专题2-7 导数压轴大题归类（13题型+解题攻略）-2024年高考数学二轮热点题型归纳与变式演练（新高考通用）邯郸.pdf

《专题2-7 导数压轴大题归类（13题型+解题攻略）-2024年高考数学二轮热点题型归纳与变式演练（新高考通用）邯郸.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《专题2-7 导数压轴大题归类（13题型+解题攻略）-2024年高考数学二轮热点题型归纳与变式演练（新高考通用）邯郸.pdf（73页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、更多全科试卷，请关注公众号：高中试卷君专题 2-7 导数大题求参归类 专题 2-7 导数大题求参归类 目录题型 01 恒成立求参：常规型.1题型 02 恒成立求参：三角函数型.2题型 03 恒成立求参：双变量型.2题型 04 恒成立求参：整数型.3题型 05 恒成立求参：三角函数型整数.4/题型 06“能”成立求参：常规型.5题型 07“能”成立求参：双变量型.5题型 08“能”成立求参：正余弦型.6题型 09 零点型求参：常规型.7题型 10 零点型求参：双零点型.8题型 11 零点型求参：多零点综合型.8题型 12 同构型求参：x1，x2双变量同构.9题型 13 虚设零点型求参.10高考练

2、场.10题型题型 01 恒成立求参：常规型恒成立求参：常规型 【解题攻略】【解题攻略】利用导数求解参数范围的两种常用方法：（1）分离参数法：将参数和自变量分离开来，构造关于自变量的新函数，研究新函数最值与参数之间的关系，求解出参数范围；（2）分类讨论法：根据题意分析参数的临界值，根据临界值作分类讨论，分别求解出满足题意的参数范围最后取并集.【典例【典例 1-1】（2024 上北京高三阶段练习）设0a，函数()lnaf xxx=(1)讨论()f x的单调性；(2)若()f xx，求 a 的取值范围；(3)若()1fx，求 a【典例【典例 1-2】（2024 上甘肃武威高三统考期末）已知函数 2l

3、n1exxfxax=+.(1)当0a=时，求 f x的最大值；(2)若 0f x 在0,x+上恒成立，求实数a的取值范围.【变式【变式 1-1】（2023 上江苏镇江高三校考阶段练习）已知函数 2exxaxf x-=(1)若 f x在2,1-上单调递增，求实数 a 的取值范围；(2)若 sinf xx对,0 x-恒成立，求实数 a 的取值范围【变式【变式 1-2】（2024 上山西高三期末）已知函数 2122lnf xm xxx=-+，2m.专题2-7 导数压轴大题归类（13题型+解题攻略）-2024年高考数学二轮热点题型归纳与变式演练（新高考通用）更多全科试卷，请关注公众号：高中试卷君(1)

4、求证：函数 f x存在单调递减区间，并求出该函数单调递减区间,a b的长度ba-的取值范围；(2)当1x时，12 e4xf xxx-恒成立，求实数m的取值范围.【变式【变式 1-3】（2024全国模拟预测）已知函数2()2ln1f xxax=-，aR(1)求函数()f x的单调区间；(2)若对任意的,()0 x+，不等式211(1)(1)1exf xxx+-+恒成立，求实数a的取值范围 题型题型 02 恒成立求参：三角函数型恒成立求参：三角函数型 【解题攻略】【解题攻略】三角函数与导数应用求参：1.正余弦的有界性2.三角函数与函数的重要放缩公式：sin0 xx x.【典例【典例 1-1】（20

5、23全国高三专题练习）已知函数 sin xf xx=，cosg xax=(1)求证：0,2x时，1f x 恒成立，求实数 a 的取值范围；(3)当,00,22x-时，2f xg x 恒成立，求实数 a 的取值范围【典例【典例 1-2】（2023 上全国高三期末）已知函数()e sin2xf xxx=-.(1)求曲线()yf x=在点(0,(0)f处的切线方程；(2)求()f x在区间0,2上的最大值；(3)设实数 a 使得()exf xxa+对xR恒成立，求 a 的最大整数值.【变式【变式 1-1】（2023 上湖北省直辖县级单位高三校考阶段练习）已知函数 e2R,0axf xax aa=-.

6、(1)讨论 f x的单调性；(2)若不等式 sincos22f xxxax-+-对任意0 x 恒成立，求实数a的取值范围.【变式【变式 1-2】（2023 上甘肃定西高三甘肃省临洮中学校考阶段练习）已知函数 esincos,xfxxx fx=-为其导函数(1)求 f x在,-+上极值点的个数；(2)若()22cosfxaxx a+-R对,x -+恒成立，求a的值 题型题型 03 恒成立求参：双变量型恒成立求参：双变量型 【解题攻略】【解题攻略】更多全科试卷，请关注公众号：高中试卷君 一般地，已知函数,yf xxa b=，,yg xxc d=(1)若1,xa b，2,xc d，总有 12f xg

7、 x成立，故 maxminf xg x；(2)若1,xa b，2,xc d$，有 12f xg x成立，故 maxmaxf xg x；(3)若1,xa b$，2,xc d，有 12f xg x成立，故 minminf xg x；(4)若1,xa b$，2,xc d$，有 12f xg x成立，故 minmaxf xg x【典例【典例 1-1】（2023四川攀枝花统考模拟预测）已知函数 exf xax a=-R(1)当1a=时，求 f x的单调区间；(2)设函数 21 exg xxxf x=-，当 g x有两个极值点1212,x xxx时，总有22212g2e3xtxxx+-成立，求实数t的值【

8、典例【典例 1-2】（2024 上四川成都高三成都七中校考阶段练习）设函数 exf xax=-，其中aR.(1)讨论函数()f x在1,)+上的极值；(2)若函数 f(x)有两零点1212,x xxx+，求正实数l的取值范围.【变式【变式 1-1】（2023上海松江校考模拟预测）已知函数e()lnxf xaxaxx=-.(1)若0a=，求函数()yf x=的极值点；(2)若不等式()0f x 恒成立，求实数 a 的取值范围；(3)若函数()yf x=有三个不同的极值点1x、2x、3x，且2123()()()3eef xf xf x+-，求实数 a 的取值范围.【变式【变式 1-2】（2023

9、下山东德州高三校考阶段练习）已知函数 212ln()2f xxax=+-，其中aR.(1)讨论函数 f x的单调性；(2)若 f x存在两个极值点121221,x xxxfxfx时，1ln22xxx对任意的0,x+恒成立，求整数a的最小值【变式【变式 1-1】（2023江西景德镇统考一模）已知函数 sinsinf xxax=+，0,2x.(1)若2a=，求函数 sing xf xx=+值域；(2)是否存在正整数 a 使得 3cosf xxx恒成立？若存在，求出正整数 a 的取值集合；若不存在，请说明理由.【变式【变式 1-2】（2023全国高三专题练习）已知函数 5lnf xx=+，R1kxg

10、 xkx=+(1)若函数 f x的图象在点 1,1f处的切线与函数 yg x=的图象相切，求 k 的值；(2)若Nk*，且1,x+时，恒有 f xg x，求 k 的最大值（参考数据：ln51.61,ln61.7918,ln210.8814+）题型题型 05 恒成立求参：三角函数型整数恒成立求参：三角函数型整数 【典例【典例 1-1】（2020云南昆明统考三模）已知1()22xf xex=-（1）证明：()0f x；（2）对任意1x，sin21 ln0 xexaxx+-，求整数a 的最大值（参考数据：sin10.8,ln20.7）【典例【典例 1-2】（2020 上浙江高三校联考阶段练习）已知函

11、数 sinsin2f xaxx=+，aR.（1）若2a=，求函数 f x在0,p上的单调区间；（2）若1a=，不等式 cosf xbxx对任意20,3xp恒成立，求满足条件的最大整数 b.【变式【变式 1-1】（2022全国高三专题练习）已知函数()ecos22xf xaxx=+-，()fx为()f x的导函数(1)讨论()fx在区间(0,)2p内极值点的个数；(2)若2xp-，0时，()0f x 恒成立，求整数a的最小值【变式【变式 1-2】（2023云南保山统考二模）设函数 sinf xxx=，xR(1)求 f x在区间0,上的极值点个数；(2)若0 x为 f x的极值点，则200ln 1

12、f xxl+，求整数l的最大值.更多全科试卷，请关注公众号：高中试卷君/题型题型 06“能”成立求参：常规型“能”成立求参：常规型 【解题攻略】【解题攻略】形如 f xg x的有解的求解策略：1、构造函数法：令 F xf xg x=-，利用导数求得函数 F x的单调性与最小值，只需 max0F x恒成立即可；2、参数分离法：转化为 axj或 axj恒成立，即 minaxj或 maxaxj恒成立，只需利用导数求得函数 xj的单调性与最值即可.【典例【典例 1-1】（2023 上浙江高三浙江省长兴中学校联考期中）已知函数 lnf xaxx=+，aR.(1)讨论函数 f x的单调性；(2)若存在2e

13、,ex，使 1ln2f xaxx+成立，求实数a的取值范围.注：e为自然对数的底数.【典例【典例 1-2】（2023 上湖南长沙高三统考阶段练习）已知函数 221e2 e22xxaf xax=+-，yg x=是 yf x=的导函数.(1)若3a=，求 yg x=的单调区间；(2)若存在实数0,1x使 322f xa-成立，求a的取值范围.【变式【变式 1-1】（2023全国模拟预测）已知函数 2ln ef xxax=+(1)讨论 f x的单调性；(2)若存在1,ex，使得 2f xaax-，求实数a的最小值【变式【变式 1-2】（2023 上黑龙江齐齐哈尔高三统考阶段练习）已知函数 21ln2

14、af xaxxx a-=+-R.(1)若2a=，求函数 f x的单调区间；(2)若存在01x，使得01af xa-，求a的取值范围.题型题型 07“能”成立求参：双变量型“能”成立求参：双变量型 【解题攻略】【解题攻略】一般地，已知函数,yf xxa b=，,yg xxc d=（1）相等关系记,yf xxa b=的值域为 A,yg xxc d=的值域为 B,若1,xa b，2,xc d$，有12=f xg x成立，则有AB；更多全科试卷，请关注公众号：高中试卷君若1,xa b$，2,xc d，有12=f xg x成立，则有AB；若1,xa b$，2,xc d$，有12=f xg x成立，故AB

15、；（2）不等关系(1)若1,xa b，2,xc d，总有 12f xg x成立，故 maxminf xg x；(2)若1,xa b，2,xc d$，有 12f xg x成立，故 maxmaxf xg x；(3)若1,xa b$，2,xc d，有 12f xg x成立，故 minminf xg x；(4)若1,xa b$，2,xc d$，有 12f xg x成立，故 minmaxf xg x(1)讨论函数 f x的单调性；(2)若存在1x，2x满足120 xx，且121xx=+，12f xf x=，求实数 a 的取值范围【变式【变式 1-1】（2023全国高三专题练习）已知函数 2255lnRf

16、 xaxa xx a=-+，252g xxx=-.(1)若曲线 yf x=在3x=和5x=处的切线互相平行，求a的值；(2)求 f x的单调区间；(3)若对任意150,2x，均存在250,2x，使得 12f xg x，求a的取值范围【变式【变式 1-2】（2023 上重庆高三校联考阶段练习）已知函数2()ln(R),()22f xaxx ag xxx=+=-+(1)当12a=-时，求函数()f x在区间1,e上的最大值和最小值;(2)若对任意的1 1,2x -，均存在2(0,)x+，使得 12g xf x.（1）求证：函数()f x在区间0,ab+内至少有一个零点；（2）若函数()f x在6x

17、=-处取极值，且0,2x$，使得()3cossinf xxx-成立，求实数b的取值范围.【典例【典例 1-2】（2023全国高三专题练习）已知函数 f（x）x+22cosx（1）求函数 f（x）在2p-，2p上的最值：（2）若存在 x（0，2p）使不等式 f（x）ax 成立，求实数 a 的取值范围 更多全科试卷，请关注公众号：高中试卷君【变式【变式 1-1】（2020四川泸州统考二模）已知函数sin(),()(1)2lnxf xg xxmxx=-.（1）求证：当 x(0,时，f(x)在R上只有一个零点，求实数a的取值范围【典例【典例 1-2】（2023 上四川内江高一四川省内江市第六中学校考阶

18、段练习）已知函数9()log91xf xkx=+是偶函数(1)求k的值；(2)若函数1()()2g xf xxa=-无零点，求a的取值范围；(3)设94()log33xt xmm=-，（其中实数1m）若函数()()()h xf xt x=-有且只有一个零点，求m的取值范围【变式【变式 1-1】（2023 上江苏南通高三统考期中）已知()ln(1)(R)f xxxa xa=+-(1)试判断函数()()f xg xx=的单调性；(2)若函数 yf x=有且只有一个零点，求实数 a 的取值范围【变式【变式 1-2】（2023陕西汉中校联考模拟预测）已知函数 321,R3f xxax g xxa a=

19、+=-(1)若函数 F xf xg x=-在1,x+上单调递增，求a的最小值；(2)若函数 G xf xg xax=+-有且只有一个零点，求a的取值范围更多全科试卷，请关注公众号：高中试卷君 题型题型 10 零点型求参：双零点型零点型求参：双零点型 【解题攻略】【解题攻略】利用导数解决 f x有两个零点，求实数m的取值范围问题，综合性强，难点在于要分类讨论参数的范围，进而判断函数的单调性，确定极值的正负问题，关键在于要多次构造函数，利用导数判断函数单调性.【典例【典例 1-1】（2023全国模拟预测）已知函数1ln()e1xxf xax+=-+(1)当0a=时，求曲线()f x过原点的切线的方

20、程(2)若()f x有两个零点，求实数a的取值范围【典例【典例 1-2】（2023四川泸州统考一模）已知函数()sin220,2f xaxx x=-，且()0f x 时，讨论()f x的单调性；（2）已知函数()lng xx=，记函数()()()2f xg xm x+=|()()|2f xg x-，若函数()m x有三个零点，求实数t的取值范围.【典例【典例 1-2】（2022 上广西钦州高三校考阶段练习）已知2()21g xxax=-+在区间1，3上的值域0，4.（1）求a的值；更多全科试卷，请关注公众号：高中试卷君（2）若不等式240 xxgk-在1x，)+上恒成立，求实数k的取值范围；（

21、3）若函数(21)232121xxxgykk-=+-有三个零点，求实数k的取值范围.【变式【变式 1-1】（2020浙江模拟预测）已知函数 lnf xx=.（1）求函数 0f xyxx=的最值；（2）已知函数 321 2652323aaag xxxx-+=+-+，设函数 ,f xf xg xh xg xf xg x=，若函数 h x有三个零点，求实数a的取值范围.【变式【变式 1-2】（2022 上福建泉州高三校考开学考试）已知函数 4ln1 ln2,xaf xxaxg xx-=-+-=.(1)求函数 f x的极值点；(2)当0a 时,当函数 h xf xg x=-恰有三个不同的零点，求实数a

22、的取值范围.题型题型 12 同构型求参：同构型求参：X1，X2双变量同构双变量同构 【解题攻略】【解题攻略】双变量同构型，较多的是含有绝对值型。1.含绝对值型，大多数都是有单调性的，所以可以通过讨论去掉绝对值。2.去掉绝对值，可以通过“同构”重新构造函数。不含绝对值型，可以直接调整构造函数求解【典例【典例 1-1】（2019河南郑州统考二模）已知函数2()lnf xaxxbxax=-.（1）曲线()yf x=在点 1,1f处的切线方程为102xy+=，求a，b的值；（2）若0a，12b=时，12,1,x xe，都有12123f xf xxx-，12,1,x xe，都有121220202020f

23、 xf xxx-恒成立，求实数 a 的取值范围.【变式【变式 1-1】（2019 上河南平顶山高三统考阶段练习）已知函数 2lnf xxax=+.（1）求函数 f x的单调区间；（2）设0a，若对任意1x、20,1x，且12xx，都有1212113f xf xxx-时，不等式 f xg x恒成立，求实数 a 的取值集合【典例【典例 1-2】（2023天津河北统考一模）已知函数 ln2f xxx=-.(1)求曲线 yf x=在点 1,1f处的切线方程；(2)讨论函数 f x的单调性；(3)若对任意的1,x+，都有ln1xxxk x+-成立，求整数k的最大值.【变式【变式 1-1】（2023河南安

24、阳统考三模）已知函数 21(ln)2exf xxxaa-=+-R.(1)证明：曲线 yf x=在1x=处的切线经过坐标原点；(2)记 f x的导函数为 fx，设 g xxfx=，求使 0g x 恒成立的a的取值范围.【变式【变式 1-2】（2023甘肃兰州校考模拟预测）已知函数 ln21xf xx-=+，exg xmf x=+（mR，e为自然对数的底数）.(1)求函数 f x的极值；(2)若对0,x+，0g x 在(1,)+上恒成立，求a的取值范围 更多全科试卷，请关注公众号：高中试卷君2.（2023 上湖北荆州高三沙市中学校考阶段练习）设函数cossin()e,R,()exxxxf xax

25、ag x+=-=.(1)讨论()g x在区间(0,)上的单调性；(2)若(2)()fxg x在0,)x+上恒成立，求a的取值范围.3.（2023山东德州三模）已知函数 21ln()2fxxax=+-，其中aR(1)当1a=时，求函数 f x在 1,1f处的切线方程；(2)讨论函数 f x的单调性；(3)若 f x存在两个极值点121221,x xxxfxfx时，都有 110 xkf xx-+成立，求整数k的最大值.5.（2023江苏扬州统考模拟预测）已知函数()sinln(1)()f xaxx a=-+R(1)若1a=-，求证：0,()20 xf xx+；(2)当1a 时，对任意0,2kx，都

26、有()0f x，求整数k的最大值 6.（2023 上广东高三河源市河源中学校联考阶段练习）已知函数 ln1,Rxf xa xax=+-(1)试讨论 f x的极值点的个数；(2)若 g xxf x=，且对任意的1,x+都有 0g x，求a的取值范围 7.（2023福建厦门厦门一中校考三模）已知函数 ln1f xax=+.(1)若2a=，设0b，讨论函数 f xf bg xxb-=-的单调性；(2)令 2112ah xf xxx-=-+-，若存在01x，使得01ah xa=-.(1)当1a=时，求函数 f x的单调区间；(2)若对于任意的10,2x，都存在21,2x，使得 112x f xg x成

27、立，试求实数a的取值范围.9.（2020江西校联考模拟预测）已知函数2()2ln(,)cos2 2f xxxp pqq=+-在1,+上单调递增，函数()()mxg xxx=-R（1）求q的值；（2）若存在01,xe，使得00()()f xg x，函数()lnaf xxx=(1)讨论()f x的单调性；(2)若()f xx，求 a 的取值范围；(3)若()1fx，求 a【答案】(1)()f x在10,ea-单调递减，在1e,a-+单调递增(2)10,1 e-(3)12a=【分析】（1）利用导数与函数单调性的关系即可得解；（2）构造函数1()lnag xxx-=，分类讨论1a 与01a，则111(

28、)ln(ln1)aaafxaxxxxax-=+=+，令()0fx，得10eax-，得1eax-；所以()f x在10,ea-单调递减，在1e,a-+单调递增.（2）因为0 x，所以()f xx等价于1ln1axx-，记函数1()lnag xxx-=，当1a 时，22(1)e2e1ag-=，不合题意；更多全科试卷，请关注公众号：高中试卷君当01a，得01x；令()0h x；()h x在(0,1)单调递增，在(1,)+单调递减，故()(1)1h xh=，符合题意；若10,2a，当21 2e1aaax-时，()0h x=，不合题意；若1,12a，当21 21eaaax-，则()h x在21 21,e

29、aaa-单调递增，故21 2e(1)1aaahh-=，不合题意；若1,)a+，当1x 时，()0h x，则()h x在(1,)+单调递增，故()(1)1h xh=，不合题意.综上，12a=.【典例【典例 1-2】（2024 上甘肃武威高三统考期末）已知函数 2ln1exxfxax=+.(1)当0a=时，求 f x的最大值；(2)若 0f x 在0,x+上恒成立，求实数a的取值范围.【答案】(1)2e(2),2-【分析】（1）先求解出 fx，然后根据 fx的正负确定出 f x的单调性，然后可求 f x的最大值；（2）先求解出 fx，令 fx的分子部分为 g x，再根据a与0的关系进行分类讨论：当

30、0a=时，根据（1）的结果进行分析；当0a 时，根据 f x解析式各部分取值正负进行分析；当a，当1,x+时，0fx，不满足题意；当0a 时，20,0,ln10exxxax+，所以 0f x 恒成立，不满足题意；当a0时，0gx在0,+上恒成立，所以 g x在0,+上单调递减，所以 02g xga=+.当2a -时，因为 00g xg，所以 0fx，更多全科试卷，请关注公众号：高中试卷君所以 f x在0,+上单调递减，所以 00f xf=，所以2a -满足题意，当20a-=，即()0fx，当0,xx+时，0g x，即 0fx，不满足题意，综上所述，,2a-.【变式【变式 1-1】（2023 上

31、江苏镇江高三校考阶段练习）已知函数 2exxaxf x-=(1)若 f x在2,1-上单调递增，求实数 a 的取值范围；(2)若 sinf xx对,0 x-恒成立，求实数 a 的取值范围【答案】(1)8,3-(2)1,-+【分析】（1）先求 fx，然后将问题转化为“220 xaxa-+对2,1x-恒成立”，然后通过分离参数结合函数的单调性求解出a的取值范围；（2）将问题转化为“2e sin0 xxxax-+对,0 x-恒成立”，然后构造函数 2e sin,0 xg xxxax x=-+-，通过多次求导分析函数单调性的过程求解出a的取值范围.【详解】（1）因为 2222ee2eexxxxxaxa

32、xxaxafx-+=-，又 f x在2,1-上单调递增，所以 0fx对2,1x-恒成立，所以220 xaxa-+对2,1x-恒成立，所以111axx-对2,1x-恒成立；令13,2tx=-，且1ytt=-在3,2-上单调递增，所以11813133xx-=-，所以83a -，即a的取值范围是8,3-；（2）因为 sinf xx对,0 x-恒成立，所以2e sin0 xxxax-+对,0 x-恒成立，设 2e sin,0 xg xxxax x=-+-，所以 esincos2xgxxxxa=+-+，令 esincos2xh xxxxa=+-+，所以 ecossinsincos22e cos2xxh

33、xxxxxx=-+-=-，因为,0 x-，所以e0,1,cos1,1xx-，所以2e cos2220 xx-=，所以 0h x，所以 h x在,0-上单调递减，所以 01h xha=+，当10a+时，即1a -，0h xgx=，所以 g x在,0-上单调递增，所以 00g xg=，满足条件；当10a+时，即1a -，010ha=+，g x单调递增，0,0,0 xxgx=，与题意矛盾，综上所述，a的取值范围是1,-+.【变式【变式 1-2】（2024 上山西高三期末）已知函数 2122lnf xm xxx=-+，2m.(1)求证：函数 f x存在单调递减区间，并求出该函数单调递减区间,a b的长

34、度ba-的取值范围；(2)当1x时，12 e4xf xxx-恒成立，求实数m的取值范围.【答案】(1)证明见解析，1,12(2)2,4【分析】（1）先求 fx，然后分析 0fx=的根，由此完成证明；利用韦达定理表示出ba-结合m的范更多全科试卷，请关注公众号：高中试卷君围求解出其范围；（2）将问题转化为“21122ln2 e0 xm xxxx-+-在1,+上恒成立”，建立函数 21122ln2 exF xm xxxx-=-+-，通过多次求导分析函数单调性的过程求解出m的取值范围.【详解】（1）2222222120mxmxfxm xxxx-+=-+=，令 22222h xmxmx=-+，因为2m

35、，二次函数对称轴221042mmxmm+=，020h=，且22224 22220mmm=+-=-恒成立，所以 0h x=恒有两个不相等的正实根，且这两个正实根分别为,a b ba，1mabm+=，1abm=，所以 f x的单调递减区间是,a b，所以单调递减区间,a b的长度22211411babaabmmm-=+-=-+=-，因为2m，所以ba-的取值范围为1,12；（2）由题意21122ln2 e4xm xxxxx-+-在1,+上恒成立，即21122ln2 e0 xm xxxx-+-在1,+上恒成立，令 21122ln2 exF xm xxxx-=-+-，则 1221222 exFxm x

36、xx-=-+-+，令 1221222 exG xm xxx-=-+-+，则 122224 exGxmxx-=-+，令 122224 exH xmxx-=-+，则 13426 exHxxx-=-+，令 13426 exM xxx-=-+，则 141228 exMxxx-=-+，当1x时，0Mx，所以 M x在1,+上单调递减，14840M xM=-=-，即4m，单调递减函数 H x在x +时，H x-，且 1280Hm=-，所以 0H x=在1,+上有根，记为0 x，在01,x上，0H x，在0,x+上 0H x，F x单调递增，而 10F=，因此在11,x上，10F xF=，从而在1,+上 0

37、F x 不恒成立，综上所述，m的取值范围是2,4.【变式【变式 1-3】（2024全国模拟预测）已知函数2()2ln1f xxax=-，aR(1)求函数()f x的单调区间；(2)若对任意的,()0 x+，不等式211(1)(1)1exf xxx+-+恒成立，求实数a的取值范围【答案】(1)答案见解析(2)(,2-【分析】（1）第一步：求函数()f x的定义域与导函数()fx，第二步：分0a，0a 分别讨论()fx的正负，得函数()f x的单调区间.更多全科试卷，请关注公众号：高中试卷君（2）第一步：转化不等式，第二步：构造新函数()g x并求导，第三步：分0a，0a 分别讨论()g x的单调

38、性，求出其最值，第四步：总结，得a的取值范围.【详解】（1）函数()f x的定义域为(0,)+，24()4axafxxxx-=-=，当0a 时，()0,()fxf x在区间(0,)+上单调递增；当0a 时，由()0fx，得2ax，由()0fx，得02ax时，()f x的单调递减区间为0,2a，单调递增区间为,2a+（2）当,()0 x+时211(1)(1)1exf xxx+-+恒成立，等价于当,()0 x+时，212ln()1exxxax+-+101x-+恒成立 设211()2ln(1)e1xg xxxaxx=+-+-+，则当,()0 x+时，()0g x 恒成立，211()22e1(1)xa

39、g xxxx=+-+当0a 时，由0 x 可得222x+，101ex，又2101(1)axx-+，()0g x，()g x在(0,)+上单调递增，而(0)0g=，当,()0 x+时()0g x 恒成立 当0a 时，令()()h xg x=，则23321211()22 1e(1)(1)(1)e(1)xxaah xxxxx=+-=-+0 xQ，0a，312 10(1)x-+，且210e(1)xax+，因此()0h x，即()g x在(0,)+上单调递增，当0 x 时，()(0)2g xga=-当20a-，即02a时，()0g x，()g x在(0,)+上单调递增(0)0g=Q，当,()0 x+时，

40、()0g x 恒成立 当20a-时，(0)20ga=-Q，211a-，而111ex-，故(1)0g a-，而()g x在(0,)+单调递增，当00,xx时，()0g x，()g x在00,x上单调递减，从而当00,xx时，()(0)0g xg=，不符合题意综上所述，2a，即实数a的取值范围是(,2-题型题型 02 恒成立求参：三角函数型恒成立求参：三角函数型 【解题攻略】【解题攻略】三角函数与导数应用求参：1.正余弦的有界性2.三角函数与函数的重要放缩公式：sin0 xx x.更多全科试卷，请关注公众号：高中试卷君【典例【典例 1-1】（2023全国高三专题练习）已知函数 sin xf xx=

41、，cosg xax=(1)求证：0,2x时，1f x 恒成立，求实数 a 的取值范围；(3)当,00,22x-时，2f xg x 恒成立，求实数 a 的取值范围【答案】(1)证明见详解(2),1-(3),1-【分析】（1）根据题意，转化为sin xx，令 sinxxxj=-，利用导数求得 xj的单调性，结合 0 xjj在0,2上恒成立，令 sincos0H xxaxx=-在0,2上恒成立，求得 1cossinHxaxaxx=-+，分0a、01a，三种情况讨论，即可求解；（3）由（1）（2），令 2222sincosxaxxG xf xg xx-=-=，转化为 0G x 在0,2上恒成立，令 2

42、2sincos0h xxaxx=-在0,2上恒成立 分0a、01a，三种情况讨论，结合函数的单调性和最值，即可求解.【详解】（1）证明：0,2x时，求证 1f x 等价于求证sin xx，令 sinxxxj=-，则 cos10 xxj=-，故 xj在0,2上单调递减，故 00 xjj在0,2上恒成立，即 sincos0H xxaxx=-在0,2上恒成立，可得 1cossinHxaxaxx=-+，且 00H=，01Ha=-（i）当0a 时，在0,2上sin0 x，cos0axx-，故 0H x，所以 0F x，符合题意；（ii）当01a=，所以 0F x，符合题意；（iii）当1a 时，010=

43、-，故必存在00,2x，使得00Hx=，且当00,xx时，0Hx，故 H x在00,x上单调递减，故在00,x上 00H xH=，不符合题意综上所述：实数 a 的取值范围是,1-（3）解：由（1）知：sin xx，即sincossincosxxxxxx在0,2上恒成立令 222222sinsincoscosxxaxxG xf xg xaxxx-=-=-=，因为 GxG x-=，所以题设等价于 0G x 在0,2上恒成立，即：22sincos0h xxaxx=-在0,2上恒成立（i）当0a 时，在0,2上2sin0 x，2cos0axx-，故 0h x，所以 0G x，符合题意；（ii）当01a

44、-+222222 1 cossin4sinsin4sinsin0222xxxxxxxxx=-=-=-，所以 r x在0,2上单调递增，所以 00r xr=，故 0h x，所以 0G x，符合题意；（iii）当1a 时，22222sincoscos1cosh xxaxxxaxxxax=-=-，当1cos,1xa且0,2x时，1cos0ax-，故 222cos1cos0h xxaxxxax-=-对xR恒成立，求 a 的最大整数值.【答案】(1)0 xy+=(2)e-(3)-2【分析】（1）求出函数在0 x=处的导数，即切线斜率，求出 0f，即可得出切线方程；（2）求出函数在区间0,2上的单调性，求

45、出最值即可；（3）依题意，将不等式等价转化为sinexxax-在 R 恒成立，构造函数=sinexxxxj-，利用导数求出函数的单调性和最小值的范围，进而求解.【详解】（1）()e sin2xf xxx=-Q，()e(sincos)2xfxxx=+-，(0)1f=-，(0)0f=，所求切线方程为0(0)yx-=-，即0 xy+=，所以切线方程为0 xy+=.（2）令()()e(sincos)2xg xfxxx=+-，则()2e cosxg xx=，当0,2x时，()0g x，()g x在0,2上单调递增.又(0)10g=-，020,x$，使得00g x=.当00,xx时，()0fx，()f x

46、单调递增.更多全科试卷，请关注公众号：高中试卷君又(0)0,e02ff=-，max()e2f xf=-，所以函数 f x在区间0,2上的最大值为e-.（3）不等式()exf xxa+恒成立等价于sinexxax-恒成立,当0 x 时，令()exxh x=-，则1()exxh x-=,当01x时，()0h x时，()0h x，()h x单调递增，min1()(1)eh xh=-，当0 x+时，()0h x-；当x +时，()0h x-，()h x的值域为10e,-,sin 1,1xQ-，3231132(1)sin1,()11ee2ejj=-=-，min1211exj-时，令 0fx，解得ln2x

47、a，解得ln2xa，所以 f x在区间ln2,a-上单调递减，在区间ln2,a+上单调递增；当a0时，令 0fx，解得ln2xa，解得ln2xa；所以 f x在区间ln2,a-上单调递减，在区间ln2,a+上单调递增.综上，f x在区间ln2,a-上单调递减，在区间ln2,a+上单调递增.（2）由题意得esincos2axxx-+对任意0 x 恒成立，令 esincos2axh xxx=-+-，则 ecossinaxh xaxx=-.若0 x，当1a 时，ee,ecossinaxxxh xxx-.令 sin0u xxx x=-，则 1 cos0uxx=-，所以 u x在区间0,+上单调递增，且

48、 00u xu=，即sinxx，令 e10 xv xxx=-，则 e10 xv x=-，所以 v x在区间0,+上单调递增，且 00v xv=，即e1xx+，所以当0 x 时，e1sin1xxx+，则 ecossin1 cos0 xh xxxx-，所以 h x在区间0,+上单调递增，且 00h xh=，即esincos2axxx-+恒成立.更多全科试卷，请关注公众号：高中试卷君当1a时，010ha=-，使得00,xx，均有 0h x，则 h x在区间00,x上单调递减，且 00h xh=，不符合题意.综上，实数a的取值范围是1,+.【变式【变式 1-2】（2023 上甘肃定西高三甘肃省临洮中学

49、校考阶段练习）已知函数 esincos,xfxxx fx=-为其导函数(1)求 f x在,-+上极值点的个数；(2)若()22cosfxaxx a+-R对,x -+恒成立，求a的值【答案】(1)2(2)2【分析】（1）利用指数函数的单调性与三角函数有界性分段讨论()fx 的符号，由此得函数()f x的单调性与极值；（2）先探求恒成立的必要条件，再证明其充分性.充分性的证明先构造函数，再利用导函数研究函数单调性，结合（1）结论可证.【详解】（1）()ecossine2sin4xxfxxxx=-+=+-当34x-时，544x-，e0 x，则()0fx，所以()f x在3,4-单调递增；当342x-

50、时，则344x-，设()()e2sin4xg xfxx=+-，则()e2cos4xg xx=+-，且e1x，22cos14x-，则()0g x-=-，在0,2x-上，()0fx，所以()f x在03,4x-上单调递增，在0,2x-上单调递减；当02x-时，则3444x-，所以22sin14x-，又e1x，所以()0fx，故()f x在,02-上单调递减；当04x时，则044x-，所以12sin04x-，所以()0fx，()f x在,4+上单调递增；综上所述，()f x在0,x-上单调递增，在0,0 x上单调递减，在0,+上单调递增.所以()f x在,-+上仅有2个极值点.（2）当x -时，()