDSS=VV，证明：ABCV为直角三角形【变式【变式 1-1】（2023 上

5、重庆永川高三重庆市永川北山中学校校考阶段练习）在ABCV中，角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c，且3 cos23cosaCbcA=-.(1)求角A的大小；(2)求29cos2sin22CB-的取值范围.【变式【变式 1-2】（2023重庆沙坪坝重庆八中校考模拟预测）已知a，b，c分别为ABCV三个内角A，B，C的对边，且cos3 sin0bCbCac-=(1)求B；(2)若3 32ABCS=，点D在边AC上，BCDBADSaSc=，且6 35BD=，求b【变式【变式 1-3】（2024 上黑龙江齐齐哈尔高三统考）在ABCV中，角,A B C的对边分别为2sinsincossin cos

6、abcACBBC-=，.(1)求角B的大小；(2)若2 3b=，求ABCV周长的最大值题型题型 02 正余弦定理基础：分式型求角正余弦定理基础：分式型求角(第一问）第一问）【解题攻略】【解题攻略】分式型特征：1.分式中分子分母是边的齐次式。2.分式中分子分母是正弦的齐次式3.如果有余弦，一般情况下不计入次幂计算4.可以通过去分母，转化为无分式型齐次，再用正弦定理转化【典例【典例 1-1】（2023 上湖南长沙高三长沙市明德中学校考阶段练习）已知ABCV的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，sinsinsin()sinsinsinsinACACBCAC-=(1)求A；(2)若角A的平分线AD交

7、BC于点D，且2AD=，求ABCV面积的最小值【典例【典例 1-2】（2023 上江苏高三泰州中学校联考阶段练习）已知ABCV的三个内角,A B C所对的边分别是,a b c已知sin22sinsinbBcAB更多全科试卷，请关注公众号：高中试卷君(1)求角C；(2)若点D在边AB上，2,1bCD=，请在下列两个条件中任选一个，求边长ABCD为ABCV的角平分线；CD为ABCV的中线【变式【变式 1-1】（2023 上重庆高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）已知ABCV的内角 A，B，C 所对应的边分别为 a，b，c，且满足 sin1.sinsinabBbcbAcB=(1)求角 C 的大小；(2)若

8、2,4ab=，点 D 为 AB 的中点，求tanACD的值.【变式【变式 1-2】（2023 上江苏常州高三校联考阶段练习）在ABCV中，19a=，且sinsincoscoscoscossinBCBABAC-=(1)求角A；(2)若点D为BC边上一点，34BDDC=且ADAC，求ABCV的面积.【变式【变式 1-3】（2023 下贵州贵阳高三校联考阶段练习）在ABCV中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，sinsinsin2 3sinsin3aAbBcCCaB-=(1)求角 C；(2)若AB边上的中线长为 1，求ABCV面积的最大值题型题型 03 正余弦定理基础：角度关系证明型正余弦

9、定理基础：角度关系证明型(第一问）第一问）【典例【典例 1-1】（2023全国模拟预测）在ABCV中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，满足3A，223sinsinbcBCa-=(1)求证：3BC-=(2)若3A=，2c=，求ABCV的面积【典例【典例 1-2】（2023全国高三专题练习）ABCV的内角,A B C的对边分别为,a b c，coscosaBbA=.(1)证明：AB=；(2)若36ca=，求ABCV的面积.【变式【变式 1-1】（2023 上重庆高三西南大学附中校联考阶段练习）在ABCV中，内角,A B C所对的边分别为,a b c，满足2 cosbabC=-(1)求证

10、：2CB=；(2)若ABCV为锐角三角形，求2sincossinCBB-的最大值【变式【变式 1-2】（2023全国模拟预测）在锐角ABCV中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且cos1cosaBbA=.(1)证明：2AB=；更多全科试卷，请关注公众号：高中试卷君(2)求ca的取值范围.【变式【变式 1-3】（2023 上安徽高三校联考阶段练习）在锐角ABCV中，内角,A B C所对的边分别为,a b c，且22abbc=.(1)证明：2AB=；(2)若2c=，求ABCV的周长的取值范围.题型题型 04 正余弦定理基础：正切型求角正余弦定理基础：正切型求角(第一问）第一问）【解题

11、攻略】【解题攻略】分式型与正切型1.若式子含有若式子含有,a b c的的 2 次齐次式，优先考虑余弦定理，次齐次式，优先考虑余弦定理，“角化边角化边”2.面积和面积和,a b c2 次齐次式，可构造余弦定理次齐次式，可构造余弦定理3.正切型，可以正切型，可以“切化弦切化弦”，转化为分式型，在进行化简求角，转化为分式型，在进行化简求角【典例【典例1-1】（2023 上湖北高三随州市曾都区第一中学校联考）ABCV中，内角,A B C所对的边分别为,a b c，满足3tantancoscbAbBA=.(1)求角B；(2)若D是AC边上的一点，且2CD=，6BDAD=，求tan A.【典例【典例 1-

12、2】（2024 上四川绵阳高三绵阳南山中学实验学校校考阶段练习）在锐角ABCV中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，O为其外接圆的圆心，8AO AB=uuur uuu r，1183tantanABb=(1)求A的大小；(2)若,4 3C，求边长b的最值【变式【变式 1-1】（2023 上天津南开高三南开中学校考阶段练习）在ABCV中，内角,A B C所对的边分别为3,tantancosca b c bAbBA=.(1)求B的大小；(2)若8,4 7ab=.求c的值；求sin 24A的值：【变式【变式 1-2】（2023 上海南海口高三校考阶段练习）在ABCV中，内角,A B C所对的边分别

13、为,a b c，且3tantancoscABaB=-(1)求角A：(2)已知7,aD=是边BC的中点，且ADAB，求AD的长【变式【变式 1-3】（2023 上河北邢台高三邢台一中校考阶段练习）已知ABCV的内角A，B，C的对边分别为更多全科试卷，请关注公众号：高中试卷君a、b、c，11sintantan3sin cosCABAB=.(1)求B；(2)已知BD为AC边上的中线，13cos13C=，372BD=，求ABCV的面积.题型题型 05 解三角形最值：角与对边型求面积解三角形最值：角与对边型求面积 【解题攻略】【解题攻略】解三角形：最值范围1.可以用余弦定理+均值不等式来求解。2.可以利

14、用正弦定理，结合角与角所对应的边，转化为角的形式，再进行三角恒等边形，化一，求解最值与范围，要注意三角形是否有“锐角、钝角”三角形的角度范围限制【典例【典例 1-1】已知锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且cos3 sincAcAab=.(1)求角C的大小；(2)若2 3c=，角A与角B的内角平分线相交于点D，求ABD面积的取值范围.【典例【典例 1-2】已知ABCV中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且sinsin()sinbBcCbaA-=-.(1)若1c=，求ABCV外接圆的面积；(2)若ABCV为锐角三角形，且4a=，求ABCV面积的取值范围.【变式

15、【变式 1-1】记ABCV的内角ABC，所对的边分别为abc，已知sinsinaAcCb=.(1)求证：222sincos1acBBac=；(2)若ABCV的面积20Skbk=（），求k的最大值，并证明：当k取最大值时，ABCV为直角三角形.【变式【变式 1-2】已知ABC 的三个内角 A，B，C 的对边分别是 a，b，c，1 cos2sin2sinsinBABA-=(1)若6Cp=，求 B 的大小；(2)若ABC 不是钝角三角形，且=1c，求ABC 的面积取值范围 题型题型 06 解三角形最值：角解三角形最值：角非非对边型求面积对边型求面积 【解题攻略】【解题攻略】角非对边求面积角非对边求面

16、积1.角非对边，面积要用所给的角度，所给的边用上，正好面积中余下一个不确定的角非对边，面积要用所给的角度，所给的边用上，正好面积中余下一个不确定的“范围边范围边”。把面积范围转化为。把面积范围转化为“范围边范围边”。2.再用正弦定理，去除掉给角的边，用知道长度的边的正弦式子。这样正好能转化。再用正弦定理，去除掉给角的边，用知道长度的边的正弦式子。这样正好能转化。3.对于对于“范围边范围边”的函数，消角，要消去分子的角度，保留分母的角度为变量，计算简单。的函数，消角，要消去分子的角度，保留分母的角度为变量，计算简单。4.对对“消角消角”后的式子，恒等变形求范围最值，注意是否有锐角三角形等限制角的

17、范围的条件后的式子，恒等变形求范围最值，注意是否有锐角三角形等限制角的范围的条件【典例【典例 1-1】已知锐角三角形ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，向量2sin,3mA=-ur，更多全科试卷，请关注公众号：高中试卷君,nb a=r，且mnurr.(1)求角B的大小；(2)若3c=，求ABCV面积的取值范围.【典例【典例 1-2】在ABCV中，a，b，c 分别为内角 A，B，C 的对边，2sin6bcBa=(1)求角 A 的大小；(2)若ABCV是锐角三角形，4c=，求ABCV面积的取值范围【变式【变式 1-1】在ABCV中，角,A B C的对边分别为,a b c，且cos3 s

18、inabCcB-=(1)求B；(2)若2a=，且ABCV为锐角三角形，求ABCV的面积S的取值范围【变式【变式 1-2】已知ABCV是锐角三角形，内角,A B C所对的边分别为,a b c，面积为S，sincos6bAaB=-(1)求角B；(2)若=2a，求S的取值范围 题型题型 07 解三角形最值：周长型最值解三角形最值：周长型最值 【解题攻略】【解题攻略】周长最值周长最值1.“齐次对称结构齐次对称结构”，用余弦定理加均值，如果用正弦定理化角，计算量稍大，用余弦定理加均值，如果用正弦定理化角，计算量稍大2.如果利用均值求周长的范围时，注意利用三角形“两边之和大于第三边（任意三角形）”【典例【

19、典例 1-1】（2023 春河南开封高三通许县第一高级中学校考阶段练习）在ABCV中，内角,A B C的对边分别为,a b c，且sin2sin2sincos2cBAACa-=(1)求角B的大小；(2)点D是AC上的一点，ABDCBD=，且1BD=，求ABCV周长的最小值【典例【典例 1-2】（2023 秋广东云浮高三校考阶段练习）在ABCV中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知3sincos3bCcBa=(1)若2a=，3b=，求ABCV的面积；(2)若2c=，求ABCV周长的取值范围【变式【变式 1-1】（2022 秋重庆綦江高三统考阶段练习）记ABCV的内角，A，B，C 的对边分

20、别是 a，b，c，已知sinsin1 cos2bABB=-(1)求 a；(2)若3A=，求ABCV的周长 l 的取值范围更多全科试卷，请关注公众号：高中试卷君【变式【变式 1-2】（2023 春湖南益阳高三安化县第二中学校考阶段练习）已知锐角ABCV中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且三角形的外接圆面积为4，三角形的面积为22234Sbca=-(1)求角A的大小；(2)求bc的取值范围.题型题型 08 解三角形最值：长度型最值解三角形最值：长度型最值 【典例【典例 1-1】（2023 秋山西太原高三山西大附中校考阶段练习）在ABCV中，角 A，B，C 的对边分别为a，b，c，2sinc

21、oscbAA=-.(1)若sin10sinBC=，求sin A的值；(2)ABCV的面积21S=，求 b 的最小值.【典例【典例 1-2】（2023 春安徽芜湖高三安徽省无为襄安中学校考）在锐角ABCV中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，2 sincos2 sincoscaCBbCA=(1)求角 C 的大小；(2)若1c=，求22ab的取值范围【变式【变式 1-1】（2023 秋福建龙岩高三上杭一中校考阶段练习）在ABCV中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2 coscoscos23aABbAcb=-.(1)求角 A；(2)若ABCV的面积为 1，求a的最小值.【变式【变式

22、1-2】（2023 秋湖南常德高三常德市一中校考阶段练习）在ABCV中，a，b，c 分别是角 A，B，C的对边，若1cos2bCca=，请完成以下问题：(1)求角 B 的大小；(2)若ABCV为锐角三角形，1c=，求22ab的取值范围题型题型 09 解三角形最值：锐角三角形与边系数不等型解三角形最值：锐角三角形与边系数不等型 【解题攻略】【解题攻略】变系数不一致型变系数不一致型1.“非对称非对称”型，无法用均值求解范围，多用正弦定理来型，无法用均值求解范围，多用正弦定理来“边化角边化角”。2.最后消角时要注意消去的角与剩下的角对应的取值范围。特别是题中有最后消角时要注意消去的角与剩下的角对应的

23、取值范围。特别是题中有“锐角或者钝角三角形锐角或者钝角三角形”这类限制条件时。这类限制条件时。【典例【典例 1-1】（2023 春黑龙江齐齐哈尔高三齐齐哈尔中学校考）已知在锐角ABCV中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且2sinsintancosCBAB-=.(1)求 A；(2)若2a=，求2c b-的取值范围.更多全科试卷，请关注公众号：高中试卷君【典例【典例 1-2】（2023 春重庆九龙坡高三重庆市育才中学校考开学考试）在ABCV中，角,A B C所对的边分别为222,2sin23a b cacBacb=-.(1)求B；(2)若ABCV为锐角三角形，且3b=，求2ac的最

24、大值.【变式【变式 1-1】（2023 春辽宁朝阳高三校联考阶段练习）在锐角ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且2 sin2tancBacC=-(1)求 B；(2)若3b=，求2-ca的取值范围【变式【变式 1-2】（2023 春江苏徐州高三统考）已知锐角ABCV三个内角A、B、C的对应边分别为a、b、c，33cossincbAA=(1)求B；(2)若2 3b=，求2ca-的取值范围题型题型 10 解三角形最值：四边形面积最值型解三角形最值：四边形面积最值型 【解题攻略】【解题攻略】四边形面积最值型四边形面积最值型，一般用某一条对角线，把四边形分为两个三角形，有公共边的两个

25、三角形个再各自用余弦定理，构建数量关系【典例【典例 1-1】（2022山东师范大学附中模拟预测）如图，在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为,a b c，ABC 的面积为 S，且2224Sacb=-(1)求角 B 的大小；(2)若,2ADp=为平面 ABC 上ABC 外一点，DB=2，DC=1，求四边形 ABDC 面积的最大值【典例【典例 1-2】（2022湖北模拟预测）在ABCV中，若23ABCSBA BC=Vuuu r uuu r.更多全科试卷，请关注公众号：高中试卷君(1)求B的值；(2)如图，若ABAC=，D为ABCV外一点，且3DA=，2DC=，ADCq=，求ABCDS四边形的最

26、大值及相应的q.【变式【变式 1-1】（2022福建省厦门集美中学模拟预测）如图，在平面四边形ABCD中，2,2 3ABBCCDAD=.(1)证明：1cos3cosCA=；(2)记ABD与BCD的面积分别为1S和2S，求2212SS的最大值.【变式【变式 1-2】（2022福建上杭一中模拟预测）如图，在四边形ABCD中，sin3,cossin=uuu ruuurBADABDCABDADB(1)证明：ABD为直角三角形；(2)若6AB=，求四边形ABCD面积 S 的最大值题型题型 11 三大线：中线（重心）型三大线：中线（重心）型 【解题攻略】【解题攻略】.中线的处理方法1.向量法：1()2AD

27、ABAC=uuuruuu ruuur222124AMABAB ACAC=uuuu ruuu ruuu r uuuruuur更多全科试卷，请关注公众号：高中试卷君2.补全为平行四边形。再转而在新三角形中用正余弦定理如图设BDDC=，在ABDV中，由余弦定理得2222cosABADBDADBDADB=-，在ACD中，由余弦定理得2222cosACADDCADDCADC=-，因为AMBAMC=，所以coscos0ADBADC=所以+式即可3.延伸补形法：如图所示，延伸中线，补形为平行四边形4.中线分割的俩三角形面积相等【典例【典例 1-1】（2023 秋江西南昌高三南昌十中校考阶段练习）已知三角形A

28、BC中，三个内角、ABC的对应边分别为abc、，且5,7ab=.（1）若3Bp=，求c；（2）设点M是边AB的中点，若3CM=，求三角形ABC的面积.【典例【典例 1-2】（2018 秋宁夏银川高三六盘山高级中学校考）在三角形ABC中，,ADBC E为BC的中点，:2:1:,BAC135BD AD DCm=（1）求m的值；更多全科试卷，请关注公众号：高中试卷君（2）若5AE=,求三角形ABC的面积.【变式【变式 1-1】（2023 秋浙江温州高三乐清市知临中学校考开学考试）已知ABCV的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且3sincoscosbACcaB-=-.(1)求角 B 大小；

29、(2)若5a=，3c=，O为ABCV的重心，求OACV的面积.【变式【变式 1-2】（2023 秋江苏高三淮阴中学校联考开学考试）如图，在ABC 内任取一点 P，直线 AP、BP、CP 分别与边 BC、CA、AB 相交于点 D、E、F (1)试证明：sinsinBDABBADDCACDAC=(2)若 P 为重心，5,4,3ADBECF=，求ABCV的面积题型题型 12 三大线：角平分线（内心）型三大线：角平分线（内心）型 【解题攻略】【解题攻略】三角形角平分线的处理方法：ABCACDABDSSS=角平分线定理（大题中，需要证明，否则可能会扣过程分）：ABACBDCD=更多全科试卷，请关注公众号

30、：高中试卷君【典例【典例 1-1】（2023 秋江苏淮安高三淮阴中学校考开学考试）已知ABCV中，内角 A、B、C 所对的边分别为 a，b，c，3 cos2 sinsin0cBbBC=，D 是ABCV边 AC 上的一点，且1BD=(1)若BDBC，3AB=，求 AD；(2)若 BD 为ABC的角平分线，求ABCV面积的最小值【典例【典例 1-2】（2023 秋广西钦州高三校考开学考试）几何原本是古希腊数学家欧几德得所著的一部数学著作，在几何原本第六卷给出了内角平分线定理，其内容为：在一个三角形中，三角形一个内角的角平分线内分对边所成的两条线段，与这个角的两邻边对应成比例.例如，在ABCV中（图

31、 1），AD为BAC的平分线，则有:AB ACBD DC=.(1)试证明角平分线定理；(2)如图 2，已知ABCV的重心为G，内心为I，若,G I的连线/GIBC.求证：2ABACBC=.【变式【变式 1-1】（2023 秋江苏淮安高三统考开学考试）在ABCV中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，D为边 BC 上一点，2AD=(1)若ABCV的面积2,4SADB=，求 a；(2)若 D 为BAC的角平分线与边 BC 的交点，2,4cC=，求 a.【变式【变式 1-2】（2023 秋浙江高三校联考开学考试）在ABCV中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且3tantancos

32、cABaB=(1)求角 A；(2)若6a=，2c=，BAC的角平分线交 BC 于 D，求 AD 的长题型题型 13 三大线；高三大线；高 【解题攻略】【解题攻略】三角形高的处理方法：1.等面积法：两种求面积公式更多全科试卷，请关注公众号：高中试卷君 如2111sin222SbcABCADc=2.三角函数法：cos,sin,BCDBDABABD ADABABD=在中，【典例【典例 1-1】在三角形ABC中，已知角,A B C的对边分别为,a b c，且sinsinsinsinaAcCaCbB-=.（1）求角B的大小；（2）设三角形ABC的BC边上的高为h，且2,1ha c=，求2b的值.【典例【

33、典例 1-2】已知ABCV的内角,A B C的对边分别为,a b c，且sinsinsinsinABAB-=3sinsinsinACC-.(1)求角B的大小；(2)若BC边上的高为2bc-，求sinC.【变式【变式 1-1】在ABCV中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，满足cossin02ACB=.(1)求 B 的值；(2)若AB与BC边上的高之比为 35，且7b=，求ABCV的面积.【变式【变式 1-2】ABCV的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知7coscos7aBbAac=，sin2sinAA=.(1)求A及a；(2)若2bc-=，求BC边上的高.题型题型 14 辅助线

34、型：双三角型辅助线型：双三角型 【典例【典例 1-1】（2022湖南长沙市麓山滨江实验学校高三开学考试）如图，在ABC 中，D 是 AC 边上一点，ABC 为钝角，DBC=90(1)证明：cossin0ADBC=；(2)若2 7AB=，2BC=，再从下面中选取一个作为条件，求ABD 的面积3 21sin14ABC=；AC3AD=更多全科试卷，请关注公众号：高中试卷君【典例【典例 1-2】（2022湖南模拟预测）如图，在锐角ABCV中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，已知5cossin05cAcAab-=(1)求cosC的值；(2)在BC的延长线上有一点 D，使得,104DACADp

35、=，求,AC CD【变式【变式 1-1】.（2022湖南师大附中三模）在ABCV中.ABAC=，D 为 BC 边上的一点，90DAC=，再从下列三个条件中选择两个作为已知，求ABD的面积及 BD 的长.6AB=；1cos3BAC=-；3 6CD=.注：如果选择多种方案分别解答，那么按第一种方案解答计分.【变式【变式 1-2】在ABCV中，2BC=，2AC=，4A=，点 MN 是边 AB 上的两点，6MCN=.(1)求ABCV的面积；(2)当3BN=，求 MN 的长.高考练场高考练场1.（2023河南统考模拟预测）已知ABCV的三个角,A B C的对边分别为,a b c，且 sincos31co

36、s.bAAaBc=-(1)求 B；(2)若1,3ab=，求ABCV的面积.更多全科试卷，请关注公众号：高中试卷君2.（2023 上福建莆田高三莆田第十中学校考阶段练习）已知ABCV满足22sin sin2sin sinsinCBAACB-=-.(1)求证：2B；(2)若A为锐角，求ca的取值范围.3.（2021 下辽宁大连高三辽师大附中校考阶段练习）在ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，tan21tanAcBb=(1)求角 A；(2)若 O 是ABC 内一点，AOB120，AOC150，b1，c3，求 tanABO4.（2023全国模拟预测）已知在ABCV中，角A，B，C

37、所对的边分别为a，b，c，且17sin2sinsinsin2sinAcCBbAB-=，217ab=(1)求角A(2)若ABCV的周长为 15，求ABCV的面积5.在ABCV中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，3cossin3aBbAc=(1)求角A的大小；(2)若2a=，求ABCV的面积的最大值，并指出此时三角形的形状江苏省南京市第二十七高级中学 2022-2023 学年高三上学期测试数学试题6.（2022湖南湘潭一中高三阶段练习）ABCV的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知(2)sin(2)sin2 sinacAcaCbB-=(1)求 B；(2)若ABCV为锐角三角形，且2

38、c=，求ABCV周长的取值范围6.（2024 上湖北恩施高三利川市第一中学校联考）在锐角ABCV中，角,A B C所对应的边分别为,a b c，已知sinsinsin3ABCabac-=-(1)求B的值；(2)若2b=，求ABCV面积的取值范围7.（2023 春江苏镇江高三校联考阶段练习）锐角ABCV中，内角A、B、C对边长分别为a、b、c，满足1cos2acBb=(1)求角C；(2)若2c=，求ABCV周长的取值范围.8.（2022 春浙江嘉兴高三校联考）在以下条件中任选一个，补充在下面横线处，然后解答问题.222abcab=3=sincosbcBC2223()4ABCSabc=-在ABCV

39、中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知_.更多全科试卷，请关注公众号：高中试卷君(1)求角C的大小；(2)若8ab=，求边c的最小值.9.（2023 秋辽宁沈阳高三沈阳市第一二中学校考阶段练习）在ABCV中，,a b c分别是角,A B C所对的边，已知1,1,3,sin,cosamnAA=-=rr，且mnrr.(1)若ABCV的面积为34，求bc的值；(2)求2cb-的取值范围.10.如图所示，BD 为四边形 ABCD 的对角线，设 ABAD1，BCD 为等边三角形记0BADqqp=，则3cos2B=，又(0,)B，所以6B=.（2）由sin3sinCA=，得3ca=，由（1）及余弦

40、定理2222cosacacBb-=，得222332 392aaa-=，解得3a=，所以3a=.（3）由2ba=及正弦定理，得sin2sinBA=，则1sin22sin422BA=，显然ba，即BA，则 A 为锐角，22214cos1 sin144AA=-=-=，于是2147sin22sincos2444AAA=，22143cos22cos12()144AA=-=-=，所以713373 3sin(2)sin2 coscos2 sin33342428AAA-=-=-=.【典例【典例 1-2】（2023山东潍坊统考模拟预测）已知ABCV中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，(coscos)coss

41、in2AaCcAaB=(1)求角A；(2)若D为边BC上一点，且满足ADCD=，2ACDABDSS=VV，证明：ABCV为直角三角形【答案】(1)3A=(2)证明见解析【分析】（1）利用正弦定理边化角结合两角和的正弦公式化简已知等式，可得sincos2AA=，再利用二倍角公式即可得到sin2A的值，即可求得答案；（2）根据2ACDABDSS=VV得出2CDBD=，设ACDq=，表示出相关各角，在ABD利用正弦定理即可求得q，即可证明结论.【详解】（1）在ABCV中，由正弦定理得(sincossincos)cossinsin2AACCAAB=，所以sincossinsin2AACAB=，即sin

42、cossinsin2ABAB=，因为(0,),sin0BB，所以sincos2AA=，又因为(0,)A，0,22A，sin2sincos22AAA=，cos02A，所以1sin22A=，所以3A=；（2）证明：因为2ACDABDSS=VV，所以2CDBD=，更多全科试卷，请关注公众号：高中试卷君设ACDq=，在ACDV中，2ADCDBD=，则CADq=可得3BADq=-，23ABCq=-，在ABD中，由正弦定理得，2sinsin33BDADqq=-，又因为2ADBD=，所以22sinsin33qq-=-，则313cossincossin22qqqq-=，化简得3tan3q=，因为0,3q，即6

43、q=，则2ABC=所以ABCV是直角三角形【变式【变式 1-1】（2023 上重庆永川高三重庆市永川北山中学校校考阶段练习）在ABCV中，角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c，且3 cos23cosaCbcA=-.(1)求角A的大小；(2)求29cos2sin22CB-的取值范围.【答案】(1)6A=(2)32,312-【分析】（1）由正弦定理、两角和的正弦公式化简已知式，即可得出答案；（2）由诱导公式、二倍角的正弦公式、两角差的余弦公式化简29cos2sin22CB-，再由三角函数的性质求解即可.【详解】（1）由正弦定理可得，3sincos2sincos3sincosACBACA=-，

44、从而可得3sin()2sincosACBA=，3sin2sincosBBA=，又B为三角形的内角，所以sin0B，于是3cos2A=，又A为三角形的内角，因此6A=.（2）29cos2sin22CB-23cos2sinsincos122CBBC=-=-5sincos16BB=-55sincoscossinsin166BBB=-33sincos13sin1226BBB=-=-，由6A=可知，50,6B，2,663B-，从而1sin,162B-，因此323sin1,3162B-，故29cos2sin22CB-的取值范围为32,312-.【变式【变式 1-2】（2023重庆沙坪坝重庆八中校考模拟预测

45、）已知a，b，c分别为ABCV三个内角A，B，C的对边，且cos3 sin0bCbCac-=更多全科试卷，请关注公众号：高中试卷君(1)求B；(2)若3 32ABCS=，点D在边AC上，BCDBADSaSc=，且6 35BD=，求b【答案】(1)3B=；(2)7b=.【分析】（1）利用正弦定理化边为角，结合恒等变换可求角 B 的大小.（2）根据给定条件，结合三角形面积公式求出,ABDCBD，再利用余弦定理、三角形面积公式计算即得.【详解】（1）在ABCV中，由正弦定理及cos3 sin0bCbCac-=，得sincos3sinsinsinsin0BCBCAC-=，即sincos3sinsins

46、insinBCBCAC=sin()sinsincoscossinsinBCCBCBCC=，则3sinsinsincossinBCCBC=，而sin0C，于是3sincos1BB-=，即1sin()62Bp-=，又0B，即有5666Bppp-，则66Bpp-=，所以3B=.（2）依题意，1sin21sin2BCDBADa BDCBDSaScc BDABD=VV，则sinsinABDCBD=，而3ABDCBD=，于是6ABDCBD=，16 3 116 3 13 32522522ABCCBDABDSSSac=VVV，解得5ac=，又133 3sin2342ABCSacac=V，解得6ac=，由余弦定

47、理得22222cos()37bacacBacac=-=-=，解得7b=，所以7b=.【变式【变式 1-3】（2024 上黑龙江齐齐哈尔高三统考）在ABCV中，角,A B C的对边分别为2sinsincossin cosabcACBBC-=，.(1)求角B的大小；(2)若2 3b=，求ABCV周长的最大值【答案】(1)3B=(2)6 3【分析】（1）根据题意利用三角恒等变换运算求解即可；（2）法一：利用正弦定理边化角，结合三角恒等变换以及正弦函数的有界性分析求解；法二：利用余弦定理结合基本不等式运算求解.【详解】（1）因为2sinsincossin cosACBBC-=，即2sin cossin

48、 cossin cosABBCCB=，可得2sin cossinsinABBCA=又因为0,A，则sin0A，可得1cos2B=，且0B，可得3B=.（2）法一：由正弦定理可得2 34sinsinsin32abcABC=，则4sin,4sinaA cC=，可得24sin2 34sin2 34sin4sin3abcACAA=-2 34sin2sin2 3cos2 36sin2 3cos2 34 3sin6AAAAAA=，因为203A，则5666A，可得4 32 34 3sin6 36A=，2sinsin2cossinABBC=，又(),2sin()sin2cossinABCBCBBC=-=，2s

49、incos2cossinsin2cossinBCBCBBC=，化简得2sincossin0BCB=，即1cos2C=-，又(0,)C，所以23C=（2）选，CD为ABCV的角平分线，由=VVVACDBCDABCSSS得：111sinsinsin222CA CDACDCB CDBCDCA CBACB=，即13131311222222bab a =，所以abab=，又2b=，所以2a=，在ABCV中，由余弦定理得2222222cos228cos123cababC=-=，所以2 3ABc=.选，CD为ABCV的中线，则2CACBCD=uuu ruuu ruuu r，平方得2222224CACBCAC

50、BCD=uuu ruuu ruuu ruuu ruuu r，所以2222cos4 1baabC=，所以224abab-=，又2b=，所以2a=，在ABCV中，由余弦定理得2222222cos228cos123cababC=-=，所以2 3ABc=.【变式【变式 1-1】（2023 上重庆高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）已知ABCV的内角 A，B，C 所对应的边分别为 a，b，c，且满足 sin1.sinsinabBbcbAcB=(1)求角 C 的大小；(2)若2,4ab=，点 D 为 AB 的中点，求tanACD的值.【答案】(1)3(2)35【分析】（1）根据题意利用正余弦定理边角转化分析求解